Kondensatoren ¨Ubersicht

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Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Elektrisches Feld | Kondensatoren | Auf- und Entladen
PhysikLV-Skript
Kondensatoren
Auf- und Entladen
Übersicht
1 Einführung
1
2 Entladen
3
3 Aufladen
7
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
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Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
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◮ Elektrisches Feld | Kondensatoren | Auf- und Entladen
PhysikLV-Skript
1 Einführung
Kondensatoren werden ebenfalls in den PhysikLV-Skripten Einführung und
”
Definition“ und Kondensatoren - Kapazität und Energiegehalt“ behandelt.
”
Auf Grund seiner Wichtigkeit ist dieses elektrische Bauteil aus dem Stromkreis nicht mehr wegzudenken. Seine Aufgabe ist es, Ladung und damit auch
Energie zu speichern. Damit kann der Kondensator beim Entladen ein elektrisches Gerät auch ohne Anschluss an die Stromquelle mit Energie versorgen.
Im kommenden Versuch möchten wir vorher abschätzen, wie lange eine
Glühbirne ohne Verbindung zur Stromquelle, mit der im Kondensator gespeiWie
lange
wird
Glühbirne leuchten?
cherten Energie, weiter brennen kann. Daher solltest du dir noch einmal einige
Formeln und Zusammenhänge klar machen.
die
Quelle: wikipedia.org - KoS (public domain)
Im Versuch werden wir drei verschiedene Spannungen unterscheiden. Die Spannung UC , die an einem
Plattenkondensator anliegt (siehe PhysikLV-Skript Kondensatoren - Kapazität und Energiegehalt“),
”
die Spannung UR , die dafür sorgt, dass eine bestimmte Stromstärke durch den Stromkreis fließt (siehe PhysikLV-Skript Einführung und Definition“) und die Spannung U0 , die von außen angelegt wird.
”
Laut der Maschenregel, einem physikalischen Gesetz, addieren sich alle Teilspannungen zu Null.
Es ergibt sich also eine Gleichung für die Gesamtspannung im Stromkreis:
0 = UR + UC + U0
|{z} |{z}
Q
= R·I+
+ U0
C
UR=R*I
+ U = QC
+
+
+
C
-
Ebenfalls wichtig wird sein, dass du dir klar machst, was die Leistung P bedeutet. Sie bezeichnet in der
Mechanik die bezogene Energie eines Verbrauchers pro Zeiteinheit (siehe PhysikLV-Skript Einführung
”
und Definition“). Sie bezeichnet also den Quotienten aus der geleisteten Arbeit ∆W und der zugehörigen
Zeitspanne ∆t.
Wird in der Elektrostatik eine elektrische Leistung umgesetzt, so kann diese auch als Produkt der Spannung U mit der elektrischen Stromstärke I definiert werden:
P=U·I =
∆W
∆t
Beim Entladen eines Kondensators wird die im Feld gespeicherte Energie dazu benutzt, die Arbeit ∆W
zu verrichten.
Den Energiegehalt eines Kondensators, der dazu benutzt werden kann, den gleichen Betrag an Arbeit
zu leisten, kannst du dem PhysikLV-Skript Kondensatoren - Kapazität und Energiegehalt“ entnehmen
”
und wird folgendermaßen berechnet:
W=
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1
· C · U2
2
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◮ Elektrisches Feld | Kondensatoren | Auf- und Entladen
PhysikLV-Skript
◮ Versuch: Wie lange brennt die Glühbirne?
Im kommenden Versuch entladen wir einen Superkondensator (C = 1 F) über
eine Glühbirne und messen dabei, wie lange diese mit Hilfe der gespeicherten Energie im Kondensator, also ohne Verbindung zur Stromquelle, brennen
R
kann. Dies möchten wir zunächst mit den oben eingeführten Formeln rechnerisch abschätzen und anschließend mit dem nebenstehenden Versuchsaufbau
+
Im Versuch wird ein Superkondensator mit einer Ladespannung U0 von 4 V
aufgeladen. Bei einer Kapazität von 1 F speichert der Kondensator damit als
-
belegen.
U0
C
Energie
W=
1
1
· C · U 2 = · 1 F · (4 V)2 = 8 J.
2
2
Dies hört sich nicht gerade viel an. Doch über die Formel der Leistung können
wir berechnen wie lange die Glühbirne leuchten wird.
Die Lampe ist ausgelegt auf 3,8 V und 70 mA. Damit hat sie eine Leistungsaufnahme von:
Superkondensator
C = 1F
mit
P = U · I = 3, 8 V · 0, 07 A = 0, 266 W
Quelle: wikipedia.org - Elcap, Jens
Both (CC BY-SA 3.0)
Allgemein gilt für die Leistung P =
∆W
∆t . Stellen wir diese Formel nach der Zeitspanne
∆t um, so können
wir die Zeit berechnen, die die Glühlampe mit der im Feld des Superkondensators gespeicherten Energie leuchtet:
∆t =
8J
∆W
=
≈ 30 s
P
0, 266 W
Laut unserer Berechnung sollte die Glühlampe also etwa 30 s lang leuchten. Das ist schon eine beachtlich lange Zeit, für so ein unscheinbares Bauteil. Führen wir allerdings den Versuch nach obigem Versuchsaufbau durch, so stellen wir fest, dass in Realität die Glühbirne mit etwa 40 s noch länger leuchtet.
Wie kann das sein?
Die Antwort auf diese Frage ergibt sich bei der Beobachtung der Glühbirne. Je länger die Birne brennt,
desto schwächer leuchtet sie. Der Grund hierfür hängt mit einer Eigenschaft des Kondensators zusammen, die beim Entladen zum Tragen kommt.
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2 Entladen
Entlädt sich der Kondensator, so fließen dabei die Ladungen zur jeweils anders geladenen Elektrode
über den ohmschen Widerstand ab. Dabei sinkt die nun zeitabhängige Ladung Q(t) auf den Kondensatorplatten. Daraus resultiert, dass die Spannung UC (t) zwischen den Platten in Abhängigkeit von der
Zeit ebenfalls sinkt.
Q(t)↓ = C · UC (t)↓
Ergebnis:
Die Leuchtstärke der Glühbirne lässt ebenfalls nach.
Laut Maschenregel addieren sich alle Teilspannungen zu Null.
Im geschlossenen Stromkreis gilt generell, dass die Ladespannung U0 = 0 ist. Für die Gesamtspannung
folgt dann:
U0 = 0 = UR (t) + UC (t)
| {z }
| {z }
0 = R · I (t) +
Q(t)
C
Q(t)
= − R · I (t)
C
| − R · I (t)
Da die Ladung Q(t) beim Entladen sinkt, geht die linke Seite der Gleichung gegen Null. Damit muss
sich die Stromstärke I (t) ebenfalls der Null annähern. Da die rechte Seite der Gleichung zusätzlich negativ ist, nähert sich der Graph der Funktion der Stromstärke der x-Achse von unten an. Sie nimmt also
betragsmäßig ab und ist nicht konstant.
Es gilt also:
Q(t)↓
⇒
UC (t)↓
⇒
I (t)↑
Die Stromstärke I (t) wiederum ist definiert als die Ladungsmenge ∆Q, die in einer gewissen Zeitspanne
∆t durch den Stromkreis fließt:
I (t) =
∆Q
∆t
Sie ist damit ein Maß für die durchschnittliche Änderungsrate der durch den Leiter bewegten Ladung.
Diese Betrachtung entspricht gerade dem Differenzenquotienten:
∆Q
Q − Q0
= 1
∆t
t1 − t0
Möchten wir aber wissen, wie viele Ladungen genau in einem bestimmten Moment den Leiterquerschnitt passieren, wählen wir hierzu die untersuchte Zeitspannen immer kleiner. Wir lassen also den
Abstand zwischen t1 und t0 immer geringer werden. Wird schließlich die Zeitspanne unendlich (infinitesimal) klein, so betrachten wir die Änderung der durch den Leiter bewegten Ladung an einem ganz
bestimmten Zeitpunkt, anstatt gemittelt über eine Zeitspanne.
Laut der mathematischen Definition der Ableitung wird der Grenzwert dieses Differenzenquotienten
für t1 → t0 als Ableitung der Funktion I (t) bezeichnet.
I (t) = lim
∆t→0
∆Q
Q − Q0
= lim 1
t1 → t0 t 1 − t 0
∆t
Die Stromstärke I (t ) stellt also die Ableitung der Ladungsfunktion Q(t ) dar.
Die Ableitung nach der Zeit wird in der Physik mit einem Punkt über der Ableitungsfunktion verdeutlicht. Daher gilt:
I (t) = Q̇(t)
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◮ Elektrisches Feld | Kondensatoren | Auf- und Entladen
PhysikLV-Skript
Setzen wir diese Tatsache in die Maschenregel ein, so erhalten wir eine Differentialgleichung, eine Gleichung, die sowohl die Funktion Q(t), sowie ihre zeitliche Ableitung Q̇(t) enthält:
Q(t)
C
Q(t)
= R · Q̇(t) +
C
0 = R · I (t) +
I (t) = Q̇(t) einsetzen
Als Lösung dieser Gleichung kommt nur ein Typ Funktion in Frage, bei der die Ableitung gleich der
Gleichung mal einen konstanten Faktor ist. Dies ist bei Exponentialfunktionen der Fall. Daher kann
folgende Funktion als Lösung dieser Gleichung gelten:
t
R
C
Q ( t ) = Q0 · e
−
◮ Probe
Um diese nicht hergeleitete Lösung zu überprüfen, setzen wir sie in die Differentialgleichung ein.
Hierzu leiten wir erst einmal die Lösung Q(t) ab:
t
−
Q0 · e R C
Q(t) =
Q̇(t) = −
t
−
1
· Q0 · e R · C
R·C
Diese beiden Gleichungen setzen wir nun in die Differentialgleichung ein und überprüfen, ob diese die
Gleichung lösen können.
0 =
R ·
Q̇(t)
+
1
·
C
Q(t)
t
t
−
−
1
1
= − R ·
· Q0 · e R · C +
· Q0 · e R · C
R ·C
C
t
−
1
1
· Q0 · e R · C
=
− +
C C
{z
}
|
Q(t) und Q̇(t) einsetzen
Satz vom Nullprodukt
0
0 = 0
Ergebnis:
Die Funktion Q(t ) ist damit also wirklich eine Lösung der Differentialgleichung.
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◮ Elektrisches Feld | Kondensatoren | Auf- und Entladen
PhysikLV-Skript
Durch das Sinken der Ladungsfunktion Q(t) und der Spannungsfunktion U (t) folgt wie oben beschrieben direkt, dass die Funktion I (t) betragsmäßig abnehmen muss. Es verringert sich also damit auch
Q̇(t), die Steigung des Graphen der Funktion Q(t).
Die Geschwindigkeit des Ladungstransportes ist also beim Start des Entladens am größten und
nimmt dann exponentiell ab. Je länger die Entladung fortschreitet, desto weniger Ladungen werden
zur anderen Elektrode übertragen und desto langsamer ist dieser Transport. Dadurch sinkt die Spannung U (t ) und die Stromstärke I (t ) immer langsamer.
Aus diesen Zusammenhängen ergeben sich die folgenden Schaubilder. Alle Funktionen nähern sich
exponentiell der Null an. UC (t) und Q(t) von oben und I (t) von unten.
t
0
UC(t) bzw.
Q(t)
UC(0)
Q(0)
I(t)= Q(t)
Q(t)=C*UC(t)
I(0)
0
I(t)
t
Dem ersten Schaubild kannst du die anfängliche Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten Q(0) entnehmen. Ist zusätzlich bekannt, mit welcher Spannung UC (0) der Kondensator aufgeladen wurde, so
kannst du die Kapazität des Kondensators bestimmen:
C=
Q (0)
UC (0)
Da die Funktion der Stromstärke I (t) die Ableitungsfunktion Q̇(t) der Ladung darstellt, lässt sich aus
dem Graphen der Ladungsfunktion Q(t) die Stromstärke I (0) bestimmen, die zu Beginn der Entladung
herrscht. Hierzu wird eine Tangente an die Funktion im Schnittpunkt mit der y-Achse gelegt. Die Ladungsmenge ∆Q, die in der Zeitspanne ∆t näherungsweise die Elektroden verlässt, und ∆t selbst lassen
sich wie unten aufgezeigt dem Schaubild entnehmen. Der Zeitpunkt t1 ergibt sich aus dem Schnittpunkt
der Tangente mit der x-Achse.
Q(t)
Q(0)
Q(t)
ΔQ
0
t
Δt t
1
Als Stromstärke I (0) zu Beginn der Entladung ergibt sich dann:
I (0) = Q̇(0) =
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Q (0)
∆Q
=
∆t
t1
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◮ Elektrisches Feld | Kondensatoren | Auf- und Entladen
PhysikLV-Skript
Da die Stromstärke I (0) zu Beginn der Entladung immer ungleich Null ist, lässt sich aus der Maschenregel ebenfalls der elektrische Widerstand R berechnen:
0 = UC (0) + UR (0)
= UC (0) + R · I (0)
− R · I (0) = UC (0)
R= −
= −
| − R · I (0)
| : (− I (0))
UC (0)
I (0)
UC (0) =
Q (0)
einsetzen
C
Q (0)
C · I (0)
Aus dem Q-t-Schaubild lässt sich ebenfalls die Halbwertszeit ablesen. Dies ist der Zeitpunkt, an dem
genau die Hälfte der Ladungsmenge bereits von den Elektroden abgewandert ist. Die andere Hälfte
1
2 Q0 ist noch gespeichert. Zu diesem Zeitpunkt ist damit ebenfalls die Spannung halbiert worden. Die
Glühbirne leuchtet also nur noch halb so intensiv.
Q(t)
Q(0)
Q(t)
1
2 Q(0)
0
t
t
Berechnen lässt sich die Halbwertszeit t1/2 folgendermaßen:
t1/2
Q(t1/2 ) = Q0 · e R C
−
t1/2
−
1
Q0 = Q0 · e R C
2
t1/2
−
1
= e RC
2
t
ln 1 − ln 2 = − 1/2
RC
t1/2
− ln 2 = −
RC
| : Q0
| ln
mit ln 1 = 0
| · (− R C )
ln 2 · R · C = t1/2
Nach der Halbwertszeit
leuchtet die Glühbirne nur
noch halb so intensiv.
Quelle: wikipedia.org - KoS (public domain)
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3 Aufladen
Ist der Kondensator vollständig entladen, so befinden sich keine Ladungen mehr auf den Platten. Zum
Aufladen legt man von außen eine Spannung U0 an, die erneut Ladungen über den Ohmschen Widerstand auf die Kondensatorplatten treibt. Die Ladungsmenge Q(t ) des Kondensators nimmt entsprechend zu. Daraus resultiert auch eine Zunahme der Spannung UC (t ) zwischen den Elektroden.
Q(t)↑ = C · UC (t)↑
Durch die Zunahme der Spannung UC (t) zwischen den Elektrodenplatten verringert sich die Spannungsdifferenz zwischen dieser und der außen angelegten Spannung U0 . Da diese Spannungsdifferenz der Motor“ des Aufladevorgangs ist, werden die Ladungen immer langsamer auf die Platten
”
übertragen. Dadurch sinkt die Stromstärke I (t ) und die Spannung UC (t ) nimmt immer langsamer
zu.
Verfolgst du in nebenstehendem Bild den Stromverlauf, so kannst du
erkennen, dass die Spannung U0 genau umgekehrt gerichtet ist wie die
Spannungen UR (t) und UC (t). Auf Grund der entgegengesetzten Richtung ist U0 in der unten stehenden Formel negativ.
Nach der ersten Umformung kannst du erkennen, dass sich diese an-
UR(t)
+
U0
Die Gleichung für die Gesamtspannung lautet also:
-
gelegte Spannung U0 auf die Spannung UR (t) am Widerstand und die
Spannung UC (t) am Kondensator aufteilt.
R
C UC(t)
0 = UR (t) + UC (t) − U0
| {z } | {z }
| +U0
Q(t)
C
Q(t)
= R · Q̇(t) +
C
U0 = R · I (t) +
mit I (t) = Q̇(t)
Die Spannung U0 liegt genau umgekehrt an wie UR (t) und UC (t).
Diese Gleichung ist eine Differentialgleichung und enthält die Funktion Q(t), sowie ihre Ableitung Q̇(t).
Als Lösung dieser Gleichung kommt nur ein Typ Funktion in Frage, bei der die Ableitung gleich der
Gleichung mal einen konstanten Faktor ist. Dies ist bei Exponentialfunktionen der Fall. Daher kann
folgende Funktion als Lösung dieser Gleichung gelten:


t
Q ( t ) = Q0 · 1 − e R C 
−
◮ Probe
Um diese nicht hergeleitete Lösung zu überprüfen, setzen wir sie in die Differentialgleichung ein.
Hierzu leiten wir erst einmal die Lösung Q(t) ab:
Q ( t ) = Q0


t
· 1 − e R C 
= Q0 −
Q̇(t) =
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−
t
R
C
Q0 · e
−
t
−
Q0
R
C
·e
RC
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PhysikLV-Skript
Diese beiden Gleichungen setzen wir nun in die Differentialgleichung ein und überprüfen, ob diese die
Gleichung lösen können.
U0 = R ·
Q̇(t)
+
1
·
C
Q(t)
t
Q0
·e RC +
C
−
=
Q0
C
U0 =
U0
Ergebnis:
·

−

−

t
Q0 · 1 − e R C 
t
−
Q0
1
R
C +
= R ·
·e
·
RC
C
=
Q(t) und Q̇(t) einsetzen


t
Q0 
· 1−e RC
C

t
t
−
1 + e R C − e R C 
−
mit
Q0
= U0
C
Die Funktion Q(t ) ist damit also wirklich eine Lösung der Differentialgleichung.
Betrachte die Ableitungsfunktion Q̇(t) der Ladungsmenge. Sie entspricht wie oben hergeleitet der Funktion der Stromstärke I (t). Für I (t) gilt dann ebenfalls:
I (t) = Q̇(t) =
t
−
Q0
·e RC
RC
Da die Größen t, R und C immer positiv sind, ist der Exponent der Exponentialfunktion negativ. Deshalb nähert sich der Graph der Funktion der Stromstärke im Laufe des Aufladevorgangs der Null an.
Die Geschwindigkeit des Ladungstransportes ist also beim Start des Aufladens am größten und
nimmt dann exponentiell ab.
Die Spannungs-, Ladungs- und Stromstärkefunktion sind Exponentialfunktionen. Die Graphen
der Spannungs- und der Ladungsfunktion wachsen beschränkt, wohingegen sich der Graph der
Stromstärkefunktion der Null annähert.
UC(t) bzw.
Q(t)
lim UC(t)
t ∞
I(t)
I(0)
lim Q(t)
t ∞
I(t)= Q(t)
Q(t)=C*UC(t)
0
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t
0
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PhysikLV-Skript
Solltest du in einer Aufgabe ein Schaubild erhalten, so kannst du diesem einiges entnehmen.
Aus dem Q-t-Schaubild kannst du den Grenzwert der Ableitungsfunktion QEnde = lim Q(t) ablesen.
t→∞
Dies ist also die Ladungsmenge, die sich nach dem Aufladen auf den Kondensatorplatten befindet. Ist
zusätzlich noch die außen angelegte Spannung U0 gegen, so kannst du die Kapazität des Kondensators
bestimmen. Hierfür benötigst du die Maschenregel.
Wichtig ist, dass du dir klar machst, dass am Ende des Aufladevorgangs kein Strom mehr fließt und
daher der Grenzwert der Stromstärke IEnde = lim I (t) Null ist.
t→∞
Laut Maschenregel ergibt sich dann:
U0 = lim UR (t) + lim UC (t)
t→∞
t→∞
| {z } | {z }
QEnde
= R · IEnde +
C
QEnde
=
C
QEnde
C=
U0
mit IEnde = lim I (t) =
t→∞
∆Q
=0
∆t
Aus dem Q-t-Schaubild lässt sich die Stromstärke zu Beginn des Aufladevorgangs, auf Grund der Tatsache, dass die Stromstärkefunktion I (t) als Ableitung Q̇(t) der Ladungsfunktion Q(t) definiert ist, mit
Hilfe der Tangente an die Ladungsfunktion (im Schnittpunkt mit der y-Achse) näherungsweise bestimmen. Dieser Vorgang wird im folgenden Bild verdeutlicht.
Q(t)
lim Q(t)
t ∞
lim Q(t)=QEnde
t ∞
0
t
t1
Als Stromstärke I (0) zu Beginn des Aufladevorgangs ergibt sich dann:
I (0) = Q̇(0) =
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Q
∆Q
= Ende
∆t
t1
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Hast du die Stromstärke I (0) zu Beginn des Aufladevorgangs berechnet oder aus dem I-t-Schaubild
abgelesen, kannst du mittels der Maschenregel den elektrischen Widerstand R bestimmen.
Wichtig ist, dass du dir klar machst, dass am Anfang des Aufladevorgangs die Ladung Q(0) auf den
Kondensatorplatten Null ist.
U0 = UR (0) + UC (0)
| {z } | {z }
= R · I (0) +
Q (0)
C
mit Q(0) = 0
= R · I (0)
U0
= R
I (0)
Nun haben wir die Fälle am Anfang und am Ende des Aufladevorgangs betrachtet.
Misst man im nebenstehenden Stromkreis die aktuelle Stromstärke I (t) mit einem
=
mit Imittel (t) =
I (0) + I ( t )
2
I (0) + I ( t )
·t
2
-
Q(t) = Imittel (t) · t
R
+
Amperemeter, so kann man näherungsweise die bereits auf die Kondensatorplatten geflossene Ladung bestimmen. Hierzu verwendet man das arithmetische Mittel
Imittel (t) der Stromstärke im bereits verstrichenen Zeitraum:
A
C
Mit der Maschenregel lässt sich so für jeden Zeitpunkt die Kapazität des Kondensators berechnen:
U0 = UR (t) + UC (t)
| {z } | {z }
= R · I (t) +
Q(t)
C
Q(t)
C
Q(t)
C=
U0 − R · I (t)
U0 − R · I (t) =
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| − R · I (t)
| ·C und : die linke Seite
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