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Felder und Wellen
WS 2015/2016
Musterlösung zum 2. Tutorium
1. Aufgabe (**)
Berechnen Sie das el. Feld einer in z-Richtung unendlich lang ausgedehnten unendlich
dünnen Linienladung der Ladungsdichte η0 pro Längeneinheit. Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem.
l
q = h0 l
r
L0
R0
Vorbemerkung:
Die Maxwellgleichungen sind lineare Differential (Integral)gleichungen, die die Felder
in Abhängigkeit von Ladungen, Strömen (und anderen Feldern) beschreiben. Daraus
folgt, daß z.B. im elektrostatischen Fall die Ladungsverteilung und das elektrische Feld
die gleichen Symmetrieeigenschaften besitzen müssen.
Die Ladungsverteilung ist rotationssymmetrisch um die z-Achse. Das geeignete Koordinatensystem sind Zylinderkoordinaten. Die Ladungsverteilung ist außerdem in zRichtung unendlich ausgedehnt. Unendliche Ausdehnung kann als Translationssym-
~
metrie aufgefaßt werden. Das E-Feld
kann also weder von z noch von ϕ abhängen.

 

Er (r)
Er (r, ϕ, z)
~ =  Eϕ (r, ϕ, z)  =  Eϕ (r) 
E
Ez (r)
Ez (r, ϕ, z)
Für den nächsten Schritt wird die Maxwellgleichung
I
~ d~s = 0
E
benötigt. Das bedeutet, daß das Linienintegral der elektrischen Feldstärke entlang eines beliebigen geschlossenen Weges gleich Null sein muß (im elektrischen Fall). Die
ϕ-Richtung verläuft parallel zum Zylindermantel.
Nun wird ein Kreis um den Mantel des Zylinders betrachtet (in ϕ-Richtung). Die
ϕ-Komponente müsste wegen der Rotationssymmetrie um die Achse senkrecht zum
Kreis entweder überall auf dem Kreis in +ϕ oder überall in −ϕ Richtung zeigen. Da~ entlang des Kreises 2πr Eϕ (r) 6= 0, im Widerspruch zu
mit wäre das Integral von E
den Maxwellgelichungen. Deshalb muß Eϕ = 0 sein.
Eine Ez -Komponente existiert nicht, weil die Ladungsverteilung zu einer beliebigen
Ebene senkrecht zur z-Richtung spiegelsymmetrisch ist.
Daraus folgt:
~ ϕ, z) = Er (r) ~er
E(r,
Als Integrationsfläche wird ein Zylinder der Länge L0 und dem Radius R0 um die
z-Achse gewählt. Es wird die Maxwellgleichung
I
Z
~
~
ε0 E df = ̺ dv
verwendet. Die beiden Stirnflächen tragen nichts zum Oberflächenintegral bei, da das
~
E-Feld
parallel zu ihnen verläuft. Das infinitesimale Oberflächenelement der Mantelfläche lautet
df~ = ~er r dϕ dz
L0
⇒
Z2 Z2π
−
L0
2
0
ε0 Er (r) ~er · ~er r dϕ dz =
| {z }
1
Z
̺ dv
Das Volumenintegral auf der rechten Seite ist gleich der im Zylinder der Länge L0
eingeschlossenen Ladung η0 L0 .
2π ε0 L0 r Er (r) = η0 L0
Die Länge des als Integrationsfläche verwendeten Zylinders kürzt sich heraus. Das war
zu erwarten, da das elektrische Feld der unendlich ausgedehnten Ladung nicht von der
Länge des verwendeten Zylinders abhängen kann.
~ = Er (r)~er = η0 ~er
E
2π ε0 r
2. Aufgabe (*)
Berechnen Sie den Fluß Ψ des elektrischen Feldes einer Punktladung Q im Ursprung
durch eine beliebige Kugel um den Ursprung. Bestätigen Sie, dass der Fluß unabhängig
vom Radius der Kugel ist.
~
E-Feld
einer Punktladung Q in Kugelkoordinaten:
Q
,
4πε0 r2

Er =
Eϑ = 0,

Eϕ = 0
Er
Q
~ ϑ, ϕ) =  Eϑ  =
~er
E(r,
4πε0 r2
Eϕ
Normalenvektor und infinitesimales Flächenelement einer Kugeloberfläche:
df~ = ~n df = ~er r2 sin ϑ dϑ dϕ
(aus Formelsammlung)
⇒ψ=
Z Z
Q
~er · ~er r2 sin ϑ dϑ dϕ
4πε0 r2 | {z } | {z }
| {z } 1
4π
Er
=
Q
2
4πr
| {z }
4πε0 r2
| {z } Flächeninhalt der Kugeloberfläche
Er
~
Das E-Feld
besitzt nur eine radiale Komponente. Es steht senkrecht auf der Kugel um
den Ursprung und ist auf der Kugeloberfläche konstant. Das Oberflächenintegral ist
also gleich dem Produkt aus Er und Flächeninhalt der Oberfläche.
Q
· 4π r2
4π ε0 r2
Q
=
ε0
Ψ=
Der Fluß hängt nicht mehr von r ab, hat also den gleichen Betrag für beliebig große
Kugeln. Dies ist eine Bestätigung (kein Beweis, da Fall zu speziell) der 1. Maxwellgleichung in integraler Form (Formelsammlung 20.)
Z
~
~
=
̺ dv
Ddf
| {z }
| {z }
Oberflächenint. über geschl. Fläche Volumenint. über das eingeschl. Volumen
I
~ df~
=
Q
E
ε0
|{z}
| {z }
eingeschlossene Ladung
~
~
D=ε
0 E für Vakuum
I
3. Aufgabe (*)
Berechnen Sie mit den Maxwellgleichungen in integraler Form (Formelsammlung 5.)
das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit der Ladungsdichte ̺0 und
dem Radius R0 . Vergleichen Sie mit dem Feld einer gleich großen Punktladung im
Mittelpunkt der Kugel.
Die Ladungsverteilung ist rotationssymmetrisch um alle Achsen, d.h. Ladungsdichte ̺ hängt nur vom Radius ab.
̺0 , r ≤ R0
̺ = ̺(r) =
0,
r > R0
~
Das E-Feld
kann deshalb ebenfalls nicht von ϑ, ϕ abhängen. Die Existenz einer Eϕ und Eϑ -Komponente kann mit dem gleichen Argument wie in Aufg. 1 ausgeschlossen
werden.

 

Er (r)
Er (r, ϑ, ϕ)
~ r (r)
~ =  Eϑ (r, ϑ, ϕ)  =  Eϑ (r)  = ~er E
E
Eϕ (r)
Eϕ (r, ϑ, ϕ)
In die Maxwellgleichung eingesetzt
I
I
~ df~ =
ε0 E
Z
̺ dv
Z
~
~
ε0 Er (r) ~er df = ̺0 dv
Infinitesimale Volumen und Flächenelemente für Kugelkoordinaten
(aus Formelsammlung)
df~ = ~er r2 sin ϑ dϑ dϕ
dv = r2 sin ϑ dϑ dϕ dr
Z2π Zπ
0
0
2
ε0 Er (r) ~er · ~er r sin ϑ dϑ dϕ =
| {z } | {z }
1
4π
ZR0Z2π Zπ
0
0
0
̺0 r2 sin ϑ dϑ dϕ dr
| {z }
4π
4π
̺0 R03 =: Q
4π ε0 r2 Er (r) =
3
⇒Er (r) =
Q
;
4π ε0 r2
~ =
E
Q
~er
4πε0 r2
Das elektrische Feld der homogen geladenen Kugel hat die gleiche Form wie das der
Punktladung im Mittelpunkt. Diese Aussage kann noch erweitert werden, da das Volumenintegral immer gleich der Gesamtladung ist:
Das Feld außerhalb jeder kugelsymmetrischen Ladungsverteilung, ist das gleiche, wie
das Feld der im Kugelmittelpunkt konzentrierten Gesamtladung.
Anmerkung:
Isaac Newton verzögerte die Veröffentlichung seiner Ergebnisse über die Gravitation
~
(Das Gravitationsfeld hat die gleiche r12 - Abhängigkeit wie das E-Feld)
um mehrere
Jahre, weil er nicht beweisen konnte, daß eine Kugel mit homogener Massenverteilung das gleiche Gravitationsfeld wie eine Punktmasse besitzt. Heute beweist das ein
Student im 3. Semester in 5 Minuten.
4. Aufgabe (**)
Berechnen Sie das elektrische Feld im Inneren einer homogen geladenen Hohlkugel der
Wandstärke d mit dem Innenradius r0 . Die Ladungsdichte sei ̺0 .
d
r0
r
0

 0, r ≤ r0
̺0 , r0 < r ≤ r0 + d
̺(r) =

0, r > r0 + d
Die Symmetrie des Problems ist die gleiche wie bei Aufgabe 3. Es gilt:
~ ϑ, ϕ) = Er (r) ~er
E(r,
Außerdem gilt die Maxwellgleichung
ε0
I
~ df~ =
E
Z
̺ dv
Als Integrationsfläche wird die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r0 gewählt.
Das Volumenintegral auf der rechten Seite ist 0 (keine Ladung innerhalb der Integrationsfläche).
Z2π Zπ
ε0 Er (r) ~er · ~er r2 sin ϑ dϑ dϕ = 0
| {z } | {z }
0
0
1
4π
4πr2 ε0 Er (r) = 0
Er (r) muß auf der gesamten Oberfläche den gleichen Betrag haben (wg. Symmetrie)
~ = 0 im Inneren derHohlkugel.
⇒E
Diese Aussage kann verallgemeinert werden: Wenn die Anordnung kugelsymmetrisch ist, existiert in einem Hohlraum im Inneren einer Ladungsverteilung kein Feld.
Anmerkung: Gibt es keine Kugelsymmetrie gilt nur
Z
~ df~ = 0
εE
~ = 0.
nicht zwangsläufig E
Schwierigkeit der Aufgaben von einfach lösbar(*) bis hin zu anspruchsvoll (***).