Periode: Schwingunsdauer für vollständigen Durchlauf

H.-Ch. Mertins
Verbundstudium TBW FH Münster
1. Schwingungen
Harmonische Schwingung
die einfachste Schwingung ist die harmonische Schwingung
Frequenz:
f = Anzahl der Schwingungen pro Sekunde
[f] = 1 Hertz = 1 Hz = 1 Schwingung / s = 1 s-1
Periode:
Schwingunsdauer für vollständigen Durchlauf
T=1/f
Bewegung:
[T] = s
x(t) = x0 cos(t + )
x(t):
Auslenkung, Ort
x0
Amplitude, maximale Auslenkung
= 2f
Kreisfrequenz
:
Phasenkonstante / Verschiebung
Alter Ort muss nach voller Periode T wieder erreicht werden, also
x0 cost = x0 cos(t + T)
=>
T = 2= 2f

Geschwindigkeit
v(t) = dx(t)/dt = d/dt[x0 cos(t + )] = - x0  sin(t + )
v(t) = v0 sin(t + ) mit v0 = - x0 
Beschleunigung
a(t) = dv(t)/dt = d/dt[- x0  sin(t + )] = - x0 2 cos(t + )
a(t) = a0 cos(t + ) mit a0 = - x0 2
Schwingungen treten immer auf, wenn Kraft in Gleichgewichtslage zurück treibt
Harmonischer Oszillator
Federkraft
F = -Dx
Beschleunig.
F = ma
=>
DGL
F = -Dx
(im Lernbrief D statt k)
m
ma + Dx = 0
d 2x D
 x0
dt 2 m
x (m)
aktueller Ort x(t)
(Differentialgleichung)
1
0
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x(t )  x0 cos(0 t   )
Lösung:
Lsg. in DGL  x0 02 cos( 0   ) 
Lsg. ist Funktion, die jederzeit die DGL erfüllt
k
x0 cos( 0   )  0
m
0  D m Eigenfrequenz, charakterist. für System, unabh. von Amplitude
=>
Energie
Die potenzielle Energie eines linearen Oszillators hängt allein vom Zustand der Feder ab
Epot = ½ Dx2 = ½ D x02cos2(t +)
Die kin. Energie hängt allein vom Zustand der Masse, also von der Geschwindigkeit ab
Ekin = ½ mv2 = ½ m x022 sin2(t +)
mit  = (D/m)½
= ½ x02 D sin2(t +)
Gesamtenergie
E = Ekin + Epot
= ½ D x02 [cos2(t +) + sin2(t +)]
mit cos2() + sin2() = 1
E = ½ D x02
-Dx(t)
v(t)
2. Erzwungene Schwingung
m
Dämpfung
-kv(t)
0
x(t)
x (m)
Ort zur Zeit t
Schwingung : periodische Wandlung von kin. in pot. Energie
Dämpfung:
Reibung verbraucht Energie, die der Schwingung entzogen wird
Reibungskraft
FR = -kv
Kräftegleichung
ma = -kv - Dx
Lsg:
k , [k] = kg/s
Reibungskoeffizient
=>
m(d2x/dt2) + k(dx/dt) + Dx = 0
=> DGL
(d2x/dt2) + 2(dx/dt) + (k/m) x = 0
x(t) = x0 . exp{-t}. cos(´t + )
 
D
  2  02   2
m
mit Dämpfung  = k/2m
Funktion des Ortes x(t) des Teilchens
Eigen-Frequenz bei Dämpfung
2
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Neu: Amplitude x0 exp{-t} fällt exponentiell mit Zeit t
Kreisfrequenz ´< 0
(kleiner Effekt)
Abklingzeit: τ = 1/ => x(1/) = x0/e  0,37x0
Resonanz
Neu zwei schwingende Systeme
a) Schaukel mit eigener Kreisfrequenz ´
b) äußere anregende Kraft Fa mit Kreisfrequenz a
Kräftegleichung
=>
m(d2x/dt2) + k(dx/dt) + Dx
Beschleunigung
=>
Reibungskraft
= Facos(a t)
Rückstellkraft
Externe
Kraft
Bewegungsgleichung beschreibt die Schwingung
(d2x/dt2) + 2(dx/dt) + (D/m) x = Fa/m cos(a t)
Lsg:
(Differentialgleichung)
x(t) = x0 cos(at - )
Ort des Teilchens für t >> 1/
x0 = Fa/m[ (02 - a2)2 + k2a2]½
Amplitude
0 = (D/m)½
Eigenfrequenz ohne Dämpfung
´= (02 - 2)½
Eigenfrequenz mit Dämpfung
 = arctan{2a /(02 - a2)}
Phasenverschiebung System zu Anregung
(Beachte: b im Bild ist k im Text)
3
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3. Wellen
Störungen eines deformierbaren Mediums (Seil, Luft) breiten sich im Medium als Wellen aus
Typen: a) Transversale Welle: Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
b) Longitudinale Welle: Auslenkung in Ausbreitungsrichtung
Wellenfunktion
y( x, t )  y 0 sin kx  t   
y0
Amplitude
k  2 

  2 f
T 1 f
Wellenzahl
Wellenlänge
Kreisfrequenz
Periodendauer
Phasenverschiebung

Wellengeschwindigkeit
c = f
Ausbreitung eines Wellenberges
Interferenz von gleichen Wellen
y1 ( x, t )  y 0 sin kx  t  , y 2 ( x, t )  y 0 sin kx  t   
yx, t   y1 ( x, t )  y 2 ( x, t )
 2 y0 cos( 2)  sin kx  t   2
Phasendifferenz  zwischen beiden Wellen spielt eine entscheidende Rolle
Gangunterschied  entspricht Phasendifferenz in der Ortsdarstellung der Wellen
 
.

 2
Konstruktive Interferenz
  0,   ,  2 ,  3 ,..... oder   0,2  , 4  , 6  ,... => Verstärkung
Destruktive Interferenz


2
,
3
5
 ,   ,..... oder    , 3 , 5  ,.... => Auslöschung
2
2
4. Akustik
Wellenfunktion
p( x, t )  p0 sin kx   t   
Wellengeschwindigkeit
c
Schall-Intensität
I
K

Flüssigkeit, c 
1
p max v max
2
lokaler Überdruck
p
Gase, c 

Leistung pro Fläche A
4
E

Festkörper
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Schallpegel: Definition ist an menschliches Hörvermögen angepasst
Minimal hörbare Intensität I0 = 10-12 W/m2
Minimal hörbare Druckänderung Δp0 = 2,8*10-5 Pa
Maximal erträgliche Änderung Δp = 28 Pa
Schallintensitätspegel  I  10  log
I
I0
Optik
Elektromagnetische Wellen
Licht ist eine elektromagnetische Welle, nur ein Teil des Spektrums ist für uns
sichtbar: 400 nm (blau) bis 750 nm (rot)
Lichtgeschwindigkeit imVakuum
FOLIE
c = 299 792 459 m/s
Strahlenoptik
Lichtausbreitung wird durch Lichtstrahlen behandelt.
Betrachte Übergang zwischen 2 Medien (z.B. Luft / Glas)
Lichtweg:
von Medium 1 nach Medium 2
Reflexion
1  1 `
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Brechung
n1 sin  2

n2 sin 1
Snellius-Gesetz
Abbildung mit dünnen Linsen
Bildkonstruktion
1) Strahlen parallel zur opt. Achse werden durch Brennpunkt gebrochen
2) Brennpunktstrahl wird parallel zur opt. Achse gebrochen
3) Mittelpunktstrahl wird nicht gebrochen
=> Bildpunkt = Schnittpunkt der Hauptstrahlen
Abbildungsgleichung:
1 1 1
 
f b g
5
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m
Abbildungsmaßstab:
B b

G g
Größenverhältnis Bild B / Gegenstand G
Beachte: gilt nur für achsennahe Strahlen
D
Brechkraft
1
f
[D] Dioptrien 1dpt = 1/m
Brillengläser: 1 – 5 Dioptrien.
Linsenkombination: D   D j
(j dicht hinter einander stehende, dünne Linsen)
6. Wellenoptik / Beugung
Interferenz am Doppelspalt
Interferenzmuster
Ordnung z = 3 2 1 0 -1 -2 -3
L1
Wellen aus S1, S2 sind phasengleich
gesucht:
Phasendifferenz φ am Ort P
Δ
Schirm
L1
L2
L2
Berechnung: Weglängendifferenz Δ finden
Spalt
Interferenzort gegeben durch Richtung θ
Näherung:
=>
D >> d => L1, L2 parallel
L1  L2    d sin 
Maxima:
  z  d sin  ,
z = 0, 1, 2,..
Minima:
1
  ( z  )  d sin 
2
z = 0, 1, 2, .. Wellen von S1, S2 löschen sich aus
Beugungsordnung:
z=0
Wellen von S1, S2 addieren sich
Hauptmaximum
z = + 1, 2, 3 … Nebenmaxima
Beugungsbegrenztes Auflösungsvermögen
FOLIE
Beugung an einer Lochblende mit Durchmesser a, z.B. Linse, Apperturblende
Beobachtung: Ringsystem statt rundem Fleck
1. Minimum 1,22    a sin  ,
Auflösung von Objekten durch optische Geräte ist durch Beugung des Lichtes begrenzt
Fernrohr: punktförmiger Stern => Beugung an Blende => Stern als Scheibe abgebildet
Breite der Scheibe = Breite des Zentralmaximums
Trennung von 2 Sternen: wenn Max von Stern A auf 1. Min von Stern B, also

 1,22 
  1,22
a
 d 
 R  arcsin 
(Rayleigh-Kriterium)
Faustformel: Auflösung optischer Geräte ist maximal ~ λ
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Auflösung vergrößern durch: a) Blende d öffnen, b) Licht mit kleinerem λ verwenden
(Röntgen, λ ~ 1 – 0.01 nm) , c) Elektronenmikroskop (Materiewelle mit kleinem λ)
Interferenz an dünnen Schichten
Farbiges Schillern von Seifenblasen durch Interferenz des weißen Lichtes
Objekt: Schicht mit Brechungsindex n
hier
n = 1,5 (Schicht), n1 = n3 = 1 (Luft)
Licht:
ein Wellenzug spaltet an Schicht in 2 Teilwellen, interferieren mit sich selbst
Interferenz:
von 2 reflektierten Teilwellen
kein Phasensprung
Gesucht:
Phasendifferenz der 2 reflektierten Teilwellen
PhasenSprung /2
=>
a) Reflexion an optisch dichtem Medium: ΔR = ½ λ
ΔR = 0
an optisch dünnem Medium:
b) geometrische Weglänge
ΔL
c) optische Weglänge:
n*ΔL
=> Gangunterschied Δ = n*ΔL +  R  2d n 
konstruktive Interferenz wenn:
  z
destruktive Interferenz wenn:


2
(für θ = 90° Einfallswinkel)
z = 0, 1, 2,…..
2z  1

2
Anwendung:
1) Reflexionsverstärkung im Interferenzspiegel für festen Winkel θ, Wellenlänge λ
2) Dickenbestimmung von sub-μm-Schichten (optische & Halbleiterindustrie)
3) Anti-Reflex-Beschichtung, Auslöschung der reflektierten Strahlen (hier θ = 0°)
Gitter wie Doppelspalt, aber mehr Spalte, Anordnung von vielen Lichtquellen (Spalten)
w
N
Gitterkonstante:
d
Gitterstrichzahl:
N, typisch N ~ 100 – 3000 Striche pro mm
Maximum:
=>
w: Gitterbreite (ausgeleuchtet)
je 2 benachbarte Strahlen (parallel) mit ΔL = λ = dsinθ
d sin   z
(wie Doppelspalt)
7
n