3.2 Materiewellen

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3 Strahlung zur atomaren Auflösung und ihre Wechselwirkung
mit der Materie
Atomare Auflösung ist zu erreichen, wenn die Wellenlänge der Strahlung in der
Größenordnung der atomaren Dimensionen, d. h. 0,1 nm bzw. 1 Å liegt. Im Spektrum der
elektromagnetischen Wellen liegt die Röntgenstrahlung in diesem Bereich.
14,4 K
1,24 peV
1,24 μeV
14400 K
1,24 eV
Gitterschwingungen
1,24 MeV
Innere
Elektronen
In metallischen Leitern: Anregung von Leitungselektronen
Abbildung 1 Elektromagnetisches Spektrum (“Meyers Enzyklopädisches Lexikon“) und
Energie der Strahlung in eV und K. Die letzte Zeile zeigt die Beiträge zur Absorption in
unterschiedlichen Energiebereichen. „Telephonie“ steht für den Funkfernsprechverkehr auf
See.(Aus http://www.uni-tuebingen.de/uni/pki/skripten/V8_1Huygens.DOC)
Außer der elektromagnetischen Strahlung gibt es auch Materiewellen mit Wellenlängen in
diesem Bereich, wenn die Dimension der bewegten Teilchen, also der Materie, in der
Größenordnung <10-8 m liegt.
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Photonen- und Materiewellen unterscheiden sich vor allem in der
Ausbreitungsgeschwindigkeit, die bei Photonen immer gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. In
Materienwellen dagegen gibt es Dispersion, die Ausbreitungsgeschwindigkeit wächst mit der
Wellenzahl.
Die de Broglie Beziehung setzt Impuls und Wellenzahl in einen Zusammenhang. Dadurch
wird bei elektromagnetischen Wellen den Photonen ein Impuls zugeordnet, und umgekehrt,
bei Teilchenwellen, den Teilchen mit mechanischem Impuls eine Wellenzahl.
Periodizität in der Zeit
Periodizität im Raum
Verknüpfung zwischen
Periodizität in Raum und Zeit
Energie
Welle-Teilchen Dualismus:
 
1
,   2
T
2
k

v Ph    

T

E  h 
p
h


k
Frequenz, Kreisfrequenz,
Periode T
Wellenzahl zur Welle mit
Wellenlänge 
Phasengeschwindigkeit
Energie in Abhängigkeit von der
Frequenz
De Broglie-Beziehung: Dem
Impuls entspricht eine
Wellenzahl
Tabelle 1 Begriffe zu Photonen- und Teilchen-Wellen
3.1 Photonenwellen
Für Photonenwellen ist die Phasengeschwindigkeit v Ph immer die Lichtgeschwindigkeit c .
Photonen zeigen aber, obwohl ihnen keine Ruhemasse zugeordnet werden kann, außer der
Energie E einen Impuls p .
Für Photonen (Teilchen ohne
Ruhemasse) gilt:
v Ph  c
c

T
E  h 
p
h

Die Phasengeschwindigkeit ist
immer die Lichtgeschwindigkeit
Die Wellenlänge ist proportional
zur Periode
Energie des Photons
Impuls des Photons (De BroglieBeziehung)
Tabelle 2 Energie, Impuls für Photonen (elektromagnetische Wellen)
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Für elektromagnetische Strahlung einer gewünschten Wellenlänge kann aus diesen
Beziehungen die Anregungsenergie berechnet werden:

 
c
E  h 

Abbildung 2 Berechnung der Anregungsenergie für Photonenstrahlung

1Ǻ=0,1 nm
 
c
E  h  

3  1018 Hz
Kürzeste Wellenlänge  , die durch ein Elektron nach
Durchlaufen der Anregungsspannung U angeregt werden
kann
ch

1,99  10 15 J = 12415 eV
 [ Ǻ] 
ch
12,4

E
U kV
Tabelle 3 Photonenstrahlung: Frequenz, Energie für   0,1 nm und Berechnung der
kürzesten Wellenlänge in Abhängigkeit von der Anregungsenergie
3.2 Materiewellen
Zur Deutung der Materiewellen wird die de Broglie Relation gewissermaßen von links nach
rechts gelesen: Bewegten Teilchen mit Masse und einem mechanischen Impuls p wird eine
Wellenlänge  zugeordnet:
p  mv 
Für bewegte Teilchen mit
endlicher Ruhemasse gilt:
E
h

p2
2m
h2
 h
2m2
v Ph   
h
2 m
Ein Teilchen mit Masse m und
Geschwindigkeit v erscheint als
Welle mit Wellenlänge 
Die Energie der Welle ist gleich
der kinetischen Energie des
Teilchens
Aus E  h  folgt die
Dispersionsrelation für
Materiewellen
Die Phasengeschwindigkeit ist
umgekehrt proportional zur
Wellenlänge
Tabelle 4 Energie, Impuls , Dispersionsrelation für Materiewellen (Neutronen, Elektronen,
Moleküle)
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Wahrscheinlichkeitsdichte
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
Te
mp
era
tur
K
0,0000
100
200
300
Maxwellsche
Geschwindigkeitsverteilung
für Neutronen
400
500
600
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Geschwindigkeit m/s
Abbildung 3 Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung eines Gases aus Neutronen (vgl.
http://www.uni-tuebingen.de/uni/pki/skripten/V5_4Loesungen.DOC - V_Mittel)
Im Gegensatz zur Photonenstrahlung hängt bei Materiewellen die
Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenlänge ab, man spricht in diesem Fall von
Dispersion und nennt die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu einer bestimmten Wellenlänge
„Phasengeschwindigkeit“.

p  mv 
h

v Ph    
E
p2
2m
E  h 
h
2m
Abbildung 4 Berechnung der kinetischen Energie für Teilchenstrahlung und der
Phasengeschwindigkeit
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Art und Masse des
Teilchens
Geschwindigkeit v
E
1
m  v2
2
3300 m s
0,05 eV
0,12 nm = 1,2 Ǻ
2200 m s
0,025 eV
0,18 nm = 1,8 Ǻ
1,9 10 8 m/s
(schon nahe an c!)
100 keV
0,004 nm = 0,04 Ǻ
Neutron
1,672614 (11) 10-27 kg
Elektron
9,109558 (54) 10-31 kg
De Broglie
Wellenlänge
h

mv
Energie
Tabelle 5 Geschwindigkeiten und Wellenlängen für thermische Neutronen und
nichtrelativistische Elektronen
Masse des Elektrons
me
9,109558 (54) 10-31 kg
Masse des Neutrons
mn
1,672614 (11) 10-27 kg
v
3300 m s
1 eV
1,6  10 -19 J
Plancksche Konstante
h
6,626176  10 34 J  s
Vakuum
Lichtgeschwindigkeit
c
2,99792458  108 m/s
Mittlere Geschwindigkeit der
Neutronen bei 300 K aus der
Maxwellverteilung
Energie-Umrechnung
Tabelle 6 Einige Konstanten und Umrechnungsfaktoren für Materiewellen
3.2.1 Die Gruppengeschwindigkeit
Weil die Phasengeschwindigkeit für Materiewellen von der Wellenzahl abhängt, verbreitert
sich ein im Raum lokalisiertes Wellenpaket während seines Transports im Ortsraum. Ein
Paket ist eine Überlagerung aus vielen Wellenzügen zu unterschiedlichen Wellenzahlen, wie
man aus der Fourier-Zerlegung erkennt. Jede Komponente zeigt eine andere
Ausbreitungsgeschwindigkeit. Um trotzdem die Geschwindigkeit des sich verbreiternden
Pakets anzugeben, führt man die Gruppengeschwindigkeit ein, sie zeigt die Geschwindigkeit
des Schwerpunkts der Umhüllenden des Pakets.
vG  v Ph 0  0 
dv Ph
d
 0
Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpakets
mit mittlerer Wellenlänge  0 und zu dieser
Welle gehörender Phasengeschwindigkeit
v Ph 0
Tabelle 7 Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpakets
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3.2.2 Welle- Teilchen-Dualismus, die Unschärferelation
Die Verbindung von Welle und Teilchen bringt begrifflich Gegensätzliches zusammen: Der
Aufenthaltsort ist eine charakteristische Angabe für ein Teilchen. Die Wellenzahl
charakterisiert den Wellenzug. Bei einem Wellenzug ist die Frage nach seinem Ort nicht
sinnvoll, denn er ist unendlich ausgedehnt.
Wird ein Teilchen durch einen einzigen Wellenzug beschrieben, dann steht die Information
über das Teilchen in der Wellenzahl. Nach der de Broglie Relation ist damit der Impuls des
Teilchens angegeben. Weil aber am Wellenzug keine Stelle bevorzugt ist, bleibt bei dieser
Beschreibung die Frage nach dem Ort des Teilchens unbeantwortet. Impuls und Ort können
also nicht zugleich mit beliebiger Genauigkeit angegeben werden. Das ist die Aussage der
Heisenbergschen Unschärferelation:

x  p 
2
Tabelle 8 Heisenbergsche Unschärferelation
Das Produkt aus Ortsunschärfe x  und
Impulsunschärfe p  in Richtung der
Ortskoordinate ist größer als die halbe PlanckKonstante