Musterbeispiel: Lineare Optimierung

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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
Definitionen:
Kosten (Vollkosten):
Kosten in GE (Geldeinheiten), abhängig von der erzeugten Menge in ME
(Mengeneinheiten).
K(x) mit der Defintitionsmenge Dx = [ 0 / Kapazität]
Beschäftigungsgrad:
Mengeneinheit. BG = Error!, angegeben in Prozent.
Fixkosten F:
Teil der Vollkosten, der nicht vom Beschäftigungsgrad abhängt. In GE
Variable Kosten Kv :
Teil der Vollkosten, der vom Beschäftigungsgrad abhängt. In GE
Durchschnittskosten Kd:
= Error! in GE / ME.
Variable Durchschnittskosten:
Error! in GE / ME.
Grenzkosten:
1. Ableitung der Kosten. Änderungsrate der Kosten in GE / ME.
Betriebsoptimum:
= Beschäftigungsgrad, bei der die Durchschnittskosten minimal sind. Einheit:
ME
Langfristige Preisuntergrenze:
= minimale Durchschnittskosten, also Kd (BO). Einheit: GE / ME.
Kurzfristige Preisuntergrenze:
= minimale variable Durchschnittskosten. Einheit: GE / ME.
Preis:
in GE / ME. Entweder p = const. oder p(x).
Nachfragefunktion:
p(x). Preis als Funktion der nachgefragten Menge x.
Prohibitivpreis (Maximalpreis):
= p(0), d.h. Preis, bei der nichts mehr nachgefragt wird. GE / ME
Sättigungsmenge:
Menge, die der Markt bei Preis = 0 nachfragt. ME
Angebotsfunktion:
a(x). Preis als Funktion der angebotenen Menge x.
Gleichgewichtspreis:
Preis, bei dem a(x) = p(x) ist.
Erlös:
E(x) = p(x) · x in GE.
Grenzerlös:
1. Ableitung der Erlösfunktion, Änderungsrate des Erlöses.
Erfolg (Gewinn):
G(x) = E(x) – K(x)
Deckungsbeitrag:
DB(x) = E(x) – Kv (x) = G(x) + F
Betriebsmaximum:
Beschäftigungsgrad, bei der der Gewinn maximal wird.
Cournot’sche Menge:
= Betriebsmaximum
Cournot’scher Preis:
= Preis, bei der die Cournot’sche Menge nachgefragt wird.
Cournotpunkt:
Punkt auf der Nachfragefunktion mit den Koordinaten C (Cournot‘sche Menge /
Cournot'scher Preis).
Grenzkosten
Anschauliche Definition: Die Mehrkosten bei einer Erhöhung der Produktion um 1 Einheit.
K
K  x  
x
Bei dieser Definition hängt der Wert von K' vom gewählten  x ab. (vgl. Momentangeschwindigkeit)
Daher:
Mathematische Definition:
relative Mehrkosten bei einer infinitesimalen Erhöhung der Produktion, bezogen auf 1 Einheit.
K dK
K x  lim

x  0 x
dx
Graphische Lösung: Tangentensteigung = tan  = Wert der Grenzkosten
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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
Betriebsoptimum, lang- und kurzfristige Preisuntergrenze
Betriebsoptimum:
langfristige Preisuntergrenze: =
kurzfristige Preisuntergrenze: =
Stelle der minimalen Durchschnittskosten
minimale Durchschnittskosten
minimale variable Durchschnittskosten
Bestimmung des Betriebsoptimums: entweder Randpunkt (volle Auslastung oder
graphisch:
Begründung:
dK
0
dx
Schnittpunkt Grenz- und Stückkosten
analytisch:
nachrechnen der Bedingung (Quotientenregel)
graphisch:
Stückkosten = Steigung des Fahrstrahls wegen: minimale Steigung = Berührung der
Kostenkurve von unten  Fahrstrahl = Tangente
Standardmodell: S-förmige Kostenkurve, fester Preis
Kostenkurve:
Grenzkosten:
Durchschnittskosten:
Preis:
Grenzerlös:
s-förmig, Funktion 3. Grades ohne Extrema
Parabel, Funktion 2. Grades mit rel. Minimum bei der Kostenkehre
unstetig an x = 0, streben gegen die variablen Durchschnittskosten
konstant
konstant = Preis
Bedeutung der Schnittpunkte:
Grenzkosten  Stückkosten:
Grenzkosten  Grenzerlös:
Stückkosten - Preis :
Betriebsoptimum
Stelle des max. Gewinns, Betriebsmaximum
Gewinnschwelle, Gewinngrenze
Intensitätsmäßige Anpassung:
Linear-progressiver Kostenverlauf mit Fixkostensprung
Stückweise Definition der Kostenfunktion:
Teil 1 : linear
Teil 2 : quadratisch, Bedingungen:
K2(x) = K1(x) ... stetig
K2'(x) = K1'(x) ... wenn die Grenzkosten stetig sind
Teil 3 : linear, mit unter Umständen geringerer Steigung (var. Kosten pro Stück) als Teil 1
Fixkostensprung zwischen Teil 2 und Teil 3
Verlauf von:
Grenzkosten:
Im Teil 1 konstant,
im Teil 2 linear steigend (stetig fortgesetzt - kein Sprung)
im Teil 3 auf einen kleineren konstanten Wert (var.Kosten pro Stück) unstetig fallend.
Durchschnittskosten:
Teil 1: unstetig an 0, hyperbolisch fallend, asymptotische Näherung an die prop.Kosten von
Teil 1.
Teil 2: stetige Fortsetzung von Teil 1, mit u. Umst. rel. Minimum (BO), dann monoton
steigend.
Teil 3: Sprungstelle auf höheren Wert, dann monoton fallend gegen var.Kosten pro Stück von
Teil 3. BO wird dann am rechten Rand liegen, wenn ein niedrigerer Wert als im Teil
1, bzw. 3 erreicht wird.
Betriebsoptimum: entweder Randpunkte von Teil 1 oder 3 oder relatives Minimum im Teil 3
Break-even:
es können bis zu 3 Schnittpunkte der Erlösgeraden mit der Kostenkurve auftreten:
Fall 1 : eine Gewinnschwelle im Teil 1
Fall 2 : Gewinnschwelle im Teil 1, Gewinngrenze beim Fixkostensprung, keine weitere Gewinnschwelle oder
Gewinnschwelle im Teil 3
Fall 3 : GS im Teil 1, Gewinngrenze im Teil 2, Gewinnschwelle im Teil 3 oder nicht mehr innerhalb der Kapazität.
Fall 4 : GS erst im Teil 4
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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
Marktpreis als Gleichgewichtspreis
Gleichgewichtspreis = Schnittpunkt von Nachfrage und Angebotsfunktion
Monopol: Nachfragefunktion
Standarddarstellung:
Preis als Funktion der Nachfrage im allgemeinen monoton fallend.
Ausnahmen: Snobeffekt - Mitläufereffekt
p(0) .......................... Maximalpreis oder Prohibitivpreis - die Nachfrage ist 0
p(SM) = 0 ................ Sättigungsmenge, maximal absetzbare Menge.
Elastizität der Nachfrage:
kaufmännische Definition:
negativer Quotient aus rel. Absatzänderung zu rel. Preisänderung, gibt an wie stark sich
der Absatz rel. zum Preis ändert.
mathematische Definition:  = – Error! = – Error!
Amoroso-Robinson (Zusammenhang zwischen Grenzerlös und Elastizität):
E' = (px)' = (p' x + p) = p (1–
Error! ) wegen p' = – Error! (Def.!)
Folgerungen: E hat sein Maximum bei  = 1 (wegen E' = 0, also 1 = Error! )
p(0) = E' (0)
E wächst bei einer Verringerung des Preises, wenn die Elastizität größer als 1 ist u. umgek.!
Standardmodell: lineare Kosten, Erlösparabel
Grenzkosten:
Durchschnittskosten:
Preis (Nachfragefunktion):
Grenzerlös:
Betriebsoptimum:
Cournotpunkt:
Cournotmenge:
Gewinnschwellen:
konstant
unstetig an 0, hyperbolisch gegen var. Kosten pro Stück strebend
linear, monoton fallend mit der Steigung – Error!.
p(0) = Prohibitivpreis (PP)
p(SM)= 0
linear,
E' (0)= PP
E Error! = 0 aus Symmetriegründen (E ist Parabel und hat die Nullstellen bei x = 0
und x = SM, weil dort der Preis 0 ist  rel. Extremum der Parabel bei Error!
rechter Randpunkt
Punkt der Nachfragefunktion mit G=maximal
Schnitt von Grenzerlös und Grenzkosten
Schnitt von Durchschnittskosten mit Preis
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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
Preis- und Kostentheorie
S-förmiger Kostenverlauf - Monopol
Musterbeispiel:
Ein Betrieb mit einer Kapazität von 2.000 Stk. hat Fixkosten von 1.000.000,-- . Die minimalen Grenzkosten
treten bei einem Beschäftigungsgrad von 30 % auf und betragen 1.920,-- EUR / Stk. Bei einem
Beschäftigungsgrad von 80 % steigen die Grenzkosten auf 4.920,-- EUR / Stk.! Der Kostenverlauf sei Sförmig.
Die Nachfrage nach dem erzeugten Gut weist eine Elastizität auf, die mit  (x) = Error! von der Menge
abhängt. Bei einem Preis von 7.500,-- pro Stk. kann ein Absatz von 300 Stk. erzielt werden.
Für die folgenden Rechnungen sollen die Umrechnungen 1 GE = 1.000 EUR und 1 ME = 100 Stk.!
Fragen:
a) Wie lautet die Gleichung von K(x)?
b) Wie lautet die Gleichung der Nachfragefunktion?
c) Bei welchem Beschäftigungsgrad liegt das Betriebsoptimum und wie hoch sind die lang- und kurzfristige
Preisuntergrenze?
d) Wo sind die Gewinngrenzen (Break-even)?
e) Wo liegt der Cournotpunkt und wie hoch ist der maximale Gewinn?
f) Wie hoch ist der Prohibitivpreis und die Sättigungsmenge?
g) Wie hoch sind die Durchschnittskosten, Grenzkosten, Gewinn bei einem Preis von 2.500,-- EUR / Stk.
h) Grafische Darstellung von Durchschnittkosten, Grenzkosten, Nachfragefunktion und Grenzerlös!
a) Gleichungen von K(x):
Umrechnung der relevanten gegebenen Daten mit
1 GE = EUR 1.000,-- und 1 ME = 100 Stk und
1 GE/ME = 1.000 EUR / 100 Stk. = 10 EUR / Stk.:
Fixkosten
BG 30 %
Grenzkosten
BG 80 %
Grenzkosten
1.000.000,-- EUR 1.000 GE
600 Stk.
6 ME
1.920,-- EUR / Stk.192 GE / ME
1.600 Stk.
16 ME
4.920,-- EUR / Stk.492 GE / ME
= a x3 + b x2 + c x + d
Error!(x) = 3 a x2 + 2 b x + c
Error!(x) = 6 a x + 2 b
aus den Beziehungen
K(0) = 1.000
Error!(6) = 192
Error!(16) = 492
Error!(6) = 0, weil die Grenzkosten an x = 6 minimal sind!
folgt folgendes Gleichungssystem:
Ansatz:
K(x)
0 a +
0
108 a + 12
768 a + 32
36 a +
2
mit den Lösungen:
b
b
b
b
+
+
+
0
a
b
c
d
c
c
c
=
=
=
=
+
d =
=
=
=
1.000
192
492
0
1
– 18
300
1000
K(x) = x3 – 18 x2 +300 x + 1.000
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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
b) Gleichung von p(x):
Umrechnung:
Preis
Absatz
7.500 EUR / Stk.750 GE / ME
300 Stk.
3 ME
 x 


x

  lim   x  p 
 (x) = lim 

p  x0 p  x 
x 0


 p 
– Error! = Error!
– Error! = Error!
ln (x – 18 ) + C= ln p
ln( ( x – 18) · eC )= ln p
K · (x – 18 ) = p
750 = K (3 – 18)  K = – 50
= – Error!=
Error!
p(x) = 900 – 50 x
c) Lang- und kurzfristige Preisuntergrenze
Die langfristige Preisuntergrenze ist jener Preis, der den
minimalen Durchschnittskosten entspricht. Das
Betriebsoptimum ist der Beschäftigungsgrad (die Stelle),
bei der die minimalen Durchschnittskosten eintreten:
Kd = Error! = x2 – 18 x + 300 + Error!
Error! = 2 x – 18 – Error! = 0
Numerisches Lösen dieser Gleichung ergibt:
liefert als relevante Lösung:
xBO = 12,3 ME
LPU = Kd (12,3) = 311,2 GE / ME
Das Betriebsoptimum liegt bei einer Menge von 1.230
Stk.
(BG
=
61,5
%)
und
die
minimalen
Durchschnittskosten (= langfristige Preisuntergrenze
beträgt 3.112 EUR / Stk.!
Die kurzfristige Preisuntergrenze ist jener Preis, der den
minimalen variablen Durchschnittskosten entspricht. Die
Fixkosten werden bei diesem Preis nicht mehr gedeckt.
Der Deckungsbeitrag ist gerade an einer Stelle noch 0.
Kvd = Error! = x2 – 18 x + 300
Error! = 2 x – 18 = 0

x = 9 ME
KPU = 219 GE / ME
Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt 2.190,-- EUR!
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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
d) Gewinngrenzen
Bedingung Erf(x) = E(x) – K(x) = p(x) · x – K(x) = 0
900 x – 50 x2 – ( x3 – 18 x2 +300 x + 1000) = 0
– x3 – 32 x2 + 600 x – 1000 = 0
Ein nummerisches Näherungsverfahren liefert die
Lösungen:
x1 = 1,9
und
x2 = 11,8
Gewinn kann zwischen einer Produktion von 190 Stk.
(BG = 9,5 %) und 1.180 Stk. (BG = 59 %) gemacht
werden.
e) Cournotpunkt
Der Cournotpunkt ist ein Punkt der Nachfragefunktion (er
besteht aus den Koordinaten Cournotmenge und
Cournotpreis). Die Cournotmenge xc erfüllt die Bedingung
Erf(xc) = G(xc) ist maximal
Error! = Error! – Error! = 0  Error! = Error!
900 – 100 x = 3 x2 – 36 x + 300
3 x2 + 64 x – 600 = 0
liefert als relevante Lösung x = 7,1
p(7,1) = 548 GE / ME
Erf(7,1) = E(7,1) – K(7,1) = 7,1 · 548 – 2.570 = 1.289
(genaue Werte bei der Berechnung)
Bei einem Cournotpreis von 5.480,-- EUR / Stk. werden
710 Stk. (BG = 35,5 %) abgesetzt. Der Gewinn ist dann
mit 1.289.000,-- EUR maximal.
f) Prohibitivpreis und Sättigungsmenge
Prohibitivpreis = p(0) = 900
Sättigungsmenge erfüllt 0 = 900 – 50 x  x = 18
Der Prohibitivpreis beträgt 9.000 EUR / Stk.. Es kann
dann nichts mehr abgesetzt werden. Die
Sättigungsmenge (maximal absetzbare Menge) beträgt
1.800 Stk.!
g) Werte bei 2.500,-- EUR / Stk.
250 = p(x) = 900 – 50 x  x = 13
Kd (13) = Error! = 311,9
Error! = 3 · 132 – 36 · 13 + 300 = 339
Erf(13) = E(13) – K(13) = 3.250 – 4.055 = – 805
Bei einem Preis von 2.500 EUR / Stk. betragen:
Beschäftigungsgrad
65 % oder 1.300 Stk.
Durchschnittskosten
3.119,-- EUR / Stk.
Grenzkosten
3.390,-- EUR / Stk.
Erfolg
– 805.000,-- (Verlust)
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Preis- und Kostentheorie
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h) Grafische Darstellung
Für die Implementierung in EXCEL könnten folgende
Formeln in den entsprechenden Zellen verwendet werden:
Spalte Bedeutung
A
Menge
B Durchschnittskosten
C
Grenzkosten
D
Nachfragefunktion
E
Grenzerlös
Formel
= a1^2-18*a1+300+1000/a1
= 3*a1^2-36*a1+300
= 900-50*a1
= 900-100*a1
Folgendes Diagramm könnte entstehen:
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
19
18
17
16
15
14
13
12
11
9
10
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
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Preis- und Kostentheorie
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Preis- und Kostentheorie
Linear-progressiver Kostenverlauf mit Fixkostensprung
Vollkommener Markt
Musterbeispiel:
Ein Betrieb mit Fixkosten von 500.000,-- EUR hat bis zu einem Beschäftigungsgrad von 60 % feste
Grenzkosten von 30.000,-- EUR / ME (1 ME = 1 Prozentpunkt BG). Im Bereich 60 % bis zur Vollauslastung
steigen die Grenzkosten linear und erreichen bei Vollauslastung den Wert 110.000,-- EUR / ME! Der
Übergang bei 60 % soll sowohl bei den Kosten als auch bei den Grenzkosten stetig erfolgen! Der Betrieb
verkauft sein Produkt mit einem festen Marktpreis von 50.000,-- EUR / ME!
Fragen:
a) Wie lauten die Gleichungen von K(x) in den entsprechenden Definitionsbereichen?
b) Bei welchem BG liegt das Betriebsoptimum und wie hoch ist die langfristige Preisuntergrenze?
c) Wie hoch ist der maximale Gewinn und die Gewinngrenzen?
Der Marktpreis sinkt auf 38.000,-- EUR / ME. Das Unternehmen sieht sich gezwungen, weitere Investitionen
vorzunehmen: Es entsteht ein Fixkostensprung von 500.000 beim BG 100 %. Die Produktion kann dadurch
um 80 % erhöht werden und die Grenzkosten ab 100 % BG betragen nur mehr 10.000,-- EUR / Stk.
d) Bei welchem BG liegt jetzt das Betriebsoptimum und wie hoch ist die langfristige Preisuntergrenze?
e) Wie hoch ist der maximale Gewinn und die Gewinngrenzen?
f) Grafische Darstellung von Durchschnittkosten, Grenzkosten und Grenzerlös!
a) Gleichungen von K(x):
K1(x) = 500.000 + 30.000 x
in [0 / 60]
aus
K2(x) = a x2 + bx + c
Error! = 2 a x + b
Error! = Error! = 30.000 = 2 a · 60 + b
Error! = 110.000 = 2 a · 100 + b
K2(60) = K1(60) = 2.300.000 = 3.600 a + 60 b + c
folgt folgendes Gleichungssystem:
120
200
3.600
a
a
a
+
+
+
60
b
b
b
+
c
=
=
=
30.000
110.000
2.300.000
mit den Lösungen:
a
b
c
=
=
=
1.000
– 90.000
4.100.000
K2(x) = 1.000 x2 – 90.000 x +4.100.000 in [60 / 100]
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Preis- und Kostentheorie
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b) Betriebsoptimum:
Das BO ist entweder ein Randpunkt der einzelnen
Bereiche oder ein relatives Minimum von K2d (x):
K1d (60) = Error!+ 30.000 = 38.333,33
Error! = 1.000 – Error! = 0  x = 64,0
4.100.000;64
K2d (64,0) = 1.000 · 64,0 – 90.000 +
=
0
38.062
Das Betriebsoptimum dieses Betriebes ist also beim
BG 64 % und die langfristige Preisuntergrenze beträgt
38.062 EUR / ME.
c) Gewinn
Für die Gewinngrenzen (Break-even) gilt die Bedingung:
E(x) = K(x), also
50.000 x = 500.000 + 30.000 x  x1 = 25 ME
50.000 x = 1000 x2 – 90.000 x + 4.100.000 
(x2 = 41,7 … unbrauchbar, weil außerhalb des Def.ber.)
x3 = 98,3
maximaler Gewinn:
entweder durch
Error! = Error!= p 
2.000 x – 90.000 = 50.000  x = 70 ME
G(70) = E(70) – K(70) = 3.500.000 – 2.700.000 = 800.000
oder als Randpunkt: also x = 60 bzw. 100
G(60) = E(60) – K1(60) = 3.000.000 – 2.300.000 =
700.000
G(100) = E(100) – K2(100) = 5.000.000 – 5.100.000 =
= – 100.000
Der Betrieb macht im Bereich 25 % bis 98,3 % Gewinn.
Der
maximale
Gewinn
liegt
bei
einem
Beschäftigungsgrad von 70 % und beträgt 800.000,-EUR.
d) Fixkostensprung
Sinkt der Marktpreis unter die langfristige Preisuntergrenze
(38.000,-- ist kleiner als 38.062,--), dann kann der Betrieb
bei keiner Auslastung mehr Gewinn machen. Gewinn kann
also nur durch Absenken der Durchschnittskosten durch
Ausweitung der Produktion (Investition) bei deutlich
kleineren Grenzkosten als der Verkaufspreis erzielt
werden.
K3(x) = 10.000 x + a mit K3(100) = K2(100) + 500.000
10.000 · 100 + a = 5.100.000 + 500.000  a = 4.600.000
K3(x) = 10.000 x + 4.600.000
in [100 / 180]
Die Durchschnittskosten am neuen Randpunkt x = 180
sind auf die Minimalität zu überprüfen:
K3d (180) = Error! = 35.556 EUR / ME
Dieser Wert ist kleiner als der alte (s. Pkt. b)).
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Preis- und Kostentheorie
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Das Betriebsoptimum dieses Betriebes ist also jetzt
beim BG 180 % und die langfristige Preisuntergrenze
beträgt 35.556 EUR / ME.
e) Gewinn
Für die Gewinngrenzen (Break-even) gilt die Bedingung:
E(x) = K(x), also
38.000 x = 500.000 + 30.000 x 
x1 = 62,5 ME (nicht relevant, weil außerhalb von [0 / 60 ]
38.000 x = 1000 x2 – 90.000 x + 4.100.000 
keine Lösung in R.
Diese Unlösbarkeit der Gleichungen ist trivial, weil der
neue Preis kleiner als die langfristige Preisuntergrenze ist
und daher keine Gewinnzone im alten Bereich erreicht
werden kann.
38.000 x = 4.600.000 + 10.000 x 
x = 164,3 ME
Maximaler Gewinn:
Der neue Randpunkt x = 180 ist auf Maximalität zu
überprüfen:
Erf(180) = E(180) – K3(180) = 38.000 · 180 – 640.000 =
= 684.000 – 640.000 = 44.000,-Dies muß der maximale Gewinn sein, weil sonst im
Definitionsbereich der alten Funktionen kein Gewinn
auftritt!
Der neue Break-even liegt bei 164,3 % BG. Der
maximale Gewinn beträgt 44.000,-- und tritt bei einer
Auslastung von 180 % auf!
f) Grafische Darstellung
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0
20
40
60
80
100
120
140,00
160
180
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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
Preis- und Kostentheorie
Grafisches Verfahren
Klassisches Modell: Progressive Kosten - Lineare Nachfrage
Musterbeispiel:
Von einem Betrieb mit progressivem Kostenverlauf kennt man folgende Werte:
Menge:
2.000
2.010
7.000
7.005
Stk.
Kosten:
40.000
41.400
150.000
151.450
EUR
Bei einem Preis von 300,-- EUR / Stk. können 2.000 Stk. abgesetzt werden. Die Elastizität der Nachfrage
beträgt an dieser Stelle 3
Fragen:
a) Berechnen Sie aus der Tabelle die zwei Grenzkostenwerte!
b) Berechnen Sie zwei Punkte der Nachfragefunktion
c) Zeichnen Sie Grenzkosten, Nachfrage und Grenzerlös in ein Koordinatensystem und konstruieren Sie den
Cournotpunkt!
a) Grenzkosten:
Error! = Error! = Error! = 140 … für x = 2.000
Error! = Error! = Error! = 290 … für x = 7.000
b) Nachfragefunktion:
Elastizität 3 heißt, daß sich die relative Absatzänderung
– 3 mal so hoch wie die relative Preisänderung ist.
Mit p(x) = ax + b folgt:
(x) = – Error! = – Error! = –
Error! = 3 
2.000 a + b = – 6000 a  b = – 8.000 a
300 = a · 2.000 + b = 2000 a – 8.000 a = – 6.000 a 
a = – 0,05
und b = 400
damit p(0) = 400 und p (8.000) = 0
c) Grafische Lösung:
Maßstab:
Abszisse
Ordinate
1 cm … 1.000 Stk.
1 cm … 50 EUR / Stk.
Grenzkosten und Nachfragefunktion werden durch
Verbinden der 2 Punkte eingezeichnet.
Der Grenzerlös wird nach folgender Überlegung
gezeichnet:
1.
E’ (0) = p (0)
wegen
E’ (x) = (p · x)’ = p’ x + p · 1 = p’ x + p ergibt für x = 0 die
obige Behauptung ganz allgemein, also auch bei
beliebigem Verlauf von p(x).
2.
wegen
E’Error! = 0
Seite 11
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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
E’(x) = (a x2 + b x)’ = 2 a x + b
ergiebt für x = Error! =
Error!
E’Error! = 2 a · Error! + b = 0 ergibt sich die obige
Behauptung.
Andere Überlegung: p(x) ist linear mit einer Nullstelle bei x
= SM. E(x) ist daher quadratisch mit Nullstellen bei x = 0
und x = SM. Aus Symmetriegründen liegt das Maximum
von E, also die Nullstelle von E’ genau in der Mitte.
Der Cournotpunkt ist der Punkt auf der Nachfragefunktion,
dessen x-Koordinate sich durch den Schnitt von E’ mit K’
ergibt.
500
400
300
C
200
100
0
-100 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Die Rechnung ergibt:
400 – 0,1 x = 80 + 0,03 x
0,13 x = 320
x = 2.461,5
p = 276,9
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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
5000
4000
3000
2000
1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
17
18
19
0
1
2
3
4
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6
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8
9
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14
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16
17
18
19
0
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
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Preis- und Kostentheorie
8. April 2017
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0
20
40
60
80
100
120
140,00
160
180
140,00
160
180
7000000
6000000
5000000
4000000
3000000
2000000
1000000
0
0
20
40
60
80
100
120
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