Welle und Teilchen
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26.09.2012 Wellenfronten treffen auf ein Hindernis und breiten sich von dort kreisförmig aus – es ändert sich die Richtung. Huygens-Prinzip 1 26.09.2012 Klassische Vorstellung contra Beobachtung 1801 Thomas Young Licht ist monochromatisch (gleiche Wellenlänge) Viele helle Streifen 2 26.09.2012 Eine Platte mit zwei sehr eng nebeneinander liegenden Spalten wird mit monochromatischem (gleiche Wellenlänge) Licht beleuchtet. Die Öffnungsweite der Spalte muss so klein sein, dass das Licht an ihnen gebeugt wird. Die Wellen interferieren -> abwechselnd helle und dunkle Streifen (Maxima & Minima). Interferenzerscheinungen (hier: Beugung) treten nur bei Größenordnungen des Hindernisses der Lichtwellenlänge auf. Beugung bestimmt das Auflösevermögen von optischen Instrumenten für die Maxima gilt: 𝑎 ∙ sin 𝛼 = 𝑚 ∙ 𝜆 Wegunterschied m=0,1,2,… 1 für Minima gilt: 𝑎 ∙ sin 𝛼 = (𝑚 + 2) ∙ 𝜆 am Punkt P ist die Phasendifferenz δ zwischen den beiden 2𝜋 Winkeln gleich 𝜆 multipliziert mit dem Wegunterschied 𝑎 ∙ sin 𝛼 Der b-te Streifen hat von der Achse den Abstand L laut 𝑏 dem Winkelsatz gilt: tan 𝛼 = 𝐿 Für kleine Winkel gilt: sin~tan 𝑏 𝑎 ∙ sin 𝛼 ≈ 𝑎 ∙ 𝐿 𝑏 Setze nun ein für Maxima: 𝑚 ∙ 𝜆 ≈ 𝑎 ∙ 𝐿 Weil der Winkel α klein ist, ergibt sich der Abstand b: 𝑏≈𝑚∙ 𝜆∙𝐿 𝑎 3 26.09.2012 CD Blue-Ray Kapazität 700Mb 25-50 Gb Lichtfarbe rot Blau Wellenlänge 780nm 405nm Veröffentlichung 1979 2002 4 26.09.2012 1839 Henri Bequerel beobachtet 1860 James Clerk Maxwell: EM-Welle 1887 von Heinrich Hertz, Wilhelm Hallwachs und Philipp Lenard Zinkplatte negativ aufladen, mit UV-Licht bestrahlen => verliert Ladung Nachweis, dass Licht Impuls besitzt Revolution: Licht ein Teilchen? Licht besteht aus Lichtquanten Photonen Energie ist proportional zur Frequenz 𝐸 =ℎ∙𝑓 Max Planck: h …. Planck‘sches Wirkungsquantum ℎ = 6,63 ∙ 10−34 𝐽𝑠 Alltag: Sonnenbrand, abhängig ob UV-A oder UV-B-Licht Photonen verhalten sich wie Teilchen ohne Ruhemasse. Sie bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit. Die Energie E und der Impuls p der Photonen hängen mit der Frequenz f und der Wellenlänge λ der Lichtwelle zusammen. E h f , p h 5 26.09.2012 Analog Kameras mit Film – Vergangenheit Digitalkameras CCD: charge-coupled device Photoeffekt im inneren des Kristalls wird ausgenutzt 6 26.09.2012 Hypothese nach de-Broglie (NP 1929) Ek m v² p² h² 2 2 m 2 m ² Die Beziehung von de Broglie: Teilchen der Energie Ek ist eine Welle mit der Wellenlänge 𝜆 = zugeordnet. 𝐸 =ℎ∙𝑓 𝑒= 𝑚0 ∙𝑐² ℎ 2𝑚𝐸𝑘 mit 𝑚 = 9,1 ∙ 10−31 𝑘𝑔 ; p=m·v 𝑣² 1−𝑐² 𝑝= 𝑚0 ∙𝑣 𝑣² 1−𝑐² 𝑝= 𝐸∙𝑣 𝑐² = = 𝐸∙𝑣 𝑐² ℎ∙𝑓∙𝑣 𝑐² = ℎ∙𝑓 𝑐 Teilchen E p P ℎ =𝜆 Welle = ℎ∙𝑓 = ℎ/𝜆 = 𝜓² 7 26.09.2012 Für sehr kleine Objekte Bessere Auflösung als optische Mikroskope Tastet Oberflächen mittels Elektronenstrahl ab Rasterelektronenmikroskop oder Transmissionseltektronenmikroskop 1927: Wellenatur von Elektronen Davisson und Germer 1999: Fulnerene von Markus Arndt, Anton Zeilinger Richard Feynman: Doppelspaltversuch das Herz der Quantenmechanik Unmöglich vorherzusagen, wo ein Teilchen aufprallen wird Im Quantenbereich regiert der Zufall! 8 26.09.2012 Das Verhalten der Elektronen wird durch eine Welle beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit W des Auftreffens eines Elektrons an einer bestimmten Stelle des Schirmes wird durch das Quadrat der Amplitude dieser Welle bestimmt. 𝑊 = 𝜓² = 𝜓 ² 9 26.09.2012 Haben Teilchencharakter – lassen sich bei ihrem Nachweis lokalisieren Ihre Verteilung lässt sich durch Wahrscheinlichkeitswellen berechnen Komplexe Wahrscheinlichkeitswelle ( x,t ) C ei(t kx) C ei / ( Et px) wobei E und p k mit k 2 / Wellenpakete: ( x, t ) 2C (k 0 ) sin(uk / 2) i (0t k0 x ) e u Teilchen können durch Wellenpakete beschrieben werden. 1927 von Max Born (1882-1970) Die Wahrscheinlichkeit W(x,t)dx, dass sich ein Teilchen zur Zeit t im Ortsintervall von x bis x+dx befindet, ist proportional zum Absolutquadrat 𝜓(𝑥, 𝑡) ² der das Teilchen beschreibenden Materiewellenfunktion 𝜓 𝑥, 𝑡 : 𝑊 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 ∝ 𝜓 𝑥, 𝑡 2 𝑑𝑥 Man nennt 𝜓(𝑥, 𝑡) ² die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Es gilt: +∞ 𝑥=−∞ 𝜓(𝑥, 𝑡) ²𝑑𝑥 = 1 10 26.09.2012 Im zweidimensionalen Bereich: Im Raum: 𝑉 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ²𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 1 1901 Würzburg -1976 München 1926 eigene Formulierung der Quantenmechanik 1927 Unschärferelation 1932 Nobelpreis Es ist grundsätzlich unmöglich, bei einem Quantenobjekt Ort und Impuls gemeinsam über eine gewisse Genauigkeit hinausgehend zu kennen Dieselbe grundsätzliche Unschärfe trifft auf die Energie eines Quantenobjekts in einem Zeitintervall zu x p 2 sowie E t 2 Die Heisenberg‘sche Unschärferelation schränkt die Berechenbarkeit des Ablaufes von Naturvorgängen ein 11 26.09.2012 The New Yorker, 1940 Beugung am Einfachspalt: ◦ Je kleiner die Spaltöffnung, desto größer die Beugungserscheinung ◦ Aus der Lage des ersten Maximums lässt sich ℎ abschätzen: Δ𝑝 ≈ 𝜆 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 12 26.09.2012 Auflösungsgrenze des Lichtmikroskops ℎ 𝑑 𝜆 ◦ ∆𝑝 ∙ ∆𝑥 ≥ 𝜆 ∙ 2𝑦 ∙ 2𝑦 ∙ 𝑑 = ℎ ◦ Der Messprozess selbst ändert den Zustand des Objekts! Schrödingergleichung beschreibt die räumliche und zeitliche Entwicklung des Zustandes eines Quantensystems. Die Lösungen sind die Wellengleichungen. ² d ² ( x) m ² x ² ( x) E ( x) 2m dx ² 2 mit ( x) ²dx 1 Über die genaue Interpretation der Lösung wird heute noch diskutiert Hautpquantenzahl n: beschreibt im Schalenmodell die Schale, in der sich das Elektron mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% aufhält. Nimmt nur natürliche Zahlenwerte an Nebenquantenzahl l: Drehimpulsquantenzahl beschreibt die Form des Orbitals, kann jede Zahl kleiner n annehmen Magnetische Quantenzahl des Drehimpuls m: beschreibt die räumliche Orientierung des Elektronen Bahndrehimpulses. Kann negative Werte annehmen, betragsmäßig kleiner als l Spinquantenzahl s: Orientierung des Spins der Elektronen (+1/2, -1/2) 13 26.09.2012 Zustände, die die gleiche Energie, aber durch unterschiedliche Wellenfunktionen beschreiben werden, heißen entartet. h² E pot E 2m mit ² ² ² x ² y ² z ² l=1 l=2 14
