Übungen 1

Übungen 1. Elementen von Himmelsmechanik
Einführung:
Eine Ellipse ist in der Geometrie definiert als die Menge aller Punkte, für die die Summe der
Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den Brennpunkten F1 und F2, konstant gleich 2a ist.
Es ergibt sich folgende Figur:
Abb. 1
Die Brennpunkte liegen im Abstand e, der linearen Exzentrizität, vom Mittelpunkt auf
der Hauptachse. Die numerische Exzentrizität ist ein dimensionsloser Wert, der sich wie folgt
ergibt:
Die Verbindungslinien unter den Brennpunkten und einem Punkt der Ellipse heißen
Brennlinien. Die Brennpunkte erhalten ihren Namen von einer bemerkenswerten Eigenschaft
der Ellipse: Stellt man eine Lampe in einen Brennpunkt der Ellipse, werden die ausgesendeten
Lichtstrahlen von der Ellipse so reflektiert, dass sie sich im anderen Brennpunkt treffen. Diese
Eigenschaft hängt mit der Konstruktion der Tangenten der Ellipse zusammen: Die Tangente
in einem Punkt der Ellipse ist eine der Winkelsymmetralen der Brennlinien. Archimedes soll,
so will es die Legende, diese Eigenschaft ausgenützt haben um eine Flotte römischer
Kriegsschiffe in Brand zu setzen. Mit Schilden baute er einen Teil einer großen Ellipse, in
deren einen Brennpunkt er ein Feuer entzündete und in deren anderen Brennpunkt sich ein
feindliches Schiff befand.
Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Hälfte einer Ellipse. Befindet man sich in
einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten
Brennpunkt liegt, stark verstärkt ("Flüstergewölbe").
Zwischen a, b und e gilt laut Satz von Pythagoras der Zusammenhang: a2 = b2 + e2.
Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse
mit der x-Achse zusammen fällt, nennt man Ellipse in 1. Hauptlage. In der ebenen analytischen
Geometrie kann eine Ellipse in erster Hauptlage mit folgender Gleichung dargestellt werden.
Abb. 2
Die Laufbahnen der Planeten sind fast die Kreise, das bedeutet, dass die numerische
Exzentrizität ihren Laufbahnen klein ist, ~ 0. Die Venus hat die kleinste Exzentrizität ( =
0,007), die maximale Exzentrizität hat der Pluto ( = 0,247). Die Erde hat  = 0,017.
Nach dem 1. Keplerischen Gesetz befindet sich die Sonne in einem Brennpunkt der
Elliptischen Laufbahn Planeten. In der Abb. 2, das Brennpunkt F2 ist der Sonne. Dann ein
Punkt B, das auf einem minimalen Entfernung von der Sonne der Perihel ist. Das Punkt A auf
einem maximalen Abstand von der Sonne den Aphel ist. Die große Achse der Laufbahn AB
heißt die Apsidenlinie. Die Linie F2C zwischen der Sonne und dem Planeten ist der
Raduisvektor r.
Periheldistanz:
q = а (1 — ),
(1)
Apheldistanz
Q = a (l + ).
(2)
Das mittlere Abstand zwischen der Sonne und einem Planeten
Nach dem 2. Keplerischen Gesetz überstreicht der Radiusvektor in gleichen Zeitabschnitten
gleiche Flächen.
Aufgaben:
1. Leiten Sie die Formeln für die Geschwindigkeit im Perihel
 q  C  ?
(3)
und im Aphel
 Q  C  ?
(4)
her , wobei vc die mittlere Geschwindigkeit oder die Geschwindigkeit des Planeten auf einer
Kreislaufbahn mit r = а ist. Schätzen Sie die mittlere Kreisgeschwindigkeit der Erde und des
Pluto ab. Die mittlere Entfernung des Pluto von der Sonne beträgt a = 5900*106 km =
39,830 AE.
2. Schätzen Sie die mittlere Entfernung des Uranus von der Sonne ab. Die
Umlaufperiode des Uranus beträgt ca. 84,015 Jahre. (Die Entfernung der Erde von der
Sonne ist 1 AE = ca. 149,597 x 106 km, TErde= 1 Jahr) :
Wenden Sie das 3. Keplerische Gesetz an:
3. Perihel und Aphel der Planeten des Sonnensystems sind in der folgenden Tabelle
gegeben.
Planet
Perihel
Aphel
Merkur
0,306 AE 45,9 Mio. km
0,4667 AE 69,7 Mio. km
Venus
0,718 AE 107,4 Mio. km
0,728 AE 109 Mio. km
Erde
0,9833 AE 147,1 Mio. km
1,0167 AE 152,1 Mio. km
Mars
1,381 AE 206,7 Mio. km
1,666 AE 249,1 Mio. km
Jupiter
4,951 AE 740,9 Mio. km
5,454 AE 815,7 Mio. km
Saturn
9,008 AE 1.347,0 Mio. km
10,069 AE 1.507 Mio. km
Uranus
18,275 AE 2.735 Mio. km
20,088 AE 3.004 Mio. km
Neptun
29,800 AE 4.456 Mio. km
30,316 AE 4.537 Mio. km
Pluto
29,58 AE 4.425 Mio. km
49,19 AE 7.375 Mio. km
Berechnen Sie die Laufzeiten (in Jahren), großen Halbachsen  und die numerische
Exzentrizität .
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4. Für einen Himmelskörper mit der Masse m , der sich auf einer periodischen elliptischen
Laufbahn um ein Rotationszentrum mit der Masse M mit der Exzentrizität  befindet, gilt
  ( M  m)  
c  r 2    const . Leiten Sie die Formel: r 
 sin  her, wobei  der
c
Polarwinkel im Bezugssystem mit der Apsidelinie und dem Brennpunkt als Null ist.
5. Ein Himmelskörper bewegt sich auf einer elliptischen Laufbahn mit der Exzentrizität 
<1 und Parameter p um ein Rotationszentrum mit der Masse M. c  r 2    const ist
bekannt. Leiten Sie die Formeln für die große und kleine Halbachse a und b und die
Laufzeit (Periode) T her.
6. Leiten Sie die Formeln der Übung 5 ab für die Beschleunigung in Aphel und Perihel.
7. Die Laufzeit T eines Himmelskörpers auf einer elliptischen Laufbahn um die Erde ist
bekannt, ebenso die Differenz zwischen Aphel und Perihel H. Leiten Sie die Exzentrizität
der Laufbahn  her.
8. Ein Himmelskörper befindet sich auf einer elliptischen Laufbahn mit der Exzentrizität
< 1 um ein Rotationszentrum mit Radius R. Das Verhältnis  der Aphelhöhe zur
Perihelhöhe über die Planetenoberfläche ist bekannt. Leiten Sie die große Halbachse der
Laufbahn a her.