Zusammenfassung EI SoSe 2011 Emanuel Regnath August 2, 2011 1 1 Elektrismus und Magnizität Hauptsatz der Elektrostatik: Elektrische Felder sind konservativ! 1.1 Elektrische Ladung Q = ±Ne · e− [Q] = 1C(oulomb) = 1As Ungleichenamige Ladungen ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab(Coulomb-Kraft). Ladungen erzeugen Elektrische Felder/Verschiebungsfelder! Ladungen→ C-Kräfte → D-Feld/E-Feld → Potential/Spannung 1.2 Elektrisches Verschiebungsfeld 1.2.1 Gaußsches Gesetz Beschreibt den Elektrischen Fluss durch ein Kontrollvolumen V mit Hüllfläche ∂V ‹ ~ · d~a ≡ Q(V ) D ∂V ˝ ˝ ) ~ d3 r = Raumladungsdichte(ρ = Q(V div D ρ(~r) d3 r V ): Q(V ) = V ˜ V Q(A) Oberflächenladungsdichte(σ = A ): Q(A) = A σ(~r) da ⇒ ~ r) = ρ(~r) div D(~ div(ε · grad(Φ)) = −ρ Poisson-Gleichung: ∆Φ(~r) = − ρ(~r) ε ∆ :Laplace-Operator 1.3 Coulomb Potential Elektrisches Potential am Punkt P = O + ~r im Bezug auf P0 = O + ~r0 : ˆP ~ r Φ(~r) = Φ(~r0 ) − Ed~ Φ(~r0 ): Bezugspotential(meist Φ(~r0 ) = 0, und r0 = ∞) P0 Für diskrete Punktladungen am Ort ~ri gilt: ˆ Φ(~r) = − N X qi ~ · d~r = 1 E 4πε i=1 |~r − ~ri | Falls eine kontinuierliche Raumladungsverteilung ρ(~r) gegeben ist, gilt: ˆ 1 ρ(~r) 3 0 Φ(~r) = d r 4πε E3 |~r − ~r0 | 2 1.3.1 Spannnung Die Differenz zwischen zwei elektrischen Potentialen an den Punnkten P1 ,P2 nennt man Spannung: ˆ P0 ˆ P2 ˆ P2 ~ · d~r + ~ · d~r = W12 ~ · d~r = E E E U12 = Φ(P1 ) − Φ(P2 ) = q P1 P0 P1 −Φ(P2 )+Φ(P0 )) Φ(P1 )−Φ(P0 ) 1.4 Elektrische Feld Elektrische Felder werden von Ladungen erzeugt. N X ~ ~r − ~ri0 ~ r) := Fq (~r) = −grad(Φ) = −∇Φ = 1 · qi (1) E(~ q 4πε i=1 |~r − ~ri0 |3 Regeln: 1. Innerhalb eines idealen Leiters ist das E-Feld Null(Influenz). 2. Die Feldlinien stehen immer senkrecht auf eine Leiteroberfläche. 3. Die Feldlinien laufen von positiven zu negativen Ladungen. 4. Bei Kugelladungen sinkt das E-Feld radial mit 1 r2 5. Bei unendlicher Linienladung sinkt das E-Feld radial mit 1 r 6. Bei unendlicher Flächenladung bleibt das E-Feld konstant. 1.4.1 Influenz Frei bewegliche Ladungsträger(Elektronen) ordnen sich innerhalb einer ideal leitenden Umgebung so an, dass sie einem äußeren E-Feld entgegenwirken. 1.5 Elektrische Kapazität Die Kapazität zwischen zwei Leitern L1 mit Hüllefläche H1 und einem Leiter L2: ´ ~ a Q 1εEd~ C= = ´HL2 Ed~ ~ r U12 L1 Im Plattenkondensator mit homogenen ε und A >> d gilt: E·d A C=Q U = AE = ε d ~ = 0, da sich die Felder der beiden Platten auslöschen. Außerhalb des Kondensators ist E ab Kugelkondensator(a Innenradius): C = UQab = 4πε a−b 1.6 Stationäre Ströme Stromstärke I(A) durch eine Fläche A mit Stromdichte ~j: ¨ ~j · d~a I(A) = A ~j = K X α=1 qα nα~vα = K X α=1 | 3 ~ |qα |nα µα E {z σ } (2) Für K verschiedene Ladungsträgersorten mit spez. Ladung qα , Trägerdichte nα und Dirftgeschwindigkeit ~vα Für eine Trägersorte: ~j = qn~v = ρ~v Ladungsträgertransport: ~ m · d~vdt(t) = F~el = q · E 1 m v(t2 )2 − v(t2 )2 = q · U12 2 {z } | {z } | −∆Eel ∆Ekin Mit Stoßprozessen(Drudes Driftmodell): ~ = m∗ ~v q·E τ Mittlere Stoßzeit, m∗ effektive Masse, ~v Driftgeschw. τ q·τ ~ = ∗ ·E ~ = sgn(q)µ · E ~ ~v (E) m K X ~ (lokales ohmsches Gesetz) ~ = ⇒ ~j = |q|nµE |qα |nα µα E α | {z } σ σ > 0 ⇒ el. Strom fließt in Richtung abnehmender Potentialwerte! A I=σ U ⇒ I = GU U = RI ohmsches Gesetz in integraler Form l |{z} =G σ Leitfähigkeit, n Trägerdichte Ladungsbilanz: ´ ~jd~a = − dQ(V ) ∂V dt } | {z stationärer Strom: Stromabf luss Kirchoff Knotenregel: PN ´ k=1 Ak ~jd~a = dQ(V ) dt PN k=1 Ik =0 =0 Ladungsbilanzgleichung: div~j + ∂ρ ∂t = 0 homogene Poissongleichung: div(σ∇Φ) = 0 1.7 Elektrische Arbeit und Leistung Elektrische Feldenergiedichte: 1~~ wel = E D 2 Bei einer Punktladung gilt: ~ d~r = Q · U Arbeit: dWel = F~el d~r = q E 1 Q2 1 1 = QU = CU 2 2 C 2 2 dWel d~ r ~ = q E~ ~v Leistung: Pel = dt = q E dt N ~ = ~j · E ~ Leistungsdichte: pel = Pel = nq~v E Kondensator: Wel = V ~ Bei ohmschen Widerstand(~j = σ E): 1 2 2 ~ = |~j| ≥ 0 pel = σ|E| σ 4 ~ = U · I = R · I2 Pel = pel · V = |~j|A|E|l Für ein Strömungsfeld mit K Trägersorten ~j = PK vα α=1 qα nα~ 1.7.1 Energieübertragung PV : Leistung des Verbrauchers, PG : Leistung des Generators, RL : Leistungswiderstand. RL PG V η = PPGv = U ⇒ UG sehr groß! UG = 1 − U 2 G 1.8 Magnetostatik ~ r, t) ~ = 1 V s2 = 1T Mgnetische Flussdichte: B(~ dim(B) m Bei Zeichnungen: : Vektor aus Zeichenebene, ⊗ Vektor in Zeichenebene. Es ´ gibt keine magnetischen Monopole, B-Feldlinien sind stets geschlossen! ~ d~a = 0 B (immer gültig) ∂V ~ =0 divB Magnetfelder werden von bewegten Ladungen erzeugt. ´ ´ ~ · d~r = µ0 I(A) = µ0 · ~j · d~a B ∂A A 1.8.1 Lorentzkraft ~ bewegte Ladung q wirtk eine Kraft F~L Auf eine im Magnetfeld B ~ Kraft auf Ladungsträger α: F~L,α = qα (~vα × B) ~ Kraftdichte: f~L = ~j × B ´ ˝ ~ r) d3 r Kraft auf Leiter: F~Leiter = V f~L dV = Leiter ~j(~r) × B(~ Kraft auf Linienförmigen Leiter mit konstanter Querschnittsfläche: ´ ´ ~ = −I ~ s) × d~s = ~ F~Leiter = l · A(~j × B) B(~ dF~L dF~L = I · d~s × B C C Kraft auf geschlossene Leiterschleife verschwindet! F~P Leiter ´= 0 ´ N Drehmoment auf Leiterschleife: F~Leiter = C dF~L = i=1 Ci dF~Li ~ = IA ~×B ~ =m ~ Drehmoment auf beliebig geformte ebene Leiterschleife mit Fläche A: M ~ ×B 1.8.2 Permanentmagnet Material in dem sehr viele ( 1022 · 1023 cm−3 ) atomare Ringströme von gleichorientierten magnetischen Moment m ~ 0 Domänen bilden. oment ~ =n·m Magnetisierung: magn.M =M ~0 V olumen ~ = V · (M ~ × B) ~ =m ~ Drehmoment auf Permanentmagnet mit Volumen V : M ~ ×B Makroskopische Ringströme und Permanentmagneten zeigen gleiches Verhalten! 1.8.3 Elektromagnetische Kraft ~ und B ~ wirken gleichzeitig: Superposition. E ~ + ~v × B) ~ Kraft auf Punktladung: F~em = q(E 5 ~ + ~j × B ~ Kraftdichte: f~em = ρE Pmag = dWmag dt =0 ρ= PK α=1 nα qα Magnetfeld leistet keine Arbeit. Ekin = const. Ladungsbewegung im homogenen Magnetfeld(Kreisbahn): 2 mv⊥ ~ = qv⊥ B Lräftegleichgewicht: F~L = F~Z ⇒ = |q~v × B| r mv⊥ = qB v⊥ = rΩ r mΩ = qB T = 2π Ω Mit v|| : Helix(Schraube) mit Radius r = v⊥ Ω = v⊥ m qB 1.8.4 Hall-Effekt In einem Stromdurchflossenen Leiter der Länge x, Breite z und Höhe y werden Ladungen durch ~ z zum Rand des Leiters abgelenkt. Dadurch entsteht eine Querspanein magnetisches Querfeld B nung UH . Kräftegleichgewicht: Fel = FL ⇒ |q|vx Bz = qEy UH vx = yB z Ix = qn · vx = ρvx jx = y·z 1.9 Magnetostatische Felder Amperesches Durchflutungsgesetz: ˆ ˛ ~ · d~r = I(A) = H ~jd~a A ∂A ´ ´ ~ r = µI(A) = µ ~jd~a Bd~ µ = µ0 µr A ~ el.Kraf t ruhende E Kraft auf Testladung =⇒ ~ bewegte Lorentzraf t B ~ Ladungsverteilung % D Gauß Erzeugt durch =⇒ ~ ~ Stromdichte j Ampere H ∂A Magnetfeld eines unendlich langen Drahtes: ~ r) = Hϕ~eϕ = I ~eϕ H(~ 2πr Kraft zwischen zwei unendlich langen parallelen Drähten mit Abstand d: Hϕ (~r) = 1 r ´r 0 ~j(r0 )r0 dr0 1.10 Maxwellsches Durchflutungsgesetz ˆ ˆ ~ r= Hd~ Integrale Form: ∂A A ~ = ~j + Differentielle Form: rotH ~ ~j + ∂ D ∂t ! · d~a ~ ∂D ∂t 6 dF12 dz 1 I2 = −µ I2πd ~e12 Anmerkung: ~ ∂D ∂t nennt man Verschiebungsstrom. 1.11 Induktion Auf bewegte Ladung im Magnetfeld wirkt eine Kraft. Diese Kraft erzeugt ein E-Feld, welches eine Spannung induziert. ~ ~ ind,B = FL = ~v × B ~ E q ˆ ~ · d~a Magnetischer Fluss Φ(A) = B Uind,b = Uind,r = A(t) ´ ∂A(t) ´ ∂A Eind,B d~r Eind,r d~r = = − dΦ(A) dt ´ ∂ B~ − A ∂t · d~a Bemerkung: Spannungspfeil entgegen der Stromrichtung im Leiter! Uind = − d dt ¨ ~ a = − dΦ(A) = Bd~ dt ˛ ¨ ~ r (~v × B)d~ − ∂A Bewegungsinduktion A(t) ∂B d~a ∂t A(t) Ruheinduktion Bei homogenen B-Feld und senkrecht zur Fläche: Uind = −Φ̇ = ȦB + AḂ 1.12 Vergleiche Für Punktförmige Ladung/Masse gilt: Physikalische Größe Elektrostatik Gravitation Masse q m 1 |q1 q2 | F~E = · ~er 4πε r2 ~ ~ := FE E q ~ ΦE = E · ~r m1 m2 F~G = −G · ~er r2 F~G ~g := m Kraft Feld Potential Durchflutung ΦG = ~g · ~r D-Feld ‹ ~ · d~a ≡ Q(V ) D ∂V Vereinfachung: Materialabhängigkeit: Divergenz Rotation H-Feld ˛ ~ · d~r = I(A) H ∂A 4πr2 D(r) = Q(V ) ~ ~ =D E ε ~ div D = ρ 2πrH(r) = I(A) ~ ~ + ∂B = 0 rot E ∂t ~ ~ = ~j + ∂ D rot H ∂t ~ = µH ~ B ~ =0 div B 7 r : Abstand 1.13 Mathe 1.13.1 Integralsätze: ‹ ˚ ~ d~a = ~ d3~r D divD ∂V V ˛ ¨ ~ r= Hd~ ∂A ~ a rotHd~ A 8