Dr. Robert Geretschläger Breunergasse 23 8051 Graz Graz, am 30

Dr. Robert Geretschläger
Breunergasse 23
8051 Graz
Graz, am 30. August, 2013
An das
Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur
Abt. L B/3
Minoritenplatz 5
1014 Wien
Betrifft: Bericht über die 54.Internationale Mathematische Olympiade, Santa
Marta, Kolumbien, 18. bis 28. Juli, 2013
I. Allgemeine Bemerkungen:
Die IMO in Kolumbien war mit 528 Teilnehmern und Teilnehmerinnen und nach
teilnehmenden Ländern mit 97 in der Größe etwa vergleichbar mit den letzten
Jahren. Der Anteil an Mädchen blieb auch mit 52 Teilnehmerinnen etwa konstant.
Die vollständige Liste der teilnehmenden Länder ist wie immer auf der offiziellen
Website der IMO (www.imo-official.org) einzusehen. Wie üblich haben einige
Länder, meist aus Kosten- oder Krankheitsgründen, mit einem verringerten
Kontingent teilgenommen. Wegen der Bürgerkriegsituation in Syrien konnten aus
diesem Land nur vier der sechs Qualifizierten teilnehmen.
Die 54. IMO fand in Santa Marta und Umgebung statt, wobei fast alles für die
Teilnehmer und Teilnehmerinnen im weitläufigen Gelände des hervorragenden
Irotama Resort Hotels vorgesehen war. Auch die Betreuer waren sehr gut
untergebracht, im ersten Teil im Hotel El Prado in Barranquilla und im zweiten
Teil zusammen mit den Teilnehmern und Teilnehmerinnen. Die Organisation war
gut, der Informationsfluss aber gelegentlich etwas mangelhaft. Die
Eröffnungsveranstaltung fand in der Sporthalle der Universidad Antonio Nariño in
Baranquilla statt, wobei die Teilnehmerinnen und Teilnehmer zu diesem Zweck in
Umkehrung der üblichen Gepflogenheiten zum Aufenthaltsort der Leaders
gebracht wurden. Der Wettbewerb selbst fand in einem großen Saal in der Nähe
des Teilnehmerhotels statt. Die Abschlussfeier wurde originellerweise als
Freiluftveranstaltung durchgeführt, und zwar in der Quinta de San Pedro
Alejandriro, der Simon-Bolivar-Gedenkstätte bei Santa Marta. Der Guide der
österreichischen Mannschaft war in diesem Jahr ein sehr netter und engagierter
kolumbianischer Schüler, der selbst knapp vor dem Schulabschluss steht und
wegen eines langen Aufenthaltes in Deutschland sehr gut Deutsch spricht.
Die Organisation war in den technischen Details wiederum eine Weiterentwicklung
der hervorragenden und richtungweisenden slowenischen Organisation des Jahres
2006. Zu diesem Zweck hat man wie in den letzten Jahren wieder Matjaž Željko
aus Ljubljana als Chef der IT Gruppe angestellt. Dieser ist auch nach wie vor für
die offizielle Website der IMO zuständig. Viele Details wurden im Gesamtkonzept
der IMO IT weiterentwickelt, und es ist geplant diese Entwicklung auch in den
kommenden Jahren weiter voran zu trieben.
Jurysitzungen wurden von Maria de Losada geleitet. Heuer wurden von 50
Ländern 149 Aufgaben vorgeschlagen. In die Short List kamen in diesem Jahr je
sechs Aufgaben aus den Bereichen Algebra und Geometrie, sieben aus dem
Bereich Zahlentheorie und acht aus dem Bereich Kombinatorik. Von Österreich
wurden heuer wieder sechs Aufgaben von Gerhard Wöginger vorgeschlagen,
wovon wie im Vorjahr eine in die Short List aufgenommen wurde, die aber leider
wieder nicht zum Wettbewerb ausgewählt wurde. In diesem Jahr gab es auch
wieder internationale Beteiligung im Aufgabenkomitee, mit Mitgliedern aus
Deutschland, Russland und Ungarn.
Das Auswahlverfahren für die Aufgaben war nach einigen Diskussionen etwas
anders als in den letzten Jahren. Nach der Abstimmung über die Schwierigkeit und
Beliebtheit der Aufgaben wurden jeweils die geeignetste leichte und mittlere
Aufgabe aus jedem Gebiet ausgewählt und daraufhin gewählt welche beiden
Bereiche die leichten Aufgaben liefern würden. Damit sollte gewährleistet sein,
dass alle vier Kategorien unter den leichten und mittleren Aufgaben vertreten sind,
was im Vorjahr nicht der Fall war. Bei jeder Abstimmung konnte jedes
Jurymitglied seine Stimme jedem Paar geben. Erst danach wurde über die
schweren Aufgaben entschieden.
Die Koordination verlief in diesem Jahr wieder völlig problemlos. Für die Jury
blieb noch eine offene Frage für die Abschlusssitzung übrig, die allerdings nach
kurzer Diskussion geklärt werden konnte.
Die gesamte österreichische Mannschaft hatte sich gut auf die Olympiade
vorbereitet. Das Mannschaftsergebnis war für Österreich etwas besser als im
Vorjahr. Das Trainingscamp fand in Wien, Wieden statt, organisiert von Gerhard
Kircher und Richard Henner. Die Betreuung erfolgte dabei durch Clemens
Heuberger, Felix Dräxler, Karl Czakler und Gerhard Kirchner.
II.Teilnehmer:
Leader (Delegationsleiter):
Prof. Dr. Robert GERETSCHLÄGER
geb.: 13.11.1957
A-8051 Graz, Breunergasse 23
Tel.: 0316/682128
e-mail: [email protected]
Deputy Leader (Stellvertreter):
Prof. Mag. Heinrich Josef GSTÖTTNER,
geb.:10.09.1957
A-4840 Vöcklabruck, Dürnauerstraße 91
Tel.: 07672/72507
e-mail: [email protected]
Observer B (Beobachter):
Prof. Mag. Karl CZAKLER
geb: 19.01.1953
A-2120 Wolkersdorf, Adlergasse 23
Tel.: 0676-9259784
e-mail: [email protected]
Schüler: 1) Benedikt BAUER, geb. 22.3.1995
BG/BRG/SRG Innsbruck, Reithmannstraße 1-3, 8. Klasse
A-6020 Innsbruck, Kranwitterstraße 36d
Tel.: 06603515879
E-Mail: [email protected]
2) Dekai DONG, geb.: 20.11.1995
BRG Adolf-Pichler-Platz Innsbruck, 7. Klasse
A-5110 Oberndorf bei Salzburg, Am Oberndorfer Bach 8
Tel.: 06504850541
E-Mail: [email protected]
3) Levi Anton HAUNSCHMID, geb.: 14.11.1996
BG/BRG Mürzzuschlag, 6. Klasse
A-4240 Freistadt, Florian Gmainer Straße 17
Tel.: 06509863517
E-Mail: [email protected]
4) Michael MISSETHAN, geb.: 23.9.1994
BG/BRG Gleisdorf, 8. Klasse
A-8200 Gleisdorf, Neugasse 69
Tel.: 03112/2386
E-Mail: [email protected]
5) Bernd PRACH, geb. 11.11.1994
BRG Keplerstrasse 1, 8020 Graz, 8. Klasse
A-8410 Neudorf ob Wildon, Bundesstraße 58
Tel.: 0680/3248121
E-Mail: [email protected]
6) Jakob STEININGER, geb.: 4.7.1995
Lise Meitner RG Schottenbastei, Wien, 8. Klasse
A-1030 Wien, Kolonitzgasse 7
Tel.: 01/17141297 bzw. 06803200431
E-Mail: [email protected]
III.Programm der Jury:
18.7.:
Ankunft in Barranquilla, Bustransfer ins Hotel El Prado, Erhalt der
Aufgaben ohne Lösungen
19.7.:
Jurysitzung, Bearbeitung der Aufgaben, Erhalt der Aufgaben mit
Lösungen
20.7.:
Jurysitzungen und Rechnen der vorgeschlagenen Aufgaben
21.7.:
Jurysitzungen; Übersetzung der Aufgaben in alle Sprachversionen
22.7.:
Abfahrt um 10:15 zur Eröffnungszeremonie in der Universidad
Antonio Nariño; Ausflug nach Cartagena; Rückkehr ins Hotel El Prado
23.7.:
Vormittags Fragebeantwortung (keine Frage von der österreichischen
Mannschaft); Nachmittags Ausflug zum Museum der Karibik; Empfang der
Bürgermeisterin der Stadt Barranquilla
23:00 Verteilung der Schülerarbeiten des ersten Tages zur Korrektur
24.7.:
Vormittags Fragebeantwortung (keine Frage von der österreichischen
Mannschaft); Beziehen der neuen Hotelzimmer im Hotel Irotama in Santa Marta
18:00 Verteilung der Schülerarbeiten des zweiten Tages zur Korrektur
25.-26.7.:
Koordination, abends abschließende Jurysitzung
27.7.:
Vormittags Stadtbesichtigung von Santa Marta
Abends Abschlusszeremonie und gemeinsame Farewell Party
28.7.:
Heimreise
IV. Programm der Schüler:
20.7.: Ankunft 20 Uhr in Mar del Plata
21.7.: Freizeit
22.7.: Eröffnungszeremonie und Freizeit
23.7.: erster Wettbewerbstag, Nachmittag frei
24.7.: zweiter Wettbewerbstag, Nachmittag frei
25.-26.7.:
Freizeitprogramm im Resort Irotama
27.7.:
Vormittags Stadtbesichtigung Santa Marta
Nachmittags Schlusszeremonie und Abschlussparty
28.7.: Heimreise
V.Aufgaben:
Erster Tag
23. Juli 2013
Aufgabe 1. Man beweise: Für jedes Paar positiver ganzer Zahlen k und n
existieren k positive ganze Zahlen m1, m2, ..., mk (nicht notwendigerweise
verschieden), so dass
gilt.
Aufgabe 2. Eine Konfiguration aus 4027 Punkten in der Ebene heißt
kolumbianisch, wenn sie aus 2013 roten und 2014 blauen Punkten besteht, von
denen keine drei auf einer Geraden liegen. Durch das Einzeichnen einiger Geraden
wird die Ebene in mehrere Regionen unterteilt. Eine Menge von Geraden heißt gut
für eine kolumbianische Konfiguration, wenn die beiden folgenden Bedingungen
erfüllt sind:
 Keine Gerade geht durch einen Punkt der Konfiguration.
 Keine Region enthält Punkte beider Farben.
Man bestimme den minimalen Wert von k, so dass es für jede kolumbianische
Konfiguration von 4027 Punkten eine gute Menge von k Geraden gibt.
Aufgabe 3. Der A gegenüber liegende Ankreis des Dreiecks ABC berühre die Seite
BC im Punkt A1. Die Punkte B1 auf der Seite CA und C1 auf der Seite AB seien,
unter Verwendung der B bzw. C gegenüber liegenden Ankreise, anlog definiert.
Man nehme an, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks A1B1C1 auf dem
Umkreis des Dreiecks ABC liegt.
Man beweise, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
(Der Ankreis von ABC, der dem Eckpunkt A gegenüber liegt, ist der Kreis, der die
Strecke BC sowie den Strahl AB jenseits von B und den Strahl AC jenseits von C
berührt. Die B bzw. C gegenüber liegenden Ankreise werden analog definiert.)
Arbeitszeit: 4 1/2 Stunden
Bei jeder Aufgabe können 7 Punkte erreicht werden.
Zweiter Tag
24. Juli 2013
Aufgabe 4. Es sei ABC ein spitzwinkliges Dreieck mit dem Höhenschnittpunkt H.
Ferner sei W ein innerer Punkt der Strecke BC. Es bezeichnen M und N die
Höhenfußpunkte von B bzw. C. Außerdem bezeichne 1 den Umkreis von BWN
und X den Punkt auf 1, so dass WX ein Durchmesser von 1 ist. Analog bezeichne
2 den Umkreis von CWM und Y den Punkt auf 2, so dass WY ein Durchmesser
von 2 ist.
Man beweise, dass die Punkte X, Y und H auf einer Geraden liegen.
Aufgabe 5. Es sei Q>0 die Menge der positiven rationalen Zahlen. Ferner sei
f: Q>0  R eine Funktion, welche die folgenden drei Bedingungen erfüllt:
(i) Für alle x,y  Q>0 gilt f(x)f(y)  f(xy).
(ii) Für alle x,y  Q>0 gilt f(x+y)  f(x) + f(y).
(iii) Es gibt eine rationale Zahl a > 1, für die f (a) = a gilt.
Man beweise, dass f (x) = x für alle x  Q>0 gilt.
Aufgabe 6. Es sei n  3 eine ganze Zahl. Man betrachte einen Kreis, auf dem n+1
Punkte in jeweils gleichem Abstand markiert sind. Man betrachte alle
Beschriftungen dieser Punkte mit den Zahlen 0,1,…,n, wobei jede Zahl genau
einmal vorkommt. Zwei solche Beschriftungen werden als gleich angesehen, wenn
man die eine durch Drehung des Kreises aus der anderen erhalten kann. Eine
Beschriftung heißt schön, wenn für je vier Zahlen a < b < c < d mit a+d = b+c die
Sehne zwischen a und d nicht die Sehne zwischen b und c schneidet.
Es bezeichne M die Anzahl der schönen Beschriftungen und N die Anzahl der
geordneten Paare (x,y) von positiven ganzen Zahlen mit x+y  n und ggT(x,y) = 1.
Man beweise
M = N + 1.
Arbeitszeit: 4 1/2 Stunden
Bei jeder Aufgabe können 7 Punkte erreicht werden.
VI. Ergebnisse
In diesem Jahr war der Gesamtschwierigkeitsgrad der Olympiade besonders hoch
angesiedelt. Die volle Punktezahl von 42 wurde in diesem Jahr von keinem
Teilnehmer erreicht; 2 Teilnehmer erreichten 41 Punkte.
Eine Goldmedaille wurde ab 31 Punkte (im Vorjahr 28) vergeben, Silber ab 24
Punkte (im Vorjahr ab 21) und Bronze ab 15 Punkte (im Vorjahr ab 14).
Die österreichische Mannschaft errang eine Silbermedille, eine Bronzemedaille
und zwei Honorable Mentions. In der (inoffiziellen) Länderwertung belegte
Österreich den Rang 48 (im Vorjahr Rang 50).
Die Ergebnisse im Einzelnen:
Österreich:
Name
1.
BAUER Benedikt
1
0
0
2
0
0
3
DONG Dekai
7
0
0
7
0
0
14
HM
HAUNSCHMID Levi
1
3
0
1
2
0
7
MISSETHAN Michael
2.
3.
4.
5.
6.
Summe
7
2
0
7
1
0
17
Bronze
PRACH Bernd
7
7
1
7
6
0
28
Silber
STEININGER Jakob
1
0
0
7
0
0
8
HM
Länderwertung:
Die Ergebnisse der ersten 10 Länder sind in folgender Tabelle ersichtlich:
Volksrepublik China
Republik Korea
USA
Russland
Nordkorea
Singapur
Vietnam
Taiwan
Vereinigtes Königreich
Iran
208
204
190
187
184
182
180
176
171
178
Die vollständigen Ergebnisse finden sich unter http://www.imo-official.org
VII. IMOAB und künftige Olympiaden:
Die Mitglieder im AB waren heuer:
Vorsitzender:
Sekretär:
Mitglied:
Mitglied:
Mitglied:
Nazar Agakhanov, Russland
Gregor Dolinar, Slowenien
Rafael Sanchez, Venezuela
Geoff Smith, Großbritannien
Myung-Hwan Kim, Korea
ex officio IMO 2013 Maria de Losada, Kolumbien
ex officio IMO 2014 John Webb, Südafrika
ex officio IMO 2015 Wicharn Lewkeeratiyutkul, Thailand
ex officio IMO 2016 Kar Ping Shum, Hong Kong
Künftige Olympiaden:
2014: Südafrika (Kapstadt, 3. 7. - 13. 7. 2014)
2015: Thailand
2016: Hong Kong
2017: Brasilien
2018: Rumänien