Kapitel 2 Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge

Berühmte Familien von Zahlen und ihre
Zusammenhänge
Nina Elisabeth Isele
20.01.2015
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge
2.1 Die Zahlen von Bell und Stirling . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bellsche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Stirling-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Partitionszahlen und Ramanujan-Zahlen . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Partitionszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ramanujan-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Catalansche Zahlen und das Pascal Dreieck . . . . . . . . . .
2.4 Faulhabers Formel und die Bernoullischen Zahlen . . . . . . .
2.4.1 Faulhabers Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Bernoullische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Fibonacci-Zahlen und Lucassche Zahlen . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Lucassche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Beziehung zwischen Fibonacci- und Lucasschen Zahlen
1
3
3
3
4
8
8
10
10
12
12
12
13
13
15
15
Kapitel 1
Einleitung
In dieser Arbeit habe ich mich, wie der Titel schon vermuten lässt, mit
berühmten Familien von Zahlen und ihren Zusamenhängen untereinander
beschäftigt. Dabei habe ich vor allem die Bücher Zahlenzauber: von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen von John Horton Conway und Richard
K. Guy [1], Elemente der diskreten Mathematik von Volker Diekert, Manfred Kufleitner und Gerhard Rosenberger [2] und Combinatorics and graph
theory von John M. Harris, Jeffry L. Hirst und Michael J. Mossinghoff [3]
und einige mathematische Zeitschriftenartikel zu Rate gezogen.
Ich habe mich dabei auf folgende Familien von Zahlen konzentriert: Bellsche
Zahlen, Stirling-Zahlen, Partitionszahlen, Ramanujan-Zahlen, Catalansche
Zahlen, Bernoullische Zahlen, Fibonacci Zahlen und Lucassche Zahlen.
2
Kapitel 2
Berühmte Familien von
Zahlen und ihre
Zusammenhänge
2.1
Die Zahlen von Bell und Stirling
Mathematische Wissenschaftler und Wissenschaftler im Allgemeinen benennen gerne ihr Errungenschaften nach ihren Namen, da machen auch die
Mathematiker, die die Familien von Zahlen, die ich hier vorstellen werde,
keine Ausnahme. Einige davon gehören dabei schon zum Allgemeinwissen
dazu, wie Fibonacci (Spitzname von Leonardo da Pisa), andere hingegen
kennt man eher in mathematischen Kreisen, so wie die ersten zwei Familien,
die ich näher betrachtet habe, nämlich die von Eric Temple Bell und James
Stirling.
2.1.1
Bellsche Zahlen
Eric Temple Bell hat das Problem behandelt, wieviele Möglichkeiten es gibt,
n deutlich unterscheidbare Objekte in Gruppen anzuordnen, oder in einer
etwas höheren mathematischen Sprache: die Anzahl aller Partitionen einer
n-elementigen Menge. Eine Partition einer Menge A ist eine Menge P =
{P1 , ..., Pk } mit ∪1≤i≤k Pi = A mit Pi 6= ∅ für alle 1 ≤ i ≤ k und Pi ∩ Pj = ∅
für alle 1 ≤ i < j ≤ k.
Die Antwort auf diese Frage liefern die Bellschen Zahlen. Wenn man zum
Beispiel 4 Gepäckstücke gruppieren möchte, gibt es genau 15 Möglickeiten
dafür (Abbildung 2.1). Die vierte Bellsche Zahl b4 ist somit gleich 15.
3
Abbildung 2.1: alle Gruppierungen von vier Gepäckstücken
(Conway/Guy [1], Ausschnitt)
Die Abbildung 2.1 veranschaulicht diese 15 Möglichkeiten vier (unterschiedliche) Gepäckstücke zu gruppieren. Die Ziffern direkt unter den Gruppierungen: 1, 7, 6, 1 geben dabei die Anzahl der Gruppierungen der vier
Gepäckstücke in jeweils einer, zwei, drei bzw. vier Gruppen an. Diese Zahlen sind die sogenannten Stirling-Zahlen zweiter Art.
2.1.2
Stirling-Zahlen
Stirling-Zahlen 2. Art
Die Stirling-Zahlen zweiter Art geben die Anzahl der Gruppierungen von n
verschiedenen
Objekten in genau k Gruppen an und haben folgende Schreib weise: nk für 1 ≤ k ≤ n.
Der Zusammenhang zwischen den ersten Bellschen Zahlen und den Stirling
Zahlen 2. Art wird in der folgenden Tabelle veranschaulicht:
4
n
1
2
3
4
5
6
Stirlingsche Zahlen
2. Art
n
k
1
11
131
1761
1 15 25 10 1
1 31 90 65 15 1
Bellsche Zahlen
bn
1
2
5
15
52
203
Darin wird deutlich, dass man die Bellschen Zahlen aus der Summe der
jeweiligen Stirling-Zahlen erhält:
bn =
n
1
+
n
2
+ ... +
n
n
bn ist somit die Gesamtzahl der Möglichkeiten, n Objekte in Gruppen anzuordnen.
Nachdem es Stirling-Zahlen der 2. Art gibt, muss es wohl auch StirlingZahlen der 1. Art geben.
Stirling-Zahlen 1. Art
Diese werden wie folgt geschrieben: nk , mit 1 ≤ k ≤ n.
Sie geben die Anzahl der Permutationen über M = {1, ..., n}, die sich in k
Zykel anordnen lassen, während die Stirling-Zahlen der 2. Art die Anzahl
der Partitionen von M in k Klassen beschreiben.
Schauen wir uns
ein Beispiel (von Donald Knuth [4]) für eine Stirling
Zahl 1. Art an. 42 = 11, da es 11 verschiedene Wege gibt 4 Elemente in 2
Zyklen anzuordnen:
(123)(4)
(132)(4)
(12)(34)
(124)(3)
(142)(3)
(13)(24)
(134)(2)
(143)(2)
(14)(23).
(234)(1)
(243)(1)
Für die Stirling-Zahlen 1. Art gilt:
n
1
+
n
2
+ ... +
n
n
= n!
Es herrscht der gleiche Zusammenhang zwischen Stirling-Zahlen 1. Art
und der Fakultät wie zwischen den Stirling-Zahlen 2. Art und den Bellschen
Zahlen:
5
n
1
2
3
4
5
StirlingscheZahlen
1. Art
Fakultät
n!
1
2
6
24
120
n
k
1
11
231
6 11 6 1
24 50 35 10 1
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wählen wir n = 3, dh. wir betrachten die Stirling-Zahlen 1. Art von 3 Elementen.
3
1
= 2,
3
2
= 3,
3
3
=1
Diese Zahlen kommen zustande, wenn man die 6 Permutationen dreier Elementen (123) in 1 Zykel, 2 Zykel bzw. 3 Zykel darstellt:
1 Zykel
(123) (132)
2 Zykel
(12)(3) (13)(2) (23)(1)
3 Zykel
(1)(2)(3)
Man kann die 3 Elemente also genau auf zwei Arten in einem Zykel, auf drei
in zwei Zykel und auf eine in drei Zykel darstellen.
Kommen wir nun zu ein paar Eigenschaften der Stirling-Zahlen.
Eigenschaften der Stirling-Zahlen
Die Stirling-Zahlen stehen nicht nur mit den Bellschen Zahlen und der Fakultät in Verbindung, sondern sie haben auch einen ähnlichen Aufbau wie
die Binomialkoeffizienten:
n+1
k n+1
n k o
n+1
k
=
=
=
n
k n nk
k nk
n k−1
n n k−1 o
n
k−1
+
+
+
(1)
(2)
(3)
Zwischen den zwei Arten von Stirling-Zahlen herrscht ebenfalls eine Verbindung, die Donald Knuth in seinem Artikel Two notes on notation [4] als law
of duality bezeichnet hat:
n
k
=
−k −n
,
wobei wir dafür die Stirling-Zahlen auf die ganzen Zahlen erweitern und sie
für bestimmte Werte von n und k festlegen müssten. (Siehe dazu Donald
Knuths The art of computer programming [5], Seite 68.)
Satz 2.1
Additionstheorem für Stirling-Zahlen 1. Art:
n
k
=
n−1
k−1
n−1
+ (n − 1)
6
k
Beweis: Wir zeigen das Additionstheorem für n ≥ 1 und k ∈ N. Auf der
linken Seite steht die Anzahl der Permutationen von {1, ..., n} mit k Zykel. Diese Permutationen lassen sich in zwei Typen aufteilen: Der erste Typ
enthält (n) als Zykel und der zweite Typ nicht. Die Permutationen des ersten Typs entstehen, wenn man den Zykel (n) zu einer
Permutation von
n−1
{1, ..., n − 1} mit k-1 Zykel hinzufügt. Dafür gibt es k−1 Möglichkeiten.
Damit haben wir den ersten Summanden erhalten. Nun müssen
wir uns
n−1
noch davon überzeugen, dass der zweite Summand (n − 1) k der Anzahl
der Permutationen des zweiten Typs entspricht. Diese Permutationen erhält
man, wenn man bei einer Permutation von {1, ..., n − 1} mit k Zykel das
Element n einfügt. Dafür gibt es genau n−1
Möglichkeiten, wobei wir bei
k
jeder das Element n direkt hinter einem der n-1 übrigen Elemente in einen
Zykel einfügen können. Und somit erhalten wir die gewünschte Gleichung.
Satz 2.2
Additionstheorem für Stirling-Zahlen 2. Art:
n
k
=
n
n−1
k−1
o
+k
n
n−1
k
o
Beweis: Wir beweisen das Additionstheorem zuerst für n ≥ 1 und k ∈ N.
Wir teilen die Menge der Partitionen wieder in zwei Typen ein. Der erste
Typ enthält {n} als eine Klasse. Da jede solche Partition mit einer Partition
von {1, ..., n − 1} in k-1 Klassen identifiziert werden kann, ergibt sich der
erste Summand auf der rechten Seite der Gleichung { n−1
k−1 }. Der zweite Typ
entsteht dadurch, dass wir bei einer Partition {P1 , ..., Pk } von {1, ..., n − 1}
das Element n zu einer der k Klassen hinzufügen. Es gibt genau { n−1
k }
Partitionen von {1, ..., n − 1} und es gibt k mögliche
o Klassen, zu denen wir
n
Partitionen des zweiten
n hinzufügen können. Damit gibt es genau k n−1
k
Typs und da jede Partition entweder zum ersten oder zum zweiten Typ
gehört, erhalten wir die gewünschte Gleichung für n ≥ 1 und k ∈ N. Nun
wollen wir aber die Stirling-Zahlen 2. Art auf alle k, n ∈ Z erweitern, sodass
das Additionstheorem allgemein gilt. Es gilt:
n
k
=0 für
0≤n<k∧n<0≤k
n
>
1 für n > k > 1
k
Für n < 0 definieren wir { n0 } = 0. Damit gilt dann:
n
0
0
n
(
=
=
1 falls n = 0
0 sonst
(2.1)
Das
die Definition auf alle n ∈ Z und k = 0. Sei jetzt k < 0
n erweitert
o
n
und k+1
für alle n ∈ Z schon definiert. Wir setzen induktiv:
7
n
k
=
n
n+1
k+1
o
− (k + 1)
n
n
k+1
o
für n ∈ Z und k < 0.
Das definiert die Erweiterung auf n ∈ Z und k ≤ 0. Sei schließlich n < 0
und k > 0. Wegen
n
k
=
1
k
n
n+1
k
o
−
n
n
k−1
o
und { n0 } =
n o
0
n
=0
ist
n
k
falls nk < 0
=0
notwendig und hinreichend, um das Additionstheorem auf ganz Z × Z fortzusetzen und somit gilt es allgemein.
2.2
2.2.1
Partitionszahlen und Ramanujan-Zahlen
Partitionszahlen
Eine Partition einer Menge A = A1 ∪...∪Ak mit n Elementen in k nichtleere
disjunkte Teilmengen bewirkt eine Zerlegung von n in k positive Summanden:
n = |A1 | + ... + |Ak |
Die Anzahl dieser Partitionen wird durch die Stirling-Zahlen 2. Art nk
beschrieben, jedoch können verschiedene Partitionen dieselbe Summenzerlegung erzeugen. Anders als bei den Stirling-Zahlen 2. Art kommt es bei den
Partitionen nämlich nicht auf die Reihenfolge an. Zur Veranschaulichung
nehmen wir noch einmal das Beispiel aus Abbildung 2.1 der Gruppierungen
vierer verschiedener Gepäckstücke zur Hand. Da bei den Partitionen die Reihenfolge keine Rolle mehr spielt, werden die vier Gepäckstücke nicht mehr
voneinander unterscheidbar. Dadurch gibt es nur mehr 5 Möglichkeiten sie
in 1, 2, 3 oder 4 Gruppen einzuteilen, diese sind die 5 Partitionen von 4.
Diese 5 Partitionen stellen in Abbildung 2.2 die gelb umrandeten Felder dar.
8
Abbildung 2.2 (Conway/Guy [1], von mir modifiziert)
Die gelben Flächen in Abbildung 2.2 stellen die Partitionszahl pn für
n = 4 dar. Es gilt also p4 = 5. Die Partitionen sind dabei die gelben Zahlenkombinationen: 4, 3 1, 2 2, 2 1 1 und 1 1 1 1. Sie stellen die Anzahl der
Objekte (Gepäckstücke) in jeder Gruppe dar. Die erste Partition gibt zum
Beispiel an, dass sich genau vier Objekte in der einzelnen Gruppe befinden.
Nun kann man sich auch der Frage widmen, wie viele Möglichkeiten es gibt
n identische Elemente in eine bestimmte Anzahl von Gruppen k aufzuteilen.
Diese Nummer werden wir mit pn,k bezeichnen. Für pn gilt dann:
pn = pn,1 + pn,2 + ... + pn,n für n ≥ 1
pn =
X
⇔
pn,k
k
In unserem Beispiel (Abbildung 2.2) entspricht p4 , dann gleich:
p4 = p4,1 + p4,2 + p4,3 + p4,4 = 1 + 2 + 1 + 1 = 5.
Allgemein gelten für pn,k folgende Eigenschaften:
(
(i) p0,k =
(ii) pn,k = 0
(iii) pn,k = 0
1
0
falls k = 0
falls k 6= 0
für alle k, wenn n < 0
wenn k ≤ 0 oder k > n
9
(iv) pn,1 = pn,n = 1
für n ≥ 1
Um die Partitionszahlen pn zu berechnen gibt es keine exakte Formel wie
bei den Bellschen Zahlen. Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan
hat allerdings folgende Näherungsformel vermutet:
pn ∼
1√ π
e
4n 3
p 2n
3
,
wobei an ∼ bn bedeutet, dass lim abnn = 1. Diese Formel wurde später in Zun→∞
sammenarbeit mit G.H. Hardy von ihm bewiesen und von Hans Rademacher
in eine exakte, lange Formel abgeändert, die ich hier aber nicht erwähnen
werde. (Zu finden ist sie zum Beispiel in dem Artikel Asymptotic formulae
in combinatory analysis [6] von Hardy und Ramanujan.)
Wenn man die Reihenfolge beim Abzählen von Partitionen berücksichtigen
würde, wäre die Antwort viel einfacher, denn es gibt genau 2n−1 geordnete
Partitionen von n. Für die Partitionszahlen gibt es ebenfalls eine algebraische Formel:
1
(1−x)(1−x2 )(1−x3 )...
2.2.2
= 1 + p1 x + p2 x2 + p3 x3 + ....
Ramanujan-Zahlen
Die Ramanujan-Zahlen τn lassen sich ähnlich definieren, wie die Partitionszahlen:
x[(1 − x)(1 − x2 )(1 − x3 ) · · · ]24 = τ1 x + τ2 x2 + τ3 x3 + ....
2.3
Catalansche Zahlen und das Pascal Dreieck
Die Catalanschen Zahlen gehen auf den belgischen Mathematiker Eugène
Charles Catalan zurück. Ck ist zum Beispiel die Antwort auf die Frage,
wieviele Wege es gibt ein Produkt von k + 1 Matrizen zu berechnen. Behalten wir uns im Hinterkopf, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ
aber nicht kommutativ ist, so sehen wir, dass es nur einen Weg gibt, eine
oder zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren. Bei dem Produkt von drei
Matrizen gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich (M0 M1 )M2 und M0 (M1 M2 );
bei dem Produkt von vier Matrizen gibt es schon fünf: ((M0 M1 )M2 )M3 ,
(M0 (M1 M2 ))M3 , (M0 M1 )(M2 )M3 ), M0 ((M1 M2 )M3 ) und M0 (M1 (M2 M3 )).
Für k = 4, also für das Produkt von fünf Matrizen, steigen die Catalanschen
Zahlen schon rapide an, C4 ist nämlich schon 14.
Wie kann man nun die höheren Ck berechnen, ohne alle Rechnungswege
ausprobieren zu müssen?
Nehmen wir an, dass die letzte Multiplikation zwischen dem i-ten und
(i + 1)-ten Glied stattfindet:
10
(M0 M1 · · · Mi )(Mi+1 · · · Mk ).
Dann gibt es Ci Wege die Terme in der ersten Klammer zu gruppieren und
Ck−1−i Wege für die Terme in der zweiten Klammer. Insgesamt gibt es nun
Ci Ck−1−i verschiedene Möglichkeiten. Summen wir diese nun über i auf, so
erhalten wir die Gesamtanzahl der Möglichkeiten für k + 1 Terme:
Ck =
k−1
X
k ≥ 1.
Ci Ck−1−i
i=0
Schauen wir uns die ersten fünf Catalanschen Nummern an:
C1 = C0 C0 = 1,
C2 = C0 C1 + C1 C0 = 2,
C3 = C0 C2 + C1 C1 + C2 C0 = 5,
C4 = C0 C3 + C1 C2 + C2 C1 + C3 C0 = 14,
C5 = C0 C4 + C1 C3 + C2 C2 + C3 C1 + C4 C0 = 42.
Nicht rekursiv werden die Catalanschen Zahlen durch folgende Formel definiert:
!
2k
1
Ck =
.
k+1 k
(2.2)
In dieser Formel versteckt sich eine interessante Verbindung zum Pascal’schen
Dreieck. Wenn wir uns den Binomialkoeffizienten aus der Formel (2.2) 2k
k
anschauen, sehen wir, dass er den mittleren Zahlen des Pascal’schen Dreiecks
(in Abb. 2.3 blau markiert) entspricht.
Abbildung 2.3 mittlere Zahlen des Pascal’schen Dreiecks [7]
11
Wenn wir bei Null beginnen, die Zeilen im Pascal’schen Dreieck zu nummeriere, erhalten wir C4 folgendermaßen:
Aus k = 4 folgt 2k = 8, das heißt wir nehmen den mittleren Binomialkoeffizienten der 8. Reihe: 70. Dividieren wir diesen nun durch k + 1, also durch
5, so erhalten wir 14, was der vierten Catalanschen Zahl C4 entspricht.
Man kann die Catalanschen Zahlen auch noch mithilfe drei anderer Wege
aus dem Pascalschen Dreieck erhalten, welche ich hier aber nicht explizit
erwähnen werde. (Zu finden sind diese zum Beispiel in The ubiquitous Catalan numbers von Thomas Koshy [8].)
2.4
2.4.1
Faulhabers Formel und die Bernoullischen Zahlen
Faulhabers Formel
Johann Faulhaber war zu seiner Zeit (Anfang 17. Jh.) als Der große Arith”
metiker von Ulm“ bekannt. Er hat sich vor allem mit Summenformeln für
höhere Potenzen beschäftigt und ist somit auf die nach ihm benannte Faulhaber Formel gekommen:
1k−1 + 2k−1 + ... + nk−1 =
!
!
!
!
1 k
k k−1 1
k k−2 1
k k−3
k k−4 −1
[n +
n
× +
n
× +
n
×0+
n
×
+ ...].
k
1
2
2
6
3
4
30
(2.3)
Sie ist ähnlich aufgebaut wie die Formel des Binomischen Lehrsatzes, nur
dass es kein konstantes Glied gibt und die anderen Glieder mit gewissen
Konstanten multipliziert werden:
1
−1
5
1, 12 , 16 , 0, −1
30 , 0, 42 , 0, 30 , 0, 66 , 0...
Diese Konstanten hat Jakob Bernoulli in seinem Werk Ars Conjectandi
(1713) gründlich diskutiert, weshalb sie von da an als Bernoullische Zahlen bekannt waren.
2.4.2
Bernoullische Zahlen
Formal werden die Bernoullischen Zahlen von Conway/Guy, um an den Zusammenhang zum Binomischen Lehrsatz zu erinnern, wie folgt bezeichnet:
B 0 = 1, B 1 = 12 , B 2 = 61 , B 3 = B 5 = B 7 = ... = 0
B4 = B8 =
−1
6
30 , B
=
1
10
42 , B
=
5
66 , ...,
wobei die Bernoullischen Zahlen natürlich keine Potenzen sind, sondern nur
so angeschrieben werden. Mit dieser Schreibweise kann man die FaulhaberFormel wie folgt ausdrücken:
12
k
k
1k−1 + 2k−1 + ... + nk−1 = “ (n+B)k −B “
Die Ausdrücke innerhalb der Anführungszeichen sind dabei als Summen von
Gliedern zu schreiben, die jeweils eine Potenz von B sind, die mit einer Zahl
multipliziert werden. Die Potenzen von B sind selbstverständlich wieder als
Bernoullische Zahlen zu lesen.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an: Sei k = 11 und x = n, dann erhalten
wir den Ausdruck:
“ (x+B)11 −B 11“ =
11
1
11
10 1
9 2
8 3
7 4
6 5
5 6
11 (x + 11x B + 55x B + 165x B + 330x B + 462x B + 462x B +
+330x4 B 7 + 165x3 B 8 + 55x2 B 9 + 11xB 10 + B 11 − B 11 )
Wir sehen als erstes, dass sich B 11 −B 11 aufheben. Die Terme mit den ungeraden Potenzen“ B 3 , B 5 , B 7 und B 9 fallen ebenfalls weg, da diese gleich
”
Null sind. Uns bleibt also folgender Ausdruck über:
1
11
11 (x
+ 11x10 B 1 + 55x9 B 2 + 330x7 B 4 + 462x5 B 6 + 165x3 B 8 + 11xB 10 )
Für x = 1000 entspricht dieser Ausdruck der Zahl:
91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500
(91 nonillion 409 octillion 924 septillion 241 sextillion 424 quintillion 243
quadrillion 424 trillion 241 billion 924 million 242 thousand 500).
Doch wie findet man nun die Werte der Bernoullischen Zahlen?
Es gelten folgende Gleichungen:
B 2 − 2B 1 + 1
− 3B 2 + 3B 1 − 1
B 4 − 4B 3 + 6B 2 − 4B 1 + 1
5
4
B − 5B + 10B 3 − 10B 2 + 5B 1 − 1
B3
=
=
=
=
B2,
B3,
B4,
B5,
woraus
woraus
woraus
woraus
B 1 = 21
B 2 = 16
B3 = 0
B 4 = −1
30
folgt,
folgt,
folgt,
folgt,
und allgemein gilt:
“(B − 1)k = B k“ für k 6= 1, woraus sich B k−1 berechnen lässt, sofern
B 1 , B 2 , ..., B k−2 bereits bekannt sind.
2.5
2.5.1
Fibonacci-Zahlen und Lucassche Zahlen
Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen sind die Antwort auf das berühmte Kaninchenproblem
von Leonardo da Pisa bzw. Leonardo Pisano Bigollo, besser unter dem Spitz13
namen Fibonacci bekannt (von “Filius Bonacci“, der Sohn des Bonacci, des
Gutmütigen, welcher der Spitzname seines Vaters war, siehe [1]: S.126).
fn sei die Anzahl der Kaninchenpaare in der n-ten Generation, f1 das
ursprüngliche Paar und f2 dessen unmittelbare Nachfahren. Dann gilt:
fn+2 = fn + fn+1 ,
denn in der (n + 2)-ten Generation gibt es je ein Paar aus der Generation
n und n + 1, da jedes Kaninchenpaar ein Kaninchenpaar der nächsten und
übernächsten Generation hervorbringt. So erhält man die Fibonacci-Zahlen,
mit f0 = 0 und f1 = 1 beginnend:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 ...
Die Fibonacci-Zahlen kommen in der Natur sehr häufig vor, doch sie
haben auch in der Mathematik viele verschiedene Anknüpfungspunkte. So
stehen sie zum Beispiel auch, ähnlich wie die Catalan’schen Zahlen, mit
dem Pascal’schen Dreieck in Verbindung. Der französische Mathematiker
François Édouard Anatole Lucas hat folgenden Zusammenhang herausgefunden:
fn+1 =
n
0
+
n−1
1
+
n−2
2
+ ....
Was diese Formel in Worten ausdrückt, ist Folgendes: Man kann die (n + 1)te Fibonacci-Zahl aus der Aufsummierung der (n + 1)-ten Diagonale im
Pascal’schen Dreieck erhalten (siehe Abb. 2.5).
Abbildung 2.5 (Aufsummierung der gepunktelten Diagonalen des
Pascal’schen Dreiecks ergeben die Fibonacci-Zahlen) [9]
14
So erhält man zum Beispiel die neunte Fibonacci-Zahl aus der Summe
1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34 = f9 .
Die Fibonacci-Zahlen stehen auch noch mit einer anderen Familie von
Zahlen in Verbindung, nämlich mit den Lucasschen Zahlen.
2.5.2
Lucassche Zahlen
Wie der Name schon verrät gehen diese Zahlen ebenfalls auf François Édouard
Anatole Lucas zurück. Die Lucasschen Zahlen, mit ln notiert, werden ähnlich
definiert wie die Fibonacci-Zahlen:
l0 = 2,
l1 = 1
und
ln+2 = ln + ln+1
So erhält man die Werte der Lucasschen Zahlen:
2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364 ...
2.5.3
Beziehung zwischen Fibonacci- und Lucasschen Zahlen
Diese beiden Familien von Zahlen werden nicht nur mit derselben Formel
definiert, sondern sie haben auch noch weitere gemeinsame bzw. ähnliche
Eigenschaften. Es gelten zum Beispiel folgende Relationen:
f2n = fn ln
f0 + f1 + ... + fn = fn+2 − 1
ln = fn−1 + fn+1
2fm+n = fm ln + fn lm
l2n = ln2 − 2(−1)n
l0 + l1 + ... + ln = ln+2 − 1
5fn = ln−1 + ln+1
2lm+n = lm ln + 5fm fn
Weiters streben die Verhältnisse zweier aufeinanderfolgender Fibonaccischen und Lucasschen Zahlen gegen denselben Grenzwert, nämlich gegen die
goldene Zahl φ = 1, 61803398874989484882... .
Das geht darauf zurück, dass man fn und ln durch die Zahlen
φ=
√
1+ 5
2
und ψ =
√
1− 5
2
darstellen kann:
fn =
φn −ψ n
φ−ψ
=
√
√1 {( 1+ 5 )n
2
5
√
− ( 1−2 5 )n }
und
√
√
ln = φn + ψ n = {( 1+2 5 )n − ( 1−2 5 )n }.
Mit wachsendem n nähern sich nun die Verhältnisse fn+1
und ln+1
fn
ln√ der
ln
goldenen Zahl φ an, während das Verhältnis fn gegen den Wert 5 =
2, 2360679774997896964... strebt.
Diesen Zusammenhang macht folgende Tabelle deutlich:
15
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fn+1
fn
ln+1
ln
ln
fn
1
2
1,5
1,666...
1,6
1,625
1,6153...
1,6190...
1,6176...
1,6181...
3
1,333
1,75
1,5714...
1,6363...
1,6111..
1,6206...
1,6170...
1,6184...
1,6178...
1
3
2
2,333...
2,2
2,25
2,2307...
2,2380...
2,2352...
2,2363...
Mit diesem Ergebnis möchte ich meine Arbeit abschließen. Im Anhang
befindet sich noch die Bibliographie.
16
Literaturverzeichnis
[1] John Horton Conway, Richard K. Guy: Zahlenzauber: von natürlichen,
imaginären und anderen Zahlen, Basel: Birkhäuser, 1997
[2] Volker Diekert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger: Elemente
der diskreten Mathematik, Berlin/Boston: DeGruyter, 2013
[3] John M. Harris, Jeffry L. Hirst, Michael J. Mossinghoff: Combinatorics
and graph theory. Second edition, Berkeley: Springer, 2008
[4] Donald E. Knuth: Two notes on notation, American Mathematical
Monthly Vol. 99,(1992): 403-422
[5] Donald E. Knuth: The art of computer programming. 1. Fundamental
Algebra, Reading (Massachusetts): Addison-Wesley, 1997
[6] Godfrey H. Hardy, Srinivasa Ramanujan: Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proceedings of the London Mathematical Society Vol.
2, XVII, (1918): 75-115
[7] http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/CatalanInPascal.shtml,
zugegriffen am 19.01.2015
[8] Thomas Koshy: The ubiquitous Catalan numbers, Mathematics Teacher
Vol. 100, (2006): 184-188
[9] http://www.jainmathemagics.com/product/11/,
20.01.2015
17
zugegriffen
am