Thema

Formelsammlung
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Ladung
Spannung
Grundlagen Elektrotechnik
Bereiche
Berechnung
allgemeine Definition
Berechnung
Definition über Potential
Stromstärke
Berechnung über Ladung
Stromdichte
Berechnung
Widerstand
Berechnung allgemein
Berechnung über spezifischen Widerstand
Berechnung über spezifische Leitfähigkeit
Leitwert
Berechnung
Differenzieller Widerstand
Berechnung
Widerstand und Temperatur
Berechnung
Stern-Dreieck
Umrechnung Stern  Dreieck
Umrechnung Dreieck  Stern
Grundschaltung
Reihenschaltung von Widerständen
Parallelschaltung von Widerständen
Elektrische Energie (Arbeit)
Berechnung
Einheitenumrechnung J  kWh , kWh  J
Leistung
Berechnung
Wirkungsgrad
Berechnung
Spannungsteiler
unbelastet
belastet
Spannungs- und Strompfeilsysteme Verbraucher-Zählpfeil-System (VZS)
Erzeuger-Zählpfeil-System (EZS)
Aktive Zweipole
Definition
Ideale Quellen
Ideale Spannungsquelle
Ideale Stromquelle
Leistungsanpassung an Quellen
Reale Quellen
Reale Spannungsquelle
Reale Stromquelle
Umrechnung Strom- in Spannungsquelle
Umrechnung Spannungs- in Stromquelle
Kirchhoffsche Gesetze
Knotensatz (1.Kirchhoffsches Gesetz)
Maschensatz (2.Kirchhoffsches Gesetz)
Berechnungen mit Knoten- und Maschensatz
Ersatzspannungsquelle
Prinzip
Berechnung
Stand: 8. April 2017
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Ladung:
Q  ne
Q
e
n
Q = Ladung in As
n = Anzahl der Ladungsträger
e = Elementarladung
Spannung:
allgemein:
U
U
W
Q
Q
W
U
W  Q U
U = Spannung in V
W = Arbeit in J ( = Ws = VAs )
Q = Ladung in As
über Potential:
A
φA
UAB
B
φB
C
C = Bezugspotential (Bezugspunkt)
U AB   A   B
UAB = Spannung = Potentialdifferenz zwischen Punkt A und B in V
φA = Potential des Punktes A bezüglich des Bezugspunktes in V
φB = Potential des Punktes A bezüglich des Bezugspunktes in V
Stromstärke:
I
Q
t
t
Q
I
Q  I t
I = Stromstärke in A
Q = Ladung in As
t = Zeit in s
Stand: 8. April 2017
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Stromdichte:
S
I
A
A
I
S
I SA
A
mm 2
I = Stromstärke in A
A = Querschnitt in mm2
S = Stromdichte in
Widerstand:
R
U
I
I
U
R
U  R I
R = Widerstand in Ω
U = Spannung in V
I = Stromstärke in A
R
l
A
A
l
R
l
R
l
A
A
l
 R
l  R  A
A R


A R
l


l
A R

1

1

l = Länge in m
A = Querschnitt in mm2
  mm 2
(Rho)
m
m
 = spezifischer Leitfähigkeit in
(Kappa)
  mm 2
 = spezifischer Widerstand in
Leitwert:
G
1
R
R
1
G
G = Leitwert in S (Siemens)
R = Widerstand in Ω
Differenzieller Widerstand:
r
U
I
I 
U
r
U  I  r
r = Differenzieller Widerstand in Ω
U = Spannungsänderung in V
 I = Stromstärkeänderung in A
Stand: 8. April 2017
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Widerstand und Temperatur:
R    R20  
R20 
R
  
R  R20  R  R20  1     
  E  20C
 
R  R A 
R
  R20
  E
  A


1

R
R20  
 20C
  E  A
R = Widerstandsänderung in Ω bei 
 = Temperaturänderung in K
1
 = Temperaturkoeffizient in =K-1
K
 = Temperaturkennwert in K
R20 = Widerstand in Ω bei 20 °C
RA = Anfangswiderstand in Ω bei  A
R  = (End-)Widerstand in Ω bei E
Stern-Dreieck-Stern-Umrechnung:
Dreieck in Stern:
Ra 
R1  R3
R1  R2  R3
Rb 
R1  R2
R1  R2  R3
Rc 
R2  R3
R1  R2  R3
Stern in Dreieck:
R1  Ra  Rb 
Ra  Rb
Rc
R2  Rb  Rc 
Rb  Rc
Ra
R3  Ra  Rc 
Ra  Rc
Rb
R1 , R2 , R3 = Dreieck-Widerstände
Ra , Rb , Rc = Stern-Widerstände
Stand: 8. April 2017
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Reihenschaltung von Widerständen:
I  I1  I 2
Rg  R1  R2
U  U1  U 2
I = Gesamtstromstärke in A
U = Gesamtspannung in V
Rg = Gesamtwiderstand in Ω
Parallelschaltung von Widerständen:
U  U1  U 2  U 3
I  I1  I 2  I 3
1
1
1
1
 

Rg R1 R2 R3
1
G
R
Gg  G1  G2  G3
I = Gesamtstromstärke in A
U = Gesamtspannung in V
Rg = Gesamtwiderstand in Ω
Gg = Gesamtleitwert in S
Bei Parallelschaltung von 2 Widerständen gilt:
Rg 
R1  R2
R1  R2
I1 R2

I 2 R1
R1 
R2 
R2  Rg
R2 
R2  Rg
R1  I1
I2
R1  Rg
R1  Rg
R1 
R2  I 2
I1
I1 
R2  I 2
R1
I1 
R2  I
R1  R2
I1
R2

I R1  R2
R2 
R1  I1
I  I 1 
R1 
R2  I
 R2
I1
I2
R1

I
R1  R2
R2 
R2  I
 R1
I2
R1 
R2  I 2
I  I 2 
Stand: 8. April 2017
I
R1  R2   I 2
R1
I2 
I
I2 
R1  I1
R2
R1  R2   I1
R2
R1  I
R1  R2
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Elektrische Energie / Elektrische Arbeit:
W=UIt
W=UQ
W = Arbeit in J =VAs = Ws = Nm
U = Spannung in V
I = Stromstärke in A
t = Zeit in s
Q = Ladung in As
1 kWh = 1  103 Wh = 3,6  103 kWs = 3,6  106 Ws = 3,6  106 J
1 J = 1 Ws = 1  10-3 kWs =
1
1
 10-3 Wh =
 10-6 kWh = 0,278  10-6 kWh
3,6
3,6
Leistung:
P
W
t
P
U  I t
U  I
t
P
U2
R
P  I2 R
Nm
J
=
s
s
W = Arbeit in VAs = Ws = J = Nm
U = Spannung in V
I = Stromstärke in A
t = Zeit in s
R = Widerstand in Ω
P = Leistung in W = VA =
Wirkungsgrad:

Pab
Pzu

Wab
Wzu
immer < 1 !!!
 g  1   2
 = Wirkungsgrad
Pab = abgegebene Leistung in W
Pzu = zugeführte Leistung in W
Wab = abgegebene Energie/Arbeit in J
Wzu = zugeführte Energie/Arbeit in J
 g = Gesamtwirkungsgrad
Stand: 8. April 2017
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Grundlagen Elektrotechnik
Spannungsteiler:
unbelastet:
U2
R2

U
R1  R2
R1 
U2 
R2  U
 R2
U2
U 1 R1

U 2 R2
R1 
R2  U 1
U2
R2  U
R1  R2
R2 
R1  U 2
(U  U 2 )
U2 
R2  U 1
R1
R2 
R1  U 2
U1
R2 
R3  R X
R3  R X
U
R1  R2   U 2
U1 
R2
R1  U 2
R2
belastet:
RX 
R2  R3
R2  R3
R3 
R2  R X
R2  R X
RX = Ersatzwiderstand für R2 || R3 (RL)
U2
RX

U
R1  R X
R1  RX   U 2
U2 
RX  U
R1  R X
U
R1 
RX U
 RX
U2
RX 
U 1 R1

U 2 RX
U2 
RX  U1
R1
Stand: 8. April 2017
RX
R1  U 2
(U  U 2 )
U1 
R1  U 2
RX
R1 
RX U1
U2
RX 
R1  U 2
U1
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Grundlagen Elektrotechnik
Spannungs- und Strom-Pfeilsysteme:
VZS (Verbraucher-Zählpfeil-System):
P = U  I > 0 (Verbraucher, positive Leistung)
P = U  I < 0 (Erzeuger, negative Leistung)
EZS (Erzeuger-Zählpfeil-System):
P = U  I > 0 (Erzeuger, positive Leistung)
P = U  I > 0 (Verbraucher, negative Leistung)
Aktive Zweipole: (VZS)
Leerlauf: U = U0 ; I = 0
Kurzschluß: U = 0 ; I = -IK
U = Klemmenspannung
U0 = Leerlaufspannung
Ik = Kurzschlußstrom
Die Bezugspfeile für Strom I und Spannung U werden so gewählt,
daß U0 und Ik positiv sind !!
Stand: 8. April 2017
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Ideale Quellen:
Ideale Spannungsquelle:
U k = Uk = U0 = Uq
Uk = Klemmenspannung
U0 = Leerlaufspannung
Uq = Quellenspannung
Ideale Stromquelle:
Ik = Iq = -I
Ik = Klemmenstrom
Iq = Quellenstrom
Die Richtungen für die Pfeile von Uq bzw. Iq werden so gewählt,
daß Uq = Uk bzw. Iq = Ik ist.
Leistungsanpassung an Quellen:
Pmax bei R1 = Ri
weil URi = UR1
(Spannungsteiler)
Stand: 8. April 2017
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Reale Quellen:
Reale Spannungsquelle:
I = 0 ( R   Ω)
Uk = U0 = Uq
Leerlauf:
Kurzschluß: Uk = 0 ( R  0 Ω)
I = - Ik = -Iq
Ik 
Uq
Ri

U0
Ri
Ri 
U0
Ik
U

U k  U q  U Ri  U k  U q  Ri  I   U k  U q   0  I 
 Ik

Uk immer < Uq !!!!!
Ik = Klemmenstrom
Uq = Quellenspannung
U0 = Leerlaufspannung
URi = Spannung am Innenwiderstand
Ri = Innenwiderstand
Reale Stromquelle:
Kurzschluß: Uk = 0 ( R  0 Ω)
I = - Iq = - Ik
Leerlauf:
Uk 
I = 0 ( R   Ω)
Uk = U0
I1 I q

Gi Gi
Gi 
Ik
U0
I

I  I1  I q  I  Gi  U k   I q  I   k  U k   I q
 U0

U = Uk = UGi = Klemmenspannung
Iq = Quellenstrom
Ik = Klemmenstrom
I1 = Strom durch Innenleitwert
Gi = Innenleitwert
Stand: 8. April 2017
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Umrechnung Strom- in Spannungsquelle:

Bei Leerlauf  U 0 
Iq

Gi
U 0  U q ; Ri 
1
Gi
Iq = Quellenstrom
Uq = Quellenspannung
U0 = Leerlaufspannung
Ri = Innenwiderstand
Gi = Innenleitwert
!!!! Pfeilrichtung von Iq und Uq sind entgegengesetzt !!!!!
Umrechnung Spannungsquelle in Stromquelle:

Bei Kurzschluß  I k 
Uq
Ri

I   I q   I k ; Gi 
1
Ri
Ik = Klemmenstrom
Iq = Quellenstrom
Uq = Quellenspannung
Ri = Innenwiderstand
Gi = Innenleitwert
!!!! Pfeilrichtung von Uq und Iq sind entgegengesetzt !!!!!
Stand: 8. April 2017
Seite 1-11
Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Knotensatz ( 1. Kirchhoffsches Gesetz ):
„ Die Summe aller Ströme
in einem Knoten ist Null „
I  I1  I 2  I 3  0
Abfließende Ströme ( I1 ) werden z. B. negative gezählt, zufließende Ströme ( z.B. I3 )
werden positiv gezählt oder umgekehrt.
Maschensatz ( 2. Kirchhoffsches Gesetz ) :
„ Die Summe aller Spannungen
in einer Masche ist Null „
Jede Masche hat einen Umlaufsinn !!
Stimmt die Richtung des Spannungspfeiles nicht mit dem Umlaufsinn der Masche überein,
so ist diese Spannung mit negativem Vorzeichen in die Maschengleichung einzusetzten.
Stimmt die Richtung des Spannungspfeiles mit dem Umlaufsinn der Masche überein, so
ist diese Spannung mit positivem Vorzeichen in die Maschengleichung einzusetzten.
Masche 1: U2 – U4 + U5 - U1 = 0
Masche 2: U3 – U4 + U6 – U7 = 0
Stand: 8. April 2017
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Berechnungen an einem Netzwerk mit Maschen- und Knotensatz:
Enthält ein Netzwerk m Zweigströme, so sind zu deren Berechnung m unabhängige
Gleichungssysteme nötig.
n Knotenpunkte liefern (n-1) unabhängige Knotengleichungen
Knoten A: I1 + I3 – I2 = 0  I2 = I1 + I3
Knoten B: I2 – I1 – I3 = 0  I2 = I1 + I3
Daraus folgt, daß noch m – (n-1) unabhängige Maschengleichungen benötigt
werden.
Masche 1: Uq2 + U2 + U1 – Uq1 = 0
Masche 2: Uq3 – U3 – U2 – Uq2 = 0
!!! Gleichungen sind voneinander unabhängig, wenn jede Gleichung mindestens !!!
!!! ein Glied enthält, das in den übrigen Gleichungen nicht vorhanden ist !!!
Stand: 8. April 2017
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Formelsammlung
Grundlagen Elektrotechnik
Prinzip der Ersatzspannungsquelle:
1. Bestimmung von Uqe ( Ersatzquellenspannung ) :
Im Leerlauf ( ohne R3 )  Uqe = U (in Zeichnung: unbelasteter Spannungsteiler)
2. Bestimmen von Rie ( Ersatzinnenwiderstand ) :
- Alle Spannungsquellen werden kurzgeschlossen („überbrückt“)
- Alle Stromquellen werden unterbrochen
Anschließend wird der Widerstand des Zweipols bestimmt.
Stand: 8. April 2017
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