intervall somit

NEUE EMPIRISCHE DATEN ÜBER
DIE ZAHLENTHEORETISOHE FUNKTION o-(n)
VON R. v.
STERNECK.
Die von F. Mertens mit a (n) bezeichnete zahlentheoretische Funktion ist durch die
n
Gleichung a(n) = 2 p(X) definiert, wobei
JJL(X)
den Wert + 1 hat, je nachdem X das
\=i
Produkt einer geraden oder ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist und den
Wert 0 für alle durch ein Quadrat, grösser als 1, teilbaren Argumente X.
Mertens hat das Gesetz | a (n) j è V?i bis zur Grenze n = 10,000 nachgewiesen und
zugleich gezeigt, dass mit dem allgemeinen Nachweis dieses Gesetzes auch die
Richtigkeit der Riemannschen Vermutung bewiesen wäre, dass die komplexen
Nullstellen der Funktion Ç(s) sämtlich den reellen Bestandteil \ haben.
In den Jahren 1897 und 1901 habe ich durch Herstellung einer bis 500,000
reichenden Tabelle der Werte a (n) den Nachweis geführt, dass bis zu dieser Grenze,
wenn man von einigen ganz im Anfange gelegenen Stellen in der Umgebung von
n = 200 absieht, sogar die Relation | a (n) | < -J- *Jn strenge erfüllt ist, indem der
Quotient —~- in diesem Intervalle stets zwischen den Grenzen + 0*46 hin und
yn
herschwankt.
Den Anlass, mich neuerdings der empirischen Prüfung des erwähnten Gesetzes
zuzuwenden, fand ich in einer Arbeit von E. Landau, die sich mit einer Abhandlung
von Franel aus dem Jahre 1896 beschäftigt und in der gezeigt wird, dass eine von
Franel dortselbst ohne Beweis gegebene Relation mit der Riemann'sehen Vermutung
im Widerspruch steht. Wenn nun auch für die Richtigkeit dieser von Franel angegebenen Beziehung nicht der geringste Wahrscheinlichkeitsgrund geltend gemacht
werden kann, so schien es mir doch angesichts der Sachlage wünschenswert, die
empirische Grundlage des Gesetzes j a (n) \ < \ 's/n so ausgedehnt als möglich zu gestalten. Dabei dachte ich nicht an eine Fortsetzung meiner Tabelle sondern nur an
einzelne Stichproben für möglichst grosse Argumente n. Unterstützt durch die
kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien, welche mir eine Subvention zur
Entlohnung von Rechnern gewährte, konnte ich diesem Plane entsprechend im Laufe
des vergangenen Winters 16 neue Funktionswerte a (n) ermitteln, deren Argumente
bis zur Grenze 5,000,000 hinaufreichen.
342
R. V. STERNECK
Die Formel, nach der die Berechnungen durchgeführt wurden, ist die folgende :
In derselben bedeutet g die grösste in Vn enthaltene ganze Zahl, coi (m) die Anzahl
der die Zahl m nicht übersteigenden, durch keine der i ersten Primzahlen teilbaren
Zahlen; X' hat alle derartigen Zahlen, welche g nicht übertreffen, zu durchlaufen.
Die Formel gilt für alle jene n, welche grösser oder gleich dem Produkte der i ersten
Primzahlen sind.
Setzt man in derselben z. B. i — 4, so erhält man eine Formel, in welcher in der
ersten Summe auf a (n) sogleich a ( ~~ j folgt, die sich somit zur Berechnung von a (n)
bis zum llfachen äussersten Argumente der vorhandenen Tabelle eignet.
Auf Grund dieser Formeln wurden folgende Funktionswerte ermittelt :
o-(600,000)
= -230,
a (1,800,000) = + 406,
a (700,000)
=: + 226,
(7(2,000,000) = - 2 4 7 ,
o- (800,000)
=: -
20,
a (2,500,000) = + 364,
a (900,000)
=: - 2 2 5 ,
a (3,000,000) - + 109,
a (1,000,000) =: + 214,
a (3,500,000) = - 136,
a- (1,200,000) -: - 153,
a (4,000,000) = + 194,
o- (1,400,000) =: - 247,
er (4,500,000) = -f 177,
o- (1,600,000) == + 168,
CT (5,000,000) - - 705.
I er (ni I
Bildet man für jeden derselben den Quotienten ' ) - ', so erhält man, auf
Vn
3 Dezimalstellen abgerundet, der Reihe nach folgende Werte : 0*297, 0*270, 0*022,
0-237, 0-214, 0140, 0-209, 0133, 0'302, 0175, 0*230, 0*063, 0*073, 0*097, 0083, 0*315.
Die neuberechnenden Funktionswerte erfüllen also, wie man sieht, sämtlich das
Gesetz | er (n) | < \ Vn. Da dies aber nur von diesen einzelnen Stellen feststeht, ist
damit natürlich nicht etwa der vollständige Beweis erbracht, dass dieses Gesetz bis
zur Grenze 5,000,000 gültig bleibt ; doch hat dies auf Grund obiger Zahlen, wie man
sich leicht klar machen kann, einen sehr hohen Grad von Wahrscheinlichkeit.
Die eben erhaltenen Verhältniszahlen geben im Mittel 0*179.
Vergleichen wir
diesen Wert mit dem Mittelwerte des Quotienten '—^=M für das Intervall von 0 bis
Nn
500,000, für welchen man durch Mittelbildung aus den Werten dieses Quotienten
nach je 10,000 Argumenten n den Näherungswert 0*140 erhält, so können wir eine
ganz befriedigende Uebereinstimmung konstatieren, da man ja bei einer so geringen
Zahl von nur 16 zufällig herausgegriffenen Funktionswerten nicht erwarten kann,
durch einfache Mittelbildung dem wahren Mittelwerte dieses Quotienten für das
ganze Intervall besonders nahe zu kommen. Alle Anzeichen sprechen daher dafür,
dass das Gesetz | er (n) | < J Vn auch bis zur Grenze 5,000,000 richtig bleibt und dass
der Quotient —-~ ungefähr zwischen denselben Grenzen hin und herschwankt wie in
Vn
NEUE EMPIRISCHE DATEN ÜBER DIE ZAHLENTHEORETISCHE FUNKTION CT (n)
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dem früher untersuchten zehnmal kleineren Intervall; es waren dies die Grenzen
± 0-46.
Als Ergebnis der Untersuchung ist somit festzustellen, dass sich die Funktion
—jJ- im Intervall von 0 bis 5,000,000 genau ebenso zu verhalten scheint, wie in dem
Vn
zehnmal kleineren Intervall bis 500,000, dass somit die Relation
| er (n) | < -J Vn
ein zwar unbewiesenes, aber ausserordentlich wahrscheinliches zahlentheoretisches
Gesetz darstellt, und somit auch die Biemann'sche Vermutung mit einem hohen
Grad von Wahrscheinlichkeit als richtig angesehen werden kann.