Blatt 1 - Universität Bielefeld

Universität Bielefeld, Prof. Dr. Thomas Dahm
Bielefeld, den 09.04.2015
Übungen zur Theoretischen Physik II
Sommersemester 2015
Blatt 1
Aufgabe 1: Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit (3 Punkte)
Ein quantenmechanisches Teilchen befinde sich auf der x-Achse. Sein Zustand werde
durch die Wellenfunktion
(x−a)2
ψ1 (x) = N1 e− 4a2
beschrieben, wobei a eine reelle Konstante sei.
a) Berechnen Sie die Normierungskonstante N1 . Nutzen Sie dazu aus, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo auf der x-Achse zu finden, eins sein muss, d.h.
Z ∞
dx |ψ1 (x)|2 = 1
−∞
[ Lösung: N1 =
1
√
.
4
2πa2
]
(1 P.)
b) Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung. An welchem Ort ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens am größten ?
(1 P.)
c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [−a, a] anzutreffen ?
(1 P.)
Aufgabe 2: Wellenfunktion und Interferenz (6 Punkte)
Das Teilchen aus Aufgabe 1 befinde sich nun in dem Zustand mit der Wellenfunktion
ψ2 (x) = N2 e−
(x+a)2
+iπ
4a2
(1)
a) Berechnen Sie analog zu Aufgabe 1 die Normierungskonstante N2 und die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [−a, a] anzutreffen. Zeigen Sie, dass sich das gleiche
Ergebnis wie in Aufgabe 1 ergibt. Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung. An
welchem Ort ist nun die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens am größten ? (2 P.)
b) Das Teilchen soll sich nun in einer gleichmäßigen Überlagerung der beiden Zustände
ψ1 (x) und ψ2 (x) befinden, d.h. seine Wellenfunktion soll sein
ψ3 (x) = N3 [ψ1 (x) + ψ2 (x)]
Bestimmen Sie zunächst die Normierungskonstante N3 und skizzieren Sie wieder die
Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im
Intervall [−a, a] anzutreffen ? Zeigen Sie, dass diese Wahrscheinlichkeit kleiner ist als in
Aufgabe 1c und in Aufgabe 2a. Woran liegt das ?
(2 P.)
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Zustand ψ3 (x) im Intervall [−a, a]
anzutreffen, wenn man in Gleichung (1) den Phasenfaktor iπ im Exponenten wegläßt ?
Wie kann man dieses Resultat interpretieren ?
(2 P.)
Aufgabe 3: Lineare Operatoren (3 Punkte)
In der Quantenmechanik werden physikalische Größen durch lineare Operatoren dargestellt. In einer Dimension ist der Ortsoperator x̂ gegeben durch
x̂ ψ (x) = xψ (x)
d.h. wenn man den Ortsoperator auf eine beliebige Wellenfunktion ψ (x) anwendet, multipliziert er diese Funktion mit der Ortskoordinate x. Der Impulsoperator p̂ ist gegeben
durch
~ d
p̂ ψ (x) =
ψ (x)
i dx
d.h. der Impulsoperator differenziert die Wellenfunktion nach x und multipliziert sie mit
der Konstanten ~i .
Zeigen Sie, dass Ortsoperator und Impulsoperator nicht kommutieren, d.h. dass es einen
Unterschied macht, ob man erst den Ortsoperator und dann den Impulsoperator auf eine
Wellenfunktion anwendet oder umgekehrt. Berechnen Sie den sogenannten Kommutator
[x̂, p̂] = x̂p̂ − p̂x̂
und zeigen Sie, dass gilt
[x̂, p̂] = i~1̂
wobei 1̂ der Einsoperator ist, der eine Wellenfunktion unverändert läßt.
Hinweis: wenden Sie dazu den Kommutator auf eine beliebige Wellenfunktion an und
verwenden Sie die obigen Definitionen von Orts- und Impulsoperator.
Besprechung am 17.04.2015.