TU Freiberg

2. Materiewellen und Wellengleichung für freie Teilchen
2.1 Begriff Wellenfunktion
Auf Grund des Wellencharakters der Materie können wir den Zustand eines
physikalischen Systemes durch eine Wellenfunktion ψ(r,t) beschreiben.
Das Betragsquadrat |ψ(r,t)|2=ψ*ψ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für den
Nachweis von Teilchen am Ort r zur Zeit t.
Die Wellenfunktion ψ(r,t) ist eine komplexe skalare Größe, da keine Polarisation
wie bei elektromagnetischen Wellen beobachtet wurde.
Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zur Zeit t am Ort r im Volumenelement d3r
zu finden:
w(r,t) d3r =|ψ(r,t)|2d3r=ψ*ψ d3r.
Wahrscheinlichkeitsdichte w(r,t) =|ψ(r,t)|2=ψ*ψ
Für ein einzelnes Teilchen muss gelten:
∫w(r,t) d3r =∫|ψ(r,t)|2d3r=∫ψ*ψ d3r=1
Normierung: Erfüllt ψ(r,t) nicht diese Bedingung, kann es immer normiert werden.
r ,t =
∣r , t∣2
∫∣r ,t ∣2 d 3 r
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Wellenfunktion ψ(r,t)
Wahrscheinlichkeiten sind positiv definite Größen. Nur das Betragsquadrat besitzt eine
direkte physikalische Bedeutung. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude (Wellenfunktion)
selbst ψ(r,t) nicht.
Für viele gleichartige Teilchen (Photonen) ergibt sich eine Intensitätsverteilung durch
Superposition der Wellenfunktionen und Berechnung des Betrages der resultierenden
Wellenfunktion. |ψ(r,t)|2 = groß -> viele Teilchen
|ψ(r,t)|2=0 kein Teilchen
In der QM kommt es zu Interferenz wenn Alternativen existieren, die zum gleichen
Messergebnis führen. Wird durch die Versuchsdurchführung eine der Alternativen
ausgeschlossen verschwindet die Interferenz.
Materiewellen sind keine spezifischen physikalischen Eigenschaften, sondern können als
statistisches Verhalten interpretiert werden. Der Nachweis durch einen Einzelprozeß
zeigt immer nur den Teilchencharakter.
Materiewellen können als Wahrscheinlichkeitswellen interpretiert werden.
-> statistische Interpretation der QM
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Motivation zur Schrödingergleichung
Wir suchen eine Gleichung, aus der die Wellenfunktionen für Teilchen bestimmt
werden können.
Die Schrödingergleichung kann nicht streng aus ersten Prinzipien abgeleitet werden.
Wir versuchen die Schrödingergleichung in Analogie zu Lichtwellen auf Grund des
Welle-Teilchen Dualismus plausibel zu machen.
Welle-Teilchen Dualismus ist experimentell sehr gut gesichert
●
alle Teilchen mit festem Impuls haben eine Wellenlänge (de Broglie 1924)
●
QM als allgemeine Theorie sollte die makroskopisch korrekte klassische Mechanik
als Grenzfall enthalten. (Hamilton-Jacobi Theorie: Wirkungswellenkonzept)
●
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2.2 Lichtwellen (Wiederholung aus der ED)
Wellengleichung aus Maxwellschen Gleichungen der ED für elektrische Feld
 E  r
1 ∂2  
, t = 2 2 E  r , t 
c ∂t
=
∂2
∂x
2
∂2

∂
y
2

∂2
∂z
2
Lösung durch Ansatz für ebene Wellen
 r ,t = E0 e i  k⋅r − t 
E
3
i k r t
ist eine Lösung falls ω=c k
allg. Lösung: E  r , t =∭ d k E 0  k  e
Wellenvektor k zeigt die Ausbreitungsrichtung der Welle
(Coulomb F=e Re E)
z.B. k || x-Achse

 ⋅ −

E(x, t)=E0 cos(k x -ωt)
Periode τ
: E(x,t+τ)=E(x,t) -> ωτ = 2π
ω = 2π/τ = 2π v
Wellenlänge λ: E(x+λ,t)=E(x,t) -> kλ = 2π
k = 2π/λ
aus ω=c k -> 2π v = c 2π/λ -> v λ = c
Interferenz: E werden addiert (Superpositionsprinzip),
da die Maxwellschen GL. lineare DGL sind
Intensität: ~ Energiestromdichte (Poyntingvector) ~ |Re E|2
∣Re E1 Re E2∣2 =∣Re E1∣2 ∣Re E2∣2 2 Re E1⋅Re E2
Intensitäten (Bilder) addieren sich nicht!
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Einschub aus der Relativitätstheorie
ED ist eine relativistische Theorie (c=Lichtgeschwindigkeit) eine analoge
relativistische Wellengleichung führt zur Quantenelektrodynamik.
E=mc2
E2 = m2c4 = p2 c2 + m02c4
Energie und Masse wachsen mit dem Impuls (Geschwindigkeit).
Übergang zur klassischen Mechanik ergibt sich für kleine p (c>>|v|)



p 2 c2
1 p 2 c 2
p2
2
2 1 
E=  m c p c =m0 c 1 2 4 ~m0 c 1
=m0 c 
2 4
2 m0 c
2 m0
m0 c
2 4
0
2 2
2
 1 x~1 12 x ...
Licht m0=0 Photonen haben keine Ruhemasse, aber einen Impuls
-> E2 = p2 c2 E = |p|c
E = hv = ћω = ћ c k = p c
E = ћω
p = ћk
da k=|k|=2π/λ
p=|p|
-> p= ћk
Energie eines Photons
Impuls eines Photons
p= ћk = ћ 2π/λ = h / λ
( p = ћk )
Damit lassen sich auch jedem
Teilchen mit festem Impuls eine
Wellenlänge zuordnen.
de Broglie 1924
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2.3 Relativistische Gleichung für Materiewellen (Klein-Gordon Gleichung)
In Analogie zur ED und ebenen Wellen als Lösungsansatz suchen wir eine Gleichung
für Materiewellen (Teilchen), für die ψ(r,t) eine Lösung ist.

r ,t =0 e i  k⋅r − t 
Auf Grund der experimentellen Befunde zum Welle-Teilchen Dualismus fordern wir
außerdem, das die Energie und Impuls Beziehungen für Licht gelten sollen.
E = ћω
p = ћk
Energie
Impuls
Wir starten von der relativistischen Gleichung mit m0≠0: E2 = m2c4 = p2 c2 + m02c4.
Einsetzen der Energie und Impuls Beziehungen und Multiplikation mit ψ(r,t) gibt:
ℏ 2 2 =ℏ 2 c 2 k 2 m20 c 4 
2
∂

2
2 2
2 4
−ℏ
=−ℏ
c

m
0c 
2
∂t
Klein-Gordon Gleichung 1926
∂
=−i  
∂t
∂
=i k j 
∂xj
(für m0=0 bekannte Gleichung für Licht)
2
2
2
1 ∂  m0 c
− 2
= 2 
2
c ∂t
ℏ
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2.4 Nicht relativistische Gleichung für Materiewellen (Schrödinger Gleichung 1926)
Wir starten von der klassischen Mechanik, fordern aber die Gültigkeit des Energie und
Impuls Beziehungen für Licht auf Grund des Welle-Teilchen Dualismus.

r ,t =0 e i  k⋅r −t 
Es gilt also E = p2/2m, E = ћω , p = ћk
2
∂
=−i  
∂t
∂
=i k j 
∂ xj
2
ℏ k

2m
∂  −ℏ 2
iℏ
=

∂t 2m
ℏ  =
Für ein Teilchen in einem externen Potential U(r) erhält man eine Verallgemeinerung durch
die klassische Hamiltonfunktion H = p2/2m + U(r), die die klassische Gesamtenergie des
Systemes beschreibt.
2
∂ r ,t  −ℏ
iℏ
=
 r ,t U  r  r , t 
∂t
2m
Schrödingergleichung: Axiom, nicht streng herleitbar
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger
* 12. August 1887 in Wien-Erdberg
† 4. Januar 1961 in Wien
Nobelpreis Physik 1933
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2.5 Wellenpakete und Kohärenzlänge
Ein Gaußsches Wellenpaket ist eine Welle, die mit einer Gaußfunktion moduliert ist
(Multiplikation der Wellenfunktion mit einer Gaußfunktion).
Eine Besonderheit liegt darin, dass die Fouriertransformation einer Gaußfunktion (und
damit die Frequenzverteilung) wieder eine Gaußfunktion ergibt.
ψ
ψ*ψ
Kohärenzlänge = Länge des Wellenzuges
In Wirklichkeit hat man es nicht mit unendlich ausgedehnten Wellen (ebene Wellen),
sondern immer mit Wellenpaketen zu tun. Damit es zu Interferenz kommen kann,
muss die Kohärenzlänge lc groß gegenüber der Messapparatur sein.
z.B. realistische Zeiten für die Abstrahlung eines Photons von einem Atom betragen
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τ~10-8s. Damit ergibt sich eine Kohärenzlänge lc=c*τ ~ 3m des Wellenpaketes.