EuM Zusammenfassung

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Zusammenfassung EI SoSe 2011
Emanuel Regnath
August 2, 2011
1
1 Elektrismus und Magnizität
Hauptsatz der Elektrostatik: Elektrische Felder sind konservativ!
1.1 Elektrische Ladung
Q = ±Ne · e−
[Q] = 1C(oulomb) = 1As
Ungleichenamige Ladungen ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab(Coulomb-Kraft).
Ladungen erzeugen Elektrische Felder/Verschiebungsfelder!
Ladungen→ C-Kräfte → D-Feld/E-Feld → Potential/Spannung
1.2 Elektrisches Verschiebungsfeld
1.2.1 Gaußsches Gesetz
Beschreibt den Elektrischen Fluss durch ein Kontrollvolumen V mit Hüllfläche ∂V
‹
~ · d~a ≡ Q(V )
D
∂V
˝
˝
)
~ d3 r =
Raumladungsdichte(ρ = Q(V
div D
ρ(~r) d3 r
V ): Q(V ) =
V ˜
V
Q(A)
Oberflächenladungsdichte(σ = A ): Q(A) = A σ(~r) da
⇒
~ r) = ρ(~r)
div D(~
div(ε · grad(Φ)) = −ρ
Poisson-Gleichung: ∆Φ(~r) = −
ρ(~r)
ε
∆ :Laplace-Operator
1.3 Coulomb Potential
Elektrisches Potential am Punkt P = O + ~r im Bezug auf P0 = O + ~r0 :
ˆP
~ r
Φ(~r) = Φ(~r0 ) − Ed~
Φ(~r0 ): Bezugspotential(meist Φ(~r0 ) = 0, und r0 = ∞)
P0
Für diskrete Punktladungen am Ort ~ri gilt:
ˆ
Φ(~r) = −
N
X qi
~ · d~r = 1
E
4πε i=1 |~r − ~ri |
Falls eine kontinuierliche Raumladungsverteilung ρ(~r) gegeben ist, gilt:
ˆ
1
ρ(~r) 3 0
Φ(~r) =
d r
4πε E3 |~r − ~r0 |
2
1.3.1 Spannnung
Die Differenz zwischen zwei elektrischen Potentialen an den Punnkten P1 ,P2 nennt man Spannung:
ˆ P0
ˆ P2
ˆ P2
~ · d~r +
~ · d~r = W12
~ · d~r =
E
E
E
U12 = Φ(P1 ) − Φ(P2 ) =
q
P1
P0
P1
−Φ(P2 )+Φ(P0 ))
Φ(P1 )−Φ(P0 )
1.4 Elektrische Feld
Elektrische Felder werden von Ladungen erzeugt.
N
X
~
~r − ~ri0
~ r) := Fq (~r) = −grad(Φ) = −∇Φ = 1 ·
qi (1)
E(~
q
4πε i=1 |~r − ~ri0 |3
Regeln:
1. Innerhalb eines idealen Leiters ist das E-Feld Null(Influenz).
2. Die Feldlinien stehen immer senkrecht auf eine Leiteroberfläche.
3. Die Feldlinien laufen von positiven zu negativen Ladungen.
4. Bei Kugelladungen sinkt das E-Feld radial mit
1
r2
5. Bei unendlicher Linienladung sinkt das E-Feld radial mit
1
r
6. Bei unendlicher Flächenladung bleibt das E-Feld konstant.
1.4.1 Influenz
Frei bewegliche Ladungsträger(Elektronen) ordnen sich innerhalb einer ideal leitenden Umgebung
so an, dass sie einem äußeren E-Feld entgegenwirken.
1.5 Elektrische Kapazität
Die Kapazität zwischen zwei Leitern L1 mit Hüllefläche H1 und einem Leiter L2:
´
~ a
Q
1εEd~
C=
= ´HL2 Ed~
~ r
U12
L1
Im Plattenkondensator mit homogenen ε und A >> d gilt:
E·d
A
C=Q
U = AE = ε d
~ = 0, da sich die Felder der beiden Platten auslöschen.
Außerhalb des Kondensators ist E
ab
Kugelkondensator(a Innenradius): C = UQab = 4πε a−b
1.6 Stationäre Ströme
Stromstärke I(A) durch eine Fläche A mit Stromdichte ~j:
¨
~j · d~a
I(A) =
A
~j =
K
X
α=1
qα nα~vα =
K
X
α=1
|
3
~
|qα |nα µα E
{z
σ
}
(2)
Für K verschiedene Ladungsträgersorten mit spez. Ladung qα , Trägerdichte nα und Dirftgeschwindigkeit ~vα
Für eine Trägersorte: ~j = qn~v = ρ~v
Ladungsträgertransport:
~
m · d~vdt(t) = F~el = q · E
1
m v(t2 )2 − v(t2 )2 = q · U12
2
{z
} | {z }
|
−∆Eel
∆Ekin
Mit Stoßprozessen(Drudes Driftmodell):
~ = m∗ ~v
q·E
τ Mittlere Stoßzeit, m∗ effektive Masse, ~v Driftgeschw.
τ
q·τ
~ = ∗ ·E
~ = sgn(q)µ · E
~
~v (E)
m
K
X
~ (lokales ohmsches Gesetz)
~ =
⇒ ~j = |q|nµE
|qα |nα µα E
α
|
{z
}
σ
σ > 0 ⇒ el. Strom fließt in Richtung abnehmender Potentialwerte!
A
I=σ U
⇒
I = GU U = RI ohmsches Gesetz in integraler Form
l
|{z}
=G
σ Leitfähigkeit, n Trägerdichte
Ladungsbilanz:
´
~jd~a = − dQ(V )
∂V
dt }
| {z
stationärer Strom:
Stromabf luss
Kirchoff Knotenregel:
PN
´
k=1 Ak
~jd~a =
dQ(V )
dt
PN
k=1 Ik
=0
=0
Ladungsbilanzgleichung: div~j + ∂ρ
∂t = 0
homogene Poissongleichung: div(σ∇Φ) = 0
1.7 Elektrische Arbeit und Leistung
Elektrische Feldenergiedichte:
1~~
wel = E
D
2
Bei einer Punktladung gilt:
~ d~r = Q · U
Arbeit: dWel = F~el d~r = q E
1 Q2
1
1
= QU = CU 2
2 C
2
2
dWel
d~
r
~ = q E~
~v
Leistung: Pel = dt = q E
dt
N
~ = ~j · E
~
Leistungsdichte: pel = Pel = nq~v E
Kondensator: Wel =
V
~
Bei ohmschen Widerstand(~j = σ E):
1
2
2
~ = |~j| ≥ 0
pel = σ|E|
σ
4
~ = U · I = R · I2
Pel = pel · V = |~j|A|E|l
Für ein Strömungsfeld mit K Trägersorten ~j =
PK
vα
α=1 qα nα~
1.7.1 Energieübertragung
PV : Leistung des Verbrauchers, PG : Leistung des Generators, RL : Leistungswiderstand.
RL PG
V
η = PPGv = U
⇒ UG sehr groß!
UG = 1 − U 2
G
1.8 Magnetostatik
~ r, t)
~ = 1 V s2 = 1T
Mgnetische Flussdichte: B(~
dim(B)
m
Bei Zeichnungen: : Vektor aus Zeichenebene, ⊗ Vektor in Zeichenebene.
Es
´ gibt keine magnetischen Monopole, B-Feldlinien sind stets geschlossen!
~ d~a = 0
B
(immer gültig)
∂V
~ =0
divB
Magnetfelder
werden von bewegten
Ladungen erzeugt.
´
´
~ · d~r = µ0 I(A) = µ0 · ~j · d~a
B
∂A
A
1.8.1 Lorentzkraft
~ bewegte Ladung q wirtk eine Kraft F~L
Auf eine im Magnetfeld B
~
Kraft auf Ladungsträger α: F~L,α = qα (~vα × B)
~
Kraftdichte: f~L = ~j × B
´
˝
~ r) d3 r
Kraft auf Leiter: F~Leiter = V f~L dV = Leiter ~j(~r) × B(~
Kraft auf Linienförmigen Leiter mit konstanter Querschnittsfläche:
´
´
~ = −I
~ s) × d~s =
~
F~Leiter = l · A(~j × B)
B(~
dF~L
dF~L = I · d~s × B
C
C
Kraft auf geschlossene Leiterschleife verschwindet!
F~P
Leiter ´= 0
´
N
Drehmoment auf Leiterschleife: F~Leiter = C dF~L = i=1 Ci dF~Li
~ = IA
~×B
~ =m
~
Drehmoment auf beliebig geformte ebene Leiterschleife mit Fläche A: M
~ ×B
1.8.2 Permanentmagnet
Material in dem sehr viele ( 1022 · 1023 cm−3 ) atomare Ringströme von gleichorientierten magnetischen Moment m
~ 0 Domänen bilden.
oment
~ =n·m
Magnetisierung: magn.M
=M
~0
V olumen
~ = V · (M
~ × B)
~ =m
~
Drehmoment auf Permanentmagnet mit Volumen V : M
~ ×B
Makroskopische Ringströme und Permanentmagneten zeigen gleiches Verhalten!
1.8.3 Elektromagnetische Kraft
~ und B
~ wirken gleichzeitig: Superposition.
E
~ + ~v × B)
~
Kraft auf Punktladung: F~em = q(E
5
~ + ~j × B
~
Kraftdichte: f~em = ρE
Pmag =
dWmag
dt
=0
ρ=
PK
α=1
nα qα
Magnetfeld leistet keine Arbeit. Ekin = const.
Ladungsbewegung im homogenen Magnetfeld(Kreisbahn):
2
mv⊥
~ = qv⊥ B
Lräftegleichgewicht: F~L = F~Z ⇒
= |q~v × B|
r
mv⊥
= qB
v⊥ = rΩ
r
mΩ = qB
T = 2π
Ω
Mit v|| : Helix(Schraube) mit Radius r =
v⊥
Ω
=
v⊥ m
qB
1.8.4 Hall-Effekt
In einem Stromdurchflossenen Leiter der Länge x, Breite z und Höhe y werden Ladungen durch
~ z zum Rand des Leiters abgelenkt. Dadurch entsteht eine Querspanein magnetisches Querfeld B
nung UH . Kräftegleichgewicht: Fel = FL ⇒ |q|vx Bz = qEy
UH
vx = yB
z
Ix
= qn · vx = ρvx
jx = y·z
1.9 Magnetostatische Felder
Amperesches Durchflutungsgesetz:
ˆ
˛
~ · d~r = I(A) =
H
~jd~a
A
∂A
´
´
~ r = µI(A) = µ ~jd~a
Bd~
µ = µ0 µr
A
~
el.Kraf t
ruhende
E
Kraft auf
Testladung
=⇒
~
bewegte
Lorentzraf t
B
~
Ladungsverteilung %
D
Gauß
Erzeugt durch
=⇒
~
~
Stromdichte j
Ampere
H
∂A
Magnetfeld eines unendlich langen Drahtes:
~ r) = Hϕ~eϕ = I ~eϕ
H(~
2πr
Kraft zwischen zwei unendlich langen parallelen Drähten mit Abstand d:
Hϕ (~r) =
1
r
´r
0
~j(r0 )r0 dr0
1.10 Maxwellsches Durchflutungsgesetz
ˆ
ˆ
~ r=
Hd~
Integrale Form:
∂A
A
~ = ~j +
Differentielle Form: rotH
~
~j + ∂ D
∂t
!
· d~a
~
∂D
∂t
6
dF12
dz
1 I2
= −µ I2πd
~e12
Anmerkung:
~
∂D
∂t
nennt man Verschiebungsstrom.
1.11 Induktion
Auf bewegte Ladung im Magnetfeld wirkt eine Kraft. Diese Kraft erzeugt ein E-Feld, welches
eine Spannung induziert.
~
~ ind,B = FL = ~v × B
~
E
q
ˆ
~ · d~a
Magnetischer Fluss Φ(A) =
B
Uind,b =
Uind,r =
A(t)
´
∂A(t)
´
∂A
Eind,B d~r
Eind,r d~r =
= − dΦ(A)
dt
´ ∂ B~
− A ∂t · d~a
Bemerkung: Spannungspfeil entgegen der Stromrichtung im Leiter!
Uind = −
d
dt
¨
~ a = − dΦ(A) =
Bd~
dt
˛
¨
~ r
(~v × B)d~
−
∂A
Bewegungsinduktion
A(t)
∂B
d~a
∂t
A(t)
Ruheinduktion
Bei homogenen B-Feld und senkrecht zur Fläche: Uind = −Φ̇ = ȦB + AḂ
1.12 Vergleiche
Für Punktförmige Ladung/Masse gilt:
Physikalische Größe
Elektrostatik
Gravitation
Masse
q
m
1 |q1 q2 |
F~E =
·
~er
4πε
r2
~
~ := FE
E
q
~
ΦE = E · ~r
m1 m2
F~G = −G ·
~er
r2
F~G
~g :=
m
Kraft
Feld
Potential
Durchflutung
ΦG = ~g · ~r
D-Feld
‹
~ · d~a ≡ Q(V )
D
∂V
Vereinfachung:
Materialabhängigkeit:
Divergenz
Rotation
H-Feld
˛
~ · d~r = I(A)
H
∂A
4πr2 D(r) = Q(V )
~
~ =D
E
ε
~
div D = ρ
2πrH(r) = I(A)
~
~ + ∂B = 0
rot E
∂t
~
~ = ~j + ∂ D
rot H
∂t
~ = µH
~
B
~ =0
div B
7
r : Abstand
1.13 Mathe
1.13.1 Integralsätze:
‹
˚
~ d~a =
~ d3~r
D
divD
∂V
V
˛
¨
~ r=
Hd~
∂A
~ a
rotHd~
A
8
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