Témaspecifikus szabályok

Nagy Judit
németről magyarra fordítás
, szaknyelv: matemaika
2006. 05.13
Quelle: R. Fischer – G. Malle: Mensch und
Mathematik. Eine Einführung in didaktisches
Denken und Handeln. Wissenschaftsverlag, 1985. S.
212–218.
2006. március
Nagy Judit
1074,Budapest, Huszá u 6 /fsz . 6
06-20-368-52-07
[email protected]
További heurisztikus szabályok
Pólya kimond néhány heurisztikus szabályt munkájában (mindenekelőtt 1949), amelyek a
matematikában általánosan alkalmazhatók, és a tanítás során időnként hasznosak lehetnek.
Ezen szabályok közülük néhányat felsorolunk, és példákon keresztül szemléltetjük őket.
(1) Vezesd vissza a problémát egy már ismertre!
Ismersz hasonló vagy rokon feladatot, amit már megoldottál? Van olyan része a feladatnak,
amit már meg tudsz oldani?
04
Ismerjük a háromszög a oldalát, α és β szögét! Számoljuk ki b és c oldalt!
Ennél a feladatnál feltételezzük, hogy a tanulók derékszögű háromszögre már igen, de
hegyesszögű háromszögre még nem tudják megoldani. A feladat visszavezethető a már
ismert példára, ha a háromszöget két derékszögű háromszögre bontjuk fel.
(2) Keress összefüggéseket!
Ismersz vagy látsz működési, algebrai, logikai vagy más összefüggést? Hogy változik az
egyik, ha a másik megváltozik?
05
Vízszintes talajon egy torony előtt található megfigyelési pontból a toronyablak
alsó része, amely a talajtól a méter magasan fekszik, α emelkedési szögben, az ablak
felső része β emelkedési szögben látszik. Milyen nagy toronyablak?
Ha nem látunk semmilyen megoldási menetet, először megpróbálhatunk valamilyen
algebrai összefüggést megadni x, a, α és β között. A közvetlen kapcsolat nem nyilvánvaló.
Ha még y-t is bevezetjük, akkor felismerhetjük az a = y · tgα és
a + x = y · tgβ összefüggéseket.
Ezekből adott körülmények között látható, hogy y kiküszöbölése
révén megkapjuk a keresett x magasságot.
(3) Vezesd vissza a definícióra!
Ez a szabály különösen bizonyítási feladatoknál hasznos.
06
Mutasd meg, hogy a háromszög három
oldalfelező
merőlegese
egy
pontban
metszi
egymást!
A bizonyítás nem nehéz, ha emlékszünk az oldalfelező
merőleges definíciójára. Ugyanis ha U s1 és s2
metszéspontja, akkor AU = BU és BU = CU teljesül,
amiből AU = CU és ezért U s3-on is rajta van.
(4) Vizsgáld meg a szélső eseteket!
07
Legye adott egy tetszőleges ABCD négyszög
(5h. ábra). Összekötjük az AD és BC oldal felező
pontjait, M-et és N-et. Melyik nagyobb: MN vagy
0,5(AB + DC)?
Tekintsük először a szélső esetet, amikor a két végpont,
vagyis C és D egybeesnek (5i. ábra). Ebben az esetben a
párhuzamos szelők tételéből vagy hasonló háromszögek
segítségével következik: MN = 0,5 · AB.
Most az általános esetet visszavezethetjük a szélső esetre. Az 5j. ábrán a négyszöget a BD
átló két háromszögre bontja. Ha berajzoljuk még az MK || AB és KN || DC szakaszokat,
akkor az ABD és CDB háromszög is a szélső esetek felel meg. Ezért fennáll:
1
 AB
2
1
KN   DC
2
Ebből a háromszög-egyenlőtlenség miatt következik:
MK 
MN  MK  KN 
1
 AB  DC  ,
2
Ezzel a problémát megoldottuk. Sőt még többet is mondhatunk: egyenlőség pontosan
akkor áll fenn, ha MN || AB, ami azt jelenti, hogy az ABCD négyszög trapéz, amelynek
alapjai AB és DC.
(5) Változtasd meg a feltételeket!
Változtasd meg az adatokat! Változtasd meg a vázlatot! Játssz a feltételekkel!
Ezáltal az adatok egymástól való függése felismerhetővé válik, láthatók lesznek speciális
vagy szélső esetek, az észre nem vett esetek felfedezhetőek stb.
Témaspecifikus szabályok
M
Ezek korlátozott anyagrészre vonatkoznak. Példaként szolgálnak a 66. oldalon felsorolt
célirányos képletátalakítási szabályok. További példaként bemutatunk néhány szabályt az
elemi geometria területéről:
– Készíts vázlatot (amely úgy néz ki, mintha a feladatot már megoldottad volna)!
– Jelöld a vázlaton a megadott adatokat!
– Próbálj ismert szerkesztési eljárásokat alkalmazni!
– Próbál segédvonalakkal olyan alakzatokat létrehozni, amelyek továbbsegítenek! (Köss
össze pontokat, hosszabbítsd meg a vonalakat, húzz párhuzamosokat vagy merőlegeseket
stb.!)
08
(WALSCH-WEBER 1975, 199. o. nyomán): Szerkessz trapézt, ha adott a, c, d
és β (a || c).
Vázlatkészítés és a megadott adatok jelölése utá észrevesszük, hogy az ismert szerkesztési
eljárások egyike sem segít tovább. Próbáljuk meg segédvonalakkal. Kézenfekvő az átlók
berajzolása. Ám azt is megállapíthatjuk, hogy sem az egyik, sem a másik átló nem segít.
Egyéb segédvonalakkal próbálkozunk:
Mindkét variáció célhoz vezet.
Példa különböző heurisztikus cselekmények együtthatására a tanításban:
a kerületi szögek tételének feldolgozása
Ezen példa bemutatásánál arra a , amelyet STEINHÖFEL/REICHOLD (1971) a bizonyítás
feldolgozására adott meg. A szerzők a folyamatba három fázist különböztetnek meg:
a) A tétel felismerése – sejtés megtalálása.
b
b) A bizonyítás megtalálása. Ennek a fázisnak a részlépései többek között: a bizonyítás
szükségességének igénye, a sejtés logikai elemzése, a sejtés besorolása az eddig
megszerzett matematikai tudások közé, lehetséges bizonyítási eszközök megtalálása
(tételek és definíciók, amelyek a bizonyításhoz szóba jöhetnek), a bizonyítási ötlet
megtalálása. Ennek a fázisnak a végére a bizonyítást lényegében meg kell találni, anélkül,
hogy azt tökéletesen le tudnánk írni.
c) A bizonyítás leírása – a következtetési lánc többé-kevésbé hiánytalan leírása a
feltételektől az állításig.
Ez a három fázis a gyakorlatban gyakran erősen egymásba folyik, a következőkben
azonban külön tárgyaljuk őket.
A kerületi szögek tételének következő feldolgozása során feltesszük, hogy a tanulók a
háromszög szögeire vonatkozó néhány tétellel és a körrel kapcsolatos alapfogalmakkal
tisztában vannak. Ugyanígy feltételezzük, hogy a tanár a kör húrja fölé rajzolt kerületi szög
fogalmát már elmagyarázta.
a) A tétel felismerése: A tanár kiosztja egy kör és abba berajzolt húr fénymásolatát (A,13),
és megkéri a diákokat, hogy rajzoljanak minél több kerületi szöget a húrhoz. Aki a
legnagyobb kerületi szöget megtalálja, az nyer. Ebből szinte bizonyosan adódik a sejtés,
hogy az AB fölé írt összes kerületi szög egyenlő nagyságú. (Az a felszólítás, hogy méréssel
állapítsuk meg, hogy az AB fölé írt összes kerületi szög egyenlő nagyságú, kevésbé lenne
hasznos, mivel ezáltal megfosztanánk a diákokat az általuk megtalált sejtéstől.)
b) A bizonyítás megtalálása: Abból indulunk ki, hogy a diákokban legalább egy
minimális igény van a bizonyításra (különben a további munka meglehetősen értelmetlen.)
A sejtés logikai elemzése megköveteli, hogy a sejtést Ha – akkor formában fogalmazzuk
meg (különben nem tudjuk, hogy a bizonyításban hogyan …)Ez a tanulók számára nem
egyszerű, és tanári segítséget igényel. A sejtést átfogalmazása Ha – akkor formára ugyanis
meglehetősen erős nyelvi átalakítást igényel. Lényegében két lehetőség van:
– Ha APB és AP’B az AB húr fölé írt kerületi szögek, akkor APB = AP’B
– Ha AB a kör egy húrja, akkor létezik egy olyan rögzített φ szög, hogy APB = φ minden a
körvonalon fekvő P pontra.
Mindkét megfogalmazás
A következőkben mi csak egy bizonyítást írunk le vázlatosan, amely a második
megfogalmazásnak felel meg. Mielőtt azonban tovább lépnénk, érdemes a kiindulási
feltételt és az állítást írásban rögzíteni:
Feltétel:
AB a kör egy húrja.
Állítás:
Létezik egy olyan rögzített φ szög, hogy APB = φ minden a körvonalon fekvő
P pontra.
A sejtés besorolása az eddig megszerzett matematikai tudások közé ismét csak nem
egyszerű. A sejtésnek valószínűleg a körhöz és a háromszög szögeivel van valamiféle
kapcsolata (mivel az APB háromszög egy szögét vizsgáljuk). Ezáltal a bizonyítási
eszközöket (definíciók, tételek) is könnyű megtalálni. A tanár lehetőséget adhat arra, hogy
a diákok felsorolják a körre és a háromszög szögeire vonatkozó ismert definíciókat és
tételeket. Felírhatja ezeket a táblára, így egységben a már felrajzolt vázlattal körülbelül a
következő táblaképet kaphatjuk:
(1) A kör azon pontok halmaza, amelyek egy
adott M ponttól egyenlő r távolságra vannak.
(2) Egy háromszög belső szögeinek összege 180˚.
(3) Egy háromszög külső szöge egyenlő a két nem
mellette fekvő belső szög összegével.
(4) Az egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögei
egyenlő nagyságúak.
A táblára minden további nélkül több definíció vagy tétel is felkerülhet, mint ami végül is
felhasználásra kerül. A tanár ügyes válogatása azonban megkönnyítheti a bizonyítási
ötletet a diákok számára. (Mindazonáltal ebben van egy manipulatív momentum.)
Hogyan jut el az ember egy bizonyítási ötlethez? Itt lépnek be a heurisztikus
megfontolások, amelyeket a tanár „támogatni” tud anélkül, hogy azonnal elárulná a
tanulóknak a trükköt. Vázlatosan bemutatunk egyet a számtalan heurisztikus megfontolás
közül:
Az APB szöget szeretnénk egy adott szög nagyságával összehasonlítani. Az egyetlen
rögzített szögek, amelyek az ábrán kínálkoznak, az ABM háromszög szögei, és itt azok
közül is különösen az AMB szög, mert ez, mint ahogy APB szög is, az AB húr fülé írt
szög. Milyen összefüggés van APB és AMB szög között? A mérések ahhoz a sejtéshez
vezethetnek, hogy AMB = 2 · APB. Ha ez a sejtés helyes, akkor eredeti sejtésünket is
bizonyítottuk
volna
(φ = 0,5 · AMB).
Hogyan
tudnánk
megmutatni,
hogy
AMB = 2 · APB? Próbáljuk meg először ezt abban speciális esetben bizonyítani, amikor
ABP háromszög egyenlő szárú (5k. ábra).
A rövidség kedvéért vezessük be az APB = α, AMB = β jelölést. Így azt kell bizonyítani,
hogy β = 2α. Az ábra alapján kézenfekvőnek tűnik, hogy berajzoljuk az ABP egyenlő szárú
háromszög magasságát, és beírjuk α/2 és β/2 szögnagyságot. A β és α közötti összefüggés
keresésekor (heurisztikus szabály: Keress összefüggéseket!), észrevehetjük, hogy AMF az
AMP háromszög egyik külső szöge. Hogy alkalmazni tudjuk a külső szögekre vonatkozó
tételt, szükségünk van a PAM szög nagyságára. A kör definíciójából következik, hogy MA
= MP (heurisztikus szabály: Vezesd vissza a definícióra!), és ezért az AMP egyenlő szárú,
vagyis PAM = α/2. A külső szögekre vonatkozó tétel alapján β/2 = α/2 + α/2 = α.
Ezen megfontolások viszonylag könnyen átvihetők az általános esetre (5.l. ábra) Analóg
módon adódik: β1 = 2α1 és β2 = 2α2 , vagyis β = β1 + β2 = 2α1 + 2α2 = 2(α1 + α2) = 2α.
P
Ezzel készen vagyunk a bizonyítással? Ha P-t végigfuttatjuk a körvonalon, (heurisztikus
szabály: Változtasd meg a feltételeket!), észrevesszük, hogy a megtalált bizonyítás csak
akkor működik, ha P sem jobbra, sem balra nincs túl messze, azaz M az ABP háromszögön
belül fekszik. Tehát újabb eseteket kell megkülönböztetnünk. Szimmeria-okokból elég az
5.m ábra esetét vizsgálni. Ezt az esetet a tanulók egyedül is feldolgozhatják, mivel a fenti
megfontolások analóg módon elvégezhetők. *
F
Ha egy bizonyításnál esetszétválasztás fordul elő, nem gondoljuk, hogy minden esettel részletesen
foglakozni kell. Azonban a vizsgálandó eseteket mind fel kell sorolni, vagy legalábbis megállapítani, hogy
még további eseteket kellene vizsgálni.
*
Az eredeti szöveg:
Weitere heuristische Regeln
PÓLYA hat in seinen Arbeiten (vor allem 1949) einige heuristische Regeln formuliert,
die in der Mathematik universell einsetzbar sind und im Unterricht gelegentlich
nützlich sein können. Wir zählen einige dieser Regeln auf und illustrieren sie an
Beispielen.
(1) Führe die Aufgabe auf Bekanntes zurück!
Kennst du eine ähnliche oder verwandte Aufgabe, die du schon gelöst hast? Kannst du
Teile der Aufgabe bereits lösen?
04 Von einem Dreieck kennt man a ,  und ß. Berechne b und c!
Wir nehmen dabei an, dass die Schüler rechtwinkelige, aber noch nicht schiefwinkelige
Dreiecke auflösen können. Die Aufgabe kann durch Zerlegung des Dreiecks in zwei
rechtwinkelige Dreiecke auf Bekanntes zurückgeführt werden.
(2) Suche Zusammnenhänge auf!
Kennst oder siehst du funktionale, algebraische, logische oder andere Abhängigkeiten?
Wie verändert sich das eine, wenn sich das andere verändert?
05 Von einem am waagrechten Boden vor einem Turm liegenden Bebachtungspunkt
aus erschein' das untere Ende eines Turmfensters, das a Meter über dem Boden liegt,
unter dem Höhenwinkel , das obere Ende unter dem Höhenwinkel ß . Wie hoch ist
das Turmfenster?
Wenn man keinen Lösungsweg sieht, kann man zunächst
versuchen, irgendwelche algebraischen Beziehungen zwischen
x, a, αund ß anzugeben. Direkte Beziehungen sind nicht
ersichtlich. Führt man noch y ein, kann man die Beziehungen a
= y · tg und a+x = y · tgß erkennen. Daraus kann man u.U.
ersehen, dass man durch Elimination von y die gesuchte Größe
x erhält.
(3) Gehe auf Definitionen zurück!
Diese Regel ist besonders bei Beweisaufgaben nützlich.
06 Zeige, dass die drei Seitensymmetralen eines Dreiecks sich in einem Punkt
schneiden!
Der Beweis ist nicht schwer, wenn man sich der
Definition der Seitensymmetrale entsinnt. Denn ist U
der Schnittpunkt von s1 und s2, dann gilt AU = BU
und BU = CU, somit AU = CU und somit liegt U
auch auf der s3.
(4) Betrachte Grenzfälle (Extremfälle)!
07 Gegeben sei ein beliebiges Viereck ABCD (Fig.
5h). Wir verbinden die Mittelpunkte M, N der Seiten
[A, D] und [B, C]. Was ist größer: MN oder
0,5(AB + DC)?
Wir betrachten zuerst den Grenzfall, dass zwei Endpunkte, etwa
C und D, zusammenfallen (Fig. 5i). In diesem Fall folgt mit der
Hilfe des Strahlensatzes oder ählicher Dreiecke:
MN 
1
 AB
2
Der allgemeine Fall kann nun auf den Grenzfall zurückgeführt werden. In Fig.5j
wird das Viereck durch die Diagonale [B, D] in zwei Dreiecke zerlegt. Zeichnet man
noch die Strecken
[M, K] || [A, B] és [K, N] || [D, C]
ein, so entspricht jedes der beiden Dreiecke ABD und CDB dem Grenzfall.
Es gilt daher:
1
 AB
2
1
KN   DC
2
Daraus folg nach der Dreiecksungleichung:
MK 
1
 AB  DC  ,
2
womit das Problem gelöst ist. Wir können sogar mehr sagen: Gleichheit tritt genau dann
MN  MK  KN 
ein, wenn [M, N] || [A, B] , d. h. wenn das Viereck ABCD ein Trapez mit der
Parallelseiten [A, B] und [D, C] ist.
(5) Variiere die Bedingungen:
Verändere die Angaben! Verändere die Skizze! Spiele mit den Angaben!
Dabei können Abhängigkeiten erkannt werden, Spezial- oder Grenzfälle gesehen werden,
zunächst übersehene Fälle entdeckt werden usw.
A
M
Stoffspezifische Regeln
Diese beziehen sich auf ein begrenztes Stoffgebiet. Beispiele bilden etwa die auf Seite 66
genannten Regeln zum zielgerichteten Formelumformen. Als weitere Beispiele führen wir
einige Regeln der Elementargeornetrie an:
– Fertige eine Skizze an (in der so getan wird, als ob die Aufgabe schon gelöst wäre)!
– Kennzeichne in der Skizze die gegebenen Größen!
– Versuche, bekannte Konstruktionsverfahren anzuwenden!
– Versuche, durch Hilfslinien solche Figuren zu erzeugen, die weiterhelfen! (Verbinde
Punkte, verlängere Linien, ziehe Parallele oder Normale etc.)
08 (nach WALSCH-WEBER 1975, S. 199): Konstruiere ein Trapez aus a,c,d
und ß (a II c).
Nach Anfertigung einer Skizze und Kennzeichnung der gegebenen Größen merken wir,
dass keines der bekannten Konstruktionsverfahren weiterhilft.
Wir versuchen es mit Hilfslinien. Naheliegend ist das Einzeichnen der Diagonalen.
Wir stellen jedoch fest, dass weder die eine noch die andere Diagonale weiterhilft.
Wir versuchen es mit anderen Hilfslinien:
Beide Varienten führen zum Ziel.
Ein Beispiel für das Zusammenwirken verschiedener heuristischer Aktivitäten im
Unterricht : Erarbeitung des Peripheriewinkelsatzes
Bei der Darstellung dieses Beispiels lassen wir uns durch ein Phasenschema anregen,
das von STEINHÖFEL/REICHOLD (1971) zur Erarbeitung von Beweisen
angegeben wurde. Die Autoren unterscheiden in diesem Prozeß drei Phasen:
(a) Satzfindung, d.h. Auffinden einer Vermutung.
(b) Beweisfindung. Teilschritte dieser Phase sind u.a.: Motivierung der Beweisnotwendigkeit, logische Analyse der Vermutung, Einordnung der Vermutung in
das bisher erworbene mathematische Wissen, Auffinden möglicher Beweismittel
(Sätze und Definitionen, die für einen Beweis in Frage kommen), Auffinden einer
Beweisidee. Am Ende dieser Phase soll ein Beweis im wesentlichen gefunden sein,
ohne dass man ihn bereits lückenlos darstellen kann.
(c) Beweisdarstellung, d.h. mehr oder weniger lückenlose Darstellung der logischen
Folgerungskette von den Voraussetzungen bis zur Behauptung.
Diese drei Schritte fließen in der Praxis oft stark ineinander, sollen im folgenden aber
getrennt erläutert werden.
Bei der folgenden Erarbeitung des Peripheriewinkelsatzes setzen wir voraus, dass die
Schüler mit einigen Sätzen über Dreieckswinkel sowie mit einigen Grundbegriffen
der Kreislehre vertraut sind. Ebenso wollen wir voraussetzen, dass der Lehrer den
Begriff "Peripheriewinkel über einer Kreissehne" schon erklärt hat.
(a) Satzfindung: Der Lehrer teilt Kopien eines Kreises mit eingezeichneter Sehne
(A,13] aus und fordert die Schüler auf, möglichst viele Peripheriewinkel über der
Sehne zu zeichnen. Wer den größten Peripheriewinkel findet, hat gewonnen.
Daraus ergibt sich ziemlich sicher die Vermutung, dass alle Peripheriewinkel über
[A,B] gleich groß sind. (Die Aufforderung, durch Messung festzustellen, dass alle
Peripheriewinkel über [A,B] gleich groß sind, wäre weniger günstig gewesen, da
dadurch die von den Schülern zu entdeckende Vermutung vorweggenommen
wird.)
(b) Beweisfindung: Wir gehen davon aus, dass für die Schüler wenigstens eine
gewisse Motivation für einen Beweis vorliegt (ansonsten ist ein Weiterarbeiten
ziemlich sinnlos).
Die logische Analyse der Vermutung erfordert, die Vermutung in Wenn-dannForm zu
bringen (sonst weiß man nicht, wie man bei dem Beweis vorzugehen hat). Dies ist für
Schüler nicht einfach und wird der Hilfe des Lehrers bedürfen. Die vorliegende Vermutung
in
Wenn-dann-Form
zu
bringen,
erfordert
nämlich
relativ
starke
sprachliche
Umformulierungen. Im wesentlichen gibt es zwei Möglichkeiten: '
– Wenn APB und AP'B Peripheriewinkel über der Sehne [A,B] sind, dann ist APB =
AP'B
– Wenn [A,B] Sehne eines Kreises ist, dann gibt es ein festes Winkelmaß , sodass
APB =  für alle Punkte P auf der Kreislinie.
Beide Formulierungen können zu einem Beweis herangezogen werden. Wir skizzieren
im folgenden aber nur einen Beweis, der der zweiten Formulierung entspricht. Bevor
weitergeschritten wird, ist es günstig, Voraussetzung und Behauptung schriftlich
festzuhalten:
Voraussetzung: [A,B] ist Sehne eines Kreises.
Behauptung: Es gibt ein festes Winkelmaß , sodass APB =  für alle P
auf der Kreislinie.
Die Einordnung der Vermutung in das bisher erworbene mathematische Wissen ist
wiederum leicht. Die Vermutung hat höchstwahrscheinlich etwas mit dem Kreis und
mit Winkeln in Dreiecken zu tun (da ja ein Winkel im Dreieck APB betrachtet wird).
Damit sind auch die Beweismittel (Definitionen, Sätze) leicht zu finden. Der Lehrer
kann die Schüler veranlassen, bekannte Definitionen und Sätze über den
Kreis und über Winkel in Dreiecken aufzuzählen. Er kann diese an die Tafel
schreiben, sodass im Verein mit der schon gezeichneten Skizze etwa folgendes
Tafelbild entsteht:
Dabei können an der Tafel ohne weiteres mehr Definitionen oder Sätze stehen als
(1) Der
Kreis
von
einem
Abstand r haben.
ist
die
gegebenen
(2) Die
Summe
Dreiecks beträgt 180.
(3) Ein
der
Innenwinkel.
Außenwinkel
Summe
(4) Die
Basiswinkel
Dreiecks sind gleich groß.
letzten
Menge
Punkt
der
eines
der
aller
M
Punkte,
die
den
gleichen
Innenwinkel
Dreiecks
beiden
eines
eines
ist
gleich
nichtanliegenden
gleichschenkligen
Endes gebraucht werden. Eine geschickte Auswahl durch den Lehrer kann den
Schülern jedoch das Auffinden einer Beweisidee erleichtern (allerdings liegt darin
auch ein manipulatives Moment).
Wie kann man zu einer Beweisidee kommen? Hier setzen nun heuristische
Überlegungen ein, die der Lehrer unterstützen kann, ohne den Schülern gleich den
"Trick" zu verraten. Wir skizzieren eine von vielen möglichen heuristischen
Überlegungen:
Wir wollen ja den Winkel APB mit einem festen Winkel vergleichen. Die einzigen
festen Winkel, die sich in der Figur anbieten, sind die Winkel im Dreieck ABM und
hier wiederum bietet sich besonders der Winkel AMB an, weil dieser wie APB über
der Sehne [A,B] liegt. Wie hängt
zur Vermutung führen:
APB mit
AMB zusammen? Messungen können
AMB = 2 · APB. Falls diese Vermutung stimmt, hätten
wir auch unsere ursprüngliche Vermutung bewiesen (mit φ = ½ ·
können wir zeigen, dass
AMB = 2 ·
AMB). Wie
APB? Versuchen wir zunächst, dies in dem
Spezialfall zu beweisen, dass das Dreieck ABP gleichschenkelig ist (Fig. 5k).
Wir setzen zur Abkürzung APB = α und AMB = β. Somit ist β= 2α zu beweisen. In der
Figur ist es naheliegend, die Höhe des gleichschenkeligen Dreiecks ABP einzuzeichnen
und die Winkelmaße α/2 und β/2 einzutragen. Auf der Suche nach einem Zusammenhang
zwischen β und α (heuristische Regel: Suche Zusammenhänge auf!) kann man entdecken,
daß AMF ein Außenwinkel
P
des Dreiecks AMP ist. Um den Satz über die Außenwinkel anwenden zu können, braucht
man das Maß des Winkels PAM. Aus der Definition des Kreises folgt MA=MP
(heuristische Regel: Gehe zurück auf Definitionen!), somit ist das Dreieck AMP
gleichschenkelig und somit PAM = α/2. Nach dem Satz über die Außenwinkel folgt
β/2 = α/2 + α/2 = α.
Diese Überlegungen lassen sich relativ leicht auf den allgemeinen Fall übertragen (Fig.
5.l).
Es
ergibt
sich
in
analoger
Weise
β1 = 2α1
und
β2 = 2α2
somit
β = β1 + β2 = 2α1 + 2α2 = 2(α1 + α2) = 2α.
Sind wir damit mit dem Beweis fertig? Lassen wir P auf der Kreislinie wandern
(heuristische Regel: Variiere die Bedingungen!), bemerken wir, daß der gefundene Beweis
nur funktioniert, wenn der Punkt P nicht zu weit links oder rechts liegt, d.h. M nicht
außerhalb des Dreiecks ABP liegt. Es sind also noch weitere Fälle zu betrachten. Aus
Symmetriegründen genügt es, den Fall in Fig.5m zu betrachten. Dieser Fall kann von den
Schülern selbst bearbeitet werden, da man den obigen Überlegungen analog vorgehen
kann.*
*
Falls bei einem Beweis Fallunterscheidungen auftreten, meinen wir nicht, daß man unbedingt alle Fälle
behandeln muß. Man sollte aber alle zu behandelnden Fälle aufzählen oder wenigstens feststellen, daß noch
weitere Fälle zu behandeln wären.
A fordító kommentárja:
Az eredeti szöveg egy gimmáziumi diákoknak íródott tankönyvből származik.Ennek
tudható be, hogy a fordítás hangvétele fiatalosabb, lezserebb, mint a megszokott
szakszövegeké.
A nyelvezet ebből adódóan személyesebb ,sok benne a felszólítás ,az olvasóval együtt
készíti el a feladatok a szerző, próbál együtt gondolkozásra sarkallni.
Ennek megfelelően, a célközönségnek én is diákokat válaszottam, és próbáltam hasonló
módon elkészíteni a fordítást.
Ezt a fordítást nem tartottam túlságosan nehéznek, hiszen németről magyarra kellett
fordítanom, ami jóval könnyebb mintha ez fordítva történne.
A fordításomhoz több, hasonló hangvételű és tartalmú szöveget használtam
segítségképpen.
Források:

Halász Előd: Német-magyar kéziszótár, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1991.

Kornya László: Német-magyar magyar-német matematikai kifejezés- és
szöveggyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 1992.

MoBiDictionary - On-line szótár, http://mobidic.hu

Wikipedia, Die freie Enzyklopedie, http://de.wikipedia.org/wiki/Wiki