Dr. Robert Geretschläger Breunergasse 23 8051 Graz Graz, am 30. August, 2013 An das Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur Abt. L B/3 Minoritenplatz 5 1014 Wien Betrifft: Bericht über die 54.Internationale Mathematische Olympiade, Santa Marta, Kolumbien, 18. bis 28. Juli, 2013 I. Allgemeine Bemerkungen: Die IMO in Kolumbien war mit 528 Teilnehmern und Teilnehmerinnen und nach teilnehmenden Ländern mit 97 in der Größe etwa vergleichbar mit den letzten Jahren. Der Anteil an Mädchen blieb auch mit 52 Teilnehmerinnen etwa konstant. Die vollständige Liste der teilnehmenden Länder ist wie immer auf der offiziellen Website der IMO (www.imo-official.org) einzusehen. Wie üblich haben einige Länder, meist aus Kosten- oder Krankheitsgründen, mit einem verringerten Kontingent teilgenommen. Wegen der Bürgerkriegsituation in Syrien konnten aus diesem Land nur vier der sechs Qualifizierten teilnehmen. Die 54. IMO fand in Santa Marta und Umgebung statt, wobei fast alles für die Teilnehmer und Teilnehmerinnen im weitläufigen Gelände des hervorragenden Irotama Resort Hotels vorgesehen war. Auch die Betreuer waren sehr gut untergebracht, im ersten Teil im Hotel El Prado in Barranquilla und im zweiten Teil zusammen mit den Teilnehmern und Teilnehmerinnen. Die Organisation war gut, der Informationsfluss aber gelegentlich etwas mangelhaft. Die Eröffnungsveranstaltung fand in der Sporthalle der Universidad Antonio Nariño in Baranquilla statt, wobei die Teilnehmerinnen und Teilnehmer zu diesem Zweck in Umkehrung der üblichen Gepflogenheiten zum Aufenthaltsort der Leaders gebracht wurden. Der Wettbewerb selbst fand in einem großen Saal in der Nähe des Teilnehmerhotels statt. Die Abschlussfeier wurde originellerweise als Freiluftveranstaltung durchgeführt, und zwar in der Quinta de San Pedro Alejandriro, der Simon-Bolivar-Gedenkstätte bei Santa Marta. Der Guide der österreichischen Mannschaft war in diesem Jahr ein sehr netter und engagierter kolumbianischer Schüler, der selbst knapp vor dem Schulabschluss steht und wegen eines langen Aufenthaltes in Deutschland sehr gut Deutsch spricht. Die Organisation war in den technischen Details wiederum eine Weiterentwicklung der hervorragenden und richtungweisenden slowenischen Organisation des Jahres 2006. Zu diesem Zweck hat man wie in den letzten Jahren wieder Matjaž Željko aus Ljubljana als Chef der IT Gruppe angestellt. Dieser ist auch nach wie vor für die offizielle Website der IMO zuständig. Viele Details wurden im Gesamtkonzept der IMO IT weiterentwickelt, und es ist geplant diese Entwicklung auch in den kommenden Jahren weiter voran zu trieben. Jurysitzungen wurden von Maria de Losada geleitet. Heuer wurden von 50 Ländern 149 Aufgaben vorgeschlagen. In die Short List kamen in diesem Jahr je sechs Aufgaben aus den Bereichen Algebra und Geometrie, sieben aus dem Bereich Zahlentheorie und acht aus dem Bereich Kombinatorik. Von Österreich wurden heuer wieder sechs Aufgaben von Gerhard Wöginger vorgeschlagen, wovon wie im Vorjahr eine in die Short List aufgenommen wurde, die aber leider wieder nicht zum Wettbewerb ausgewählt wurde. In diesem Jahr gab es auch wieder internationale Beteiligung im Aufgabenkomitee, mit Mitgliedern aus Deutschland, Russland und Ungarn. Das Auswahlverfahren für die Aufgaben war nach einigen Diskussionen etwas anders als in den letzten Jahren. Nach der Abstimmung über die Schwierigkeit und Beliebtheit der Aufgaben wurden jeweils die geeignetste leichte und mittlere Aufgabe aus jedem Gebiet ausgewählt und daraufhin gewählt welche beiden Bereiche die leichten Aufgaben liefern würden. Damit sollte gewährleistet sein, dass alle vier Kategorien unter den leichten und mittleren Aufgaben vertreten sind, was im Vorjahr nicht der Fall war. Bei jeder Abstimmung konnte jedes Jurymitglied seine Stimme jedem Paar geben. Erst danach wurde über die schweren Aufgaben entschieden. Die Koordination verlief in diesem Jahr wieder völlig problemlos. Für die Jury blieb noch eine offene Frage für die Abschlusssitzung übrig, die allerdings nach kurzer Diskussion geklärt werden konnte. Die gesamte österreichische Mannschaft hatte sich gut auf die Olympiade vorbereitet. Das Mannschaftsergebnis war für Österreich etwas besser als im Vorjahr. Das Trainingscamp fand in Wien, Wieden statt, organisiert von Gerhard Kircher und Richard Henner. Die Betreuung erfolgte dabei durch Clemens Heuberger, Felix Dräxler, Karl Czakler und Gerhard Kirchner. II.Teilnehmer: Leader (Delegationsleiter): Prof. Dr. Robert GERETSCHLÄGER geb.: 13.11.1957 A-8051 Graz, Breunergasse 23 Tel.: 0316/682128 e-mail: [email protected] Deputy Leader (Stellvertreter): Prof. Mag. Heinrich Josef GSTÖTTNER, geb.:10.09.1957 A-4840 Vöcklabruck, Dürnauerstraße 91 Tel.: 07672/72507 e-mail: [email protected] Observer B (Beobachter): Prof. Mag. Karl CZAKLER geb: 19.01.1953 A-2120 Wolkersdorf, Adlergasse 23 Tel.: 0676-9259784 e-mail: [email protected] Schüler: 1) Benedikt BAUER, geb. 22.3.1995 BG/BRG/SRG Innsbruck, Reithmannstraße 1-3, 8. Klasse A-6020 Innsbruck, Kranwitterstraße 36d Tel.: 06603515879 E-Mail: [email protected] 2) Dekai DONG, geb.: 20.11.1995 BRG Adolf-Pichler-Platz Innsbruck, 7. Klasse A-5110 Oberndorf bei Salzburg, Am Oberndorfer Bach 8 Tel.: 06504850541 E-Mail: [email protected] 3) Levi Anton HAUNSCHMID, geb.: 14.11.1996 BG/BRG Mürzzuschlag, 6. Klasse A-4240 Freistadt, Florian Gmainer Straße 17 Tel.: 06509863517 E-Mail: [email protected] 4) Michael MISSETHAN, geb.: 23.9.1994 BG/BRG Gleisdorf, 8. Klasse A-8200 Gleisdorf, Neugasse 69 Tel.: 03112/2386 E-Mail: [email protected] 5) Bernd PRACH, geb. 11.11.1994 BRG Keplerstrasse 1, 8020 Graz, 8. Klasse A-8410 Neudorf ob Wildon, Bundesstraße 58 Tel.: 0680/3248121 E-Mail: [email protected] 6) Jakob STEININGER, geb.: 4.7.1995 Lise Meitner RG Schottenbastei, Wien, 8. Klasse A-1030 Wien, Kolonitzgasse 7 Tel.: 01/17141297 bzw. 06803200431 E-Mail: [email protected] III.Programm der Jury: 18.7.: Ankunft in Barranquilla, Bustransfer ins Hotel El Prado, Erhalt der Aufgaben ohne Lösungen 19.7.: Jurysitzung, Bearbeitung der Aufgaben, Erhalt der Aufgaben mit Lösungen 20.7.: Jurysitzungen und Rechnen der vorgeschlagenen Aufgaben 21.7.: Jurysitzungen; Übersetzung der Aufgaben in alle Sprachversionen 22.7.: Abfahrt um 10:15 zur Eröffnungszeremonie in der Universidad Antonio Nariño; Ausflug nach Cartagena; Rückkehr ins Hotel El Prado 23.7.: Vormittags Fragebeantwortung (keine Frage von der österreichischen Mannschaft); Nachmittags Ausflug zum Museum der Karibik; Empfang der Bürgermeisterin der Stadt Barranquilla 23:00 Verteilung der Schülerarbeiten des ersten Tages zur Korrektur 24.7.: Vormittags Fragebeantwortung (keine Frage von der österreichischen Mannschaft); Beziehen der neuen Hotelzimmer im Hotel Irotama in Santa Marta 18:00 Verteilung der Schülerarbeiten des zweiten Tages zur Korrektur 25.-26.7.: Koordination, abends abschließende Jurysitzung 27.7.: Vormittags Stadtbesichtigung von Santa Marta Abends Abschlusszeremonie und gemeinsame Farewell Party 28.7.: Heimreise IV. Programm der Schüler: 20.7.: Ankunft 20 Uhr in Mar del Plata 21.7.: Freizeit 22.7.: Eröffnungszeremonie und Freizeit 23.7.: erster Wettbewerbstag, Nachmittag frei 24.7.: zweiter Wettbewerbstag, Nachmittag frei 25.-26.7.: Freizeitprogramm im Resort Irotama 27.7.: Vormittags Stadtbesichtigung Santa Marta Nachmittags Schlusszeremonie und Abschlussparty 28.7.: Heimreise V.Aufgaben: Erster Tag 23. Juli 2013 Aufgabe 1. Man beweise: Für jedes Paar positiver ganzer Zahlen k und n existieren k positive ganze Zahlen m1, m2, ..., mk (nicht notwendigerweise verschieden), so dass gilt. Aufgabe 2. Eine Konfiguration aus 4027 Punkten in der Ebene heißt kolumbianisch, wenn sie aus 2013 roten und 2014 blauen Punkten besteht, von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Durch das Einzeichnen einiger Geraden wird die Ebene in mehrere Regionen unterteilt. Eine Menge von Geraden heißt gut für eine kolumbianische Konfiguration, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: Keine Gerade geht durch einen Punkt der Konfiguration. Keine Region enthält Punkte beider Farben. Man bestimme den minimalen Wert von k, so dass es für jede kolumbianische Konfiguration von 4027 Punkten eine gute Menge von k Geraden gibt. Aufgabe 3. Der A gegenüber liegende Ankreis des Dreiecks ABC berühre die Seite BC im Punkt A1. Die Punkte B1 auf der Seite CA und C1 auf der Seite AB seien, unter Verwendung der B bzw. C gegenüber liegenden Ankreise, anlog definiert. Man nehme an, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks A1B1C1 auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt. Man beweise, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. (Der Ankreis von ABC, der dem Eckpunkt A gegenüber liegt, ist der Kreis, der die Strecke BC sowie den Strahl AB jenseits von B und den Strahl AC jenseits von C berührt. Die B bzw. C gegenüber liegenden Ankreise werden analog definiert.) Arbeitszeit: 4 1/2 Stunden Bei jeder Aufgabe können 7 Punkte erreicht werden. Zweiter Tag 24. Juli 2013 Aufgabe 4. Es sei ABC ein spitzwinkliges Dreieck mit dem Höhenschnittpunkt H. Ferner sei W ein innerer Punkt der Strecke BC. Es bezeichnen M und N die Höhenfußpunkte von B bzw. C. Außerdem bezeichne 1 den Umkreis von BWN und X den Punkt auf 1, so dass WX ein Durchmesser von 1 ist. Analog bezeichne 2 den Umkreis von CWM und Y den Punkt auf 2, so dass WY ein Durchmesser von 2 ist. Man beweise, dass die Punkte X, Y und H auf einer Geraden liegen. Aufgabe 5. Es sei Q>0 die Menge der positiven rationalen Zahlen. Ferner sei f: Q>0 R eine Funktion, welche die folgenden drei Bedingungen erfüllt: (i) Für alle x,y Q>0 gilt f(x)f(y) f(xy). (ii) Für alle x,y Q>0 gilt f(x+y) f(x) + f(y). (iii) Es gibt eine rationale Zahl a > 1, für die f (a) = a gilt. Man beweise, dass f (x) = x für alle x Q>0 gilt. Aufgabe 6. Es sei n 3 eine ganze Zahl. Man betrachte einen Kreis, auf dem n+1 Punkte in jeweils gleichem Abstand markiert sind. Man betrachte alle Beschriftungen dieser Punkte mit den Zahlen 0,1,…,n, wobei jede Zahl genau einmal vorkommt. Zwei solche Beschriftungen werden als gleich angesehen, wenn man die eine durch Drehung des Kreises aus der anderen erhalten kann. Eine Beschriftung heißt schön, wenn für je vier Zahlen a < b < c < d mit a+d = b+c die Sehne zwischen a und d nicht die Sehne zwischen b und c schneidet. Es bezeichne M die Anzahl der schönen Beschriftungen und N die Anzahl der geordneten Paare (x,y) von positiven ganzen Zahlen mit x+y n und ggT(x,y) = 1. Man beweise M = N + 1. Arbeitszeit: 4 1/2 Stunden Bei jeder Aufgabe können 7 Punkte erreicht werden. VI. Ergebnisse In diesem Jahr war der Gesamtschwierigkeitsgrad der Olympiade besonders hoch angesiedelt. Die volle Punktezahl von 42 wurde in diesem Jahr von keinem Teilnehmer erreicht; 2 Teilnehmer erreichten 41 Punkte. Eine Goldmedaille wurde ab 31 Punkte (im Vorjahr 28) vergeben, Silber ab 24 Punkte (im Vorjahr ab 21) und Bronze ab 15 Punkte (im Vorjahr ab 14). Die österreichische Mannschaft errang eine Silbermedille, eine Bronzemedaille und zwei Honorable Mentions. In der (inoffiziellen) Länderwertung belegte Österreich den Rang 48 (im Vorjahr Rang 50). Die Ergebnisse im Einzelnen: Österreich: Name 1. BAUER Benedikt 1 0 0 2 0 0 3 DONG Dekai 7 0 0 7 0 0 14 HM HAUNSCHMID Levi 1 3 0 1 2 0 7 MISSETHAN Michael 2. 3. 4. 5. 6. Summe 7 2 0 7 1 0 17 Bronze PRACH Bernd 7 7 1 7 6 0 28 Silber STEININGER Jakob 1 0 0 7 0 0 8 HM Länderwertung: Die Ergebnisse der ersten 10 Länder sind in folgender Tabelle ersichtlich: Volksrepublik China Republik Korea USA Russland Nordkorea Singapur Vietnam Taiwan Vereinigtes Königreich Iran 208 204 190 187 184 182 180 176 171 178 Die vollständigen Ergebnisse finden sich unter http://www.imo-official.org VII. IMOAB und künftige Olympiaden: Die Mitglieder im AB waren heuer: Vorsitzender: Sekretär: Mitglied: Mitglied: Mitglied: Nazar Agakhanov, Russland Gregor Dolinar, Slowenien Rafael Sanchez, Venezuela Geoff Smith, Großbritannien Myung-Hwan Kim, Korea ex officio IMO 2013 Maria de Losada, Kolumbien ex officio IMO 2014 John Webb, Südafrika ex officio IMO 2015 Wicharn Lewkeeratiyutkul, Thailand ex officio IMO 2016 Kar Ping Shum, Hong Kong Künftige Olympiaden: 2014: Südafrika (Kapstadt, 3. 7. - 13. 7. 2014) 2015: Thailand 2016: Hong Kong 2017: Brasilien 2018: Rumänien