λ λ λ λ

Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
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8 Der Welle-Teilchen Dualismus
8.1 Der Welle-Teilchen Dualismus bei Photonen
Ausbreitungserscheinungen bei Wellen, wie Interferenz, Beugung und Polarisation zeigen, dass Licht
eine Welle ist. Bei der Wechselwirkung von Licht mit Materie gibt es Erscheinungen (Photoeffekt,
Comptoneffekt), die sich nur mit einer Teilchenvorstellung des Lichts (= Photonen) erklären lassen.
Licht hat damit eine Doppelnatur und tritt, je nachdem was man beobachtet als Welle oder als
Teilchen in Erscheinung.
W  hf
Photonentheorie Einsteins
W  mc 2
W  c m0 c 2  p 2
2
relativistische Energie-Impulsbeziehung
Photonen haben keine Ruhemasse m0 = 0
W hf
h


p Ph 

c
c
Grundgleichung der Quantenmechanik,
h
pPh   hk
verknüpft Teilcheneigenschaft (p) mit Welleneigenschaft ()

“Impulsmasse" des Photons
p Ph  mc
h hf
m

h
c c 2
p Ph 

Problem :
Eine Welle mit  = 0 ist im Raum unendlich ausgedehnt. Andererseits ist über p = h/ der
Impuls des Photons an die Impulsmasse gebunden und lokalisiert (siehe Photoeffekt).
8.2 Materiewellen
Interferenz, Beugung und die Polarisation zeigen, dass Licht eine Welle ist.
Aber: Es gibt Erscheinungen (Photoeffekt, Comptoneffekt), die sich nur mit einer
Teilchenvorstellung des Lichts (= Photonen) erklären lassen.
DeBroglie fordert 1926 aus Symmetriegründen
Jede bewegte Masse verhält sich unter geeigneten
Versuchsbedingungen wie eine Welle mit der Wellenlänge:

h
h

p mv
Teilchen:
(klass. Impuls p = mv)
p = mv
Materiewelle
(Wellenlänge ):
 ( x, t )  e j (t  kx )
wie vereinbar ?
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Problem für Beobachtung: “geeignete Versuchsbedingungen“
a) 100 m Läufer: m = 100 kg; v = 10 m/s
  = 6,6210-37 m
b) Elektron:
m = 9,110-30 kg; v = 3106 m/s
  = 2,410-10 m (Röntgenbereich für elmag. Wellen)
Die Elektronenbeugung und damit die Welleneigenschaft des Elektrons
wurde 1925 von Davisson und Germer entdeckt. Die Streuung von Elektronen
an Ni führte zu Maxima und Minima (Interferenzen), die zunächst als
Dreckeffekt interpretiert wurden.
Beispiel: Elektronen in einer Beschleunigungsröhre
Wkin
me 2
p2

v 
 eU B
2
2me
p  2eU B me

1
h
 1,22 10 9 m
2eU B me
UB
Technische Bedeutung der Materiewellen
a) Auflösungsvermögen im Elektronenmikroskop ist durch Beugung begrenzt
b) Elektronen- und Neutronenbeugung zur Strukturanalyse von Festkörpern
Beispiel: Elektron als Welle trifft auf einen Spalt
(Heisenbergsche Unschärferelation)
Beugung am Spalt
sin  

b
Genauigkeit der Ortsbestimmung
x  b 

sin 
Genauigkeit der Impulsbestimmung
h
h
p x  p sin   sin  

x
p x x  h
Da die Genauigkeit meist schlechter
ist, schreibt man: p x x  h
x
p x

p
p x
Elektronen blitzen auf dem Fluoreszenzschirm nur
punktweise auf. Über lange Zeit gemittelt ergibt sich
die Spaltfunktion als Intensitätsmuster.
Heisenbergsche Unschärferelation: px x  h.
Ort und Impuls eines Teilchens kann nie gleichzeitig
scharf bestimmt werden.
Die Heisenbergsche Unschärferelation ist damit Ausdruck für die Wellenbeschreibung
von Teilchen, hier speziell der Elektronen bei der Beugung am Spalt.
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Wegen x  vt lässt sich weiter schreiben:
W
p2
2m
W 
Wt  h
pp
 vp
m

W  t  vp 
x
oder:
v
Unschärferelation für Energie und Zeit
Energie und Zeit eines Teilchens kann nie gleichzeitig
scharf bestimmt werden.
8.3 Wellenpakete
Ein Teilchen mit der festen Wellenlänge  = h/p hätte nach der Wellenvorstellung eine unendliche
Ausdehnung. In der Quantenmechanik werden (freie) Teilchen daher durch Wellenpakete (x,t)
mit endlicher räumlicher Ausdehnung beschrieben.

 ( x, t )  C  C (k )e j (t kx) dk

C(k) ist das Spektrum (Amplitudenfunktion für die Raumfrequenzen k) des Wellenpaketes.
(x,t)
vg
|C(k)|
t= t0
x
k
x
k
2 0
Die Unschärferelation bedeutet dann hier folgendes:
Die räumliche Breite x des Wellenpakets entspricht der Ortsunschärfe des Teilchens.
Das Produkt aus räumlicher Breite x des Wellenpaketes und der spektralen Breite k des
Spektrums, das das Wellenpaket im Sinne einer Fouriertransformation bildet, ist gleich 2.
p  hk
kx  2
Dispersion von Materiewellen
p2
W  h ;
;
2m
p 2 h2k 2
h 

2m 2 m
W

h k2
2m
p  hk
Dispersionsrelation von Materiewellen
a) Phasengeschwindigkeit:
p v
 hk
c 


k 2m 2m 2
b) Gruppengeschwindigkeit
d hk p
vg 

 v
dk
m m
 die Gruppengeschwindigkeit entspricht gerade der Teilchengeschwindigkeit v.