Verbundstudium TBW
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Verbundstudium TBW Prof. Dr. H.-Ch. Mertins Verbundstudium TBW v gem = Geschwindigkeit Teil 2 FH Münster Mechanik 3. Semester Δx x 2 − x1 = Δt t 2 − t1 x (m) Darstellung Daten in x(t)-Diagramm eintragen Deutung v = Steigung der Geraden x(t) Δx t (s) Δt Anschauung: Steigung der Geraden in x(t) zwischen Koordinaten (x1, t1) u. (x2, Momentang. v = lim Δt →0 Δx dx = Δt dt Zeichnung / Folie - Ableitung von x(t) nach t, Beschleunigung - Steigung der Kurve x(t) a = lim (Δv/Δt) = dv/dt Ableitung v(t) nach t Δt → 0 a = dv/dt = d/dt(dx/dt) = d2x/dt2 Einheit [a] = m/s2 , Länge/(Zeit*Zeit) Gleichmäßig beschleunigte Bewegung 1. v(t) = v0 + at 2. x = x0 + v0*t + ½ at2 Erstes newtonsches Gesetz (Trägheitsgesetz) „Ein sich selbst überlassener Körper, auf den keine äußeren Kräfte wirken, bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Ändert er seinen Bewegungszustand, so wird er beschleunigt und es muss eine Kraft auf ihn wirken.“ Zweites newtonsches Gesetz r r F = ma , [F ] = kg2m = N = Newton s m1 A Gravitationsgesetz F =G m1 m 2 r2 FA→ G = 6,67x10-11 m3/(kg s2) in Erdnähe: g =G -FB→= FA→ m Erde m = 9,81 2 2 rErde s F→ = m g→ r (Vorzeichen je nach Koordinatensystem) 1 B m2 Verbundstudium TBW Prof. Dr. H.-Ch. Mertins FH Münster Normalkraft N Wenn ein Körper nach unten gegen eine Oberfläche drückt, so verformt sich diese und wirkt auf den Körper mit der Normalkraft N entgegen. N→ N = mg F→ = mg→ Reibungskraft N→ f→ F→ F a→ mg→ Haftreibung bewegt sich der Körper bei Kraftanwendung (horizontal) nicht, so heben sich Haftreibung f→S und die parallel zur Oberfläche wirkende Kraft F→x auf, d.h. f→S = - F→x Der Maximalbetrag von f→S = - F→x beträgt fSmax = μS N μS: statischer Haftreibungskoeffizient N: Normalkraft - Mikroskopische Berührungsfläche ca. 10-4 der totalen Fläche - Haftreibung durch Kaltverschweißung der sich berührenden Flächenteile und Verhakung Gleitreibung Beginnt der Körper zu gleiten, so verringert sich die Reibungskraft auf den Wert fk = μk N μk : kinetischer Reibungskoeffizient μk < μS Beachte: - die Normalkraft N stellt ein Maß für den Andruck des Körpers auf die Fläche dar. - f→ immer parallel zur Oberfläche und N→ immer senkrecht zur Oberfläche - Koeffizienten μ sind dimensionslos, gelten zwischen 2 Flächen z.B. μS: zwischen Ei & Teflonpfanne = 0.04, zwischen Bergschuh & Fels = 1,2 Bsp. ABS-System Bremsweg kürzer, da fs > fk 2 Verbundstudium TBW Prof. Dr. H.-Ch. Mertins FH Münster Strömungswiderstand Bewegt sich ein Körper in einem Fluid (Gas, Flüssigkeit) so erfährt er einen Strömungswiderstand FW, d.h. eine Kraft FW, die gegen die Körperbewegung gerichtet ist. Hier nur: - Luft als Fluid, - gedrungene Körper, die Wirbel hinter sich erzeugen, (z.B. Ball, nicht Speer) FW = ½ CρAv2 Widerstandskraft C: Widerstandskoeffizient, hängt selbst von v ab, hier aber vernachlässigt ρ: Dichte der Luft A: effektive Querschnittsfläche des Körpers senkrecht zu v→ Fällt ein Körper durch Luft nach unten, so gilt: - mg→ FW → FW → - mg → FW – mg = ma ma → - mg → Fallzeitzeit: 0 = 0s 0 < t < tend Kraft: ma = -mg ma = -mg + FW ma → = 0 t = tend ma = 0 Endgeschwindigkeit ist konstant wenn t > tend => a = 0 => ½ CρAv2 – mg = 0 Stokes`sche Reibungskraft vend = (2mg/CρA)½ Zeichnung FR = -6 π η r v Impuls => η = Zähigkeit, r = Radius der Kugel p→ = m v→ , p→ immer parallel v→ was ist die zeitliche Änderung des Impulses? dp d dv = mv = m = ma , dt dt dt r dpr => F = dt wenn Masse m = konstant Zweites Newton`sches Axiom Impulserhaltung „Wirkt keine äußere Kraft auf ein geschlossenes & isoliertes Teilchensystem und ist die Teilchenzahl (Masse) konstant, dann gilt für den Gesamtimpuls: „ 3 Verbundstudium TBW Prof. Dr. H.-Ch. Mertins FH Münster r P = kons tan t d.h. Pi→ = Pf→ Beweis => Impuls zum Anfang i) ist gleich dem Impuls zum Ende f) keine äußere Kraft vorhanden r r dP 0=F = ⇒ P = konstant dt Arbeit & Energie W = F→ d→ . W = Fcosφ d Zeichnung [W] = Nm = J = Joule Arbeit W berechnet sich nur aus der Kraft entlang des Weges der Verschiebung d. Kraft senkrecht zur Verschiebung verrichtet keine Arbeit. Wenn Kraft sich über Weg ändert, dann v r W = ∫ F • dx Hubarbeit r r W = ∫ mg • dx = mgh Beschleunigungsarbeit r r W = ∫ ma • dx W = ∫m W= Zeichnung sei dx parallel a 1 dv dx = ∫ mvdv = mv 2 2 dt mit v = dx/dt 1 2 mv 2 Federkraftarbeit Federkraft F = Dx Zeichnung D = F/x = Federrichtgröße, Federkonstante [D] = N/m Federarbeit Reibungsarbeit 1 Dx 2 2 r r W = ∫ μ R mg • dx = μ R mg ( x 2 − x1 ) W = ∫ Dx dx = Zeichnung Energie Ist Möglichkeit, Arbeit zu leisten, oder, wenn Arbeit an Objekt geleistet wurde, dann hat sich die Energie des Objektes geändert Potenzielle Gravitations-Energie E pot = mgh 4 Zeichnung Verbundstudium TBW Prof. Dr. H.-Ch. Mertins FH Münster Kinetische Energie E kin = 1 2 mv 2 Potenzielle Federenergie E pot = 1 2 Dx 2 Reibungsenergie leider in Wärme gewandelt und verloren gegangen Energieerhaltung & abgeschlossene Systeme Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems kann sich nicht verändern. Gesamtenergie: Emech = Ekin + Epot = konstant Leistung P = ΔW/Δt durchschnittliche Leistung = Arbeit pro Zeit P = dW/dt momentane Leistung [P] = J/s = W Watt (James Watt) 1 PS = 735 W Pferdestärken Rotation Drehwinkel θ = s/r wenn θ klein [θ] = rad Bogenmaß r 360o = 2π rad s θ Winkelgeschwindigkeit ω = dθ/dt Δθ [ω] = rad / s, Umdrehungen / min Winkelbeschleunigung α = dω/dt = d2θ/dt2 [α] = rad / s2 Geschwindigkeit Vektor v→ = dr→/dt = ω→ × r→ Betrag v = ωr 5 θ2 zu t2 θ1 zu t1 Verbundstudium TBW Prof. Dr. H.-Ch. Mertins Beschleunigung Vektor a→ = dv→/dt = d/dt(ω→ × r→) => a = ω2r FH Münster wenn konst. Winkelgeschwindigkeit => mit ω = v/r => ω2r = v2/r Zentripetalbeschleunigung Zentripetalkraft F = m v2/r Drehmoment M→ = r→ × F→ Zeichnung M = r F sin θ [T] = Nm, nicht mit Arbeit verwechseln! → Hebelarm: Komponente von r , die senkrecht auf F→ steht M = Drehachse T→ senkrecht auf r→ und F→ T→ Fläche, von F→, r→ aufgespannt Idee: Die Lage der Drehachse wird durch die Kraft und ihre r F Orientierung zum Hebelarm festgelegt. FOLIE Schraubenschlüssel Rotationsenergie betrachte jeden Massenpunkt mi des Sägeblatts mit individueller Geschwindigkeit vi Ekin = Σ ½ mivi2 vi = ωri individuelle Geschw. vi abhängig vom Abstand zur Drehachse, Winkelgeschw. ω ist aber für alle Punkte gleich Ekin = Σ ½ mi (ωri)2 = ½ Σ miri2 ω2 ERot = ½ I ω2 Trägheitsmoment: I = Σ miri2 gibt die Massenverteilung bzgl. einer Drehachse an [I] = kgm2 FOLIE Trägheitsmomente Drehimpuls Analog zum Impuls p→ der Translation gibt es den L→ = (r→ × p→) L = r mv sinθ [L] = kg m2/s 6 r m Verbundstudium TBW Prof. Dr. H.-Ch. Mertins Translation (feste Richtung) FH Münster Rotation (feste Achse) Winkel θ Ort x Geschwindigkeit v = dx/dt ω = dθ/dt Beschleunigung a = dv/dt α = dω/dt Masse m Trägheitsmoment Kraft F Drehmoment I M=rxF F = ma M=Iα Arbeit W = ∫ F dx ∫ M dθ Kin. Energie Ekin = ½ mv2 Ekin = ½ Iω2 Leistung (F konst) P=F v (T konst.) P=M ω Impuls p = mv Drehimpuls L=rxp . . 7 .
