3.¨Ubungsblatt Theoretische Physik I: Klassische

3. Übungsblatt Theoretische Physik I: Klassische Mechanik
26.-30.10.2015, Universität Wien
9. Der Euler-Lagrange Formalismus. Die folgenden Aufgaben sind mithilfe des EulerLagrange Formalismus zu lösen:
a) Berechne den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten, die sich auf der
Oberfläche eines Zylinders mit Radius R befinden.
b) Berechne den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten, die sich auf der
Oberfläche einer Kugel mit Radius R befinden.
Hinweis: Es reicht zu zeigen, dass die Lösungen die Gleichung
Z
c
q
ϕ=
dθ
2
sin2 θ 1 − sinc 2 θ
erfüllen, wobei θ der Polarwinkel, ϕ der Azimutwinkel und c eine Konstante
ist. Diese Lösungen sind die sogenannten Großkreise.
10. Selbstfahrende Autos. The Entwicklungsabteilung einer bekannten Automarke hat
ein System entwickelt, das es erlaubt zwei Autos automatisch in einem Konvoi mit
konstanter Geschwindigkeit fahren zu lassen. Die Distanz der beiden Fahrzeuge
wird konstant gehalten, indem das hintere Fahrzeug proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz der beiden Fahrzeuge bremst oder beschleunigt, während das vordere
Fahrzeug dasselbe proportional zur Differenz zu einer vorgegebenen Zielgeschwindigkeit tut.
Was ist der minimale Abstand, den die Autos einhalten müssen, damit im Falle
einer Notbremsung ein Zusammenstoß verhindert wird, angenommen, dass beide
zu Beginn der Bremsung dieselbe Geschwindigkeit haben.
11. Die Brachistochrone. Nach der Notlandung eines Flugzeugs müssen die Passagiere
die Maschine so schnell wie möglich über die Notrutschen verlassen. Der Anfangspunkt dieser Rutschen hat eine Distanz von y0 über dem Boden und die Rutsche
berührt den Boden bei einem horizontalen Abstand x0 vom Ausgang. Eine clevere
Flugbegleiterin erinnert sich daran, dass sie über die optimale Form der Notrutschen in einer Arbeit von Johann Bernoulli aus dem Jahr 1697 gelesen hat. Mithilfe einer Variationsrechnung leitet sie die optimale Form der Rutschen für eine
möglichst schnelle Evakuierung ab.
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a) Finde, mithilfe der Energieerhaltung, einen Ausdruck für die Zeit, die eine
Masse m benötigt um die Rutsche herunter zu rutschen und die dazugehörigen
Euler-Lagrange Gleichungen für das Funktional F (x, y, y 0 ).
b) Löse die Euler-Lagrange Gleichungen:
i Zeige zunächst, dass aus der Tatsache, dass F nicht explizit von x abhängt,
d ∂F
∂F
d
0 ∂F
folgt, dass y 0 ( dx
∂y 0 − ∂y ) = dx (y ∂y 0 − F ) und verwende dann die EulerLagrange-Gleichung.
ii Zu einem späteren Zeitpunkt vereinfacht die Transformation y 0 =
− cot Θ2 die weitere Rechnung.
dy
dx
=
iii Nachdem y(Θ) gefunden wurde, ergibt sich x(Θ) durch Integration der
obigen Substitution.
iv Die Identität 1 + cot2
Θ
2
= sin−2
Θ
2
könnte hilfreich sein.
c) Plotte die Lösungen y(Θ) und x(Θ). Was bedeutet der Begriff Brachistochrone?
2