Theoretische Elektrodynamik Klausur 12.01.2009 – Lösungen

Prof. Dr. R. Egger
Dr. A. Zazunov
WS 08/09
Theoretische Elektrodynamik
Klausur 12.01.2009 – Lösungen
Aufgabe 1:
Grundlagen
10 Punkte
(1) Differentialform der Maxwellgleichungen:
~ = 4πρ ,
∇·E
~+1∂ B
~ =0,
∇×E
c ∂t
Integralform der Maxwellgleichungen:
Z
~ =0,
∇·B
~−1∂ E
~ = 4π J~ .
∇×B
c ∂t
c
~ = 4πQ ,
df~ · E
Q=
Z
∂V
d3~r ρ(~r) ,
(1)
V
Z
~ =0,
df~ · B
(2)
∂V
Z
1d
~
~ ,
~
Φ , Φ = df~ · B
(3)
dl · E = −
c dt
S
∂S
I
Z
1∂ Z
4π
~
~
~
~
I+
dl · B =
df · E , I = df~ J~ .
(4)
c
c ∂t ∂S
∂S
S
• Gl. (1) - Gauss’sches Gesetz der Elektrostatik: Der Fluss des elektrischen Feldes einer gegebenen
Ladung durch eine geschlossene Oberfläche. • Gl. (2) - Gauss’sches Gesetz des Magnetismus: Der
Fluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche verschwindet [es gibt demnach
keine isolierte magnetische Pole = magnetische Feldlinien sind geschlossen]. • Gl. (3) - Faradaysches
Induktionsgesetz: Eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine offene Fläche induziert eine Spannung, erzeugt also ein elektrisches Feld. • Gl. (4) - Verallgemeinertes Ampere’sches
Gesetz: Das Linienintegral des Magnetfeldes entlang einer beliebigen geschlossenen Kurve ist gleich
der Summe aus dem Leitungsstrom (I) und der Änderung des elektrischen Flusses durch eine beliebige von der Kurve eingeschlossene Fläche [die Änderung des elektrischen Flusses bewirkt ein
Magnetfeld].
I
~ = (4π/c)J~ mit B
~ =∇×A
~ folgt:
(2) Aus der Maxwellgleichung ∇ × B
Z
~ 0
~ r) = 1 d3~r 0 J(~r ) + ∇Λ(~r) ,
A(~
c
|~r − ~r 0 |
1
Theoretische Elektrodynamik: Klausur 12.01.2009 – Lösungen
wobei Λ(~r) eine beliebige (abhängig von der Eichung) skalare Funktion ist.
~
(3) Kraft auf eine bewegte Ladung q in einem Magnetfeld der Stärke B:
q ~ .
~v × B
F~ =
c
⇒ Magnetische Kräfte F~ wirken senkrecht zu der Bewegungsrichtung der Ladung: F~ · ~v = 0.
Arbeit (differentiell):
dW = F~ · d~r = F~ · ~v dt = 0 .
(4) Coulomb-Feld einer (statischen) lokalisierten Ladungsverteilung ρ:
~ r) =
E(~
Z
V
~r − ~r 0
d ~r ρ(~r )
|~r − ~r 0 |3
3
0
0
∝
r→∞
1
.
r2
Führender (Dipol) Beitrag zum Strahlungsfeld [mit Dipolmoment p~ der Ladungsverteilung]:
¨
~ r, t) = − p~ ∝ 1 .
E(~
c2 r
r
Aufgabe 2:
Poynting-Theorem
6 Punkte
~ − (1/c)∂t E
~ = (4π/c)J~ folgt:
(1) Aus der Maxwellgleichung ∇ × B
Z
V
"
#
Z
∂
1
3
~ · ∇×B
~ −E
~· E
~ .
~ =
d ~r cE
d ~r J~ · E
4π V
∂t
3
~ · ∇×B
~ = ∇×E
~ ·B
~ −∇· E
~ ×B
~ und Maxwellgleichung ∇ × E
~ = −∂t B/c
~ folgt:
Mit E
Z
V
#
"
Z
1
∂
1
2
2
3
~ =−
~ +B
~
~ ×B
~ +
d ~r J~ · E
E
,
d ~r c∇ · E
4π V
2 ∂t
3
⇒
1 ∂ ~ 2 ~ 2
c
~ ×B
~ + J~ · E
~ =0.
E +B +
∇· E
(5)
8π ∂t
4π
(2) Das Poynting-Theorem ergibt den Energieerhaltungssatz des elektromagnetischen Feldes. Es
verknüpft die zeitliche Änderung der Energiedichte (1. Term) mit dem Energiefluß durch den Rand
des Volumens (2. Term) und der mechanischen Leistung (3. Term).
Aufgabe 3:
Elektrostatik: Helium-Atom
6 Punkte
(1) Kugelsymmetrisches Problem ⇒ Das elektrische Feld einer einzelnen Elektronenverteilung
~ r) = E(r) ~er (in Kugelkoordinaten). Aus dem Gauss’schen Satz:
erzeugt E(~
Z
∂V : |~
r0 |=r
~ r 0 ) = 4π
df~0 · E(~
2
Z
V : |~
r0 |≤ r
d3~r 0 ρe (r0 ) ,
Theoretische Elektrodynamik: Klausur 12.01.2009 – Lösungen
⇒
4πr2 E(r) = (4π)2
Z r
dr0 r0 2 −
0
⇒
E(r) = −
8e
0
e−4r /a ,
3
πa
32 e Z r 0 0 2 −4r0 /a
e Z 4r/a
dr
r
e
=
−
dx x2 e−x .
a3 r 2 0
2r2 0
(6)
Mit
Z
2 −x
dx x e
2 −x
= −x e
+2
Z
dx xe−x
= −x2 e−x + 2 −x e−x +
Z
dx e−x
= − x2 + 2x + 2 e−x
folgt [siehe Gl. (6)]:
4r 8r2 −4r/a
e
E(r) = − 2 1 − 1 +
+ 2 e
r
a
a
"
!
#
.
(7)
~ Felder) identisch sind, ist die Wechselwir(2) Da beiden Elektronenverteilungen (und daher E
kungsenergie zweier Elektronen:


We−e =
Z
~2
~ + E)
~ 2
(E
E
1 Z 3 ~2 Z ∞
=
d ~r E =
−2
dr r2 E 2 (r) .
d3~r 
8π
8π
4π
0
Mit Gl. (7) folgt:
We−e = e2
Z ∞
0
4r 8r2 −4r/a
dr
1
−
1
+
+ 2 e
r2
a
a
"
!
#2
!
"
#2
x2 −x
(2e)2 Z ∞ dx
=
1− 1+x+
e
a
x2
2
0
5e2
=
.
4a
3
(8)