2 B-/H-Feld - Schikowsky IT

Inhaltsverzeichnis:
Es wird keine Garantie für die
Korrektheit der Inhalte
aufgenommen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Dieses Skript ist lediglich als Hilfe
gedacht!
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2.4
2.4.1
2.4.2
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2.5
2.5.1
2.5.2
3
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
E-FELD: .............................................................................................................. 2
Anwendung ist rotationssymmetrisch, elektrostatisch ........................................................................ 2
Anwendung ist nicht rotationssymmetrisch ......................................................................................... 4
Allgemein ............................................................................................................................................. 4
Für Strom durchflossene Leiter (Rückleiter unendlich weit entfernt) .................................................. 5
B-/H-FELD .......................................................................................................... 6
Normaler Leiter (Kabel, Linienladung….) ........................................................................................... 6
Schleife, B gesucht auf Koordinaten Achse .......................................................................................... 7
Flussverkettung ....................................................................................................................................... 8
Magnetischer Fluss .............................................................................................................................. 8
Spule .................................................................................................................................................... 8
Im Leiter............................................................................................................................................... 9
Spannungsinduktion ............................................................................................................................. 10
Leiterschleife/Leiterschleifen bewegt, ruhender Leiter ...................................................................... 11
Leiterschleife ruht .............................................................................................................................. 12
Induktionsgesetz in allgemeiner Form ............................................................................................... 12
Selbst-/Gegeninduktivität ..................................................................................................................... 13
Selbstinduktivität ............................................................................................................................... 13
Gegeninduktivität ............................................................................................................................... 13
POYNTING-VEKTOR........................................................................................ 13
Poynting-Vektor bei Hin- und Rückleiter .......................................................................................... 14
Verlustleistung ................................................................................................................................... 14
Transportierte Leistung ...................................................................................................................... 14
Feldbild am Beispiel des Koax-Kabels .............................................................................................. 14
Die Leistung ....................................................................................................................................... 15
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1 E-Feld:
1.1 Anwendung ist rotationssymmetrisch, elektrostatisch
Berechnung mit dem Gausschen Satz. Hüllfläche um den Körper legen, daraus D bestimmen.
∫∫DdA=∫∫∫ρdV
Feldlinien
Eingeschlossene
Ladung
Hüllfläche
(um die
Kugel rum)
Der erste Term bestimmt die Hüllfläche, die um einen geladenen Körper gelegt wird. Bei
einer geladenen Kugel ist dies z.B. die Kugeloberfläche. Bei einer Kugel bestimmt der Radius
der Hüllfäche, in welchem Abstand D bestimmt wird.
Der rechte Teil beschreibt die, von der Hüllfläche, eingeschlossene Ladung.
Wenn der komplette Körper eingeschlossen ist, so wird häufig das Integral (∫∫∫ρdV) durch die
gesamt Ladung Q ersetzt.
Nach erfolgter Parametrierung und Auflösen der Integrale, wird nach D umgestellt.
D=ε*E, ε=ε0*εr
Ladungen die nicht von der Hüllfläche eingeschlossen werden, haben keine Bedeutung
für den Gausschen Satz.
Hilfe:
Bei Rotationssymmetrischen Anwendungen können die Integrale direkt durch Konstanten
ersetzt werden (z.B.: Kugeloberfläche bzw. Kugelvolumen).
E steht in der Elektrostatik immer senkrecht auf Körperoberflächen.
Körperoberflächen sind, in der Elektrostatik, immer Äquipotentialflächen (Flächen mit
konstantem Potential).
Normalerweise wird der Gaussche Satz zweigeteilt durchgeführt:
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Für das E-Feld im Körper und für das E-Feld ausserhalb.
Beispiele: Zylinder, Kugel…..
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1.2 Anwendung ist nicht rotationssymmetrisch
1.2.1 Allgemein
E-Feld wird über die Potentialverteilung berechnet.
-Laplace
-Poisson (Raumladungen eingeschlossen)
Suche der Äquipotentialflächen (Flächen mit konstantem Potential) =>
E-Feld gefunden, da die E-Feldlinien die Äquipotentialflächen immer senkrecht schneiden.
Suche geeignetes Koordinatensystem.
Lösung der Potential-Gleichung => nur den Teil ausführen, der eine Abhängigkeit hat
(über Richtung der Abhängigkeit der Äquipotentialflächen definiert).
Bildung des negativen Gradienten vom Potential:
E=-grad(Ф)
Gradient ausführen, für die Richtung, von der das E-Feld abhängt.
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1.2.2 Für Strom durchflossene Leiter (Rückleiter unendlich weit entfernt)
Hilfe:
Strömungsfeld (Strom fliesst, Rückleiter unendlich weit weg):
Das E-Feld hat die gleiche Richtung wie der Strom.
J=γ *E
Um die Richtungvariable zu finden, mit der sich die Feldstärke ändert, kann man manchmal
über die Stromdichte argumentieren:
J=I/A Flächenabhängigkeit suchen (Wenn sich die Fläche ändert, ändert sich die
Stromdichte=>E-Feld ändert sich in der selben Richtung wie die Stromdichte).
Beispiel: gekrümmter Leiter, Kontaktierung links/rechts
Beachten: Bei Hin- und Rückleiter hat E tangential- und normal-Komponente!!!!!
Wichtig für den Poynting-Vektor.
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2 B-/H-Feld
2.1 Normaler Leiter (Kabel, Linienladung….)
Berechnung durch:
Amperesches Gesetz. Ergebnis (Leiter, Kabel….) H in eφ-Richtung (H ist dann auf einer
Umfangslinie konstant, Feldstärke ändert sich radial.
∫Hdl=I oder ∫Hdl=∫∫JdA (geschlossenes Kurvenintegral ∫Hdl)
Das Amperesche Gesetz kann in Abhängigkeit der Stromdichte formuliert werden.
Das infinitesimale Inkrement dl beschreibt eine Kurve, die den Strom einschliessen muss, für
den ein Magnetfeld bestimmt werden soll.
Dh., wenn man das H-Feld eines, stromdurchflossenen, geraden Leiters bestimmt, so wird dl
durch 2*π*r (Kreisumfang, Integral fällt weg, da rotationssymmetrisch)) ersetzt, diese Kurve
wird dann um den Leiter gelegt. r bestimmt in welchem Radius H berechnet wird.
Die magnetische Induktion ist wie folgt definiert:
B=μ0*μr*H
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2.2 Schleife, B gesucht auf Koordinaten Achse
Biot-Savart-Gesetz:
(μ* I/4π) * ∫(el x er) / r² dl, für fadenförmige Leiter
Die oben beschriebene Form ist die Einheitsvektorenform (Mit den Einheitsvektoren el und
er).
Es wird das Kreuzprodukt der Einheitsvektoren gebildet.
Man stellt sich vor, das hier der Leiter aus unendlich vielen unendlich kleinen
Stromelementen besteht, die durch das Integral zusammen „addiert“ werden.
el:
Dieser, auf die Länge 1, normierte Vektor zeigt in die Richtung des betrachteten
Stromelements. Z.B. Bei einer Leiterschleife würde el für jedes Stromelement in
Umfangsrichtung zeigen.
Bei einer Leiterschleife stehen die x- bzw. y-Komponenten des Vektors er senkrecht auf den
Komponenten von el, wenn B auf der Achse(z-Achse) durch den Schleifenmittelpunkt
berechnet werden soll.
Beispiel gerader Leiter:
el-Richtung, für das
Stromelement
Infinitesimales Stromelement
Richtung für er,
für
das betrachtete
Stromelement,
zum Punkt, wo B
berechnet werden
soll
(Beispielpunkt).
er:
Zeigt von dem betrachteten Stromelement (momentanes I*dl-Element), zum Punkt, wo B für
das Element I*dl bestimmt werden soll.
Hilfe um er zu finden:
Man läuft, entlang der Koordinatenachsen, vom Punkt des Stromelementes zu dem Punkt, wo
B momentan bestimmt werden soll.
Vektor-Komponenten werden, bei einer Schleife, über die sinus/cosinus-Sätze ermittelt.
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dl:
Wird über die gesamte Länge des stromdurchflossenen Leiters integriert. Bei einer Schleife
wäre das dl=dφ * r (φ in den Grenzen von 0 – 2π integrieren)
2.3 Flussverkettung
2.3.1 Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluss beschreibt ein B, das durch eine bestimmte Fläche fällt. Der
magnetische Fluss wird für alle Aufgaben benötigt, die sich mit Selbst-/Gegeninduktivität
oder Spannungsinduktion befassen.
Ф=∫∫BdA
Schleife
Leiter
I
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxx
x=Richtung von B
(fällt durch die
Schleife). Es muss B
über die orangene
Fläche integriert
werden.
Man integriert des B-Feld über die Fläche, für die der Fluss bestimmt werden soll.
Z.B. liegt ein Leiter neben einer Drahtschleife.
Dann wird der Fluss durch die Schleife berechnet, in dem man B (z.B. Amperesches Gesetz)
für den Leiter bestimmt und diesen Wert dann über die Schleifenfläche integriert.
2.3.2 Spule
Die Flussverkettung beschreibt bei einer Spule, die Verkettung der Flüsse durch die einzelnen
Windungen. Da das B-Feld bei einer Spule ja durch den Kern geht, durchläuft es auch jede
Windung der Spule. Man kann nun den magnetischen Fluss für eine Spulenwindung finden, in
dem man B über die Fläche der Windung integriert. Die Flussverkettung wird jetzt gebildet,
in dem man den magnetischen Fluss mit der Windungszahl der Spule multipliziert.
Ψ=n * Ф (n Windungsanzahl der Spule)
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2.3.3 Im Leiter
Bei Leitern, die einen endlichen Querschnitt haben, wird die Flussverkettung wie folgt
gebildet:
1. Fluss durch den Leiter Längsschnitt bestimmen
2. Flussverkettung über den Querschnitt berechnen
Ψ= 1/A ∫∫ФdA
Leiter von oben:
Leiter von vorne:
Radius r
r
Länge y
B im Leiterinneren bestimmen und über die
orangene Fläche integrieren = magnetischer
Fluss Ф (Integrationsgrenzen z.B. 0-r, 0-y)
Den magnetischen Fluss Ф über
die grüne Fläche integrieren
=> Flussverkettung bestimmt
(Integration z.B.
Zylinderkoordinaten:
dA= rdφdr
φ 0-2π
r 0-r)
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2.4 Spannungsinduktion
Wenn sich der magnetische Fluss in einer Schleife (Schleifenfläche wird durchflutet, siehe
„Magnetischer Fluss“) ändert, so wird eine Spannung in ihr induziert. Die Flussänderung
kann durch eine Bewegung oder durch ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld ausgelöst
werden.
Wichtig ist nur, das sich hier der magnetische Fluss in der Schleife ändert. Wenn sich die
Schleife nicht bewegt und sich das Magnetfeld nicht ändert, dann wird auch keine Spannung
induziert.
Magnetfeldänderungen resultieren meistens aus Wechselspannungen.
Falls Spannungen in Spulen induziert werden, so wird die Flussverkettung benötigt.
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2.4.1 Leiterschleife/Leiterschleifen bewegt, ruhender Leiter
Wenn sich die Leiterschleife bewegt, so wird die totale zeitliche Ableitung des magnetischen
Flusses gebildet. Wenn mehrere Schleifen übereinander liegen, so wird die Flussverkettung
(ψ=n*Ф, n Anzahl der Schleifen) total zeitlich differenziert.
Als Formel sieht das dann so aus:
Ui= - dψ/dt (Neumann Form)
Es wird also zuerst der Fluss durch die Schleifenfläche gebildet und dieser wird dann zeitlich
abgeleitet.
Das Gesetz gilt nur, wenn das Material der Schleife, während der Induktion, nicht verändert
wird.
Hilfe:
Translatorische Bewegungen der Schleife werden meistens durch die Beziehung x=v*t in die
Formel des magnetischen Flusses (Flussverkettung) eingebracht.
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2.4.2 Leiterschleife ruht
Wenn in eine ruhende Leiterschleife eine Spannung induziert werden soll, so wird folgende
Gesetzmässigkeit benötigt:
∫∫δB/δt dA
Der Unterschied ist hier, das zuerst die partielle zeitliche Ableitung von B gebildet wird, und
danach erst über die durchflutete Fläche integriert wird. Diese Berechnungen werden häufig
sehr individuell. Es wird meistens mit zwei Koordinatensystemen gearbeitet. Man fixiert die
Schleife in einem System und verschiebt das System, mit dem Leiter, der das B-Feld
produziert. Dies geschieht über Koordinatentransformationen.
Das Gesetz gilt nur, wenn das Material der Schleife, während der Induktion, nicht verändert
wird.
Hilfe:
Bewegung der Schleife wird auf den Leiter übertragen. Es wird von einer Geschwindigkeit vx
ausgegangen.
Punkt x’
Im
System
der
Schleife
y’
y
Punkt x im
System des
Leiters
x’
x
Daraus ergibt sich, für den Punkt x die Transformation x=x’+vx*t. Dies wird dann in das Feld
B(x) eingesetzt und partiell abgeleitet. Danach wird nach dx’ über die Schleifenfläche
integriert.
2.4.3 Induktionsgesetz in allgemeiner Form
Dieses Gesetz ist immer gültig und kann auch angewendet werden, wenn sich das Material
der Schleife ändert.
∫∫δB/δt dA+∫(v x B)dl
Die Kurve ∫(v x B)dl wird über den Rand der Fläche A integriert. Das Gesetz berechnet
getrennt voneinander Die Spannung, die aus der Flussänderung resultiert, und die Spannung
die aus einer Bewegung resultiert. Die Addition der Spannungen ergibt die gesamte
Induktionsspannung.
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2.5 Selbst-/Gegeninduktivität
2.5.1 Selbstinduktivität
Die Selbstinduktivität ist eine reine Materialeigenschaft und nur von der Geometrie abhängig.
L=ψ/I
Die Flussverkettung wird einfach durch den Strom in der Anordnung dividiert. Diese
Berechnungen sind sehr individuell. Gut zu sehen am Beispiel einer Zylinderspule.
2.5.2 Gegeninduktivität
Die Gegeninduktivität beschreibt die Wechselseitige Beeinflussung von benachbarten
Schaltkreisen. Z.B. zwei übereinander liegende Schleifen, die unterschiedliche Ströme führen.
Auch hier kann man wieder nur auf die Formel verweisen:
Wenn z.B. die Gegeninduktivität M1/2 berechnet wird, so sucht man die Flussverkettung der
Schleife 2 durch Schleife 1. Die Flussverkettung ist dann noch durch den Strom der Schleife 1
zu dividieren. Dies funktioniert auch in der umgekehrten Richtung.
M2/1= ψ2/1 / I1 (Gegeninduktivität von 2 in 1)
3 Poynting-Vektor
Als Poynting-Vektor S wird der Vektor bezeichnet, der in Richtung des Leistungsflusses in
einer Anordnung zeigt. Heißt, S zeigt an in welcher Leistung fließt.
Der Poynting-Vektor wird gebildet aus dem Kreuzprodukt von E- und H-Feld:
S= E x H
Meistens wird der Poynting-Vektor bei Anordnungen mit Hin- und Rückleitern benötigt.
Z.B.: Koaxkabel, Doppelleitung.
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3.1 Poynting-Vektor bei Hin- und Rückleiter
In diesem Fall ist zu beachten, dass das E-Feld natürlich 2 Komponenten hat. Nämlich eine
tangentiale und eine normale.
3.1.1 Verlustleistung
Die tangentiale Komponente liegt in Richtung des Stromes und berechnet sich aus
J = *Etangential.
Aus ihr erhält man dann die Komponente des Poynting-Vektors, welche die Verlustleistung
angibt. Dieser Vektor zeigt dann ins Innere des Leiters.
Besitzen die beiden Vektoren (Etangential und H ) jeweils nur eine Komponente, so reicht es aus
diese beiden zu multiplizieren, um den Poynting-Vektor der Verlustleistung zu erhalten.
SVerlust =Etangential * H
3.1.2 Transportierte Leistung
Die normale Komponente zeigt von Hin- zu –Rückleiter.
Um diese zu Berechnen, bietet sich zum Beispiel die Laplace-Gleichung an. So erhält man die
Potentialverteilung zwischen Hin- und Rückleiter. Und durch Anwendung des negativen
Gradienten dann auch die Normal-Komponente des E-Feldes.
Nun ist nur noch das Kreuzprodukt aus Enormal und H zu bilden, um den Poynting-Vektor
Stransport zu erhalten.
Ganz wichtig ist hierbei zu beachten, dass der Leistungstransport nur im Dielektrikum
stattfindet.
STransport=Enormal * H
(Bei einelementigen Vektoren genügt eine Multiplikation)
3.1.3 Feldbild am Beispiel des Koax-Kabels
Dielektrikum
SVerlust
E
Enormal
Innenleiter
Stransport
Dielektrikum
Etangential
Aussenleiter
Das zugehörige H-Feld lässt sich meist als H= I/2**r * eφ berechnen (Für den Innenleiter
ausführen).
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3.1.4 Die Leistung
Um die tatsächlich transportierte Leistung zu berechnen, wird die Fläche benötigt, durch die
der Poynting-Vektor zeigt. Man integriert den Poynting-Vektor über die ganze, von ihm
durchströmte, Fläche.
P=∫∫SdA
Am Beispiel des Koax-Kabels wäre dies, für den Transport der Leistung im Dielektrikum, die
Schnittfläche des Leiters in den Integrationsgrenzen Innenleiter bis Aussenleiter (Also nur
über das Dielektrikum integrieren).
Leistungstransport:
Koax-Kabel von vorne. Der Poynting-Vektor des Leistungstransports durchsetzt
die grüne Fläche. Es wird also nur über die grüne Fläche integriert.
Leistungstransport bei einem Koax-Kabel
Leistungsverlust:
Beim Leistungsverlust, zeigt der Poynting-Vektor in den Innenleiter (Beispiel Koax-Kabel).
Er durchsetzt somit die Zylindermantelfläche des Innenleiters. Das Leistungsintegral muss
somit die Zylinderhüllfläche des Innenleiters erfassen (Es wird über den vollen Radius des
Innenleiters integriert).
Innenleiter Hüllfäche (Zylinder mit Radius r)
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