Elektrische und magnetische Phänomene in Lebensvorgängen
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Elektrische und magnetische Phänomene in Lebensvorgängen I. Elektro- und Magnetostatik Péter Maróti Professor für Biophysik, Universität von Szeged, Ungarn. Lehrbücher: Biophysik für Mediziner (Herausgeber S. Damjanovich, J. Fidy und J. Szöllősi) Medicina, Budapest, 2008. Fercher A.F. Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 1992. Haas U. Physik für Pharmazeuten und Mediziner; Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft mbH. Suttgart 2002. Maróti P., Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress, Szeged 1998 (Ungarisch) P. Maróti, L. Berkes, F. Tölgyesi: Biophysics Problems. A Textbook with Answers. Akadémiai Kiadó, Budapest 1998 (Englisch). Einführung Abgesehen von der atmosphärischen Elektrizität, frühe Forscher dachten dass elektrische und magnetische Wechselwirkungen spielen keine Rolle in der Natur und in der Biologie. Anders als im Falle mechanischer und thermischer Reize, der Mensch besitzt offenbar keine Rezeptoren für elektrische und magnetische Signale von der Umwelt. Wir wissen heute, dass das Gegenteil der Fall ist: Die elektromagnetische Wechselwirkung ist die Basis für den Bau der Atome und Moleküle und somit auch für sämtliche Erscheinungen der Biologie bis hin zu Lebensvorgängen. Das Ziel des Vortrages ist die Einführung in die physikalische Grundgerisse der elektrischen und magnetischen Erscheinungen in Lebensprozesse und nicht das Übernehmen der Aufgaben der verwandten Wissenschaften wie Physiologie, Biochemie oder Biologie. Messung der elektrostatischen Kraft: Coulomb’sche Drehwaage, 1785 • Die Kugeln sind gleichgroß. • Die elektrische Ladung (Q) wird aufgeteilt nach Potenzen von 2 (2-n) durch wiederholten (n) Berührung mit neutralen Kugeln des selben Radius (die Ladung wird bei jeder Berührung halbiert). An einem Torsionsdrehfaden hängt ein waagrechtes Stäbchen mit zwei gleichgroβen Metalkugeln B1 und B2. Durch Berührung mit von auβen geladen eingebrachten Metallkugeln A1 und A2 werden B1 und B2 gleichnamig geladen. Die abstoβenden Kräfte zwischen den benachbaren Kugeln A1/B1 und A2/B2 (Kräftepaar) wird aus der Torsion des Fadens bestimmt. Die ausgedeuteten Skalen dienen zur Messung des Torsionswinkels. Coulomb’sches Gesetz Es gibt zwei unterschiedliche elektrische Ladungsarten: positive und negative. Prinzip der Ladungserhaltung: um einen Körper elektrisch zu laden (oder entladen), muss ihm die entsprechende Ladungsmenge zugeführt oder eine gleich groβe Ladungsmenge der entgegengesetzten Art abgeführt werden. Die elektrische Ladungen können sich nicht vernichten. Es gibt Stoffe – LEITER – in welchen sich Ladungen frei bewegen können und Stoffe – ISOLATOREN – in welchen sich Ladungen nicht bewegen können. Gleiche Ladungen stoβen einander ab, ungleiche ziehen einander an. Die Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 ist proportional dem Produkt der beiden Ladungen und umgekehrt proportional dem Quadrat des Abstandes r zwischen den beiden Ladungen: F 1 4 Q1 Q2 Die SI-Einheit der elektrischen Ladung ist [Q] = 1 Cb („Coulomb”) = 1 A·s r2 Die Konstante ε heiβt Dielektrizitätskonstante. Ihr Wert und damit auch die Coulombskraft sind vom Material im Raum zwischen den beiden Ladungen abhängig. Dies wird durch die relative Dielektrizitätszahl εr berücksichtigt, die für Vakuum (und näherungsweise auch für Luft) den Wert εr = 1 hat (das Wasser hat auβerordentlichen groβen Wert εr = 81). 0 r ; 0 8,85 10 12 Cb ; Vm 1 4 0 9 10 9 N m2 Cb 2 ε0 heiβt elektrische Feldkonstante oder Dielektrizitätskonstante des Vakuums. Anmerkungen zum Coulomb’schen Gesetz 1. Der Faktor 1/(4πε0) ist eine Maβsystemkonstante, deren Wert ist durch die Geschwindigkeit des Lichtes in Vakuum bestimmt: 1 107 c 2 4 0 Maβsystemkonstante Elektrische Ladung 1/(4πε0) = 1 CGS (cm·g·s) Einheitssystem Abgeleitete Einheit; Elektrostatische Einheit = g1/2·cm3/2·s-1 9·109 N·m2 ·Cb-2 SI (MKSA: m·kg·s·A) Einheitssystem Basiseinheit Cb = A·s 2. Wegen der 1/r 2 Abstandsabhängigkeit, das Coulombgesetz hat groβe Ähnlichkeit zum Newtonschen Gravitationsgesetz. Die Masse m wird durch die Ladung Q ersetzt, jedoch kennt man bei der Gravitation nur Anziehungskräfte, wogegen es wegen der zwei Arten von Ladungen sowohl elektrische Anziehungs- als auch Abstoβungskräfte gibt. 3. Die Wirkungslinie der Coulombkraft ist die Verbindungslinie der Ladungen. 4. Superpositionsprinzip: die Kraft, mit der zwei Ladungen aufeinander wirken, durch die Anwesenheit weiterer Ladungen nicht beeinfluβt wird. Bei mehreren Ladungen ergibt sich die auf eine bestimmte Ladung wirksame Kraft als vektorielle Summe aller Kräfte, die die Einzelladungen auf diese ausüben. Anmerkungen zum Coulomb’schen Gesetz 5. Die Dielektrizitätszahl εr des Stoffes zwischen den Ladungen. Die Feldlinien die aus der freien positiven Punktladung stammen werden teilweise nicht an dem Partner (freien negativen Punktladung) beenden, sondern werden zu den Ladungen im Dielektrikum (entstanden durch Influenz and/oder Polarisation) abzweigen. Ein Teil der freien Ladungen wird durch die Ladungen im Isolator gebunden wie die Gröβe der freien Ladungen vermindert wären. Das Dielektrikum schirmt die Dielektrizitätszahl, εr Stoff Vakuum 1 Luft 1,0006 Wasser 80,3 (f < 1010 Hz) Eis 3 (f > 105 Hz) bis 100 (f < 10 Hz) Muskelgewebe 30 (f > 1010 Hz) bis 3·106 (f < 10 Hz) Lipide 3,5 Zellmembranen 9 Keramiken bis > 100 Coulombsche Wechselwirkung ab. Stark abhängig von der Frequenz Sehe „Dielektrizitätsspektroskopie” Deswegen das Dielektrikum (Isolator) verkleinert die beobachtete elektrostatische Wechselwirkung unter den Ladungen (Coulombkraft) um den Faktor 1/εr. Das elektrische Feld Das elektrische Feld ist eine physikalische Größe, die die elektrostatische Kraftwirkung für den ganzen Raum und beliebige Ladungen (die das Feld hervorrufen) beschreibt. Das Feld wird durch die Feldstärke definiert. Die Feldstärke an einem beliebigen Raumpunkt erhält man, wenn man eine Sonde (= eine positive Einheitsladung) auf diesen Punkt bringt und die resultierende Kraft misst. Die Gröβe und Richtung der Kraft die auf die positiven Einheitsladung ausgeübt wird, nennen wir elektrische Feldstärke E F E Q F: Kraft Q: Probeladung Das elektrische (Vektor)Feld (E) beschreibt Zustand (lokale Kraftwirkung auf Probeladung) des Raumes der durch Ladungen erzeugt wird. Das elektrische Feld ist E ist ein ortsabhängiger Vektor (räumliches Vektorfeld). ähnlich wie Dimension (Einheit) von E ist N/Cb oder V/m (Volt/Meter) Gravitationsfeld Windverteilung Wind: Stärke und Richtung (Vektorfeld) Das elektrische Potential, φ Das elektrostatische Feld (ebenso wie das Gravitationsfeld) konserviert die Energie: die Arbeit hängt nur von den Anlagen der Anfangs- und Endpunkten ab und ist unabhängig von dem Weg zwischen den Punkten. Das ist die Ursache worum jeder Punkt des Raumes in einem elektrischen Feld kann durch eine skalare Größe φ charakterisiert werden, die elektrostatisches Potential genannt wird. Die potentielle Energie, die einer Ladung Q durch eine Verschiebung von P0 nach P zugeführt wird, berechnet sich als P P P0 P0 Epot ( P) F d s Q E d s Q ( P) ( P0 ) In dieser Beziehung tritt lediglich die Differenz des Potentials φ auf. Daher kann ein Bezugspunkt P0, für den das Potential φ(P0) = 0 vereinbart wird, willkürlich gewählt werden. Übliche Vereinbarungen für den Bezugspunkte mit φ(P0) = 0: • Erdoberfläche (in der Elektrotechnik) • „Masse“ in Schaltungen (z.B. Minuspol der Batterie oder Gehäuse, oder Extrazellularraum in der Elektrophysiologie) • eine gedachte unendliche ferne Hülle (in der theoretischen Physik) Das elektrostatische Potential φ(P) an einem Punkt P ist der Quotient aus der Arbeit, die nötig ist, um eine Ladung Q von einem Punkt P0 mit dem Bezugspotential φ(P0) = 0 zum Punkt P zu P bringen, und der Ladung Q: Epot ( P) ( P) E ds Q P0 Die elektrische Spannung, U Die vom Feld E an der Probeladung Q bei einer Verschiebung von P1 nach P2 verrichtete Arbeit W21 ist gleich der Abnahme der potentiellen Energie –ΔEpot der Ladung im elektrischen Feld und diese wiederum gleich dem Produkt aus Ladung Q und Potentialdifferenz Δφ: 2 W21 U 21 (2) (1) E d s Q 1 Die Potentialdifferenz Δφ = φ(2) – φ(1) nennt man die Spannung U21 zwischen den Punkten 1 und 2: W21 Epot Q Die auf die Ladungsgröβe Q bezogene Arbeit W21 heiβt elektrische Spannung. Die Einheit der Spannung ist gleich jener des Potentials: Volt (V); 1 V = 1 J/Cb. Das elektrische Potential (und auch die Spannung) ist, wie die Energie, eine skalare Gröβe. Das macht den Umgang mit dieser Gröβe besonders einfach (im Gegenteil zur Feldstärke, was ein Vektor ist). Die (mathematische) Operationen mit Skalaren sind viel mehr einfacher als mit Vektoren. Veranschaulichung des elektrischen Felds und des elektrischen Potentials Feldlinien: die Tangente in jedem Punkt einer Feldlinie gibt die Richtung der Kraft an, die eine positive (Test)Ladung in diesem Punkt erfahren würde. Die wichtigste Eigenschaften der elektrostatischen Feldlinien: 1) sie schneiden sich niemals, 2) es gibt keine in sich geschlossenen Feldlinien, 3) sie sind immer senkrecht zu Metalloberflächen und 4) ihre Dichte ist ein Maβ für die Stärke des elektrischen Feldes. Äquipotentiallinien bzw. Äquipotentialflächen: alle Punkte mit gleichem elektrischen Potential. Feldlinien sind normal (orthogonal) zu den Äquipotentialflächen. Punktladung: die Feldlinien gehen geradlinig (radial) aus (positive Ladung) oder enden auf ihr (negative Ladung). Die Äquipotentialfläche sind konzentrische Kugelschalen um die Punktladung. Das Feldlinienbild (durchgezogen) und Äquipotentialflächen (gestrichelt) eines elektrischen Dipols (zweier ungleichnamiger Punktladungen). Überall auf der äquatorialen Ebene verschwindet das Potential. Berechnung die elektrische Feldstärke und das elektrische Potential Elektrische Ladungen sind die Quellen und Senken des elektrostatischen Feldes. Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche hängt nur von der Gesamtladung im eingeschlossenen Volumen ab. Der Gauβ’sche Satz der Elektrostatik: für eine beliebige in sich geschlossene Hüllfläche, welche die Gesamtnettoladung Q umschlieβt, der aus der Oberfläche hervorquellenden elektrischen Fluss Φ gilt Φ E dA Q 0 dA E n Q Q q i i 1 Das elektrische Potential φ(P) im Punkt P(x,y,z) des felderfüllten Raumes ist nur anhängig vom extern vorgegebenen elektrischen Feld und nimmt in Richtung von E fortschreitend ab. Die elektrische Feldstärke E kann man daher als Gradient des Potentials schreiben: E = -grad φ (x,y,z). In 1D: Ex = - dφ/dx, d.h. die Feldstärke ist die erste Ableitung des Potentials nach x. Feldstärke und Potential: Beispiele und Anwendungen 1. Faraday-Käfig: das Potential im elektrischen Nullfeld. Weil überall E = 0 ist, das Potential ist φ = const. in jedem Punkt des Raumes. Daher liegt in einem Leiter, insbesondere auch im ungeschlossenen Hohlraum (Faradaykäfig), aber ebenso auf einem Leiter, ein einheitliches konstantes Potential vor. Faradayscher Käfig, besetzt mit Probanden im feldfreien Innenraum. Der Faraday-Käfig ist eine allseitig geschlossene Hülle aus einem elektrischen Leiter (z. B. Drahtgeflecht oder Blech), die als elektrische Abschirmung wirkt. Bei äußeren statischen oder quasistatischen elektrischen Feldern bleibt der innere Bereich zufolge der Influenz feldfrei (E = 0). Faradaysche Käfige werden häufig dort angewandt, wo Einflüsse von äußeren elektrischen oder elektromagnetischen Feldern die Funktionsweise eines Gerätes negativ beeinflussen können oder wo innere elektromagnetische Felder nicht nach außen gelangen sollen. Autos und Flugzeuge mit einer leitfähigen Hülle wirken wie Faradaysche Käfige. Hohlraum in einem Dielektrikum: Ein Dielektrikum schirmt ein elektrisches Feld nicht ganz ab! Da sich im Gegensatz zum Leiter, hier auch an der Innenseite des Hohlraums Ladungen befinden, kommt es nur zur teilweisen Abschirmung des elektrischen Felds. Feldstärke und Potential: Beispiele und Anwendungen 2. Punktladung. Die elektrische Feldstärke E(r) und das Potential φ(r) kann man direkt von der Definition und dem Coulomb’schen Gesetz bestimmen. r (r ) (r0 ) E d r r0 (r ) (r0 ) Q 4 0 r r' dr ' 2 r0 1 1 4 0 r r0 Q Wählt man als Bezugspunkt den Punkt r0 im Unendlichen mit Potential φ(r0) = 0, dann 1 Q (r ) 4 0 r Für eine geladene (Hohl- oder Voll-)Kugel kann durch eine entspreschende Herleitung gezeigt werden, dass die elektrische Feldstärke und das Potential im Auβenfeld ebenso wie bei Punktladung beschrieben werden. Feldstärke und Potential: Beispiele und Anwendungen 3. Elektrischer Dipol: elektrisches Potential Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei P betragsmäβig gleich groβen, aber ungleichnamigen r1 Punktladungen +Q und –Q im Abstand l und r besitzt ein Dipolmoment p = Q·l. +Q l -Q α r2 Zur Ermittlung des Potentials betrachten wir einen hinreichend weit entfernten beliebigen Punkt P, dessen Ort durch den Abstand r (>>l) vom Zentrum des Dipols und durch den Winkel α zur Dipolachse bestimmt sei. l·cosα 2 ( P) i ( P) 1 ( P) 2 ( P) i 1 ( P) 1 1 Q 4 0 r1 r2 4 0 Q ( P) Q 4 0 1 4 0 r Q 1 Q r1 4 0 r2 Das Potential ist skalar und kann man einfach addieren. Da wir nur Punkte in hinreichend weiter Entfernung vom Dipol betrachten, kann man dann näherungsweise r2 –r1 ≈ l·cos α und r1·r2 ≈ r2 setzen: r r 2 1 r1 r2 l cos 2 1 4 0 p cos r2 Das Potential eines Dipols nimmt mit 1/r2 stärker ab als jenes einer einzelnen Punktladung mit 1/r. Elektrischer Dipol: elektrische Feldstärke (empfohlen für Fortgeschrittene) Aus dem bekannten elektrischen Potential φ bei groβem Abstand (r >> l) ( P) 1 4 0 p cos r2 kann die Feldstärke E direkt berechnet werden: E ( P) grad ( P) Wegen der Rotationssymmetrie, es lohnt sich statt den kartesischen (Descartes) Koordinaten (x, y und z) die Kugel- (sphärische) Koordinaten (r, ψ und α) zu benutzen: Weil φ nicht von ψ abhängt (Rotationssymmetrie), die zwei Komponenten der elektrischen Feldstärke sind 1 1 E grad (r , , ) , , r r r sin E (r ) 2 p cos 1 3 4 0 r Der Betrag des elektrischen 2 2 2 E E ( r ) E ( ) , Feldvektors beträgt E p und E ( ) 1 4 0 r3 p sin 1 3 4 0 r 4 cos 2 sin 2 Feldstärke und Potential: Beispiele und Anwendungen 4a. Plattenkondensator: homogenes elektrisches Feld. Wählt man die positiv geladene Kondensator-platte als Bezugspunkt, dann steigt das Potential φ im Zwischenraum linear mit dem Abstand x von der Bezugsplatte an. Weil E überall im Innenraum einen konstanten Wert hat, die Spannung zwischen den Platten ist x E=0 -Q d U = E·d. φ 0 0 +Q U Im Innern eines Plattenkondensators, dessen Platten (Fläche A) mit den konstanten Ladungen +Q und –Q belegt sind, kann das elektrische Feld als homogen betrachtet werden, d.h. die elektrische Feldstärke zwischen den Platten ist konstant (E) und im Auβenraum des Kondensators gleich null. Der Betrag der Feldstärke im Innenraum der Platten ergibt sich nach dem Gauβ’schen Satz geschrieben für den roten Raum: E = σ/ε0, wo σ ist die Flächenladungsdichte: σ = Q/A. Der Energieinhalt eines Kondensators, die Energie des elektrischen Feldes Die Kapazität von Kondensatoren: C = Q/U Bei Plattenkondensator: Q = A·σ und U = E·d = (σ/ε)·d damit A C r 0 d Die im elektrischen Feld eines mit der Ladung Q aufgeladenen Kondensators der Kapazität C steckende Energie: 1 1 1 Q2 2 W QU CU 2 2 2 C In einem elektrischen Feld lokalisiert abgespeicherte Energie ist gleich dem Energieinhalt des Kondensators. Im Falle des Plattenkondensators: 1 1 A 1 2 2 W C U E d E 2 A d 2 2 d 2 Die Energiedichte w = W/V des felderfüllten Volumens V = A· d des Kondensators: Die Beziehung gilt allgemein für beliebige elektrische Felder, unabhängig von der Art ihrer Erzeugung: wenn irgendwo im Raum ein elektrisches Feld E existiert, dann kann jeder Volumeneinheit des Feldes so groβe Energiedichte zugeordnet werden. 1 w E2 2 Das Produkt ε = εr· ε0 ist die Permittivität oder Dielektrizitätskonstante der Materie (Dielektrikum). Bei Vakuum εr = 1 und ε = ε0. Biomembran als Platten(Kugel)kondensator: Elektrisches Feld und Potential. Wasser Lipid-doppelschicht Plattenkondensator Polare, hydrophile Wasser Kopfregion |U| ≈ 100 mV Phospholipid Liposom Kugelkondensator d ≈ 3 nm Wasser Lipiddoppelschicht unpolarer, hydrophober Teil (=Fettsäureketten) εr ≈ 2 Elektrische Feldstärke: E = U/d ≈ 3.3·107 V/m Polare, hydrophile Flächenladungsdichte: σ = E·ε = E·εr·ε0 σ ≈ 6,5·10-4 Cb/m2 ≈ 4000 Elektronen/(μm)2. Die Energiedichte: w = 1/2·ε·E2 ≈ 12 kJ/m3. Kopfregion Die Kapazität der Zellmembranen Die Kapazität der Zellmembranen spielt beim Durchgang von hochfrequentem elektrischen Strom durch Gewebe eine ausschlaggebende Rolle. Wir berechnen die Flächendichte C/A der Kapazität einer Zellmembran von d = 6 nm Dicke und εr = 9: C r 0 A d C 9 8,85 1012 Cb 2 N 1m 2 2 2 1 , 3 10 F m A 6 109 m Enthielte die Zellmembran nur Lipide (εr = 2 – 4,5), wäre die Flächendichte C/A der Kapazität nur viertel bis halb so groβ. Die gegenüber dem Lipidwert gröβere Dielektrizitätskonstante der Zellmembran wird auf eingelagerte polarisierbare Membranproteine zurückgeführt. Feldstärke und Potential: Beispiele und Anwendungen 4b. Kugelkondensator: inhomogenes elektrisches Feld. Ein Kugelkondensator besteht aus zwei konzentrischen Klugelflächen welche die Ladungen +Q bzw. –Q tragen. Die Feldlinien verlaufen radial. Nach dem Gauβ’schen Satz 4 r 2 E (r ) Q Das Potential zwischen den Klugelflächen r2 U E (r ) dr r1 r2 Q 4 r1 Q 1 1 2 4 r r1 r2 dr Die Kapazität des Kugelkondensators Q r1 r2 C 4 U r2 r1 Ist eine leitende Kugel mit dem Radius r1= R im ansonsten leeren Raum isoliert aufgestellt, dann folgt für deren Kapazität gegenüber der sich im Unendlichen befindlichen äuβeren Kugel wegen r2 →∞ Die Kapazität einer leitenden Kugel mit Radius R = 1 cm ist ca. C = 1 pF. C 4 R Die Kapazität der Erdkugel mit Radius R = 6370 km ist ca. C = 710 μF, wenn sie als leitende Kugel betrachtet. Die Born-Energie der Ionen. Energie-Anspruch der Ionen zum Transport durch Biomembran Born-Energie: Auch bekannt unter „Elektrostatische Selbstenergie der Ladung “. Das Ion ist betrachtet als ein Kugelkondensor mit Radius R und Ladung Q. Die Selbstenergie ist die elektrostatische Energie: 1 Q2 Q2 1 WBorn 2 C 8 R die umgekehrt proportional ist mit der Dielektrizitätskonstante ε des Mediums. Die Born Energie ist die Energie, die man benötigt um eine Kugel mit Radius R und Ladung Q von Medium 1 (z.B. wässrige Lösung) nach Medium 2 (z.B. ein Membran) zu transportieren. Ein Ion muss also eine Energiebarriere überwinden, um in eine Membran zu gelangen (die gleiche Energie wird übrigens wieder frei, wenn das Ion aus der Membran herausdiffundiert). Die Energiebarriere ist die Differenz der Selbstenergien in den zwei Umgebungen: W 1 1 8 0 R 2 1 Q2 Die Differenz der Born-Energien (Solvatationsenergie) wenn das monovalent Ion (Q = 1,6·10-19 Cb) mit Radius R = 0,2 nm (2 Å) vom Wasser (ε2 = 81) in die Mitte des Lipid-Membrans (ε1 = 2) transportiert wird |ΔW| = 2,81·10-19 J = 170 kJ/mol. Das ist eine sehr groβe Energie und der Transport ereignet sich selbst (spontan) nicht. Feldstärke und Potential: Beispiele und Anwendungen 5. Coulombfeld eines unendlich langen homogen geladenen Stabes (Leiters). Wie groβ ist das Auβenfeld im Abstand r ( ≥ r0), wenn der Leiterdurchmesser 2·r0 und die Flächenladungsdichte σ = konst sind? Feld radial Gauß‘sche Fläche soll Symmetrie des Problems angepasst sein: Koaxialer Zylinder 2·r0 σ Φ ΦMantel ΦEndfl ΦMantel E (r ) A E (r ) (2 r h) Qein 0 2 r0 h 0 ΦEndfl E (r ) A 0 weil E (r ) A Feldstärke eines unendlich langen, bzw. eines langen Leiters weit weg von den Endpunkten r0 r0 E (r ) E (r0 ) , 0 r r r r0 Beispiel: wie groβ ist das elektrische Feld und Potential unter einer 110 kV Hochspannungsleitung? Die elektrische Feldstärke vom Leiter zum Boden ist umgekehrt proportional zu 1/r: r0 , r r0 r Die Entfernungen sind von dem Zentrum der Leitung mit Radius r0 genommen und wir stehen dicht unter der Leitung im Abstand H auf dem Boden. E(r0) bezeichnet die Feldstärke an der Leiteroberfläche, was wir aus der bekannten Potentialdifferenz (Hochspannung) U zwischen Leiter und Erde bestimmen: U = W/Q, wobei W die Arbeit für eine Testladung Q auf dem Weg vom Leiter zur Erde ist: E (r ) E (r0 ) H H H H W 1 1 1 r0 U F dr QE dr QE0 dr E0 r0 ln Q Q Q Q r r0 r0 r0 r0 Leiter r0 r H Erde Wenn r0 = 1 cm und H = 10 m sind, wir bekommen E(r0) = 1,6 MV·m-1 (an der Oberfläche des Leiters) und E(H) = 1,6 kV·m-1 (am Boden). Elektrisches Feldlinienbild ohne und mit Berücksichtigung des Menschen Da die Erdoberfläche eine Äquipotentialfläche darstellt, sind die Feldlinien normal zu ihr orientiert. Dadurch entsteht nahe dem Boden ein weitgehend homogenes Feld. Der leitende menschliche Körper verzerrt die Feldlinien und es kommt zu einer erheblichen (15 bis 20 mal gröβeren) Zunahme der Feldstärke am Kopf als das homogene Feld in Bodennähe. Elektrische Feldstärke in der Umgebung eines nicht abgeschirmten elektrischen Gerätes (Kaffemaschine) Das elektrische Feld wird hauptsächlich von der etwa l =10 cm langen Heizspirale am Wasserrohr hervorgerufen, weil dort die volle Potentialdifferenz anliegt. Diese Heizspirale kann daher näherungsweise als elektrischer Dipol angesehen werden. Wir haben hier allerdings nicht die Ladungen Q gegeben, sondern die Potentialdifferenz (die Spannung U = 220 V). Im Moment des Maximums der Wechselsspannung an einem Ende des Dipols (+ 220 V), das andere Ende des Dipols soll bei 0 V liegen (die Rolle wechselt sich mit einer Frequenz von 50 Hz). Die Spannung U zwischen den Enden sollte eine Gesamtladung Q als Punktladung bei Abstand l hervorrufen: Q 1 U 4 0 l Der Dipol verursacht Potential φ und Feldstärke E im Punkt P im groβen Abstand (r >> l) und in die Richtung α vom Dipol: ( P) Ql 4 0 cos r 2 E Ql 1 4 0 r 3 4 cos 2 sin 2 Wir setzen nun Q in diese Beziehungen ein: ( P) U l 2 cos r Die durchgezogenen Linien sind Äquipotentiallinien, die gestrichelten Kreise sind Orte gleicher Feldstärke E (nicht mit Feldlinien zu verwechseln). 2 E U l2 1 r 3 4 cos 2 sin 2 Mit numerischen Werten: Q ≈ 2,4·10-9 Cb. Die Empfindlichkeiten des Potentials und der Feldstärke nach der Richtung (Winkel α) sind verschieden: bei E ist nicht bedeutend aber bei φ ist groβ. In r = 1 m Abstand beträgt E etwa 2 V/m und φ ändert sich zwischen -2,2 V (α = 180o) und +2,2 V (α = 0o) und geht durch 0 (α = 90o und 270o). Potential einer Zelle Im Ruhezustand der Zelle herrscht an ihrer Membran eine elektrische Spannung (oder Potentialdifferenz, „Ruhepotential”). Bei Nerven- und Muskelzellen von Warmblütern liegt diese Spannung zwischen 55 mV und 100 mV, wobei das Zellinnere negativ ist. Im Zellinnern herrscht also ein Überschuβ an negativen, in der Umgebung ein Überschuβ an positiven Ladungen. Aufgrund der zwischen ihnen wirkenden Coulombkräfte lagern sich diese Ionen an der Zellmembran an und bilden so eine das Zellinnere umhüllende DIPOLSCHICHT. Zellauβen Dipolmoment Membran Zellinnere Potential und Ladungsverteilung der Membran einer erregten Zelle Wird eine Zelle aktiv, ändert sich die Membranspannung, die Zellmembran verliert ihre elektrische Ladung oder „Polarisation”. Diese Depolarisation überschreitet in der Regel sogar den Ladungsneutralen Zustand und es kommt zu einem im Zellinnern positiven Potential („Überschuβ” genannt). In der daran anschlieβenden Repolarisationsphase stellt sich das alte Ruhepotential wieder ein. Vergleich der elektrischen Potentiale des Dipols und der Dipolschicht U ( P) 1 4 p cos r 2 U ( P) 1 4 M cos r2 Das elektrische Potential in der Umgebung einer geschlossenen Dipolverteilung ist Null. Die Gröβe der Potentiale von dem zugewandten Teil und dem abgewandten Teil der Membrane sind gleich aber die Vorzeichen sind entgegengesetzt (sie bestimmen den selben Raumwinkel Ω und die Flächendichte der Dipolmomente ist konstant überall in der Membran). Weil die ruhende Zelle eine geschlossene und zeitinvariante Dipolschicht bildet, das elektrische Potential in der Umgebung der Zelle ist auch Null. Potential einer teilweise erregten Zelle Eine teilweise aktive Zelle ist im erregten Abschnitt depolarisiert. Die depolarisierte und die polarisierte Zellen sind von einer Dipolhülle umgeben, die auf einer Seite offen sind. Sie können aber mit 4 Hilfschichten die paarweise (1+2 und 3+4) Nullwirkung haben, zugemacht werden. Mit anderer Paarung (2+3) bekommen wir zwei geschlossenen Dipolverteilung plus eine kleine umgekehrt gepolte Dipolschicht an der Ebene der Aktivität. Da die geschlossene Dipolverteilungen kein elektrisches Potential in der Umgebung erzeugen, stammt das elektrische Potential einer teilweise erregten Zelle nur aus einer umgekehrt gepolten Dipolschicht. Potenzialdifferenzen an Ableitungselektroden während der Ausbreitung der Erregung. Während des Durchzugs des Vektordipolmoments M , elektrische Potenzialdifferenzen in der Umgebung treten auf. Diese werden mit festgelegten Anordungen von Ableitungselektroden (A, B und C) registriert. Die Phase (Polarität) des Impulses hängt von dem Cosinus des Orientierungswinkel α ab: U ~ cos α (α bezeichnet den Winkel den die Richtung des Vektordipolmomentes mit der Gerade zu der Elektrode schlieβt). Potential des Herzdipols, Elektrokardiogramm (EKG) Während des Erregungsablaufs im Herzmuskel werden unterschiedlich im Raum orientierte Muskelfasern erregt. Die elektrischen Dipolmomente aller Fasern kann man zu einem resultierenden Herzdipolvektor (M) addieren. Dabei löschen sich zwar viele gegensinnig orientierte Dipolmomente aus, dennoch geben Lage und Gröβe des Herzdipolvektors ein Maβ für Gröβe und Verteilung der Erregung im Herzmuskel. Dreidimensionales Bild der Erregungszustände im Herzmuskel Magnetismus: magnetische Felder Regel der rechten Hand: Zeigt der Daumen in Richtung des positiven Stromes, dann geben die zur Handfläche gekrümmten Finger die Magnetfeldrichtung an. Anders: Korkenzieherregel: Schraubt man einen Korkenzieher in Richtung des fließenden Stromes vorwärts, so ergibt sein Drehsinn die Richtung der Feldlinien an. Versuch von Oersted (1820) zum Nachweis Mit eisenfeilspänen sichtbar gemachter der konzentrischen Kreise des magnetischen Verlauf der Magnetfeldlinien in der Felds eines stromdurchflossenen Leiters. Ebene senkrecht zur Stromrichtung. Mehrere geradlinige Stromleitungen: Magnetische Felder innerhalb einer lang gestreckten Zylinderspule (Solenoid); homogenes Feld Im Außen der Spule verlaufen die Feldlinien nicht parallel, das Feld ist inhomogen. S Die Feldlinien eines Magneten sind geschlossene Linien. N I Im Innern der Spule verlaufen die Feldlinien parallel, das Feld ist homogen. Magnetische Induktion (B) und Feldstärke (H). Amper’sches Gesetz Im homogenen Feld der Spule B H Bl I N r 0 μ0 = 4π·10-7 N/A2 μr relative Permeabilität, für Vakuum μr = 1 n H ds I K i 1 n i oder B d s I K i i 1 B IN l Das geschlossene Kurvenintegral entlang der Kurve K K Das Vektor der magnetischen Feldstärke Das Vektor der magnetischen Flussdichte bzw. Induktion Ein infinitezimales, orientiertes Teilstück der geschlossenen Kurve K Ii Die innerhalb von K, durch die Fläche F flieβende Stromkomponente μ Die Permeabilität der Materie B: Magnetische Flussdichte (Induktion), H: Magnetische Feldstärke, I: Stromstärke, N: Windungszahl; l: Länge der Spule, μ: magnetische Eingenschaften des die Spule erfüllenden Materials. Einheiten: [B] = 1 T (tesla) = 1 Vs/m2 [H] = 1 A/m Beispiele für magnetische Induktionen Quelle B Evozierte Hirnrindenaktivität 50 fT Magneto-enzephalographisches Spontansignal 1 pT Magneto-kardiographische Felder (R-Welle) 50 pT Geomagnetische Feldschwankungen 100 pT Magnetfeldschwankungen in urbaner Umgebung 10 bis 100 nT Erdmagnetfeld 50 μT Sonnenoberfläche 10 mT Elektromagnete 1 bis 2 T MR-Tomograph bis 3 T Elektromagnete mit supraleitenden Spulen 10 T Die relative magnetische Permeabilität, μr. ist der Faktor, um den die Induktion durch Einbringen eines Stoffes verändert wird: r Induktion mit Füllstoff Induktion ohne Füllstoff Stoffe, deren μr viel größer als 1 ist, heißen ferromagnetisch und stärken das Feld erheblich. Stoffe, deren μr wenig größer als 1 ist, heißen paramagnetisch und stärken das Feld sehr gering. Stoffe, deren μr kleiner als 1 ist, heißen diamagnetisch und schwächen das Feld. Diamantstahl ferromagnetisch bis zum 50 000 Gußeisen ferromagnetisch bis zum 600 Stahl, hart ferromagnetisch bis zum 200 Aluminium paramagnetisch 1,000 023 Hartguummi paramagnetisch 1,000 014 Luft paramagnetisch 1,000 000 4 Kupfer diamagnetisch 0,999 991 Glas diamagnetisch 0,999 987 Wismut diamagnetisch 0,999 824 Der magnetische Fluß, Φ ist bezeichnet durch das Produkt aus der magnetischen Induktion (B) und der Fläche (A) des Querschnittes des Feldes: Φ B A Einheit: V·s = Wb (weber) Induktionsgesetz von Faraday In einer Spule wird eine Spannung induziert, wenn der sie durchsetzende magnetische Fluß eine Änderung erfährt: U Φ B A A B t t t Lenz-sche Regel: bei der Zunahme des magnetischen Flusses der induzierte Strom entgegengesetzt zu der sich aus der Korkenzieherregel ergebenen Richtung fließt. Änderung der magnetischen Induktion Bewegung senkrecht zur Feldlinien in statischem Magnetfeld Beispiel: Magnetfeld unter einer Hochspannungsleitung Wie groβ ist das Magnetfeld B im Abstand von r = 10 m von einer Hochspannungsleitung wo die Stromstärke in der Gröβenordnung von I = 1 kA liegt? Die magnetische Induktion ist B 0 I 2 r B 2 10 7 N 103 A 20 μT 2 10 m A Im konkreten Fall wäre noch die Leiterbelegung der Leitung and die Belastung der einzelnen Phasen zu berücksichtigen. Die hier berechnete magnetische Induktion eines einzelnen Leiters kann als Abschätzung nach oben hin angesehen werden. Haben statischer Magnetfelder überhaupt eine biologische Wirkung? Die eventuell vorhandene Effekte (z.B. Hemmung rasch wachsender und bösartiger Tumorzellen) sollten statistisch und wissenschaftlich abgesichert werden um den Wirkungsmechanismus aufzuklären. Die physikalischen Primärwirkungen statischer Magnetfelder lassen sich in drei Gruppen einteilen: 1) Induktion einer elektrischen Spannung in Leitern, die sich im magnetischen Feld bewegen (Induktionsgesetz von Faraday) 2) Kraftwirkung im inhomogenen Magnetfeld, die zu einer Translation von paramagnetischen und diamagnetischen Partikeln führen können. Langsame Einstellung eines neuen Translationsgleichgewichtes mit einem Konzentrationsgradienten in Richtung des Magnetfeldgradienten. 3) Drehung von Molekülen mit permanentem paramagnetischem Moment in eine Vorzugsrichtung. Biomagnetische Diagnostik Die Aktivierung von biologischen Zellen ist mit charakteristischen elektrischen Potentialen und Strömen verbunden. Elektrische Ströme werden auch immer von einem Magnetfeld begleitet. Darauf beruht die biomagnetische Diagnostik. Vorteile: 1) Weil die Dielektrizitätskonstanten (ε) der Körpergewebe recht unterschiedlich sind, die elektrischen Feldlinien eines Stromdipols werden erheblich verzerrt. Die magnetische Suszeptibilität der Körpergewebe weicht aber nur unmerklich von der der umgebenden Luft ab, und deswegen die Magnetfelder werden weder im Körperinnern noch bei ihrem Austritt aus dem Körper verzerrt. Daher läβt sich aus deren Messung der zugrundeliegende Strom sehr viel besser rekonstruiren als aus elektrischen Potentialmessungen. 2) Magnetfelder können ohne direkten Kontakt mit dem Körper gemessen werden. Stromdipol I·d einer fokalen elektrischen Hirnaktivität. Da die magnetischen Suszeptibilitäten der Körpergewebe praktisch gleich jener in Luft sind, treten die Magnetfeldlinien (im Gegensatz zu den elektrischen Feldlinien) fast unverzerrt aus dem Körper aus. Nachteile: 1) die extrem kleine magnetischen Felder, 2) die aufwendige Abschirmung von auβen einwirkender Magnetfelder und 3) die benötige sehr empfindliche Meβtechnik: supraleitende Quanteninterferometer (SQUID: Superconducting Quantum Interference Device), die bei einer Temperatur von 4,2 K arbeitet, d. h. sie muβ mit flüssigen Heliums gekühlt werden. „Grid”-Darstellung. Zeitlicher Verlauf der biomagnetischen Induktion während eines Herzzyklus, eingetragen am (durch Kreuze markierten) Mittelpunkt der jeweiligen Meβspule. Magnetokardiogramm Auf Abszisse und Ordinate sind die horizontalen und vertikalen Entfernungen zu einer Markierung an Brustbein in cm aufgetragen. Isokonturkarten (Map-Darstellungen): Linien konstanter magnetischen Induktion B kurz vor und nach dem (als R-Welle bezeichneten) Maximalwert des Magnetfelds. Beachte im Zeitverlauf erfolgende Umkehrung der Magnetfeldrichtung. vor nach Der zugehörige Stromdipol liegt etwa unter der Grenzlinie der beiden (durch kontinuirlich und gestrichelt gezeichnete Isokonturen gekennzeichneten) räumlichen Bereiche entgegengesetzter Magnetfeldrichtung. Hausaufgaben 1. Berechnen Sie die Kraft, die zwei elektrische Ladungen von je Q = 1 Cb im Abstand von r = 1 km aufeinander ausüben. 2. Bestimmen Sie das Potential in der Symmetrieebene eines ungleichnamigen Dipols mit den Ladungen +Q und –Q im Abstand d voneinander. 3. Zwei gleiche Körper sind ungleichnamig mit je Q = 1 mCb geladen und befinden sich im Abstand r = 100 cm. A) Wie groβ ist die anziehende Kraft F zwischen ihnen? B) Wie groβ ist die Kraft F, wenn zwischen die beiden Körper eine Scheibe aus Paraffin (εr = 2) geschoben wird? 4. Ein Mensch hat gegenüber seiner Umgebung eine Kapazität von 250 pF. Die zufällige Reibung an einem Sitzmöbel führt zu einer Aufladung auf eine Spannung U = 600 V. Durch welche Ladungsmenge Q wird diese Aufladung bewirkt? Hausaufgaben 5. An der Erdoberfläche herrscht im Mittel eine elektrische Feldstärke von E = 130 V/m. Betrachten wir die Erde als leitende Kugel (mittlerer Radius R = 6378 km), die sich isoliert im Raum befindet (d.h. in höheren Schichten der Atmosphäre sollen keine elektrischen Ladungen vorhanden sein), dann ergibt sich für die a) Gesamtladung Q auf der Erdoberfläche? b) Kapazität C der Erde? c) Elektrische Feldenergie? 6. Der Speicherkondensator eines Elektronenblitzgerätes wird von der Entladung auf eine Spannung von U = 500 V aufgeladen. Pro Blitzentladung wird bei dem Gerät eine Energie von W = 100 J umgesetzt. a) Wie groβ ist die Ladungsmenge Q, die pro Blitzentladung durch die Blitzröhre des Gerätes geht? b) Welche Kapazität besitzt der Speicherkondensator des Gerätes? 7. Mit welcher Kraft stoßen sich 2 Metallkugeln von je 1 mm Radius im Mittelpunktsabstand 3 cm ab, wenn sie beide auf die Spannung 220 V gegen Erde aufgeladen werden? Hausaufgaben 8. Das elektrische Feld in einem Zweiplattenkondensator soll einem darin befindlichen Elektron die gleiche Beschleunigung erteilen wie das Schwerefeld der Erde einem fallenden Stein. Welche Spannung muß zwischen den in 1 cm Abstand befindlichen Platten bestehen? 9. Zwei Kondensatoren von C1 = 2 μF bzw. C2 = 5 μF werden auf U1 = 100 V bzw. U2 = 200 V geladen und dann mit gleichen Vorzeichen parallelgeschaltet. Welche gemeinsame Spannung stellt sich ein? 10. Von zwei äußerlich gleich aussehenden Stahlstäben ist der eine magnetisch. Wie läßt sich dieser ohne weitere Hilfsmittel herausfinden? 11. Berechnen Sie die magnetische Induktion B im Abstand r = 1 m von einem 100 A Stromleiter. 12. Berechnen Sie das Magnetfeld in einem Punkt der Symmetrieachse im Abstand r von dem Mittelpunkt einer kreisförmigen und vom Strom I durchgeflossen Stromschleife.
