Elekt. Feld, Fluß, Potential, Kapazität, Feldenergie

1
Vorlesung Experimentalphysik I am 1.2.1999 und 2.2.1999
J. Ihringer
6.1.2 Das elektrische Feld
Die Coulomb Kraft ist die einzige auf eine ruhende elektrische Ladung wirkende Kraft.
Analog zum Schwerefeld, das als Schwerkraft auf eine Masse wirkt, spricht man vom
elektrischen Feld, das als Coulomb Kraft auf die Ladung wirkt. Auf bewegte elektrische
Ladungen üben Magnetfelder eine weitere Kraft aus, die Lorentz Kraft.
6.1.2.1
Die elektrische Feldstärke
Die elektrische Feldstärke gibt den Betrag und die Richtung der an einem Ort wirkenden
Kraft auf eine Einheitsladung. Die analoge Größe aus der Mechanik ist die Schwerkraft auf
die Einheitsmasse: Sie ist vom Betrag der Schwerebeschleunigung g und weist in Richtung
der anziehenden Masse.
Die Ursache für das Feld ist eine Ladung, die in der Abbildung als q 2 symbolisch in einen
Kasten gezeichnet ist. Aus einem einzelnen Wert der Feldstärke kann Ort und Betrag der
Ladung q 2 aber nicht ermittelt werden. Im mechanischen Bild: Mißt man die Schwerkraft,
dann bleibt ohne weiteres Wissen unklar, ob man sich auf der Erde oder irgendwo im Kosmos
in der Nähe irgendeiner anziehenden Masse befindet.
Mißt man aber die elektrischen Feldstärken an mehreren Punkten im Raum, dann kann man
Ort und Betrag der Ladung lokalisieren: Dazu dient der Satz von Gauß Ostrogradski.
Formel

 F
E
q
Einheit
Anmerkung
N
1
C
Elektrische Feldstärke:
Kraft auf eine elektrische
Ladung vom Betrag 1

 F
E
q1
q
q2
Die Richtung der elektrischen
Feldstärke ist die der Kraft
auf eine positive Ladung
(Definition)
Tabelle 1 Definition der Feldstärke. Rot: positive, grün negative Ladung. Der Kasten mit der
negativen Ladung dient nur zur Erzeugung des Feldes.
2
6.1.2.2
Feldlinien
Die Coulomb Kraft an einem Ort ist eine gerichtete, vektorielle Größe. Feldlinien zeigen an
jedem Ort deren Richtung an.
Versuch 1 Feldlinien zwischen unterschiedlich geladenen Leitern: In eine flache Wanne mit
Öl und Grieskörnern werden zweidimensionale Objekte eingebracht und mit der
Influenzmaschine aufgeladen. Die Grießkörner ordnen sich in Ketten entlang den Feldlinien
und machen diese so sichtbar. Die Objekte sind Modelle für: Plattenkondensator, Platte und
Punktladung, 2 Punktladungen, Ring und Punktladung außen.
Man erkennt:




Feldlinien enden senkrecht auf Oberflächen elektrischer Leiter. Die beweglichen
Ladungsträger verschieben sich, bis die tangentialen Komponenten verschwinden.
Je nach der Geometrie der Objekte liegen die Feldlinien unterschiedlich dicht.
An den Spitzen von Leitern ist ihre Dichte besonders hoch. (Blitzableiter).
Das Innere eines von einem Leiter umgebenden Hohlraums ist frei von Ladung (Faraday
Käfig). Gleichnamige Ladungen suchen größten Abstand voneinander, deshalb wandern
sie auf die Außenseite des Leiters.
Besonders wichtig sind die folgenden Anordnungen:
Schematischer Feldverlauf
Anordnung
Plattenkondensator.
Zwischen den Platten ist das Feld homogen:
Die Feldstärke ist konstant und die Feldlinien
verlaufen parallel. Außerhalb der Platten gibt
es das Streufeld.
Feldfrei im
Innern!
Faradayscher Käfig.
In einem geschlossenen, leitenden Käfig ist
die elektrische Feldstärke null.
Tabelle 2 Die Feldlinien sind nur schematisch angedeutet: Der ganze Außenraum ist mit
Feldlinien zwischen den unterschiedlich geladenen Leitern erfüllt und alle Feldlinien münden
senkrecht auf die Leiter ein. Rot: positive Ladung, grün: negative Ladung.
Ein Faradayscher Käfig ist ein mit einem Drahtgitter umgebener Raum. Sein Inneres bleibt
ohne Ladung, auch wenn die Anordnung beliebig hoch aufgeladen wird. Faraday setzte sich
mit einem Elektrometer in einen Drahtkäfig und wies dessen Ladungsfreiheit im Inneren
nach. Sehr eindrucksvoll ist der Versuch mit dem Faradayschen Käfig in der Abteilung für
3
Starkstromtechnik des Deutschen Museums in München: An einem Kran hängt ein Käfig, in
den ein kräftiger Blitz von einigen 100 kV einschlägt, begleitet von einem gewaltigen
Donnerschlag. Im Käfig sitzt ein Mitarbeiter des Museums, der dieses nach dem Blitzschlag
unversehrt verläßt.
Versuch 2 Ein Drahtkäfig mit Elektrometer steht auf einer leitenden Platte mit Elektrometer
im Inneren des Käfigs. Beide sind zur Erde isoliert. Wird die Anordnung aufgeladen, dann
zeigt das Elektrometer im Inneren die Ladungsfreiheit. Wird der Käfig aber abgenommen,
dann gehört das Elektrometer im Innenraum zur Oberfläche, auf die sich die Ladung von der
Bodenplatte verteilt: Es zeigt jetzt die Ladung an.
Abbildung 1 Zum Versuch mit dem Faradaykäfig
Versuch 3 Man versucht, aus dem Inneren eines geladenen Topfes mit einer Kugel Ladung auf
ein weiteres, davon entferntes Elektrometer zu bringen. Das mißlingt, weil das Innere frei von
Ladung und Feld ist. Von Außen geht es problemlos, am meisten Ladung sitzt besten an den
Spitzen des Elektrometers.
Abbildung 2 Versuch: Ladungstransport von einem Faradaykäfig
6.1.3 Der elektrische Fluß
Die elektrische Feldstärke wird durch elektrische Ladungen erzeugt, sowie die
Gravitationskraft durch Massen erzeugt wird. Mit dem Begriff des elektrischen Flusses und
dem Satz von Gauß Ostrogradski kann aus der Messung der Feldstärken an mehreren Orten,
z. B. an der Oberfläche des in Tabelle 1 gezeichneten Kastens, die Ladung lokalisiert und
deren Betrag bestimmt werden.
4
Zur quantitativen Formulierung der Feldliniendichte wird eine skalare Größe, der elektrische
Fluß  definiert, in Analogie zur Volumenstromstärke für die Strömung einer Flüssigkeit. Der
elektrische Fluß ist das Produkt aus einer Fläche A und der dort lokal senkrecht zur Fläche

vorhandenen Komponente E der Feldstärke E , entsprechend dem Produkt Fläche A mal
lokaler Fließgeschwindigkeit v bei der Flüssigkeit.
Beliebige
Feldstärken in
beliebigen
Richtungen
Konstante Feldstärke
E senkrecht zu A
Geometrie:
Fläche
A
Elektrischer Fluß
 
   E dA
  A E
A
Tabelle 3 Der elektrische Fluß
6.1.3.1
Der Satz von Gauß Ostrogradski
Mit dem elektrische Fluß wird im Satz von Gauß Ostrogradski die Dichte der Feldlinien mit
der Ladung verknüpft: Bei Integration über eine geschlossene Fläche zeigt der Fluß die
„Bilanz“ der Feldlinien. Ist diese ungleich Null, dann befinden sich im umschlossenen
Volumen Quellen oder Senken der Feldlinien, also positive oder negative Ladungen.
Q>0
Q=0
Geometrie:
Satz von Gauß Ostrogradski:
Der Fluß aus einem
Volumen zeigt die darin
befindliche Ladung
 
   E dA  0
A
  Q
   E dA 
A
0
Mit dem Satz von Gauß Ostrogradski kann die Feldstärke quantitativ als Funktion der Ladung
formuliert werden. Dazu wird der Fluß, als Funktion der Feldstärke, aus der Geometrie der
Anordnung bestimmt. Nach Gauß Ostrogradski zeigt der Fluß aus einem Volumen
unmittelbar die darin befindliche Ladung. Dieses Verfahren wird hier auf eine Punktladung
und den Plattenkondensator angewandt.
5
6.1.3.2
Feldstärke einer Punktladung
Die Feldstärke außerhalb einer geladenen Kugel ist gleich der einer in deren Mitte
befindlichen Punktladung.
Formel
Erläuterung


Feldstärke E , Flächenelement dA und
Punktladung Q :

E
  Q
 E  dA 

0
Oberfläche der Kugel

dA
Q
  E  4   r 2 
E
Q
Folgt, weil die Feldstärke überall gleich ist
und senkrecht zur Oberfläche steht
0
Q
4 0 r
Feldstärke einer Punktladung, sie fällt mit
1 / r 2 ab
2
Tabelle 4 Herleitung der Feldstärke einer Punktladung
6.1.3.3
Feldstärke und Ladung im Plattenkondensator
Im Plattenkondensator ist die Ladung homogen verteilt und die elektrischen Feldlinien stehen
senkrecht zur Ebene der Platten. Zur Berechnung des von der Ladung auf einer Platte
erzeugten elektrischen Flusses legt man einen Zylinder beliebiger Größe um die Platte, mit
Achse parallel zu den Feldlinien.
Flächenladungsdi
chte 
Fläche
A
Feldstärke E
Abbildung 3 Volumina zur Berechnung des Flusses aus der negativ geladenen Platte eines
Plattenkondensators
6
Das Ergebnis ist vom Querschnitt A des Zylinders unabhängig, wenn man die im Zylinder
liegende Ladung Q mit Hilfe der Flächenladungsdichte  formuliert. Das Resultat der
Rechnung zeigt, daß die Feldstärke einer Platte proportional zur Ladungsdichte ist.
Formel
 
Q
A
Flächenladungsdichte
 
E
 dA 

Zylinder
 
   E dA 
Deckel

Anmerkung
 
E
 dA 
Deckel
 
E
 dA 
Mantel
Boden
 

 E dA  2EA  2  E  A
Boden
Q
Die Zylinderachse liegt parallel zu den
Feldlinien, deshalb gilt auf der Mantelfläche
 
dAE , dieses Integral ist also Null, es bleiben
die Anteile von Deckel und Boden
Nach Gauß Ostrogradski zeigt der Fluß die
eingeschlossene Ladung
0
2 EA 
 
E
 dA Elektrischer Fluß durch einen Zylinder
Q
0
Q

E

2 A 0 2 0
Beide Ausdrücke für  gleichgesetzt: Die
Feldstärke ist konstant und proportional zur
Ladungsdichte
Tabelle 5 Feldstärke des Plattenkondensators in Abhängigkeit von der Ladung
6.1.4 Elektrisches Potential
Analog zur Mechanik wird jedem Punkt im Raum kann eine skalare Größe, sein
elektrostatisches Potential , zugeordnet. Das Potential eines Ortes ist die Arbeit, die man
verrichten muß, um eine Ladung vom Betrag 1 aus unendlicher Entfernung zu diesem Ort zu


bringen. Umgekehrt kann man aus dem Potentialverlauf  (r ) die vektorielle Feldstärke E
errechnen.
Diese Definition ist nur deshalb eindeutig, weil das elektrostatische Feld, wie das
Gravitationsfeld, „konservativ“ ist: Die Überführungsarbeit ist unabhängig vom Weg.
Äquivalent dazu ist die Aussage, daß auf geschlossenen Wegen keine Arbeit zu leisten oder
zu gewinnen ist: Wegen der Wegunabhängigkeit kann man jeden Rundweg durch einen
„unendlichen kleinen“ Weg ersetzen, d.h. man bleibt an Ort und Stelle. Im letzteren Fall wird
offensichtlich keine Arbeit geleistet, also auch auf allen anderen Wegen. Je nach Lage der
Feldlinien kann zwar auf manchen Teilstücken Arbeit zu leisten sein, diese wird aber auf
anderen wieder gewonnen.
Potentiale und ihre Gradienten sind an Landkarten mit Höhenlinien gut zu veranschaulichen.
Orte auf gleicher Höhenlinie sind Orte gleichen Gravitationspotentials. Wanderungen
zwischen Orten auf unterschiedlichen Höhenlinien erfordern mit Blick auf das
Gravitationspotential nur die Arbeit W  m  g  h zur Überwindung der Höhendifferenz h ,
unabhängig vom gewählten Weg. Besuche von Orten auf gleicher Höhe oder Rundwege
kosten überhaupt keine Arbeit. Die Gradienten an jedem Ort zeigen die Richtung der größten
Steigung: Fließendes Wasser folgt ihnen. Man erkennt diese Eigenschaft auch an den Bächen
7
im Kartenausschnitt: Sie verlaufen (fast) senkrecht zu den Höhenlinien. In völliger Analogie
dazu verhält sich das elektrische Potential und die Richtung der Feldstärke. Letztere ist die
Flußrichtung für die Ladungen.
Das Potential ist eine Überführungsarbeit
Elektrostatik: Elektrisches
Potential  el , Arbeit für Ladung
1
Mechanik: Gravitationspotential
 G , Arbeit für Masse 1
r
r
 el (r)    E  dr
Potential
 G (r)    F  dr

Die Änderung der
Potentiale zwischen
zwei Punkten ist vom
Weg unabhängig
2



 el 2   el 1    E  ds
1
2
 
 pot 2   pot 1    F ds
1
Beispiele für Linien gleichen Potentials
Orte auf dem gleichen Leiter,
z.B. auf einer Platte eines
Kondensators
Orte auf der gleichen Höhenlinie
 pot1
 el 1
 pot 2
 el 2
Tabelle 6 Elektrisches- und Gravitationspotential. Die Überführungsarbeit und die Kraft
beziehen sich auf jeweils eine Einheit der Ladung bzw. der Masse.
Ist die Feldstärke konstant, wie im Plattenkondensator, und die Gravitationskraft konstant,
wie auf der Erdoberfläche, dann ändern sich die Potentiale mit der Entfernung von einer Platte
bzw. der Zunahme der Höhe:
Konstante Feldstärke
Änderung des
Potentials
Feldstärke mal Weg in
Feldrichtung
 el x   el 1   E  x
Konstante Gravitationskraft
Gravitationskonstante mal
Höhenunterschied
 poth   pot 1   g  h
Tabelle 7 Potential bei konstanter Feldstärke bzw. Gravitationskraft
8
Die Ableitung des Potentials nach den Ortskoordinaten zeigt die Kraft:
Elekrtostatik: Feldstärke, Kraft Mechanik: Gravitationskraft auf
auf Ladung 1
Masse 1
d
d
1-dim.
E (r )   el
F (r )   G
dr
dr
 
 
3-dim.
E( x )  grad  el
F ( x )  grad  G
Tabelle 8 Die Kraft ist die Ableitung des Potentials
6.1.4.1
Die elektrische Spannung
Die elektrische Spannung U ist die Überführungsarbeit einer Ladung vom Betrag 1 von einem
Punkt zu einem anderen. Sie ist also gleich der Differenz zwischen den Potentialen beider
Punkte.
Formel
Einheit
Anmerkung
1V
Die Potentialdifferenz
zwischen zwei Punkten ist die
elektrische Spannung
 
U 12   el 2   el1    E  ds
2
1
Beispiel:
Feldlinien,

konstantes E
 el 1
 el 2
Plattenkondensator
0
Weil die Feldstärke konstant ist, gilt für das
Potential bei x :
Überführungsarbeit zwischen den beiden
Platten ( x  d )
x
d
 elx   el1   E  x
W12  q   el 2   el1   q  E  d
Elektrische Spannung zwischen den Platten
Tabelle 9 Potential und Spannung im Plattenkondensator
W12  q  U12  q  E  d
U12  E  d
9
Das Potential eines Punktes ist als Überführungsarbeit einer Ladung von Betrag 1 aus
unendlicher Entfernung bis zum Punkt definiert. Leiter sind Orte gleichen Potentials: Die
beweglichen Ladungsträger folgen den Feldstärken, die bei Potentialdifferenzen auftreten und
gleichen diese damit aus. Die Karte zeigt Höhenlinien als Beispiele für Äquipotentiallinien.
Bäche z. B. folgen den Gradienten der Schwerkraft entlang der Oberfläche.
Daß im Feld tatsächlich Arbeit verrichtet wird, erkennt man mit der Elektronenkanone:
Versuch 4 Eine leitende Kugel wird von der Platte eines Kondensators aufgeladen und schießt
dann durch den Feld erfüllten Raum
In den folgenden Versuchen werden mit der Flammensonde die Potentialverläufe für
unterschiedliche Aufbauten vermessen. . Die Flammensonde vermeidet die Aufladung der
Sonde, Ladungen werden durch die Flamme abgeführt.
Versuch 5 Potentialverlauf zwischen den Platten eines Kondensators
Versuch 6 Potentialverlauf im Inneren und Äußeren eines Faradaykäfigs
Versuch 7 Potentialverlauf außerhalb einer geladenen Kugel. Die Feldstärke außerhalb einer
geladenen Kugel ist gleich der einer Punktladung.
Mit der Definition der Spannung kann die Einheit Ladung aus der Arbeit und der Spannung
definiert werden:
Formel
Einheit
2 
2

1  
U 12    E  ds    F  ds
Q1
1
1V 
Nm
C
Q
1C  1
Nm
V
Anmerkung
Spannung ist die
Überführungsarbeit pro
Ladung. Daraus folgt die
Einheit der Ladung.
6.1.5 Die Kapazität
Es ist offensichtlich, daß die Spannungen von den Ladungen abhängen: Ladungen sind die
Quellen der Feldlinien (Satz von Gauß Ostrogradski), die Spannung gibt die
Überführungsarbeit der Einheitsladung im von den Ladungen erzeugten Feld an. Die
Spannung ist zur Ladung sogar proportional, unabhängig von der räumlichen Anordnung der
Ladung. Es gilt also immer:
Formel
C
Q
U
Einheit
1F  1
C
Nm
 1 2 (Farad)
V
V
Anmerkung
Kapazität C
Der Wert der Proportionalitätskonstanten C richtet sich nach der Geometrie der Anordnung.
Für die geladene Kugel und den Plattenkondensator folgt:
10
Punktladung
Plattenkondensator
Fläche A
Geometrie
Abstand
d
Abstand r
Feldstärke E
E
Q
4 0 r
E
2
r
 (r )    E ( s )ds

Potential  ,
Spannung U
r
 (r )   
Q
2
 4 0 s
Q

4 0 r
Kapazität C
Q
C
 4o R
 ( R)
2 0 A
d
U (r )   E ( s)ds
0
ds
Leitende Kugel mit Radius R
in „unendlicher“ Entfernung:
Q
U
C
Q
2 0 A
d
Q 0 A

U
d
Tabelle 10 Kapazität einer Kugel und eines Plattenkondensators
Versuch 8 Mit Kugeln unterschiedlichen Durchmessers transportiert man Ladungen von einer
Hochspannungsquelle in einen Topf am Elektrometer. Die größte Kugel transportiert am
meisten Ladung.
Versuch 9 Die Platten eines geladenen Kondensators werden auseinandergezogen. Dadurch
sinkt die Kapazität, die Spannung steigt.
6.1.5.1
Parallel- und Serienschaltung von Kondensatoren
Werden Kondensatoren parallel geschaltet, dann liegt über allen Kondensatoren die gleiche
Spannung, es addieren sich aber die Ladungen. Bei hintereinander („in Serie“) geschalteten
Kondensatoren trägt jeder Kondensator die gleiche Ladung, dagegen addieren sich die
Spannungen über den einzelnen Kondensatoren zur Gesamtspannung.
Versuch 10 Zunächst wird ein Kondensator auf und über eine Glühbirne entladen. Die
Helligkeit des Aufleuchtens ist ein qualitatives Maß für die abfließende Ladung. Jetzt lädt
man zwei hintereinander geschaltete Kondensatoren auf: Bei Entladung brennt die Birne
schwächer. Der Versuch wird mit den beiden Kondensatoren parallel geschaltet wiederholt:
Die Birne brennt am hellsten.
11
Schaltung
Parallel
Hintereinander
Gleiche Größe in allen
Kondensatoren:
U ges  U 1  U 2
Qges  Q1  Q2
Erhaltung:
Q ges  Q1  Q2
U ges  U 1  U 2
Nach Division durch die
gleiche Spannung bzw.
Ladung folgt:
U ges  C ges  U 1  C1  U 2  C 2
Gesamtkapazität
C ges  C1  C 2
Schema
Q ges
C ges

Q1 Q2

C1 C 2
1
1
1


C ges C1 C 2
Tabelle 11 Schaltungen von Kondensatoren
6.1.5.2
Die Kraft zwischen den Platten eines Kondensators
Auf die Ladungen ½Q einer Platte eines Plattenkondensators wirkt durch das Feld E der
anderen Platte eine Kraft, die ein Maß für die anliegende Spannung ist.
Formel
1
F  QE
2
Q  C U
U
E
d
0  A
C
d
  A U 2
F 0
2d2
Anmerkung
Kraft auf die Ladungen einer Platte
Gilt für den Plattenkondensator, eingesetzt
folgt:
Die Kraft auf die Platten eines Kondensators
ist proportional zum Quadrat der Spannung
Tabelle 12 Herleitung der Kraft auf die Platten eines Kondensators
Versuch 11 Kirchhoffsche Potentialwaage. An der Waage „Herrn Gugels Meisterstück“
hängt ein Ausschnitt einer Platte eines Kondensators. Der Kondensator wird mit voller und
halbierter Spannung aufgeladen, die rücktreibende Kraft der Waage über einen
Torsionsmechanismus nachgestellt, so daß die Platte jeweils in gleichem Abstand zur
benachbarten bleibt. Bei halber Spannung geht die Kraft auf ¼ ihres Wertes bei voller
Spannung zurück. Wird die Kraft überschritten, dann hebt die Platte nach oben ab: Der
geringfügig größere Abstand verringert die Kraft auf die Platten.
12
Torsionskraft
Verstellung
Schutzringk
ondensator
Abbildung 4 Kirchhoffsche Waage. Das Gewicht der Kondensatorplatte ist austariert. Mit der
Torsionsfeder wird die Kraft durch das Feld auf die geerdete Platte ausgeglichen, damit der
Abstand im Kondensator konstant bleibt. Der geerdete Schutzring fängt das Streufeld ab.
6.1.6 Elektrische Feldenergie
Beim Laden eines Kondensators muß elektrische Ladung entgegen der auf den Platten
entstehenden Spannung auf die Platten transportiert werden. Zur Berechnung die Energie
eines geladenen Kondensators geht man von der Spannung aus, die unmittelbar die Arbeit pro
Ladung angibt. Weil sich mit zunehmender Ladung auch die Spannung ändert, stellt man die
Arbeit als Integral der von der Ladung abhängigen Spannung nach der Ladung dar.
Formel
dW  U (Q)  dQ
Q
U (Q ) 
C
Q
dW   dQ
C
Q
q
1 Q2 1
W    dq  
  C U 2
C
2 C
2
0
1
 Q U
2
 A
C 0
d
U  Ed
  A d 2  E2
1
W   C U 2  0
2
2d
V  A d
W 0
  E2
V
2
Anmerkung
Zuwachs der Energie bei Zunahme der
Ladung, daraus folgt nach Integration:
W 
Energie des geladenen Plattenkondensators
Volumen des Kondensators
Die Energiedichte im Plattenkondensator ist
zum Quadrat der Feldstärke proportional
Tabelle 13 Energie des geladenen Kondensators
Versuch 12 Elektrostatisches Pendel: Eine Kugel „löffelt“ die Ladung in kleinen Portionen
von einer Platte zur anderen: Man sieht die Abnahme der Spannung.