4 Ableitungen im Raum: grad, div, rot

Aufgabensammlung Mathekurs, Stand 24. September 2006
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Ableitungen im Raum: grad, div, rot
1. Partielle Ableitungen. Machen Sie sich mit partiellen Ableitungen vertraut, indem
Sie für die folgenden skalaren Felder φ(r) die partiellen Ableitung ∂φ/∂x, ∂φ/∂y
und ∂φ/∂z bestimmen.
a) φ(r) = xy 5 z 2
b) φ(r) = φ0 exp(−x2 − y 2 )
c) φ(r) = a · r
mit
a = (ax , ay , az )
d) φ(r) = r
e) φ(r) = 1/r
f) φ(r) = α/(r2 + a2 )
√
Hinweis: r = |r| = x2 + y 2 + z 2
2. Gradienten. Geben Sie zu den sechs in Aufgabe 1 gegebenen skalaren Feldern die
Gradienten grad φ(r) an.
3. Richtungsableitung. Bestimmen Sie die Richtungsableitung von φ = xyz in Richtung
a = (x, y, z). Geben Sie diese Richtungsableitungen an den Stellen (1, 1, 1), (1, -1,
-1) und (-1, -1, -1) explizit an. In welcher (eventuell anderen) Richtung wäre an
diesen Stellen die Richtungsableitung am größten ?
4. Zwei Gradientenfelder. Gegeben seien die beiden skalaren Felder
φ1 (r) = A (r/R − 1) für r ≤ R und φ1 = 0 für r > R
φ2 (r) = A (r2 /R2 − 1) für r ≤ R und φ2 = 0 für r > R
Berechnen Sie die beiden zugehörigen Gradientenfelder und stellen Sie diese in einem
Pfeildiagramm in einer geeigneten Ebene dar.
5. Mathematischer Berg Math’scher Kofel“. Der betrachtete Berg lasse sich beschrei”
ben durch eine skalare Funktion, die zu jedem Ort in der x, y-Ebene die Höhe angibt:
h(x, y) = 5 − x2 − 2y 2 .
a) Berechnen Sie das zugehörige Gradientenfeld.
b) An der Stelle x = 1, y = −2 befinde sich ein Ball. Geben Sie für diese Stelle den
Gradienten an sowie einen Einheitsvektor in Richtung der Kraft auf den Ball.
c) Die x-Achse sei nach Osten und die y-Achse nach Norden gerichtet. Geben Sie die
beiden skalaren Felder SN O (x, y) und SN W (x, y) an, die den Richtungsableitungen
in nordöstlicher und in nordwestlicher Richtung entsprechen.
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6. Noch mehr Übungen zum Gradienten.
a) Bestimmen Sie grad(rn ).
b) Bestimmen Sie grad(ln r).
c) Wie lautet das Gradientenfeld von φ = x sin(yz) ?
d) Gegeben sei das skalare Feld φ = y 2 z 2 +z 3 x3 +x4 y 4 . Bestimmen Sie das zugehörige
Gradientenfeld. Geben Sie gradφ and den Stellen (0,1,-1) und (1,-2,-3) explizit an.
e) Welche Gradientenfelder haben die skalaren Funktionen φ1 = f (x) + f (y) + f (z)
sowie φ2 = f (x)f (y)f (z) bei vorgegebener Funktion f ?
7. Übungen zur Rotation.
a) Skizzieren Sie die Vektorfelder A = x ex +y ey und B = y ex −x ey und berechnen
Sie ihre Wirbelstärken rot A und rot B.
b) Für welchen Wert der Konstanten a ist das Vektorfeld
A = (axy − z 3 ) ex + (a − 2)x2 ey + (1 − a)xz 2 ez
wirbelfrei ?
c) Zeigen Sie, dass
A = (yz + 12xy, xz − 8yz 3 + 6x2 , xy − 12y 2 z 2 )
wirbelfrei ist. Versuchen Sie nun, ein skalares Feld φ zu finden, dessen Gradientenfeld
gerade dem gegebenen Vektorfeld entspricht (grad φ = A).
8. Wirbeldichte von Kreisströmungen. Betrachten Sie eine Kreisströmung in der x, yEbene, die sich durch ein Geschwindigkeitsfeld der Art


−y

n
v = αρ  x 
0
beschreiben lässt. Dabei ist ρ =
√
x2 + y 2 und α ist eine Konstante.
a) Berechnen Sie die Wirbelstärke rot v dieses Strömungsfeldes.
b) In einem interessanten Spezialfall ist das Feld außerhalb des Strömungszentrums
komplett wirbelfrei. Bestimmen Sie das entprechende n und geben Sie an, wie sich in
diesem Fall der Betrag der Strömungsgeschwindigeit mit dem Abstand vom Zentrum
ändert (v(ρ) =?).
c) In einem zweiten interessanten Spezialfall ergibt sich eine konstante Wirbelstärke.
Bestimmen Sie das entprechende n und geben Sie an, wie sich in diesem zweiten
Fall der Betrag der Strömungsgeschwindigeit mit dem Abstand vom Zentrum ändert
(v(ρ) =?).
Bemerkung und Zusatzfrage: Wie Sie in Physik 2 lernen werden, entspricht der erste Spezialfall dem durch einen stromdurchflossenen Draht erzeugten Magnetfeld. Welcher Ihnen
(mit Physik 1 Wissen verständlichen) physikalischen Situation entspricht der zweite Fall ?
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9. Konst. Vektor und Ortsvektor. Ein konstanter Vektor a = (a1 , a2 , a3 ) werde skalar bzw.
vektoriell mit dem Ortsvektor r multipliziert. Bestimmen Sie den Gradienten von a · r und
die Rotation von a × r.
10. Übungen zur Divergenz.
Berechnen Sie die Quellenstärken der folgenden Vektorfelder:
A1 = r ,
A 2 = x ex + y ey ,
A 3 = x ex − z ez ,
A4 = r−2 (y ey + z ez ).
11. Das Dreieck, das auf dem Kopf steht... Wofür steht ∇ in den folgenden Beispielen, für rot,
grad, oder div ?
∇φ, ∇ · A, ∇ × B.
Beschreiben diese Ausdrücke ein Steigung, eine Wirbelstärke oder eine Quellenstärke ?
12. Umgang mit dem Nabla-Operator I. Gegeben seien die folgenden Felder:
φ = xy 2 z 3 , A = (y 2 , x3 z, −x2 y 2 z 3 ), B = (yz, −zx, xy) .
Bestimmen Sie A∇φ, (B · ∇)A, und A × ∇φ.
13. Umgang mit dem Nabla-Operator II. Betrachten Sie noch einmal die Felder aus den letzten
Hausübungen:
φ = xy 2 z 3 , A = (y 2 , x3 z, −x2 y 2 z 3 ), B = (yz, −zx, xy) .
Bestimmen Sie ∇(A · B), ∇ · (A × B), ∇ · (φB), 4φ.
14. Ein skalares Feld und zwei Vektorfelder. Gegeben seien die Felder
φ = exp(x + 3y − 2z), A = (x, 0, xz 2 ) und B = (z, xy, z).
Berechnen Sie
a) ∇φ,
b) ∇ · A,
c) ∇ × B,
d) ∇ × (∇φ),
e) ∇ · ( φ (∇ × B)),
f)
∂
∂t
∇ · (sin(ωt)A).
15. Reines Wirbelfeld ist divergenzfrei! Zeigen Sie, dass ein Vektorfeld B quellenfrei ist
(div B = 0), wenn es sich als reines Wirbelfeld über B = rot A aus einem anderen Vektorfeld A darstellen lässt.
Bemerkung: In der Physik 2 werden Sie lernen, dass ein Magnetfeld B als reines Wirbelfeld
quellenfrei ist und sich aus einem Vektorpotenzial A herleiten lässt.
16. Zur Lösung der Wellengleichung. Gegeben sei ein skalares Feld φ = sin(k · r), wobei k ein konstanter Vektor ist. Berechnen Sie das zugehörige Gradientenfeld und
anschließend dessen Quellenstärke.
Zusatzfrage: Was fällt dabei auf ?
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17. Zentrales Feld. Betrachten Sie ein zentrales Feld der Art
E = α rn · r ,
wobei α eine Konstante ist.
a) Berechnen Sie die Quellenstärke div E dieses Feldes für r > 0.
b) In einem interessanten Spezialfall ist das Feld außerhalb des Zentrums komplett
quellenfrei. Bestimmen Sie das entprechende n und geben Sie an, wie sich in diesem
Fall der Betrag der Feldstärke mit dem Abstand vom Zentrum ändert (E(r) =?).
c) In einem zweiten interessanten Spezialfall ergibt sich eine konstante Quellenstärke.
Bestimmen Sie das entprechende n und geben Sie an, wie sich in diesem zweiten
Fall der Betrag der Feldstärke mit dem Abstand vom Zentrum ändert (E(r) =?).
Zusatzfrage: Welchen Ihnen aus der Physik 1 bekannten Situationen entsprechen die beiden
diskutierten Fälle ? Schauen Sie einfach nach unten!