Petra Reddeck

Merkwürdige Punkte im Dreieck
Ausarbeitung im Rahmen des Seminars
Zeitlose Geometrie
Wintersemester 2004/2005
Seminarleitung: Dr. Andreas Klein
vorgelegt von:
Petra Reddeck
L1, Mathematik, SU, Deutsch
5. Semester
e-mail: [email protected]
Matr.Nr.: 02230991
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Seite 1
Satz 1
Seite 2
Satz 2
Seite 4
Satz 3
Seite 5
Satz 4
Seite 6
Einleitung - Merkwürdige Punkte im Dreieck
Im Zusammenhang mit Dreiecken gibt es viele merkwürdige Punkte und Geraden,
die eine besondere Bedeutung haben, und die interessant wären näher untersucht
und betrachtet zu werden. In dieser Ausarbeitung soll es vorwiegend um den
Schwerpunkt und den Inkreismittelpunkt und ihre Bedeutung im Dreieck gehen.
In der vorliegenden Ausarbeitung sind Punkte, sowie Winkel mit Großbuchstaben wie
A bezeichnet, Strecken mit zwei Großbuchstaben wie AB und Flächen mit
Großbuchstaben der Eckpunkte in Klammern wie (ABC).
Vorab möchte ich einen Punkt vorstellen, auf den sich schon vorher bezogen wurde,
und der die Gruppe des Schwerpunkts und des Inkreismittelpunkts komplettiert, den
Umkreismittelpunkt. Er ist definiert als der Mittelpunkt eines Kreises, der einem
Dreieck umschrieben ist, das heißt alle Eckpunkte des Dreiecks liegen auf dem
Kreis. Dieser Kreis wird Umkreis des Dreiecks genannt. Der Umkreismittelpunkt
entsteht aus dem Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten und ist
in der folgenden Abbildung mit M bezeichnet. Der Radius des Umkreises wird mit R
bezeichnet und ist der Abstand zwischen M und A bzw. M und B bzw. M und C.
A
R
M
B
C
Abb. 1
1
Im Folgenden werde ich auf die Seitenhalbierenden eines Dreiecks und den
Schwerpunkt, den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eingehen und interessante
Zusammenhänge und Beziehungen, die sich daraus ergeben und in Satz 1 und
Satz 2 formuliert sind, erklären.
Satz 1:
Ein
Dreieck
wird
durch
seine
Seitenhalbierenden
in
sechs
kleinere
flächengleiche Dreiecke zerlegt.
A
C'
B'
G
B
C
A'
Abb. 2
Beweis:
Seitenhalbierende werden definiert als Transversalen 1, die die Ecken des Dreiecks
mit den Mittelpunkten der jeweils gegenüberliegenden Seiten verbinden.
In
dem
oben
abgebildeten
Dreieck
(ABC)
sind
AA’, BB’
und
CC’
die
Seitenhalbierenden dieses Dreiecks (s. Abb2). Eine Seitenhalbierende hat die
Eigenschaft, dass sie die Seite, die sie halbiert in zwei gleich große Strecken teilt, so
dass gilt:
BA’ = A’C; CB’ = B’A und AC’ = C’B.
1
Transversale ist eine Gerade, die eine Figur (Dreieck oder Vieleck) schneidet.
2
Nach dem Satz von Ceva schneiden sich drei Ecktransversalen in einem Punkt und
es gilt:
BA’ / A’C x CB’ / B’A x AC’ / C’B = 1.
BA’ / A’C = 1, da BA’ = A’C, analog CB’ / B’A = 1 und AC’ / C’B =1
Für die Gleichung gilt 1 x 1 x 1 =1
Aus dem Satz von Ceva lässt sich daher für das Dreieck in Abb. 2 schließen, dass
sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt G schneiden. Der Schnittpunkt G wird
Schwerpunkt genannt. Dieser Begriff kommt daher, dass sich ein Dreieck bestehend
aus einem Material mit gleichmäßiger Dichte im Gleichgewicht befinden würde, wenn
man es an diesem Punkt aufhängt.
A
z
C'
Y
B'
G
y
Z
X
x
B
A'
C
Abb. 3
Zwei Dreiecke sind flächengleich wenn sie die gleiche Grundseite und die gleiche
Höhe haben. Aus diesem Grund gilt (GBA’) = (GA’C). Der Übersichtlichkeit halber
kann man die beiden Flächen mit x bezeichnet (s. Abb.3). Analog gilt (GCB’) =
(GB’A) und (GAC’) = (GC’B), die Flächen werden y und z genannt (s. Abb. 3). Aus
dem gleichen Grund gilt auch (ABA’) = (AA’C), daraus folgt 2z + x = 2y + x, woraus
y = z folgt. Ebenso gilt (BCB’) = (BB’A) und damit 2x + y = 2z + y, woraus x = z folgt
und weiterführend x = y = z. Satz 1 ist damit bewiesen.
3
Satz 2:
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks teilen sich gegenseitig im Verhältnis
2:1; anders ausgedrückt: In einem Dreieck dritteln sich die Seitenhalbierenden
gegenseitig.
A
C'
B'
G
h
B
A'
C
Abb. 4
Beweis:
Nach Satz 1 ist (GBC) = 2 (GCB’). Nimmt man GB und GB’ jeweils als die Grundseite
der beiden Dreiecke, so haben sie die gleiche Höhe h und daraus folgt BG = 2 GB’
(s. Abb.4). Für die anderen Dreiecke und die Streckenverhältnisse gilt in gleicher
Weise AG = 2 GA’ und CG = 2 GC’. Damit wäre Satz 2 bewiesen.
Die beiden nachfolgenden Sätze, Satz 3 und Satz 4, beschäftigen sich mit den
Winkelhalbierenden und deren Eigenschaften im Dreieck.
4
Satz 3:
Jede Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite im
Verhältnis der Längen der anliegenden Seiten.
A
c
N
K
b
I
L
B
a
C
Abb. 5
Beweis:
Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks sind Ecktransversalen. AL ist eine
Winkelhalbierende und teilt das Dreieck (ABC) wie in Abb. 5 in die zwei Dreiecke
(ABL) und (ALC). Diese beiden Dreiecke haben die Eigenschaft, dass die Winkel in L
denselben Sinuswert haben, da die beiden Winkel zusammen 180° ergeben.
Nach dem erweiterten Sinussatz gilt in einem Dreieck (ABC) mit dem
Umkreisradius R:
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
Übertragen auf die Dreiecke (ABL) und ALC) kann folgende Gleichung aufgestellt
werden:
BL / sin ½ A = c / sin L und LC / sin ½ A = b / sin L
Nach Umformen folgt daraus BL / LC = c / b. Betrachtet man die beiden
Winkelhalbierenden in B und C, so ergibt sich analog CN / NA = a / c und
AK / KB = b / a. Satz 3 ist damit bewiesen.
5
Satz 4:
Die Winkelhalbierenden der drei Winkel eines Dreiecks schneiden sich in
einem Punkt.
A
c
b
I
r
B
a
C
Abbildung 6
Beweis:
Die Winkelhalbierende ist genau die Gerade, auf der alle Punkte liegen, die von den
beiden Schenkeln des Winkels jeweils den gleichen Abstand haben. Bezogen auf
das Dreieck ABC in Abb. 5 gilt, dass jeder Punkt auf AL von CA und AB den gleichen
Abstand hat. Ebenso hat jeder Punkt auf BN den gleichen Abstand zu AB und BC.
Also hat der Schnittpunkt I der beiden Winkelhalbierenden AL und BN von AB, BC
und CA den gleichen Abstand. I liegt somit auch auf der Winkelhalbierenden CK und
hat zu allen Seiten den gleichen Abstand r (r hat die Eigenschaft, dass es die
kürzeste Verbindung zu den Dreiecksseiten ist und senkrecht auf ihnen steht). Wenn
man um I einen Kreis zeichnet, dessen Radius genau dieser Abstand ist, so berührt
dieser Kreis die drei Seiten des Dreiecks und ist der Inkreis des Dreiecks (s. Abb. 6).
I ist der Inkreismittelpunkt und r der Inkreisradius.
Literaturangabe:
Coxeter, H.S.M. / Greitzer, S.L.: Zeitlose Geometrie, Stuttgart 1967. S. 8 – 10,
12 - 15
6