Mathematische Grundlagen und Notationen

Mathematische Grundlagen
und Notationen
(A) Summen(zeichen)
(B) Der binomische Lehrsatz
(C) Ungleichungen
(D) Intervalle
(E) Die mengentheoretischen Bezeichnungen ∈ und ∪
(F) Wichtige mathematische Konstanten und Funktionen
(G) Gebräuchliche griechische Buchstaben
(A) Summen(zeichen)
Gegeben seien n Zahlen x1, x2, . . . , xn. Summenzeichen:
n
X
xi = x 1 + x 2 + . . . + xn
i=1
i ist ein sogenannter Laufindex [durchläuft die
(natürlichen) Zahlen 1, 2 usw. bis n].
1
Im Fall n = 3 ist
3
X
x i = x1 + x2 + x3
i=1
Beispiele: (i) Im Fall x1 = 1, x2 = 7, x3 = 9 ist
3
X
xi = 1 + 7 + 9 = 17
i=1
(ii) Die Summe der ersten sechs (natürlichen)
Zahlen ist
1+2+3+4+5+6=
6
X
i = 21
i=1
Bemerkung: Ob der Index mit i, j oder k etc.
bezeichnet wird, ist egal:
n
X
i=1
xi =
n
X
j=1
xj =
n
X
xk
k=1
2
Regel 1:
n
X
a=n·a
i=1
Denn:
n
X
a = |a + a +
{z. . . + a} = n · a
i=1
n Summanden
Beispiel:
3
X
4 = 4 + 4 + 4 = 3 · 4 = 12
i=1
Regel 2:
n
X
i=1
a · xi = a ·
n
X
i=1
!
xi
=a·
n
X
xi
i=1
3
Denn:
n
X
a · xi = a · x 1 + a · x 2 + . . . + a · xn
i=1
= a · (x1 + x2 + . . . + xn)
!
n
n
X
X
= a·
xi = a ·
xi
i=1
i=1
Im Fall x1 = 1, x2 = 7, x3 = 9 und a = 2 ist
3
X
2 · xi = 2 · 1 + 2 · 7 + 2 · 9
i=1
= 2 · (1 + 7 + 9)
= 2·
3
X
xi
i=1
= 34
4
Regel 3:
n
X
(xi + yi) =
i=1
n
X
xi +
i=1
n
X
yi
i=1
Denn:
n
X
(xi + yi) = (x1 + y1) + . . . + (xn + yn)
i=1
= (x1 + . . . + xn) + (y1 + . . . + yn)
n
n
X
X
=
xi +
yi
i=1
i=1
Beispiel:
i xi yi
1 1 2
2 7 7
3 9 5
5
3
X
(xi + yi) = (1 + 2) + (7 + 7) + (9 + 5)
i=1
= (1 + 7 + 9) + (2 + 7 + 5)
= 17 + 14
3
3
X
X
=
xi +
yi
i=1
i=1
= 31
Achtung! Im Allgemeinen ist
!
n
n
X
X
xi · yi 6=
xi ·
i=1
=
i=1
n X
n
X
n
X
!
yi
i=1
xi · yj
j=1 i=1
6
Beispiel:
i xi yi
1 1 2
2 7 7
3 9 5
Dann gilt
3
X
xi · yi = 1 · 2 + 7 · 7 + 9 · 5 = 96
i=1
und
3
X
!
xi
·
3
X
i=1
!
yi
= (1 + 7 + 9) · (2 + 7 + 5)
i=1
= 17 · 14 = 238
Ferner gilt für ein k mit 1 ≤ k ≤ n − 1
n
X
i=1
xi =
k
X
i=1
xi +
n
X
xi
i=k+1
7
Wichtige Formeln:
n
X
n · (n + 1)
i = 1 + 2 + ... + n =
2
i=1
Beispiele:
6
X
6·7
i = 1 + 2 + ... + 6 =
= 21
2
i=1
100
X
100 · 101
i = 1 + 2 + . . . + 100 =
= 5050
2
i=1
8
n
X
i2 = 12 + 22 + . . . + n2
i=1
n · (n + 1) · (2n + 1)
=
6
Beispiele:
6
X
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
i=1
6 · 7 · 13
=
= 91
6
100
X
i2 = 12 + 22 + . . . + 1002
i=1
100 · 101 · 201
=
= 338350
6
9
(B) Der binomische Lehrsatz
Ausmultiplizieren von (a + b)n, n = 0, 1, 2, 3, ...,
liefert eine Formel in Potenzen von a und b:
n = 0:
(a + b)0 = 1
n = 1:
(a + b)1 = 1 · a + 1 · b
n = 2:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = 1 · a2 + 2 · ab + 1 · b2
n = 3:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= 1 · a3 + 3 · a2b + 3 · ab2 + 1 · b3
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Allgemein gilt der binomische Lehrsatz:
(a + b)n =
n X
n
k=0
Die Zahl
k
· ak · bn−k , n = 0, 1, 2, 3, ...
n
n!
=
k
k!(n − k)!
heißt Binomialkoeffizient (gelesen: n über k
oder k aus n). Dabei bezeichnet
n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1
(gelesen: n Fakultät) das Produkt der ersten n
natürlichen Zahlen.
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Einige Zahlenwerte:
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
..
10! = 1 · 2 · . . . · 10 = 3628800
Per Definition gilt 0!=1 und somit
n
0
=1
Aus der Definition des Binomialkoeffizienten
folgt unmittelbar die Darstellung
n
n!
n
=
=
k!(n − k)!
k
n−k
12
Im Fall a = 1 und b = 1 liefert der binomische
Lehrsatz die Aussage
n X
n
= 2n
k
k=0
(C) Ungleichungen
Im Folgenden seien a, b, c Zahlen.
Regel 1:
a≤b⇒a−c≤b−c
Regel 2:
a≤b⇒
(
a·c≤b·c
falls c > 0
a·c≥b·c
falls c < 0
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Damit gelten die folgenden Umformungen für
Zahlen a, b, c mit c > 0:
a−b
−1 ≤
≤ 1 ⇔ −c ≤ a − b ≤ c
c
⇔ −c − a ≤ −b ≤ c − a
⇔ a−c≤b≤a+c
Betrag einer Zahl x:
x,
|x| =
−x,
falls x ≥ 0
falls x < 0
Beispiele: |5| = 5, | − 5| = −(−5) = 5
(D) Intervalle
Anschaulich gesprochen versteht man unter einem Intervall einen Abschnitt auf der Zahlengerade. Man unterscheidet dabei verschiedene
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Intervalle, je nachdem, ob die Grenzen zum Intervall dazugehören oder nicht und ob das Intervall
eine endliche Länge hat oder nicht.
[
a
]
b
Geschlossenes Intervall:
[a, b] = alle Zahlen x mit a ≤ x ≤ b
(alle Zahlen zwischen a und b, wobei x = a
bzw. x = b zugelassen ist). Dabei ist stets a ≤
b. Die Länge des Intervalls ist b − a (obere
Intervallgrenze abzüglich untere Intervallgrenze).
Beispiel: Im Fall a = 0 und b = 1 erhält man
das Intervall [0, 1] mit der Länge 1.
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Halboffene Intervalle:
[a, b) = alle Zahlen x mit a ≤ x < b
(a, b] = alle Zahlen x mit a < x ≤ b
(rechte bzw. linke Intervallgrenze gehört nicht
zum Intervall).
Offenes Intervall:
(a, b) = alle Zahlen x mit a < x < b
(beide Intervallgrenzen gehören nicht zum Intervall).
Unendliches Intervall (Halbstrahl):
(−∞, a] = alle Zahlen x mit x ≤ a
[b, ∞) = alle Zahlen x mit x ≥ b
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(E) Die mengentheoretischen Bezeichnungen ∈ und ∪
Elementzeichen: ∈
x ∈ (a, b) bedeutet: x ist ein Element der Menge
(des Intervalls) (a, b), d.h. es gilt a < x < b.
x ∈ (−∞, a] bedeutet: x ist ein Element des
Intervalls (−∞, a], d.h. es gilt x ≤ a.
x ∈ [b, ∞) bedeutet: x ist ein Element des Intervalls [b, ∞), d.h. es gilt x ≥ b.
Vereinigungszeichen: ∪
(−∞, a] ∪ [b, ∞) sind alle Zahlen, die zum Intervall (−∞, a] oder zum Intervall [b, ∞) gehören.
x ∈ (−∞, a]∪[b, ∞) bedeutet x ∈ (−∞, a] oder
x ∈ [b, ∞), also x ≤ a oder x ≥ b
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(F) Wichtige mathematische Konstanten und Funktionen
Die Kreiszahl π = 3.14...
Die Eulersche Zahl e = 2.71...
Funktionen
y = f (x)
Beispiele:
(i) f (x) = a + b · x Gerade
a Achsenabschnitt, b Steigung
Hier: a = −1 und b = 2
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(ii) f (x) = x2 Parabel
(iii) f (x) =
√
x, x > 0 Wurzelfunktion
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(iv) f (x) = ex Exponentialfunktion
(v) f (x) = ln(x), x > 0 Logarithmusfunktion
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(G) Gebräuchliche griechische Buchstaben
Deutsch Griechisch
f
ϕ
F
Φ
m
µ
p
π
s
σ
S
Σ
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