- Fabian Kurz, DJ1YFK

Elektrotechnik II (1/2) – SS 04
Prof. Dr.-Ing. W. Schwarz
Mitschrift
Fabian Kurz
http://fkurz.net/
Letzte Aktualisierung:
8. September 2004
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe
1.1 Feldbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Skalar– und Vektorfelder . . . . . . . . . . . .
1.2 Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Potential und Spannung . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Berechnung des Potentials aus der Feldstärke
1.4.4 Berechnung eines Linienintegrals . . . . . . .
1.4.5 Existenzbedingung für das Potential . . . . .
1.4.6 Berechnung der Feldstärke aus dem Potential
1.4.7 Graphische Konstruktion ebener Felder . . .
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2 Stationäres elektrisches Strömungsfeld
2.1 Feldstärke und Stromdichtefeld . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Feldstärke und Geschwindigkeit der Ladungsträger
2.1.2 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Strom durch ein Flächenelement . . . . . . . . . .
2.1.5 Strom durch eine umrandete Fläche . . . . . . . .
2.1.6 Grundeigenschaft der Stromdichte . . . . . . . . .
2.2 Bedingungen an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Tangentiale und senkrechte Strömung . . . . . . .
2.2.2 Brechungsgesetz für Feldlinien . . . . . . . . . . .
2.2.3 Grenzflächen zum idealen Leiter/Nichtleiter . . . .
I
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2.3
Elementare Strömungsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Punktquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Unendlich ausgedehnter Linienleiter . . . . . . . .
2.3.3 Zusammengesetzte Felder . . . . . . . . . . . . . .
Verlustleistung im Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Praktische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . .
Widerstandsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Berechnung über Feldgrößen und Definition . . . .
2.5.3 Berechnung über die Bemessungsgl. im hom. Feld .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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25
3 Elektrostatisches Feld
3.1 Feldstärke und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Isolierter Leiter im elektrischen Feld - Influenz . . . . . .
3.3 Verschiebungsfluß, Verschiebungsflußdichte . . . . . . . . .
3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Grundeigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Verschiebungsflußdichte und Feldstärke . . . . . .
3.4 Elektrisches Feld im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Konstante Elektrodenspannung . . . . . . . . . . .
3.4.2 Konstante Elektrodenladung . . . . . . . . . . . .
3.5 Bedingungen an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Grenzflächen von Dielektrika (vgl. Strömungsfeld)
3.5.2 Grenzflächen zu Leitern . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Berechnung einfacher elektrostatischer Felder . . . . . . .
3.7.1 Homogenes Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Linienladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Zwei parallele Linienladungen . . . . . . . . . . . .
3.8 Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Bemessungsgleichung (homogenes Feld) . . . . . .
3.8.2 Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.3 Serienschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Erscheinung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.2 Verschiebungsstromdichte . . . . . . . . . . . . . .
3.9.3 Konvektionsstrom und Verschiebungsstrom . . . .
3.10 Strom–Spannungsbeziehungen am Kondensator . . . . . .
3.10.1 Linearer Q–U–Zusammenhang . . . . . . . . . . .
3.10.2 Nichtlinearer Q–U–Zusammenhang . . . . . . . . .
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35
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36
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38
38
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2.4
2.5
2.6
II
3.11 RC–Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.1 U–I–Relationen . . . . . . . . . . . . .
3.11.2 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Energie im elektrischen Feld . . . . . . . . . .
3.12.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2 Energiedichte . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Kraftwirkungen im elektrischen Feld . . . . .
3.13.1 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.2 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . .
3.13.3 Kraft an Grenzflächen . . . . . . . . .
3.13.4 Beispiele und Anwendungen . . . . . .
3.13.5 Kraft auf Grenzflächen von Dielektrika
3.13.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . .
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45
45
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47
48
49
4 Magnetisches Feld
50
4.1 Magnetische Feldgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Durchflutungsgesetz (1. Maxwellsches Gesetz) . . . . . . . . . 51
4.2.1 Qualitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2 Quantitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.3 Magnetische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.4 Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Berechnung magnetischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Berechnung mittels Durchflutungsgesetz . . . . . . . . 53
4.3.2 Biot–Savartsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Magnetische Flußdichte und magn. Fluß . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1 Magnetische Feldstärke und Flußdichte . . . . . . . . 59
4.4.2 Magnetischer Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.3 H-B– und V-Phi-Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Magnetischer Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.1 Grundgesetze (Maschensatz, Knotensatz) . . . . . . . 61
4.5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.1 Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.2 Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.7 Selbst– und Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.7.1 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.7.2 Berechnung der Induktivität . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7.3 Strom–Spannungsbeziehung an der Induktivität . . . . 74
4.7.4 Gegeninduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.7.5 Strom-Spannungsbeziehungen an Gegeninduktivitäten 80
4.8 Energie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8.1 Allgemeine Energiebeziehung . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8.2 Linearer Phi-I-Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . 82
4.8.3 Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
III
4.9
4.8.4 Energiedichte und Hysteresekurve
Kraftwirkungen im Magnetfeld . . . . . .
4.9.1 Globale Kraftgleichung . . . . . . .
4.9.2 Kraft auf Grenzflächen . . . . . . .
4.9.3 Kraft auf bewegte Ladungen . . .
4.9.4 Kraft auf Leiter im Magnetfeld . .
IV
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84
84
84
85
86
86
Kapitel 1
Grundbegriffe
1.1
Feldbegriff
1.1.1
Definitionen
Feld: Jedem Punkt eines Raumes ist eindeutig ein Wert einer physikalischen
Größe zugeordnet. −→ Ortsfunktion eines Raumzustandes
Feldgröße: Physikalische Größe, die den Raumzustand charakterisiert.
Beispiele: Temperatur, Geschwindigkeit, Kraft
Feldbild: graphische Darstellung eines Feldes
1.1.2
Ortsvektor
z
6
~r = x · ~ex + y · ~ey + z · ~ez

     
1
0
0
x
= x  0 +y  1 +z  0  =  y 
0
0
1
z

~r z · ~ez y
*
ex
x · ~
y · ~
ey
x, y, z : Koordinaten
x
-
x · ~ex , y · ~ey z · ~ez : Komponenten
1
1.1.3
Skalar– und Vektorfelder
Feldgröße
.
&
Skalar
Skalarfeld
Vektoriell
Vektorfeld
jedem Raumpunkt
ist ein
skalarer Wert,
z.B. F
vektorieller Wert,
~
z.B. A
zugeordnet.
F = fg (~r)
Geschlossene
Darstellung
(Koordinatenfrei)
~ = f (~r)
A
F = fk (x, y, z)
Kartesische
Koordinaten
~ = Ax (x, y, z) · ~ex +
A
Ay (x, y, z) · ~ey +
Az (x, y, z) · ~ez
Feldbild
Flächen (Linien)
gleichen Wertes
Feldlinien
.
Betrag

y
Dichte
Äquipotentialflächen
Äquipotentiallinien
Isothermen, Isobaren
&
Richtung

y
Richtung
-
Q
~v
:
-
Beispiel: Äquipotentiallinien
Beispiel: Strömungsfeld durch sich
verändernden Durchschnitt
2
1.2
Coulombsches Gesetz
(Charles Augustin de Coulomb, 1785)
1.2.1
Grundgesetz
Q1
Q1 · Q2
r2
m1 · m2 vgl. Fg = γ ·
r2
F =k·
Q2
F
F
k ≈ 9 · 109
r
-
mit
F =
1.2.2
ε0 = 8,854 · 10−12
Q1 · Q2
4 · π · ε0 · r 2
Nm2
(As)2
oder k =
1
4 · π · ε0
As
pF
= 8,854
Vm
m
Coulombsches Gesetz (Naturgesetz)
Beispiel
Q1 = Q2 = 1 C
r = 1m
F = 9 · 109
F?
Nm2 1 As · 1 As
·
= 9 · 109 N ≈ 9 · 108 kp
(As)2
1 m2
Gewicht von 9·108 kg = 9·105 t. Versuch ist praktisch nicht durchführbar.
1.2.3
Folgerung
F
Q
q
F
d -
Die feste Ladung Q versetzt den Raum in den Zustand, daß auf eine Probeladung q in jedem Raumpunkt ~r eine Kraft F~ (~r) ausgeübt wird → elektrisches
Feld.
1.3
Elektrische Feldstärke
1.3.1
Definition
~
~ =F
E
q
elektrische Feldstärke (Definition)
[E] =
[F ]
N
Ws/m
V
=
=
=
[Q]
C
As
m
3
1.3.2
Beispiel
Feldstärke in der Umgebung einer Punktladung
z
6
Kraft
F~
r
q
a) Betrag: F =
~r *y
Q t
Q·q
4 · π · ε0 · r 2
~r
b) Richtung: F~ k ~r ⇒ ~er =
r
-
x
Q·q
Q·q
· ~er =
· ~r = F~ (~r)
2
4 · π · ε0 · r
4 · π · ε0 · r 3
~
Q
~ =F =
~ r)
E
· ~r = E(~
q
4 · π · ε0 · r 3
x · ~ex + y · ~ey + z · ~ez
Q
~ =
Kartesische Koordinaten: E
·
3
4 · π · ε0
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
F~ =
1.4
Potential
1.4.1
Definition
-
~E
A
I
@
0
~@
dr @
Q qH
Y
~r
HH @
0
~
r
HH@
H@ HH
~
r
0
@q 0
B -
A : Aufpunkt mit W (~r) und
ϕ(~r), B : Bezugspunkt mit
W (~r0 ) und ϕ(r0 ).
Hat eine Probeladung Q im elektrischen Feld an jedem Punkt ~r eine
bestimmte potentielle Energie W (~r),
dann ist das elektrische Potential definiert.
ϕ(~r) =
W (~r)
Q
Dimension: [ϕ] =
Ws
=V
As
Das Potential ist eine skalare Größe, der in jedem Raumpunkt ein Wert
zugeordnet ist (→ Skalarfeld).
1.4.2
Potential und Spannung
Die Spannung zwischen zwei Punkten ~r1 und ~r2 ist definiert als
U~r1 ,~r2
W (~r1 ) W (~r2 )
W (~r1 ) − W (~r2 )
=
−
Q
Q
Q
= ϕ(~r1 ) − ϕ(~r2 )
=
Die Spannung zwischen zwei Punkten ist gleich der Potentialdifferenz zwischen diesen Punkten.
4
1.4.3
Berechnung des Potentials aus der Feldstärke
Die Ladung Q hat im Bezugspunkt ~r0 die Bezugsenergie W (~r0 ). Bewegung
R~r
~ 0 . Energie im Aufpunkt:
zum Aufpunkt ~r ⇒ Energieabgabe von F~ (~r 0 ) dr
~
r0
Z~r
W (~r) = W (~r0 ) −
~0
F~ (~r0 ) dr
~
r0
~ r)
mit F~ (~r) = Q · E(~
Z~r
W (~r) = W (~r0 ) −
~0
~ r0 ) dr
Q · E(~
/:Q
~
r0
Z~r
ϕ(~r) = ϕ(~r0 ) −
~ 0 ⇒ Linienintegral
~ r 0 ) dr
E(~
~
r0
Spannung zwischen zwei Punkten ~r1 und ~r2
U~r1 ,~r2
= ϕ(~r1 ) − ϕ(~r2 )
Z~r1
~
E
*
@
I
@
*
U~r1 ,~r2 @~r2 @
*
@
y
X
r
XX ~
1
X
X @
XX@
Xq
0
= ϕ(~r0 ) −
~0
~ r 0 ) dr
E(~
~
r0

Z~r2

− ϕ(~r0 ) −

~ 0
~ r 0 ) dr
E(~

~
r0
Z~r1
=
~0 +
~ r 0 ) dr
E(~
~
r0
Z~r2
U~r1 ,~r2 =
~
r1
5
~0
~ r 0 ) dr
E(~
Z~r2
~
r0
~0
~ r 0 ) dr
E(~
Wahl eines anderen Bezugspunktes ~r02 und Bezugspo–
tentials ϕ2 (~r02 )
Z~r
ϕ2 (~r) = ϕ2 (~r02 ) −
~0
~ r 0 ) dr
E(~
~
r02

Z~r0

= ϕ2 (~r02 ) − 
~0 +
~ r 0 ) dr
E(~
~
r02
|
Z~r

~ 0
~ r 0 ) dr
E(~

~
r0
{z
U~r02 ,~r0
}
|
{z
ϕ(~
r0 )−ϕ(~
r)
}
= ϕ2 (~r02 ) − U~r02 ,~r0 − ϕ(~r0 ) +ϕ(~r)
{z
}
|
const.
⇒ Aussehen des Feldes ändert sich nicht
Beispiel: Potential des homogenen Feldes
~ r) = E,
~ da die Feldstärke im homogenen Feld unabhängig vom Ort
E(~
ist. Daher:
R~r
R~r
~ 0 = ϕ(~r0 ) − E
~0
~ dr
~ dr
ϕ(~r) = ϕ(~r0 ) − E
~
r0
~
r0
~r
:
0
~
dr AK
r −A ~r0
}
~
Z
Z
A
CO Z0 A
CX
~
rZ A
y
Z
~r0 XXXX
X
Z
Aq
Z~r
~ · (~r − ~r0 )
= ~r −~r0 ⇒ ϕ(~r) = ϕ(~r0 ) − E
~
r0
0
Äquipotentialflächen
~ · (~r − ~r0 ) = const.
ϕ(~r) = ϕ(~r0 ) − E
~ · ~r = ϕ(~r0 ) + E
~ · ~r0 − ϕ(~r) = const.
E
(Ebenengleichungen in Vektorschreibweise)
~
E
@
@
@ @
@
@
@
@
~
⇒ Planparallele Ebene mit Normalenvektor E.
In kartesischen Koordinaten:
(Ex~ex + Ey ~ey + Ez ~ez )(x~ex + y~ey + z~ez ) = const
Ex · x + Ey · y + Ez · z = const
Ebenengleichung im kartesischen Koordinaten
6
1.4.4
Berechnung eines Linienintegrals
Allgemein: Weg c dargestellt als ~r(λ)
~r2 = ~r(λ2 )
q
~ r) = k · ~r
z.B. E(~
c : Gerade von ~r1 bis ~r2 .
Z~r2
~ auf dem Weg c
~ r) dr
E(~
Berechne
~ 7
dr
q
PP
qE(λ)
~
~r(λ)P
q
~r1 = ~r(λ1 )
~
r1
1. Beschreibung des Integrationsweges
~r(λ) = ~r1 + λ(~r2 − ~r1 )
0≤λ≤1
~
2. Bestimmung von dr
~ = ∂~r · dλ = 0 + (~r2 − ~r1 ) · dλ = (~r2 − ~r1 ) · dλ
dr
∂λ
3. Einsetzen und berechnen
Z~r2
~ =
~ r) dr
E(~
~
r1
Z~r2
~
r1
~ =
k · ~r dr
|{z}
~ r)
E(~
Z1
= k·
Z1
0
k · (~r1 + λ(~r2 − ~r1 )) (~r2 − ~r1 ) dλ
{z
}|
{z
}
|
~ r)
E(~
~r1 (~r2 − ~r1 ) + λ(~r2 − ~r1 )2 dλ
0
2 1
2 λ
= k · ~r1 · (~r2 − ~r1 ) · λ + (~r2 − ~r1 ) ·
2 0
2 1
= k · ~r1 · (~r2 − ~r1 ) + (~r2 − ~r1 ) · − 0
2
1 2
1
2
2
= k · ~r1 · ~r2 − r~1 + r~2 − ~r1 · ~r2 + r~1
2
2
Z~r2
~ =
~ r) dr
E(~
k
· (r~2 2 − r~1 2 )
2
~
r1
7
~
dr
1.4.5
Existenzbedingung für das Potential
Problem: Gibt es zu einem beliebigen Vektorfeld ein Potentialfeld?
Beliebiger Bezugspunkt: ~r0
Damit es einem beliebigen Punkt ~r ein Potential
eindeutig zugeordnet werden kann, muß jedes beliebige Linienintegral
*
~rq *
c2
c
1
*
q
~
E
Z~r
0
~0 =
~ r )dr
E(~
~
r0
|
zwischen zwei beliebigen Punkten vom Integrationsweg unabhängig sein.
Z~r
Z~r
0
~0
~ r )dr
E(~
⇒
~
r0
{z
Weg
I
c1
}
~0
~ r 0 ) dr
E(~
~
r0
~r0
Z~r
Beliebiges Bezugspotential: ϕ(~r0 )
|
0
~0+
~ r )dr
E(~
~
r0
{z
Weg
~ =0
~ r 0 ) dr
E(~
c2
}
|
{z
Weg
c1
}
Z~r0
|~r
~0 = 0
~ r 0 )dr
E(~
{z
Weg
c2
}
⇒ Umlaufintegral, bzw. Zirkulation des
~ gleich Null (vgl. Maschensatz).
Feldes E
c1 ,c2
~
Ein
H Vektorfeld A hat genau dann ein Potential, wenn das Umlaufinte~
gral A(~r) dr = 0 auf jedem beliebigem geschlossenen Integrationsweg c
~ heißt dann wirbelfrei.
verschwindet. A
wirbelfrei
nicht wirbelfrei
-
ˆ Magnetfeld
ˆ elektrisches Feld
Feld bei veränderlichem
ˆ stationäres el. Stömungsfeld ˆ el.Magnetfeld
8
v(y) = v0 1 −
Beispiel: ~v = v(y) · ~ex
y2
b2
y
6
b
c4 ?
c3
-
c1
−b
c2 6
- - x
-
I
I
~ =
~v dr
Z
~ +
~v dr
Z
~ +
~v dr
c2
c1
Z
Z
~ +
~v dr
c3
~
~v dr
c4
~ = dx · ~ex
c1 : ~v = v0 · ~ex , ~r = x · ~ex , dr
~
c2 und c4 : ~c ⊥ dr ⇒ 0, c3 : v = 0 ⇒ 0
~ =
~v dr
Za
0
v0 · ~ex · ~ex ·dx = v0 · a 6= 0
| {z }
1
⇒ Wirbelfeld
1.4.6
Berechnung der Feldstärke aus dem Potential
Z~r
ϕ(~r) = ϕ(~r0 ) −
~
r0
~0
~ r) dr
E(~
| {z }
−dϕ
Potentialänderung über einem Wegdifferential
~ = E dr · cos α
~ · dr
dϕ = −E
~
~ dr
α] −E,
Spezialfälle
1. α = 90◦ ⇒ dϕ = 0
~ auf Äquipotentialfläche
⇒ dr
~ auf Äquipotentialfläche in Richtung −~en
⇒E
~en : Normaleneinheitsvektor in Richtung zunehmenden Potentials
(senkrecht zu den Äquipotentialflächen)
2. α = 0◦
~ = dn
~ = dn · ~en
dr
⇒ dϕ = E · dr = E · dn
~ = dϕ (−~en ) ⇒ E
~ = − dϕ ~en = −grad(ϕ)
E
dn
dn
~
~ · dr
in kartesischen Koordinaten ϕ(x, y, z): dϕ = −E
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy +
dz = −(Ex~ex +Ey ~ey +Ez ~ez ) · (dx~ex +dy~ey+dz~ez)
∂x
∂y
∂z
|
{z
}
Totales Potentialfeld
= −(Ex dx + Ey dy + Ez dz)
9
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂z
~ = − ∂ϕ · ex + ∂ϕ · ey + ∂ϕ · ez = −grad(ϕ)
E
∂x
∂y
∂z
⇒ Ex = −
Ey = −
∂ϕ
∂y
Ez = −
Beispiel: ϕ = k · x · y
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
· ex +
· ey +
· ez
∂x
∂y
∂z
= −ky · ~ex − kx · ~ey + 0 · ~ez
~ = −
E
= −ky · ~ex − kx · ~ey
Komponentenweise: Ex = −ky
Ey = −kx
Ez = 0
p
~ = k · x2 + y 2
Betrag, Äquipotentiallinien: E = |E|
1.4.7
Graphische Konstruktion ebener Felder
Beispiel: Im ebenen Feld ist das Potential unabhängig
6
'$
~
@
I
von der z–Koordinate. Daher ∂ϕ
pp @
∂z = 0 ⇒ Ez = 0 ⇒ E
@ri - in x–y–Ebene. Die Äquipotentialflächen sind senkrecht
@
zur x–y–Ebene, die Äquipotentiallinien liegen in der x–
&%
?@
R
@
~
y–Ebene und senkrecht auf den E–Linien.
Bei geeigneter
Maßstabswahl ergeben sich quadratähnliche Figuren.
10
Kapitel 2
Stationäres elektrisches
Strömungsfeld
Kennzeichen: Leitfähiges Medium nötig
dQ
I=
= const ⇒ alle Feldgrößen zeitlich konstant
dt
2.1
Feldstärke und Stromdichtefeld
2.1.1
Feldstärke und Geschwindigkeit der Ladungsträger
< ϕ3
~
E
ϕ2 A *
ϕ1< A A
*
A A F
~A *
A
A A
*
r A
A AQ
A
A A
A A
A
~ wirkt eine Kraft F~
Durch das elektrische Feld E
auf die Ladung Q. Somit entsteht eine Bewegung
der Ladung im stationären Zustand. Durch das
Gleichgewicht zwischen der elektrischen Antriebskraft und nichtelektrischen Bremskräften stellt
sich eine konstante Geschwindigkeit ein.
⇒ Geschwindigkeitsfeld ~v (~r)
~
~v (~r) = µ · E
µ : Beweglichkeit der Ladungsträger
[µ] =
[v]
m m
m2
=
·
=
[E]
s V
Vs
11
2.1.2
Stromdichte
Raumladungsdichte %:
Feldlinien
∆Q
∆Q
∆V →0 ∆V
∆A⊥
-
% = lim
- ∆I
-
~
Stromdichte S:
∆s
∆V = ∆s · ∆A⊥
Betrag:
∆A⊥ : ⊥ auf ~v
mit ∆I =
∆I
∆A⊥ →0 ∆A⊥
lim
~ ↑↑ ~v
Richtung: S
∆Q
% · ∆V
% · ∆A⊥ · ∆s
=
=
= % · v · ∆A⊥
∆t
∆t
∆t
~ = % · ~v
S
2.1.3
S=
[S] =
[I]
A
= 2
[A]
m
Leitfähigkeit
µ
%
~ −→
~
E
~v −→ S
~ = % · ~v = % · µ ·E
~
S
|{z}
κ
~ =κ·E
~
S
κ=%·µ
[κ] = [%][µ] =
⇒
Zusammenhang zwischen Stromdichte und Feldstärke
(Ohmsches Gesetz des stationären Störungsfeldes)
elektrische Leitfähigkeit (Materialkonstante)
A
S
1
As m2
·
=
=
=
2
m Vs
Vm
m
Ωm
Beispiel: Bestätigung über Widerstandsberechnung
∆R =
~ · ∆s
∆U
E
∆s
=
=
~ · ∆A
∆I
κ · ∆A
S
12
2.1.4
Strom durch ein Flächenelement
*
~
*S
dA α- ~
dA
*
dI : Strom durch Flächenelement
dI = S · dA · cos α
~ · cos α
~ · |dA|
= |S|
~
~ · dA
= S
Vektorielles Flächenelement dA
~ = dA
Betrag: |dA|
2.1.5
Strom durch eine umrandete Fläche
Rand
I⇒
Richtung: ⊥ Fläche → Flächennormale
~
~ · dA
dI = S
~
- dA
-
Z
I=
dI =
~
~ · dA
S
Oberflächenintegral
(HA)
R
2.1.6
x
Grundeigenschaft der Stromdichte
Hülle
~
- dA
-S
~
-
Gesamtstrom durch eine Hüllfläche ist stets
Null.
Iges =
{
~ =0
~ · dA
S
Naturgesetz
(H)
Das Strömungsdichtefeld ist quellenfrei. Stromdichte verhält sich wie eine
inkompressible Flüssigkeit.
13
2.2
Bedingungen an Grenzflächen
2.2.1
Tangentiale und senkrechte Strömung
κ1
<
~1
S
-
-
κ1
∧
κ2
~2
S
-
~2
dA
~1
dA
{
κ2
I
~ =S
~1+S
~2 =0
~ dA
~1 dA
~2 dA
S
~1
dr
-
~2
dr
-E
~2
-E
~1
~ =E
~1 + E
~2 = 0
~ · dr
~ 1 dr
~ 2 dr
E
(H)
~1
S
~2
S
=
-
~1
S
κ1
~1 > S
~2
⇒S
=
~2
κ2
S
~ 1 = −dA
~2 ⇒S
~1 = S
~2
dA
~1
E
-
~1
S
∨
~2
S
-
~2
E
>
-
~1
E
=
~2
E
-
κ1 · E 1 = κ2 · E 2 ⇒
-
~1
κ1
S
~1 > S
~2
=
⇒S
~
κ2
S2
E1
κ2
=
E2
κ1
ϕ
6
ϕ
6
ϕ0
ϕ0
−E1 x
−Ex
−E2 x
-
-
An Grenzflächen sind die Tangentialkomponenten der Feldstärke die
Normalkomponente der Stromdichte stetig.
14
2.2.2
Brechungsgesetz für Feldlinien
6
1
~2t S
~1n 6
S
-α2 α16 S
~2n
~1t
S
~2
S
-
~1
S
Medium mit κ1
Medium mit κ2
tan α1 =
~1 = S1n · ~en + S1t · ~et
S
~2 = S2n · ~en + S2t · ~et
S
~ 1 = E1n · ~en + E1t · ~et
E
~ 2 = E2n · ~en + E2t · ~et
E
S1n = S2n
E1t = E2t
St1
S2t
=
κ1
κ2
E1t
S1t
=
E1n
S1n
tan α2 =
E2t
S2t
=
E2n
S2n
tan α1
S1t S2n
E1t E2n
κ1
=
·
=
·
=
tan α2
S2t S1n
E2n E1n
κ2
|{z} |{z} |{z} |{z}
κ1
κ2
1
1
κ1
κ2
Beim Übergang des Stromes in ein besser/schlechter leitendes Medium
werden die Feldlinien vom/zum Einfallslot weg/hin gebrochen.
2.2.3
Grenzflächen zum idealen Leiter/Nichtleiter
idealer Leiter
κ1 @ κ2 → ∞
@ @
@
@
@
@
~ E
~
S,
@
idealer Nichtleiter
κ1 @ κ2 → 0
@ @
@@
I
@
@@
@
~
~
S, E @
@
tan α2 = 0 ⇒ α1 = 90◦
tan α1 = 0 ⇒ α1 = 0
Feldlinien stehen senkrecht auf der
Oberfläche. Grenzfläche ist
Äquipotentialfläche.
Feldlinien verlaufen entlang der
Oberfläche. Grenzfläche ist
Einhällende der Feldlinien.
Potentialflächen stehen senkrecht
auf Grenzfläche.
15
Praktische Anwendung
Eine Äquipotentialfläche/Einhüllende aus Feldlinien kann durch eine ideal
leitende Grenzfläche/ideal nichtleitende Grenzfläche ersetzt werden, ohne
daß sich das Feldbild ändert.
2.3
Elementare Strömungsfelder
Grundaufgabe:
gegeben: Medium (κ), Anordnung (Grenzfläche, Einströmungen.
~ E
~ ⇒ U , I, R, G, P
gesucht: ϕ, S,
Einfache Felder lassen sich analytisch berechnen (homogen, kugelsymmetrisch, zylindersymmetrisch).
2.3.1
I
Punktquelle
6
@
I
c
Kugelsymmetrie: Strom I verteilt sich gleich
@ r * ~r- S
~ mäßig in alle Richtungen
@
R
@
?
1. Stromdichte
S auf der Kugelfläche mit dem Radius r überall gleich.
I
~ ist radial, also in Richtung ~er = ~r
Richtung: S
Betrag: S =
2
4πr
r
~=
S
I
I
· ~er =
~r
2
4πr
4πr3
In kartesischen Koordinaten (Einströmung im Ursprung):
p
~r = x · ~ex + y · ~ey + z · ~ez
r = x2 + y 2 + z 2
~ y, z) =
⇒ S(x,
I · (x · ~ex + y · ~ey + z · ~ez )
2
4π · (x2 + y 2 + z 2 ) 3
= Sx (x, y, z) · ~ex + Sy (x, y, z) · ~ey + Sz (x, y, z) · ~ez
Sx =
I ·x
4π(x2
+
y2
+
2
z2) 3
16
Sy =
I ·y
4π(x2
2
+ y2 + z2) 3
Sz =
I ·z
2
4π(x2 + y 2 + z 2 ) 3
2. Feldstärke
~
~ = S = I · ~r
E
κ
4πκr3
3. Potential
~ 0 E(r
~ 0 = E(~r0 ) · dr0 = E(r) · dr
~ 0 ) ⇒ E(~
~ r0 ) · dr
dr
Z~r
ϕ(~r) = ϕ(~r0 ) −
~
~ r) dr
E(~
~
r0
Zr
1
dr0
r02
r0
1 r
1
I
I
1
− 0
= ϕ(~r0 ) −
= ϕ(~r0 ) +
−
4πκ
r r0
4πκ r r0
I
= ϕ(~r0 ) −
4πκ
Für die Bezugswerte r0 → ∞ und ϕ(~r0 ) = 0 gilt:
ϕ(~r) =
I
4πκr
kart. Koord.: ϕ(x, y, z) =
I
4πκ
p
x2 + y 2 + z 2
Äquipotentialflächen:
E6
ϕ
ϕ(~r) = konst. → r = konst. sind Kugelflächen
ϕ∼ r1
E∼
1
r2
-
r
Bei der dreidimensionalen Darstellung des
Potentials in Abhängigkeit von r ergibt sich
der Potentialtrichter“
”
Einströmung an beliebiger Stelle ~rQ im Raum: ~r ⇒ ~r − ~rQ
ϕ(~r) =
I
4πκ · |~r − ~rQ |
17
in kartesischen Koordinaten:
ϕ(x, y, z) =
4πκ ·
p
(x − xQ
)2
I
+ (y − yQ )2 + (z − zQ )2
4. Spannung zwischen zwei Punkten
Z~r2
U~r1 ~r2
=
~ = ϕ(~r1 ) − ϕ(~r2 )
~ r~0 ) dr
E(
~
r1
=
=
I
I
+
4πκr1 4πκr2
I
1
1
−
4πκ r1 r2
5. Konzentrische Anordnung (Kugelwiderstand)
R =
'$
~
r2
6
~
r1 q q
6
I
I
κ
&%
=
U~r1~r2
1
1
1
=
−
I
4πκ r1 r2
1
r1
1−
4πκr1
r2
Mit r2 → ∞:
R −→
1
4πκr1
Übergangswiderstand einer Kugel gegenüber
dem unendlichen Raum (r2 r1 ).
Anwendungen
1. Tief vergrabener Kugelerder
I
U
?
@@@@@@@@@@
Erdreich
rK
R=
~0
1
4πκrK
U =R·I
Zahlenbeispiel: rK = 1 m, κ = 10−2
R=
18
1m
≈ 8Ω
4π · 10−2 S · 1 m
S
m
2. Halbkugelerder
I
I verteilt sich gleichmäßig im unteren
Halbraum:
~=
S
I
I
I
⇒E=
⇒ϕ=
2
2
2πr
2πκr
2πκr
Übergangswiderstand: R =
2.3.2
1
2πκrk
Unendlich ausgedehnter Linienleiter
I
?
@
I
@
~r 6
@
R
@
@
I
@
l
Zylindersymmetrie: Strom verteilt sich radial senkrecht zum Leiter.
Das Feld ist in Leiterrichtung konstant
(ebenes Feld).
-?
@
R
@
1. Berechnung der Stromdichte: S auf Zylinderfläche konstant
S=
I
2π · r · l
~=
S
I
I · ~r
· ~er =
2π · l · r
2π · l · r2
In kartesischen Koordinaten:
~ = I · (x · ~ex + y · ~ey )
S
2π · l · (x2 + y 2 )
2. Feldstärke
~
I · ~r
~ =S =
E
κ
2πκ · l · r2
3. Potential
Z~r
ϕ(~r) = ϕ(~r0 ) −
~
r0
(c)
Zr
= ϕ(r0 ) −
~
~ r~0 ) dr
E(
| {z }
E(r 0 ) dr
I
1
· 0 dr0
2πκl r
r0
= ϕ(r0 ) −
I 0 r
I
r0
ln r r0 = ϕ(r0 ) −
· ln
2πκl
2πκl
r
19
mit ϕ(r0 ) = 0 :
ϕ(r) =
r0
I
ln
2πκl
r
4. Spannung zwischen zwei Punkten
I
r0
I
r0
r2
= ϕ(~r1 ) − ϕ(~r2 ) =
=
· ln − ln
· ln
2κπl
r1
r2
2πκl
r1
U~r1~r2
5. Zylindersymmetrische Anordnung (Zylinderwiderstand)
Anwendung: z.B. Koaxialkabel
p
I U?
p
p
p
R=
6
l
Zahlenbeispiel: κ = 10−13
?
-
ra
2.3.3
U~r1~r2
Ur r
1
ra
= ai =
· ln
I
I
2πκl
ri
ra /ri
R/Ω
ri
2
1,1
5
2,6
S
m
10
3,7
l = 1000 m
100
7,3
Zusammengesetzte Felder
~ S,
~ ϕ) der einzelnen Einströmungen
Überlagerungssatz: Die Feldgrößen (E,
addieren sich (vektoriell, skalar).
3
3
X
1 X In
I1 ~r−~r q ~r
ϕ(~r) =
ϕn (~r) =
:
R 1
@
4πκ
|~r − ~rn |
@q
n=1
n=1
~r1 ~r q I2
3
3
X
X
2*
In (~r − ~rn )
~ r) =
~ n (~r) = 1
I3
E(~
E
q
-q
4πκ
|~r − ~rn |3
n=1
n=1
0
~r3
Beispiel: Zwei Punkt–Einströmungen
y
I1 q
−a ~
r1
6 q
~r I2 -q ~
r2 a x
(z = 0 → Schnittebene geht durch beide Einströmpunkte, Gesamtfeld: Rotation um x–Achse)
x
−a
a
~r =
~r1 =
~r2 =
y
0
0
ϕ(~r) =
1
4πκ
=
1
4πκ
E(~r) =
1
4πκ
I1
I2
+
|~r − ~r1 | |~r − ~r2 |
I1
p
(x + a)2 + (y − 0)2
~r − ~r1
~r − ~r2
I1
+ I2
|r − r1 |3
|r − r2 |3
20
+p
I2
(x − a)2 + (y − 0)2
!
=
1
4πκ
I1
3
((x + a)2 + y 2 ) 2
x+a
y
I2
+
3
((x − a)2 + y 2 ) 2
x−a
y
!
Spezialfälle
1. Fall: I1 = I2 = I
ϕ=
I
4πκ
√ 12 2
(x+a) +y
2. Fall: I1 = −I
ϕ=
I
4πκ
√
y
6
+
√ 12 2
(x−a) +y
6
I
@
qn
I6
@
qn
x
@
R
@
R
?
?
I2 = I
1
(x+a)2 +y 2
−√
y
6
1
(x−a)2 +y 2
@n
q
I6
@
qn
x
@
@
R
?
Anwendungen
I
@@@@@@@@@@@@@@@@@@
Kugelerder in endlicher Tiefe
6
I
?
@@
@@@@@@@@
@
Zwei Halbkugelerder in endlichem
Abstand
21
2.4
Verlustleistung im Strömungsfeld
2.4.1
Definition
Leistung ∆Pv im Volumen ∆V = ∆A · l (Stromröhre):
∆V
-
∆I∆A
∆Pv = ∆U · ∆I
∆I-
l
= E · ∆l · S · ∆A
- ∆A
= E · S · ∆A
| {z· ∆l}
:
= E · S · ∆V
∆V
∆U
Verlustleistungsdichte im elektrischen Strömungsfeld:
∆P
S2
= E · S = κ · E2 =
∆V →0 ∆V
κ
pv = lim
[pv ] =
W
m3
Verlustleistung in einem endlichen Volumen V :
Pv =
2.4.2
y
pv dV
Beispiele
1. Homogenes Feld
~
S
I- a
κ
I
- a - A
:
E=
U
l
S=
I
A
Pv
Pv
U ·I
pv = S · E =
=
=
l
l·A
l·A
V
∆U
y
y
U ·I
pv =
pv dV = pv
dV = pv · V =
·I ·A=U ·I
l·A
| {z }
(V )
V
2. Kugelelektrode
6
I
@@
'$
R
@
@ iκ
~
r2
@
R
&%
S=
I
I
−→ E =
2
4πr
4πκr2
pv = S · E =
?
22
1
I2
· 4
2
(4π) κ r
In einem kugelförmigen Volumen (rK ≤ r ≤ r2 ) umgesetze Leistung
(dV = 4πr2 dr):
pv =
y
Zr2
pv dV =
(V )
rK
=
=
I2
4πκrK
rK
1−
r2
Pv 6
Pv∞
= Pv∞
rK
1−
r2
Für r2 → ∞ strebt die Leistung
gegen
Pv∞
2
Pv∞ =
I2
4πκrK
-
rK 2rK
2.4.3
dr
r2
rK
r2
I2
1
I2
1
1
−
=
−
= I2 · R
4πκ
r rK
4πκ rK
r2
Zr2
I
I
· 4πr2 dr =
(4π)2 κr4
4πκ
r2
Praktische Anwendungen
1. Tauchelektroden zum erwärmen oder verdampfen von Wasser
2. Wärmekabel (Frostschutz)
i
2.5
2.5.1
κ(t)
i
Isolierung
Leiter
Widerstandsberechnung
Problem
gegeben: räumliche Anordnung,
I- a
κ
a I-
Leitwert κ
gesucht: Widerstand (R =
Leitwert (G =
23
I
U)
U
I)
oder
2.5.2
Berechnung über Feldgrößen und Definition
1. Quellenanordnung wählen:
Kontaktflächen müssen Äquipotentialflächen und Begrenzungen zum
Nichtleiter müssen umhüllende von Stromlinien sein.
2. Berechnungsweg: I → S → E → ϕ → U
U
I
R=
bzw. G =
I
U
Beispiele: Kugelwiderstand, Zylinderwiderstand, Koaxialkabel
2.5.3
Berechnung über die Bemessungsgleichungen im
homogenen Feld
1. Zerlegen des Feldraumes in differential kleine Raumelemente mit annähernd homogener Feldverteilung
2. Bestimmung des Widerstandes bzw. Leitwertes des differentiell kleinen
Raumelements, wenn die Raumelemente in Serie bzw. parallel geschaltet sind
3. Berechnung des Gesamtwiderstandes durch Integration
Beispiel: Bogenförmiger Leiter
1. Längsdurchströmung ⇒ differentiale Raumelemente liegen parallel
dr
?
6
r2
Y
H
J
]
H I
1
)
J
I
r1J
r
b
]
J
J
Jα J
Mittlerer Radius: rm =
κ · b · dr
κA
=
l
α·r
Z
Zr2
κ·b
dr
κ·b
r2
G=
dG =
=
· ln
α
r
α
r1
dG =
r1 + r2
2
r 1 = rm −
rm +
r2
ln
= ln
r1
rm −
r1
(V )
Breite a = r2 − r1
a
2
a
2
a
2
r2 = rm +
= ln
rm +
rm −
1+x
Näherung: ln 1−x
≈ 2x, relativer Fehler ≈
G=
κ·b·a
κ·A
=
α · rm
lm
a
2
a
2rm
a
2rm
x3
3
≈
a
rm
rel. Fehler ≈
24
1
2
12 · rm
2. Radiale Durchströmung ⇒ Raumelemente liegen in Serie
I
6
dr
?
6
6
l
dr
=
κA
κ·α·r
Zr2
Z
dr
1
1
r2
R = dR =
=
ln
κ·α·b
r
κ · α · b r1
dR =
r2
J
]
1
)
J
b
r1J
]J
I
J
Jα J
2.6
r1
(V )
Zusammenfassung
Flußgröße
Stromdichte
Feldgrößen
Tensionsgröße
Feldstärke
S =κ·E
S
v
Grundeigenschaft
Integrale Größen
R
S dA = 0
I = GAB · UAB
I=
(A)
Widerstand/Leitwert
RAB =
Verlustleistung
Pv =
t
1
RAB
· UAB
UAB
I
p dV
GAB =
t
=
I=
/
S =κ·E
x
I
UAB
S · E dV
(V )
E =S·I
o
Spannung
RB
UAB = E dr
A
(V )
∆I
S = lim
∆A→0 ∆A
E dr = 0
c
Strom
s
I=
S dA
SO
E
EO
Zr2
E = −grad ϕ U12 =
SdA
Edr
r1
Io
U =R·I
I =G·U
25
/
U
Kapitel 3
Elektrostatisches Feld
Q = konst. ⇒
Kennzeichen:
3.1
dQ
dt
=I=0
Feldstärke und Potential
~
S
I=konst.
-
~
E
~
E
-
κ
κ→0
I→0
S→0
-
−
−Q
−
-−
-−
+ κ
+Q
+
+
+
-
-
-
U
U
Beim Übergang zum Nichtleiter ändern sich bei fester Elektrodenspannung
~ und ϕ nicht.
und Spannung E
3.2
Isolierter Leiter im elektrischen Feld - Influenz
+
−
+
−
−
+
+
@
I
@
−
Qn
+ −
I
6
− +
I d
-
-
−
−
+
+
@
R
@
?
Ein +Q hat immer ein −Q als
Partner im Raum.
Ein +I hat immer ein −I als
Partner im Raum.
26
−
−
− a
−
−
− −Q
+
+
a +
+
+
+Q +
−Q
3.3
Verschiebungsfluß, Verschiebungsflußdichte
− +
− +
− +
− +
− +
− +
3.3.1
Definition
+Q
+
−
+
−
−Q
Qn
+ −
−
+
+Q
In einem Leiter im elektrischen Feld werden Ladungen getrennt (verschoben)
⇒ Influenz
ˆ Von einer Ladung Q geht die Wirkung aus, Ladungen auf Leitern zu verschieben
ˆ Diese Wirkung hat Flußcharakter. Sie ist bei
+
−
konstanter Ladung unabhängig vom Dielektrikum
− +
ˆ Die auf einer geschlossenen Metallhülle insge-
−
− @@
R+
~
+
∆A
samt verschobene Ladung ist gleich der umhüllenden Ladung
Definition: Ψ = Q
Verschiebungsfluß
~ verschobene Ladung ∆Ψ.
Auf dem Flächenelement ∆A
∆Ψ
=D
∆A→0 ∆A
lim
Verschiebungsflußdichte
Einheiten: [Ψ] = C = A s
[D] =
C
m2
=
As
m2
Messung der Flußdichte: Mithilfe der Maxwellschen Platten“
”
3.3.2
Grundeigenschaft
Ψ=
{
~ = Qumf asst
~ · dA
D
Naturgesetz
{
~ = Iges = 0
~ · dA
S
(H)
Analog im Strömungsfeld:
(H)
~
Die Ladungen sind die Quellen des Verschiebungsflusses. Q → Ψ → D
27
3.3.3
Verschiebungsflußdichte und Feldstärke
ˆ D~ hat die Richtung von E~
ˆ D ist proportional zu E
~ = ε0 · E
~
Im Vakuum: D
ε0 = 8,854 · 10−12
3.4
As
Vm
~ = κ · E)
~
(analog: S
absolute Dielektrizitätskonstante,
Permitivität des Vakuums
Elektrisches Feld im Dielektrikum
3.4.1
Konstante Elektrodenspannung
Analogie: Strömungsfeld
elektrostatisches Feld
?ε
?
?κ
-−
Q- +
+
-−
As
-−
+
+ ε0 - −
?
I
A
κ0 -
-
U
U
Q, Ψ und D ändern sich
I, S ändern sich
U , E konstant
Bei konstanter Elektrodenspannung sind die Ladungen auf den Elektroden
und der Verschiebefluss mit jedem Dielektrikum größer als im Vakuum.
3.4.2
Konstante Elektrodenladung
?ε
+
+
+
+
?κ
?
κ0 ?
-−
-−
-−
ε0 - −
V
-
I
U
I konst., U , E ändern sich
Q konst., U , E ändern sich
28
Bei konstanter Elektrodenladung ist die Feldstärke in jedem Dielektrikum
kleiner als in Vakuum.
~ =ε·E
~
D
ε = ε0 · r
εr : relative Dielektrizitätskonstante (Materialkonstante) > 1,
3.5
[ε] = 1
Bedingungen an Grenzflächen
3.5.1
Grenzflächen von Dielektrika (vgl. Strömungsfeld)
6 ~
E2
α2 ε1
ε2
tan α1
ε1
ε0 · εr1
εr1
=
=
=
tan α2
ε2
ε0 · εr2
εr2
-
α1
~1
E
3.5.2
Grenzflächen zu Leitern
~
E
ε
~ wie im Strömungsfeld ⇒ die TangenFeldstärke E
tialkomponente der elektrischen Feldstärke ist Null
~ (und D)
~ stehen senkrecht auf der
Feldlinien von E
Metalloberfläche.
666666666
κ
[feldfrei]
~
Verschiebungsflußdichte D
{
x
x
~ =
~ +
~ = D ∆A = ∆Q
~ dA
~ dA
~ dA
D
D
D
unten
(H)
oben
~o
D
ε
6
∆A
κ
6
∆Q
⇒D=
=σ
∆A
3.6
(Flächenladungsdichte)
~u = 0
D
Kapazität
~ E
~
D,
z
+
+
-
Ψ
=⇒
a
+
Bei beliebigen Elektrodenanordnungen sind die Ladungen und die Feldgrößen proportional.
−
−
a
-−
:−
+
C=
Ψ
Q
=
U
U
:
U
NB: Q ist die Ladung auf einer Elektrode.
29
Definition der Kapazität
Einheiten:
Q>
[Q]
C
As
[C] =
=
=
= 1F
[U ]
V
V
(Farad)
ε
~
E
Bemerkung:
ε0 = 8,854 · 10−12
As
pF
= 8,854
Vm
m
>>
>>
>>
/ ~
D
C
U
/Ψ
Praktische Größenordnung
Streukapazitäten
Transistoren
Luftkondensatoren
Folienkondensatoren
MP–Kondensatoren
Elektrolytkondensatoren
Gold Caps
1
0,1
10
100
100
10
10
pF
pF
pF
pF
nF
µF
mF
...
...
...
...
...
...
...
10
10
1
100
10
1
10
pF
pF
nF
nF
µF
mF
F
Analogie zum Strömungsfeld
C=
3.7
Fluß
Ψ
=
U
Spannung
⇔
G=
I
Strom
=
U
Spannung
Berechnung einfacher elektrostatischer Felder
Problem
gegeben: Ladungsanordnung (Quellen), Begrenzungen (Geometrie)
~ D
~ −→ U , Ψ, C
gesucht: Feldgrößen E,
Wirkungs– und Rechenschema
Ψ=
v
(H)
DdA
Q UUUU / Ψ
U
/D
UUUU
UUUU
UUUU
UUUU
U*
ϕ=ϕ(r0 )−
D=εE
C=
30
Q
U
/E
Rr
r0
E dr0
/ϕ
j/ U
jjjj
j
j
j
jjjj
jjjj
j
j
j
jt jj
3.7.1
Homogenes Feld
~
D
-
Q +
A
− −Q
D=
-
−
+
a
a
-
Q
D
Q
⇒E=
=
A
ε
ε·A
~ = E · ~ex
E
−
+
ϕ
Z~r
−
+
ϕ = ϕ(r0 ) −
| {z }
-
d
0
6
@
= −Ex = −
@
@
@
@
Qd
εA
U0,d = ϕ(0) − ϕ(d) =
Q
·d
ε·A
hεi
κ
=
~r = x · ~ex
C=
Analogie zum Strömungsfeld: G =
C
ε
= = τr
G
κ
Q
x
εA
~ 0 = dr0 · ~ex
dr
@
E dr0 =
0
~
r0
-
x
~0 = −
~ dr
E
Zx
Q
ε·A
=
U
d
κ·A
d
As · Vm
=s
Vm · A
τr – Relaxationswert, gilt für jede Elektrodenanordnung
3.7.2
Punktladung
6
r
*~
@Q s @
@
R
?
Q −→ Ψ −→ D =
@
I
~ = D · ~er =
D
ϕ(~r)
Q
· ~r
4πr3
[...]
=
ϕ(~r0 ) +
Q
Ψ
=
4πr2
4πr2
~ = D = Q · ~r
E
ε
4πεr3
Q 1
1
−
4πε r r0
r0 → ∞, ϕ(r0 ) = 0
=
31
Q vgl. I
⇐⇒
4πεr
4πκr
Anwendungen
1. Kugelkondensator
Q
ϕ=
4πεr
6
r
a
a
a
i
6ri
Q
U = ϕ(ri ) − ϕ(ra ) =
4πε
C=
Q
=
U
1
ri
1
1
−
ri ra
4πε
= lim 4πεri
ra →∞
− r1a
Kapazität einer Kugel gegen den unendlichen
Raum.
Zugeschnittene Größenordnung für Vakuum:
C = 4πε0 ri = 4π · 8,854 · 10−12
C
ri
= 1,11 ·
pF
cm
As
· ri
Vm
zugeschnittene Größengleichung
Beispiel: ri = 1 cm −→ C = 1,11 pF
2. Geladene Kugel im Raum
r
Q
rk '$
ϕ(~r) =
4πεr
ϕ(r) = U ·
&%


yU
ϕ(rk ) =
rk
r
Q
= U ⇒ Q = 4πεrk U
4πεrk
Feldstärke: E =
Q
4πεr2
Feldstärke an der Oberfläche: E(rk ) =
=U·
rk
r2
U
rk .
Beispiel: rk = 1 cm, U = 30 kV ⇒ E = 30 kV
cm
(Durchschlagsfestigkeit der Luft)
E6
ϕ6
U
∼
rk
1
r
∼
-
r
32
rk
1
r2
-
r
3.7.3
Linienladung
Ψ
Q
Q
=
=
A
A
2πrl
A = 2π · l · r : Mantelfläche des Zylinders um den Leiter
Q→Ψ=Q→D=
Q
6
l
I
@
@ @
R
@
?
⇒E=
mit λ =
-r
Q
l
D
Q
λ
=
=
ε
2πεrl
2πεr
Definition der Linienladungsdichte
Zr
ϕ(r) = ϕ(r0 ) −
r0
Zr
= ϕ(r0 ) −
E(r0 ) dr0
Q dr0
·
2πεl r0
r0
ϕ(r) = ϕ(r0 ) −
r
Q
Q
r
· ln r0 = ϕ(r0 ) −
ln
2πεl
2πεl r0
r0
ϕ 6D, E
Spezialfall: ϕ(r0 ) = 0
ϕ(r) =
E∼ r1
ϕ(r0 )
r0
ϕ∼− ln r
Q
r0
λ
r0
ln
=
ln
2πεl
r
2πε
r
-
r
Anwendung: Zylinderkondensator / Koaxialkabel
ϕ(r) =
ε
ra
ri
q
q
q q
U
C=
Q
2πεl
= ra
U
ln ri
U
U
Q
r0
ln
2πεl
r
Q
= ϕ(ri ) − ϕ(ra ) =
2πεl
Q
ra
ln
=
2πεl ri
r0
r0
ln − ln
ri
ra
Bemessungsgleichung d. Zylinderkondensators
Zahlenbeispiel: ri = 0,5 mm, ra = 2,5 mm, εr = 3, l = 1 m.
C=
2π · 3 · 8,854 · 10−12 As · 1 m
= 104 pF
mm
ln 2,5
0,5 mm Vm
33
C
pF
= 104
l
m
3.7.4
Zwei parallele Linienladungen
Linienladungen in z–Richtung
y0 6
~r
y 3
ϕ(~r) =
r2 AKAr1
r
−a
Ar
λ
λ
r01
r02
−
ln
ln
2πε
r1
2πε
r2
Vereinfachung: r01 = r02 ⇒ Ebene x = 0
-
x0
x a
ϕ(~r) =
In kartesischen Koordinaten:
λ
r2
ln
2πε r1
p
(a − x)2 + y 2
r2 = (a + x)2 + y 2
p
(x + a)2 + y 2
λ
λ
(a + x)2 + y 2
ϕ(x, y) =
ln p
=
ln
2πε
4πε (a − x)2 + y 2
(x − a)2 + y 2
r1 =
p
Äquipotentialflächen (d.h. ϕ = const.):
r2
r1
= const ⇒ r1 · k = r2
((a − x)2 + y 2 ) · k 2 = (a + x)2 + y 2
(a2 − 2ax + x2 + y 2 ) · k 2 = a2 + 2ax + x2 + y 2
(a2 + x2 + y 2 ) · (k 2 − 1) − 2ax(k 2 + 1) = 0
2
2
k2 + 1
k2 + 1
k2 + 1
2
2
2
x − 2a 2
x+ a· 2
+ y = −a + a · 2
k −1
k −1
k −1
2
2
2
2
k +1
k +1
2
2
x−a· 2
+ y
= a + a· 2
k −1
|
{zk − 1}
|{z}
|
{z
}
xm
ym
r2
⇒ Kreisgleichung. Äquipotentialflächen sind Kreise (nicht konzentrisch!)
3.8
Kondensatoren
3.8.1
Bemessungsgleichung (homogenes Feld)
ε
C∼A
a
q
A
-
C∼
1
d
a
C =ε·
A
d
Herleitung: siehe 3.7.1
d
34
3.8.2
Parallelschaltung
Q1 −Q1
a
q
q
C1
a
a
⇒
Q
Q2 −Q2
a
−Q
C
C2
U
U
C=
allgemein:
Q1 + Q2
Q
=
= C1 + C2
U
U
C = C1 + C2 + . . . + Cn =
n
X
Cµ
µ=1
Ladungsteiler
Q1 = C1 · U
Q2 = C2 · U
⇒
Q1
C1
=
Q2
C2
3.8.3
Serienschaltung
a
C1
Q1
C1
=
Q
C1 + C2
und
Q1 −Q1Q2 −Q2
a
Q = Q1 + Q2 = (C1 + C2 ) · U
⇒
a
Q
C
C2
U1
a
−Q
U
U
Q1 = Q2 = Q
C=
U = U1 + U2
Q
Q
=
=
U
U1 + U2
C=
1
C1
1
+ ··· +
U1
Q
1
Cn
1
+
U2
Q
=
=
1
n
P
µ=1
35
1
C1
1
Cµ
1
+
1
C2
Spannungsteiler
U1 =
Q
C1
U2 =
C2
U1
=
U2
C1
⇒
3.9
Q
C2
U = U1 + U2 =
Q
Q
+
C1 C2
U1
C2
=
U
C1 + C2
und
Verschiebungsstrom
3.9.1
Erscheinung
dQ
dΨ
>0
dt
dt
'
$
+
I
+
L
a -
+
6
Mag.
Feld
Wirbel
+
&%
Hülle
3.9.2
>0
-
dΨ
= IV
dt
dQ
= IL
dt
a
− IL + IV = 0 ⇒ IL = IV
IV : Verschiebungsstrom
Magnetfeld–
Wirbel
Verschiebungsstromdichte
IV =
x
~V dA
S
IV =
(A)
IV =
dΨ
dt
Ψ=
x
(A)
x dD
~
d x ~ ~
~
D · dA =
dA
dt
dt
(A)
(A) |{z}
~V
S
~
~
~V = dD = ε · dE
S
dt
dt
Verschiebungsstromdichte
36
~
~ dA
D
3.9.3
Konvektionsstrom und Verschiebungsstrom sind
gleichzeitig vorhanden
~K , S
~V
S
I-
a
κ, ε
I-K
-
a
⇒
a I q
I-V
~=S
~K + S
~V an jeder Stelle des Raumes ⇒
S
R
a
q
C
~
dE
dt
~ =κ·E
~ +ε·
S
Beispiel:
Bewegte Ladung – Strom durch Kreisfläche
~
E
3
~v-
:
t X
X
0
Q QQXXX
z x
Q
A
Q
s
Q
x






Ψ





Ψ
= A = 2π · a · h = h
Q AKugel
4π · a2
2a
p
h = a − |x|
a = x2 + b2
0
Ψ 1 a − |x|
1
|x|
=
=
1− √
Q 2 a
2
x2 + b2
x < 0 −→ Ψ > 0
Ψ =
=
x > 0 −→ Ψ < 0
Q
|x|
1− √
· sign (−x)
2
x2 + b2
x
Q
√
− sign (x)
2
x2 + b2
Q
a 6
b h
r
?
-
x@
@
@
0
(differenzierbar für x 6= 0)
√
IV
1
x2 + b2 − x 21 (x2 + b2 )− 2 · 2x
x2 + b2
=
dΨ dx
Q
dΨ
=
·
=
dt
dx |{z}
dt
2
=
Q · v x2 + b2 − x2
Q·v
b2
·
=
·
3
3
2
2
(x2 + b2 ) 2
(x2 + b2 ) 2
v
Verschiebungsstrom für x 6= 0.
37
!
·v
Durch Fläche transportierte Ladung:
6
q(x)
Q
Q
· (1 + sign (x))
2
dq
dq dx
=
=
·
=0
für x 6= 0
dt
dx dt
q(x) =
-
x
0
IK
Gesamtstrom:
I = IK + IV =
dq dΨ
d(Q + Ψ) dx
+
=
·
dt
dt
dx
dt
|{z}
v
Q
Q+Ψ=
2
x
√
+1
2
x + b2
⇒
·v
3
(x2 + b2 ) 2
Ladung Q(t)
Verschiebungsfluß Ψ(t)
!
b2
Q
I=
2
Ψ(t) + Q(t)
6
q(t)
6
Ψ(t)
für alle x
6
-
-
t
t
-
t
Versch.–strom IV (t)
Konvektionsstrom IK (t)
Gesamtstrom I
6
I(x)
6
IK (t)
6
IV (t)
-
t
-
-
t
t
3.10
Strom–Spannungsbeziehungen am
Kondensator
3.10.1
Linearer Q–U–Zusammenhang
a
C
I(t)
-
a
I=
dQ
dt
Q=C ·U
U (t)
Bei C = const.:
I=C·
dU
dt
38
⇒
I=
d(C · U )
dt
1
I dt
C
Umkehrung: dU =
U
Z(t)
Zt
1
dU =
C
I dt
0
Zt
1
U (t) = U (t0 ) +
C
⇒
t0
U (t0 )
I(t0 ) dt0
t0
Eigenschaft der Kondensatorspannung: Ist I(t) beschränkt, dann ist
U (t) zu jedem Zeitpunkt stetig ⇒ Die Kondensatorspannung kann
nicht springen
Beispiele
1. Konstanter Strom
I(t) = I0 für t ≥ t0
1
U (t) = U (t0 ) +
C
⇒
Zt
I(t0 ) dt0 = U (t0 ) +
I0
(t − t0 )
C
t0
Spezialfall: t0 = 0,
U (t0 ) = 0
U (t) =
U
I0
·t
C
6
U (t0 )
t0
t
2. Linear ansteigender Ladestrom
t0 = 0,
U (t0 ) = 0,
I(t) =
U (t)
6
I(t)
I0 T
2C
I0
·t
T
1
U (t) = U (t0 ) +
| {z } C
0
I0
=
-
t
T
I0
CT
Zt
0
U (t) =
Zt
I0 0 0
· t dt
T
t0 =0
I0 t0˙2 t
f dt =
CT 2 0
0
0
I0 2
t
2 · CT
3. Sinusförmige Spannung
U (t) = Û · cos ωt
I(t) = C ·
dU
dt
= C · Û · ω · (− sin ωt) = −Û · ω · C · sin ωt =
= Û · ω · C · cos(ωt + π2 ) = Û · ω · C · cos(ω · (t + π2 ))
⇒ Bei sinusförmigen Spannungen ist auch der Strom sinusförmig und
umgekehrt
39
3.10.2
Nichtlinearer Q–U–Zusammenhang
(nichtlineare Kapazität)
Q6
Definition: differentielle Kapazität
α
Cd =
dQ
∼ tan α
dU
-
U
Strom–Spannungs–Beziehung:
I=
dQ
dQ dU
dU
=
·
= Cd (U ) ·
dt
dU dt
dt
Beispiel: Halbleiterdiode
Q6
n
p
Q0
| {z }
-
d
-
−UD
U
U
r
Q = Q0 ·
1+
U
UD
In der Sperrschicht gespeicherte Ladung.
UD : Diffusionsspannung
−1
2
1
U
1
Q0
1
dQ
= Q0 1 +
·
=
·q
Cd (U ) =
dU
2
UD
UD
2UD
q+
mit C0 = Cd (0) =
Q0
2UD
C6
C0
Cd = q
1 + UUD
U–I–Relation: I(t) = Cd ·
U
UD
C0
-
−UD
U
dU
dU
C0
=q
·
dt
U
1 + UD dt
Anwendung: Kapazitätsdiode zur Abstimmung von Schwingkreisen
40
Beispiel
Linearer Spannungsanstieg:
U (t) =
U0
·t
t0
6
I(t), U (t)
C0
I(t) = q
1+
U0
t0 ·UD
C0 U0
t0
U0
·
· t t0
U (t)
U0
I(t)∼ √1x
-
t0
Messung des Q–U–Zusammenhangs
Ladungsrichtig:
q
 
q
Uy
UM
UM = CQM ∼ Q ⇒ Spannung
am Messkondensator CM ist
proportional zur Ladung Q.
C
x
a
CM
y
a
a
Messbedingung: UM U
W
q
Spannungsrichtig:
UM =
Q
CM


q
UMy
CM
Messbedingung: U UM
x
a
a
y
a
U
W
3.11
RC–Kreis
3.11.1
U–I–Relationen
R
'$


Uq (t)y
M
C
UC (t)
&%
gegeben: Stromkreis, R, C, Uq (t)
gesucht: UC (t)
Maschensatz: UC (t) + UR (t) − Uq (t) = 0
41
U–I–Relationen: UR = I · R
I=C·
dUC
dt
dUC
t
⇒ UR = C · R ·
dUC
C
· R} ·
+ UC = Uq
| {z
dt
Differentialgleichung für UC (t)
τ
τ = R · C : Zeitkonstante des RC–Kreises
Anfangsbedingung: UC (0)
3.11.2
Spezialfälle
1. Entladevorgang
Uq = 0,
UC (0) = U0
τ·
dUC
+ UC = 0
dt
UC (0) = U0
Lösung durch Trennung der Variablen:
τ·
dUC
= −UC
dt
UZC (t)
1
dUC
=
UC
τ
Zt
0
UC (0)
dUC
dUC
1
= −dt ⇔
= − dt
UC
UC
τ
τ·
h
iUC (t)
1
1 h it
dt0 = ln UC
= − t0 = ln UC (t) − ln UC (0) = − ·t
|
{z
}
τ
τ
0
UC (0)
ln
UC (t)
1
=−
U0 (t)
τ
ln
⇒
⇒
−→
UC (t)
UC (0)
t
UC (t)
= e− τ
UC (0)
t
t
UC (t) = UC (0) · e− τ = U0 · e− τ
Eigenschaften der Entladekurve
ˆ − = · U (Abnahmegeschwindigkeit von U
zu U selbst)
ˆ Wert U (τ ) = U · e = U · e ≈ 0,37 · U
ˆ Halbwertszeit: U (t ) =
dUC
dt
C
1
τ
C
C
th
U0 · e− τ =
U0
2
C
0
− ττ
C
h
0
0
U0
2
th
−→ e τ = 2 −→ th = τ · ln 2 ≈ 0,69 · τ
ˆ Werte: U (3τ ) ≈ 0,05 · U ,
C
−1
0
UC (5τ ) ≈ 0,007 · U0
42
ist proportional
2. Ladevorgang
Uq (t) = U0 ,
UC (0) = 0
τ·
τ
dUC
+ UC = U0
dt
dUC
+ UC − U0 = 0
| {z }
dt
UC (0) = 0
dV
dUC
=
dt
dt
Neue Variable V .
V
Neue Differentialgleichung:
τ·
dV
+V =0
dt
mit
t
V (0) = UC (0) − U0 = −U0
t
⇒ C(t) = V (0) · e− τ = −U0 · e− τ
t
UC (t) = V (t) + U0 = U0 1 − e− τ
⇒
3.12
Energie im elektrischen Feld
3.12.1
Energie
U
j
−Q
Q
Um eine Ladung dQ zusätzlich auf die linke Platte zu
bringen, ist eine Energie
dW = U · dQ
dQ
6
aufzubringen.
Q6
Für eine Aufladung von Q0 auf Q benötigte
Energie:
Z
ZQ
ZQ
dW 0 = U dQ0 ⇒
W − W0 = U dQ0
W0
Q0
W −W0
Q
dW
Q0
Q0
W0
U0
Q
Linearer U–Q–Zusammenhang: Q = C · U −→ U =
C
Aufladung von Q0 = 0 auf Q, W0 = 0:
ZQ
W =
1
Q0
dQ0 =
C
C
0
43
"
Q0 2
2
#Q
=
0
Q2
2C
U
U
Q2
C · U2
Q·U
Ψ·U
=
=
=
2C
2
2
2
W =
In einem Kondensator (C) bei Aufladung von Q0 = 0 (⇔ U0 = 0) auf Q
(U ) gespeicherte Energie.
C = 50 µF, U = 1 kV ⇒ Q = C · U = 5 · 10−2 As
Beispiel:
50 · 10−6 As · (103 V)2
= 25 Ws
V·2
Vergleich mit R6–Akku: 1,2 V, 0,5 Ah ⇒ Q = 1800 As.
W =
W = Q · U = 1800 As · 1, 2 V = 2160 Ws
Die Energiespeicherung in einem Kondensator ist reversibel. Die gespeicherte Energie kann zurückgewonnen werden.
3.12.2
Energiedichte
Die Energie ist im elektrischen Feld gespeichert.
∆W
=
=
1
∆V
Energiedichte:
l
∆Ψ · ∆U
2
D·E
· ∆A
| {z· ∆l}
2
~ = 500 kV ,
Glas: E
cm
∆Ψ = D∆A
∆A
∆U = E · ∆l
∆W
D·E
E2
D2
=
=ε·
=
∆V →0 ∆V
2
2
2ε
w = lim
Beispiel: maximale erreichbare Energiedichte
~ = 30 kV ,
Luft: E
cm
)
ε0 −→ w = 40 Ws
m3
εr = 8 −→ w = 24,6 Wh
m3
Vergleich: Autoakku (12 V, 42 Ah): W = 504 Wh
44
3.13
Kraftwirkungen im elektrischen Feld
3.13.1
Kraft
Ein Ladungsträger Q erfährt im elektrischen Feld eine
Kraft
~
F~ = Q · E
* E
~
*
~
F *
Q r
*
*
Beispiel:
~ ist die Feldstärke des ungestörten Feldes, also vor
(E
Einbringen von Q).
Zwei Punktladungen
~
I6
@
s
sF
Q2
@
R
@
?
Q1 -
E1 =
Q1
4πεr2
Q1 · Q2
4πεr2
Coulombsches Gesetz
⇒
F = Q2 · E =
r
3.13.2
Bewegungsgleichung
Frei bewegliche Ladungsträger (Q, m, ~r) erfahren im elektrischen Feld eine
Beschleunigung
F~
Q ~
~a = ~¨r =
=
·E
m
m
⇒
Bewegungsgleichung
(ohne Berücksichtigung weiterer Kräfte)
~
m · ~¨r = Q · E
Beispiel: Elektro–Erzscheider
Das Phosphat–Quarz–Gemisch fällt durch
das E–Feld. Dabei werden die positiv geladenen Phosphatteile nach links, die negativ
geladenen Quarztzeile nach rechts beschleunigt.
Phosphat–Quarz–Gemisch
@
@
x
−a
0
Q·E t
a+
Phosphat:
Quarz:
Feldstärke:
m·g
?
I
U
y?
45
Q
m
Q
m
= 9 µC
kg
= −9 µC
kg
E = 500 kV
m
Bewegungsgleichung:
~ +G
~
m · ~¨r = Q · E
m · ~¨r = Q · E · ~ex + m · g · ~ey = F~
m · ~r˙ = F~ · t
~r(0) = 0
~r˙ (0) = 0
t2
m · ~r = F~ ·
2
2
t
t2
~r(t) =
· F~ =
· (Q · E · ~ex + m · g · ~ey )
2m
2m
Bahngleichungen in Parameterdarstellung:
⇒
y(x) =
gm
·x
QE
x(t) =
QE 2
t ,
2m
y(t) =
g 2
t
2
Geradengleichung
Für eine Fallhöhe von y = 1 m ergibt sich
V
9 · 10−6 As 5 · 105 m
Q E
· ·y =
·
· 1m
m g
kg
9,81 sm2
= 0,46 m
x =
3.13.3
Kraft an Grenzflächen
dWF
Q+
a
+
+
+
−
−
−
−
F
-
A
dx
dWm = F · dx
1. Globale Kraftgleichung (F ausgeübt durch C)
d
dWF + dWm = 0
CU 2
+ F dx = 0
2
F
F
F =
U 2 dC
·
2 dx
d C(x) 2
Q
= −
U (x)
mit U = , Q const.
dx
2
C
2
1
Q 1 dC
Q d
= −
=−
2 dx C(x)
2 C 2 dx
⇒ Kraft wirkt in Richtung Kapazitätsvergrößerung
46
2. Lokale Kraftgleichung (F ausgedrückt durch Feldgrößen)
d
dWF + dWm = 0
ED
V + F dx = 0
2
Mit Q = konst. ⇒ Ψ = konst. ⇒ E, D = konst. :
F =−
p=
ED dV
ED
·
=
·A
2
dx
2
F
ED
=
=w
A
2
3.13.4
da dV = −A · dx
⇒ Druck, Kraftdichte = Energiedichte an Grenzfläche
Beispiele und Anwendungen
1. Maximale Kraftwirkung
7V
E = 500 kV
cm = 5 · 10 m
Durchschlagsfeldstärke (Glas), εr = 8
E2
E2
As
1
V2
DE
=ε
= ε0 · εr ·
= 8,854 · 10−12
· 8 · · 25 · 1014 2
2
2
2
Vm
2
m
Ws
N
= 8,854 · 104 3 = 8,954 2 = 8,854 kPa ≈ 0,9 Bar
m
m
p =
2. Elektroskop
g
ˆ D, E −→ = p (Druck auf Oberfläche)
ˆ Kapazität vergrößert sich
DE
2
−
−
−
+
+
+
−
−
−
+
@ ++
@
3. Elektrostatisches Voltmeter
a−
F~
q
Drehfeder
a+
r
dα
dx
Querschnitt
Draufsicht
dWF + dWm = 0
mit dWF = d
CU
2
2
=
Q2 1
d
2 C
und
47
dWm = F dx =
M
· r dα = M dα
r
Q2 d
⇒M =−
·
2 dα
M=
U 2 dC
·
2 dα
1
C
Q2 dC
2C 2 dα
=
mit U =
Q
C
Drehmoment bei Drehbewegung
⇒ quadratischer Skalenverlauf
⇒ Wechselspannung kann direkt gemessen werden (U 2 )
3.13.5
Kraft auf Grenzflächen von Dielektrika
Grenzfläche zwischen den Dielektrika ε1 > ε2 ist beweglich.
ε1 > ε2
~
F
-
a
d
dQ ε2
a
dx 6
?
ε1
-
A
A dx
q
*
b
~
F
6
dAp
-
U
Q = konst. ⇒ D = Dn = konst.
U = konst. ⇒ E = Et = konst.
dWel = dWF + sWm
U dQ = (w1 − w2 ) dV + F dx
dWF + dWm = 0
U
(w1 − w2 ) dV + F dx = 0
= Et d
dQ = (D1 − D2 ) dAp
= (ε1 Et − ε1 Et ) dAp
dAp = b · dx
D2
εE 2
=
2ε
2
dV = A dx
w=
2
Dn 2 Dn
−
2ε1
2ε2
A dx + F dx = 0
Et 2 (ε1 − ε2 )db dx =
ε 1 Et 2 ε 2 Et 2
−
A dx + F dx
2
2
48
F
Dn 2
=
A
2
1
1
−
ε2 ε1
F
Et 2
=
(ε2 − ε1 )
A
2
F~ wirkt immer senkrecht zur Grenzfläche in Richtung Medium mit kleinerem
ε ⇒ Vergrößerung von C.
1
F
1
1
2
2
Für schräge Verläufe:
Dn
−
+ Et (ε1 − ε2 )
=
A
2
ε2 ε1
Beispiel
1. Fall: Luftblase in Öl
Öl
@
+@
+@
+@
+
+
+
+
Luftblase
2. Fall: Öltropfen in der Luft
Luft
@
+@
+@
+@
+
+
+
+
3.13.6
Es entsteht eine Kraft in Richtung des kleineren ε (Luftblase), daher wird die Blase kom~ an der der Elektroprimiert. Da zusätzlich E
de zugewandten Seite höher ist, entsteht eine
Kraft von der Elektrode weg, welche die Luftblase beschleunigt.
Öltropfen
Wieder entsteht eine Kraft in Richtung des
geringeren ε, also der Luft und der Öltropfen expandiert. Da die Feldstärke an der der
Elektrode zugewandten Seite am höchsten ist,
wird der Öltropfen von der Spitze angezogen.
Zusammenfassung
Flußgröße
Tensionsgröße
Feldstärke
Versch.flußdichte
Feldgrößen
Grundeigensch.
D =ε·E
D
s
E
H
D · dA = Q
Energiedichte
Integrale Größen
Kapazität
w=
Verschiebungsfluß
s
Ψ = (A) D · dA
C=
D·E
2
=
ε·E 2
2
=
D2
2ε
Spannung
RB
UAB = E dr
Ψ = CAB · UAB
A
Ψ
UAB
=
Q
UAB
=
s
(A)
RB
D dA
E dr
A
Feldenergie
E · dr = 0
c
H
W =
t
(V )
49
w dV =
t
(V )
DE
2
dV
Kapitel 4
Magnetisches Feld
Grundgesetze
1. Ein elektrischer Strom wird von einem Magnetfeld umwirbelt
~ =S
~
⇒ Durchflutungsgesetz: rot H
2. Eine zeitliche Änderung des magnetischen Feldes ist von einem elek~ = − ∂ B~
trischen Feld umwirbelt ⇒ Induktionsgesetz: rot E
∂t
4.1
Magnetische Feldgrößen
Flußgrößen
Tensionsgrößen
~
magn. Flußdichte, Induktion B
~
magnetische Feldstärke H
Zusammenhang: B = µ · H
Magnetischer Fluß Φ
s
~ · dA
~
Φ = AB
Zusammenhang: V = Φ · Rm
µ : Permebiablität
magnetische Spannung V
R~r2
~
~ · dr
V~r1 ,~r2 = H
~
r1
Rm : magnetischer Widerstand
Permeabilität
µ = µ0 + µr
µ0 = 4π · 10−7
µr = 1 + χm
χm
Vs
Am
: Permeabilität
: Permeabilität des Vakuums (Induktionskonstante) ⇒ Naturkonstante
: µr : relative Permeabilität
: magnetische Suszeptiblität
⇒ (Materialkonstante)
50
Ferromagnetika: µr = 103 . . . 106
(Mittlere Werte)
Zusammenhang zwischen B und H nicht eindeutig (Hysterese)
Nichtferromagnetika: µr = 1 + χm ≈ 1
Diamagnetika: χm = −10−4 . . .−10−5
z.B. Bi, Au, Ag, Hg, Cu, H2 O
Paramagnetika: χm = 10−6 . . . 10−4
z.B. Pa, Pt, Al, O2 , Luft
4.2
Durchflutungsgesetz (1. Maxwellsches Gesetz)
4.2.1
Qualitativ
?
I
I
6
'$
'$
i H
i
???
~
~
H
666
&%
&%
I
6
:
Drehrichtung
Jeder elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umwirbelt. Richtungsordnung nach rechter Hand-Regel“ (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen
”
Drehsinn), Rechtsschraube.
4.2.2
Quantitativ
~
S
~ =S
~
rot H
66666
A
~
1 H
I
~ =
~ dr
H
{z
Iumf
~ = Iumf
~ dA
S
(A)
c
|
x
}
Das Umlaufintegral über die magnetische Feldstärke auf einem geschlossenen
Weg ist gleich dem von diesem Weg umfasstem Gesamtstrom.
⇒
~
~=S
~K + S
~V = κ · E
~ + ε · dE
S
dt
!
I
x
~
d
E
1. Maxwellsche Gleichung
~ =
~ dr
~ +ε·
~
H
κ·E
dA
dt
(Integralform)
c
(A)
51
~
dD
dt
Durchflutung bei stromführenden Leitern (für
I1
6
I2
6
I3
I
?
~ =
~ dr
H
x
~ =
~ dA
S
(A)
A1 A2 A3
~
1H
x
~
~
= ε ddtE κE):
~ +
~ dA
S
x
~ −
~ dA
S
(A1 )
(A2 )
| {z }
| {z }
I1
I
x
~
~ dA
S
(A3 )
I2
| {z }
I3
~ = I1 + I2 − I3
~ dr
H
Allgemein: Die Durchflutung ist gleich der vorzeichenbehafteten Summe
aller umfassten Ströme:
I
~ =
~ dr
H
n
X
Iν
ν=1
4.2.3
Magnetische Spannung
Die magnetische Spannung V zwischen den Punkten A und B (gegeben durch die Ortsvektoren ~r1
und ~r2 ) ergibt sich aus dem Linienintegral über die
Feldstärke über den Weg c.
B
*
q
~
H
COC
*
c C
C *
C
Aq C
C
BM
r1 C ~r2
B~
Z~r2
VAB =
~
~ dr
H
~
r1
c
Eigenschaft
I
c2
-
~ =
~ dr
H
Z~r2
~
r1
c1
~ ? ? qfI q B
H
q c1 A CO 1
Z~r2
C
C~
r1 ~r2
~ =I+
~ dr
H
~
r1
c1
VAB1
R~r2
Z~r2
~ =I
~ dr
H
~
r1
c2
Z~r2
~
~ dr
H
~
r1
c2
| {z }
Das Linienintegral
~ +
~ dr
H
| {z }
VAB2
~ ist im allgemeinen vom Weg abhängig.
~ dr
H
H
~ 6=
~ dr
H
~
r1
0 ⇒ Die magnetische Feldstärke hat im allgemeinen kein skalares Potential.
52
4.2.4
Maßeinheiten
magnetische Spannung (aus Durchflutungsgesetz): [V ] = [H] · [l] = [I] = A
[A]
[V ]
=
magnetische Feldstärke: [H] =
[l]
[m]
Größenordnungen
ˆ Magnetfeld der Erde: 16
ˆ Hochspannungsleitung (Abstand 10 cm, I = 100 A): 160
ˆ Hochleistungsmagnet: > 10
A
m
A
m
7 A
m
4.3
Berechnung magnetischer Felder
~
S
~ r0 )
gegeben: Anordnung, S(~
o
- I
~ r)
~r0 ~r
P q
H(~
1 PP
0
~ r)
gesucht: H(~
q
4.3.1
Berechnung mittels Durchflutungsgesetz
I
Prinzip:
~ =
~ · dr
H
x
~
~ · dA
S
~
Auflösen nach H
−→
(A)
c
Mit dem Durchflutungssatz können Magnetfelder einfacher Anordnungen
berechnet werden. Voraussetzung: Symmetrieeigenschaften.
Beispiele
(a) Linienhafter Leiter
I
I 6
~ r)
H(~
~
dr
yX
X
y
H
9
0
c
:
q
~
r
:
H
~ =
~ · dr
H
c
I
I
H · dr = H ·
c
dr = H · 2πr = I
c
~ ⇒H
~ = H · dr, H ist auf Umlauf c
~ dr
~ · dr
H
mit konstantem Radius konstant
⇒
H=
I
2πr
Betrag der Feldstärke
~ ⊥ ~r und H
~ ⊥ ~el , (~el : Richtungsvektor des Leiters in
Richtung: H
Stromrichtung)
53
~ in Richtung ~el × ~er
H
⇒
mit ~er =
~ = I · ~el × er = I · ~el × ~er
H
2πr
2πr2
~
r
r
in der Ebene z = 0
in kartesischen Koordinaten (Ebene z = 0):
p
x
y 6
~r =
, r = x2 + y 2 ,
6
K H(~
A
~ r)
y
Hy
A
HxA
*
~
r
p e
-
x
I
 
0
~el = ~ez =  0 
1
~ex ~ey ~ez −y
~el ×~r = 0 0 1 = x·~ey −y ·~ex =
x
x y 0 

−y
I(x
·
~
e
−
y
·
~
e
)
I
y
x
~
H(x,
y, 0) =
=
· x 
2π(x2 + y 2 )
2π(x2 + y 2 )
0
(b) Zylindrischer Leiter, Innenfeld
y
6
R
I
r
c
R
x
c
A = π · R2
H · 2πr = I ·
H6
R
~ = I · 2πr = Iumf = I · Aumr
~ · dr
H
A
-
r
πr2
r2
=
I
·
πR2
R2
⇒
Aumr = π · r2
H=
I
·r
2πR2
Innerhalb des Zylinders (0 ≤ r ≤ R) steigt
die magnetische Feldstärke linear an, außerhalb
(r > R) ist sie wie beim linienhaften Leiter mit
1/r abnehmend.
54
Anwendung: Kompass-Missweisung durch Leistungs-Seekabel
-
N
~
H
-K
HK =
b
I
1000 A
A
=
= 5,3
2πr
2π · 30 m
m
~
H
-K
J
αJ
JJ
^
??
~
~
S HE H
1 kA
HErde = 16
A
m
⇒
tan α =
HK
= 0,33
HE
⇒
α ≈ 18,3◦
Eine Kompassnadel in einem Schiff, welches sich 30 m über einem mit
1000 A durchflossenen und in Nord–Süd–Richtung verlegten Seekabel
befindet, weist einen Fehler von 18,3◦ auf!
(c) Paralleldrahtleitung
y6
O2
⊗
I
−a
~el1 = ~ez ,
~1
H
O
O
~
Die Felder von Hin– 1 und Rückstrom 2
@
RH2
@
?
überlagern sich.
~
r ~
H(~r) 1
- ~
~
~
z
O
x H(~r) = H1 (~r) + H2 (~r)
I
I
=
(~el1 × ~r1 ) +
(~el2 × ~r2 )
2
2πr1
2πr2 2
I
a
~el2 = −~ez ,


x−a
~r1 =  y 
0
r1 = ~r −a·~ex
~r2 = ~r +a·~ex ,
~r = x·~ex +y ·~ey


x+a
~r2 =  y 
0
~ex
~
e
~
e
y
z
0 1 = −y · ~ex + (x − a) · ~ey
~el1 × ~r1 = 0
x−a y 0 ~ex
~ey ~ez 0 −1 = y · ~ex − (x + a) · ~ey
~el2 × ~r2 = 0
x+a y
0 ⇒
I
~
H(x,
y) =
2π
−y · ~ex + (x − a) · ~ey
y · ~ex − (x + a) · ~ey
+
2
2
(x − a) + y
(x + a)2 + y 2
55
(d) Lange Zylinderspule
'
I
$
c2
l
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
(c)
q
q %
&
A
B
- c1
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
?
I6
I
w Windungen
4.3.2
~ =
~ · dr
H
ZB
~ +
~ · dr
H
~
~ · dr
H
B
c2
A
c1
|
ZA
{z
H·l
I ·w =H ·l
}
⇒
|
H=
{z
≈0
}
I ·w
l
Biot–Savartsches Gesetz
a) Definition
0
~
dr
:
~
r2
XXX
~
a
~ (~r)
X XX
I
@
H
~r0@ z
* @q
I
~r1
0
~ 0 wird im
Vom Strom I im Leiterelement dr
Punkt ~r eine magnetische Feldstärke
~ =
dH
~r
~ 0 × ~a
I · dr
4π · a3
erzeugt.
Vom Leiter von ~r1 bis ~r2 wird dann eine Feldstärke von
Z~r2 ~ 0
dr × ~a
a3
~ r) = I ·
H(~
4π
~
r1
erzeugt (Biot–Savartsches Gesetz).
~a = ~r − ~r0
~r0 (λ)
~ 0 = ∂~r(λ) dλ
dr
∂λ
Abstandsvektor von ~r0 nach ~r
Raumkurve, die den Leiter beschreibt
Linienelement des Leiters
b) Beispiele
1. Magnetfeld eines geraden Leiterstücks
~ r) =
H(~
z 6
I
4π
·
R~r2 dr~ 0 ×~a
~
r1
a3
z2
I ↑ ~r 0
6
*y
~
H
z1
α2
*
-
α1
~r
x
~r0 (λ) = λ · ~ez ,
~ 0 = ~ez · dλ,
dr
~r = x · ~ex
~a = ~r − ~r0 = x · ~ex − λ · ~ez = (x, 0, −λ)T
56
~ex ~ey ~ez
0
~
dr × ~a = 0 0 dλ
x 0 −λ
= x dλ ~ey
Zz2
z2
Ix
λ
√
· ~ey
·
3 dλ =
4π
x2 x2 + λ2 z1
(x2 + λ2 ) 2
λ=z1
I
z2
z1
√
· ~ey
−√ 2
4πx
x2 + z2 2
x + z1 2
I
(sin α1 − sin α2 )
4πx
I
4π
~
H(x,
0, 0) =
=
=
x · ~ey
Spezialfälle
(a) z1 = −z2
⇒
~
H(x,
0, 0) =
(b) z1 → ∞, z2 → ∞
(c) z1 = 0, z2 → ∞
· √ z22
x +z2
~
H(x,
0, 0) =
⇒
⇒
I
2πx
~
H(x,
0, 0) =
I
2πx
I
4πx
2. Kreisring in yz–Ebene
~ r) =
Es gilt: H(~
y
6 ~r0
λ
Q ~a
~
H
-s
QQ
~
r
x
z R
I
6
I
4π
R
·
~ 0 ×~a
dr
a3
(c)
Raumkurve:
~r0 (λ) = R · cos λ · ~ey + R · sin λ · ~ez
~0 =
dr
∂~
r0
∂λ dλ
= R · (− sin λ~ey + cos λ · ~ez )dλ
~a = ~r − ~r0 = ~ex · x − R cos λ · ~ey − R sin λ · ez
a=
p
x2 + R2 cos2 λ + R2 sin2 λ =
√
~ex
~ey
~ez
0
~
− sin λ
cos λ
dr × ~a = 0
x −R cos λ −R sin λ
x2 + R2
R dλ
= (R ~ex + x cos λ ~ey + x sin λ ~ez ) R dλ
~
H(x,
0, 0) =
I
4π
R2π
0
R2 dλ
3
2
(x +R2 ) 2
~ex +
R x cos λ R dλ
I 2π
3
4π 0
2
2 2
(x +R )
|
57
{z
=0
}
~ey +
R x sin λ R dλ
I 2π
3
4π 0
2
2 2
(x +R )
|
{z
=0
}
~ey
~
⇒ H(x,
0, 0) =
I·R2 ·~ex
3
4π(x2 +R2 ) 2
R2π
dλ =
0
I·R2
=
3
2(x2 +R2 ) 2
I
2R
H 6
~
H(0,
0, 0) =
0,7
~ x , 0, 0) = 0,7 ·
H(
2R
I
=1
2R
0,3
0,5
3
I
2R
~ x , 0, 0) = 0,3 ·
H(
R
-
1
x 2 2
(1+( R
) )
I
2R
I
2R
x
R
1
Anwendung: Helmholtz–Spulenpaar. Die Spulen mit Radius R befinden sich parallel in einem Abstand a, daraus ergibt sich für die
Feldstärke entlang der x–Achse:

H(x) =
w
R

I ·w 

2·R 1
1+
x
R
+
a
2R
2 32
+
1
1+
a w
x
R
−
a
2R
2 32


H
6
?
6
0
6 ?x
I↑
I↑
a
2
− a2
-
x
Für R = a ensteht entlang der x–Achse ein konstantes Magnetfeld
zwischen den Spulen.
4.4
Magnetische Flußdichte und magn. Fluß
~
H
Material
/ ~
B
Φ=
s
~ A
~
B·d
/Φ
U = dΦ
dt
(A)
[U ] =
[Φ]
[t]
[Φ] = [U ] · [t] = V · s = 1 Wb (Weber)
[B] =
[Φ]
Vs
= 2 = 1 T (Tesla)
[A]
m
58
/U
4.4.1
Magnetische Feldstärke und Flußdichte
a) nichtferromagnetische Materialien
6
B
~ =µ·H
~ = µ0 · µr · H
~
B
H
µr = 1
µ0 = 4π · 10−7
Vs
Am
= 1,256 · 10−7
H
m
= 1,256 µH
m
Zugeschnittene Größengleichungen:
H
B
H
= 1,256 kA
mT
m
kA
m
= 0,8
B
mT
b) ferromagnetische Materialien
Bei ferromagnetischen Materialien tritt Hysterese auf!
B
Bs 6
Br
Hc
H
A
Hc : Koerzitivfeldstärke (2 . . . 500 m
bei weichA
5
magnetische Materialien, 10 m bei paramagnetischem Material)
Br : Remanenzflußdichte (0,5 . . . 2 T))
Bs : Sättingungsflußdichte (Bs = 1,5 . . . 3 · Br )
4.4.2
Magnetischer Fluß
a) Definition
-B
~
=⇒ Φ
-B
~
Magnetischer Fluß: Φ =
~ ·A
B
(A)
-B
~
-B
~
x
Analogien: I =
s
~ · dA,
~ Ψ=
S
(A)
s
(A)
A
b) Grundeigenschaften
~ =∇·B
~ =0
div B
Naturgesetz
Integriert über das Volumen V innerhalb der Hülle H
y
~ · dV = 0
div B
(V )
59
~ · dA
~
D
nach dem Gaußschen Satz
{
~ · dA
~=0
=B
(H)
Analogien:
v
~ · dA
~ = 0,
S
(H)
v
~ · dA
~ = QH
D
(H)
~
→ Das B–Feld
ist quellenfrei
→ Es gibt keine magnetischen Monopole ( Ladungen“)
”
→ Der magnetische Fluß ist kontinuierlich
→ Es gilt der Knotenpunktsatz
c) Flußberechnung
Beispiel: Rahmenspule im Feld eines Linienleiters
z6
I
h
Fluß durch die Spule:
Φ=
x
~ · dA
~
B
(A)
~
dA
~ =µ·H
~ =µ·
B
*
-
I
2πx
· ~ex
H
*y
-
x1
x2 x
I
Φ=µ·
2π
Zh Zx2
~ = dx · dz · ~ey
dA
I ·h
dx · dz
=µ·
x
2π
0 x1
4.4.3
Zx2
x1
I · h x2
dx
=µ·
ln
x
2π
x1
H–B– und V–Φ–Kennlinien
a) V –Φ–Beziehung
Φ=
l
- o
~ Φ
-B
1
x
~ · dA
~ =B·A
B
(A)
Z~r2
V =
V
~ · d~r = H · l
H
~
r1
B6
Φ6
-
H
⇒
60
-
V
c) Darstellung der Φ–V –Kennlinie auf dem Oszilloskop
i
Fluß–
Erregerspule Meßspule
i
q
w1
w2
UH
R
I
R2
U2
I
C
UH = RI · I =
?
RI · I · w1
RI
=
·V
w1
w
1
w2 dΦ
· U2 =
·
R2
R2 dt
1
UΦ = UΦ0 +
C
r
UΦ
?
IC ≈
yr
q
W
xr
Integrierglied
Zt
IC dt0 =
für UΦ U2
w2
Φ
R2 · C
für UΦ0 = 0
0
4.5
4.5.1
Magnetischer Kreis
Grundgesetze (Maschensatz, Knotensatz)
a) Durchflutungsgesetz −→ Maschensatz
Φ
I a
w
a
-
c1
I
q ~r2
qc2 ~r1
~ · d~r =
H
(c)
|
{z
}
I·w
Z~r1
~ · d~r +
H
~
r2
(c1 )
|
Z~r2
~ · d~r
H
~
r1
(c2 )
{z }
VF e
|
{z }
VLuf t
⇒ VF e + VL − I · w = 0
Wirkungsrichtung der Erregerspule
(gemäß 4.2.1)
Schaltungsmodell
VF e
Φ
j
I ·w
aI → ⇑ N (+)
RmF e

RmL
yVq

^
VL
V
a
61
S (−)
X
Maschensatz für magnetische Spannungen:
Vν = 0
b) Kontinuitätsgesetz −→ Knotensatz
~
dA
H
~ =0⇒
div B
6
Φ1
Φ2
A1
~ dA
~=0
B
(H)
A2
I
A3
~ =
~ dA
B
x
|
x
~ +
~ dA
B
(A1 )
(H)
Φ3
?
{
(A2 )
{z
−Φ1
}
Knotenpunktsatz für magnetische Spannungen:
|
~
~ dA
B
(A3 )
{z
}
Φ2
X
x
~ +
~ dA
B
|
{z
Φ3
Φν = 0 bzw.
P
}
Φν = 0
↓
↑
⇒ Es gelten die Grundgesetze der Berechnung elektrischer Kreise
4.5.2
Beispiele
a) Drosselspule mit Luftsperre
Annahme: Homogenes Feld. Gesucht: Φ als Funktion vom Strom I
A
lF e
I a
-
r
?
lL
?
6
6
w
a
BF e = B0
HF e
H0
BF e 6
B0
H0
Ersatzschaltung:
VF e
V –Φ–Relationen
j
I ·w
RmF e

RmL
yVq

^
VL
Φ = B0 · A ·
Luftspalt:
BL = µ0 · HL ,
r
Eisenkern:
V F e = HF e · l F e ,
Φ = BF e · A
VL = l L · HL
HF e
⇒ VF e = H0 · l F e ·
H0 · l F e
VL =
lL
· Φ = Rm e · Φ
µ0 · A
62
Φ
B·A
2
-
HF e
Einsetzen in den Maschensatz
0 = VF e + VL − I · w
2
Φ
lL
0 = H0 · l F e ·
+
·Φ−I ·w
B0 · A
µ0 · A
Φ 6Φ(L)
Φ(F e)
Φ(F e)+Φ(L)
⇒ quadratische Gleichung für Φ
-
V
Magnetischer Widerstand und magnetischer Leitwert
µ l- A
-Φ
Rm =
*
Definitionsgleichung für den
magnetischen Widerstand
V
Φ
V
[Rm ] =
[V ]
A
S
1
1
=
= =
=
[Φ]
Vs
s
Ωs
H
V = H · l,
Rm =
H ·l
l
=
B·A
µ·A
Gm =
Φ = B · A,
B =µ·H
Bemessungsgleichung (homogenes Feld)
Definitionsgleichung des magnetischen Leitwertes
(Induktivitätsfaktor, aL –Wert)
Φ
V
[Gm ] = [aL ] = Ωs = H
b) Ferritring mit Luftspalt
lF e
6
I
h
6
VF e
I dq
A
?
?
d
66
rm
Abmessungen:
ri = 30 mm, ra = 60 mm ⇒ rm = 45 mm
A = 260 mm2 , lF e = rm · π = 144 mm, d = 2,5 mm
Messung ergibt trotz der unlinearen Kennlinie des Eisenkerns einen linearen
B–I–Zusammenhang. Messwert im Luftspalt: I = 100 A, BL = 45 mT
63
Ersatzschaltbild:
Spannungen Vq = 100 A, VL , VF e
VF e
Aa
VL = HL · l L
j
 RmF e

RmL
Vq y
HL =
VL
=
45·10−3 Vs As
m2 ·1,256·10−6 Vs
= 35,8 kA
m
VL = HL · lL = 35,8 kA
m · 2,5mm = 89,6 A
a
B
µ0
B
Maschensatz:
HF e =
VF e
lF e
=
VF e + VL = I ⇒ VF e = I − VL = 100 A − 89,6 A = 10,4 A
10,4 A
0,141 m
A
= 73,8 m
Abschätzung von µ:
unter der Annahme BF e = BL
BL = µ0 · HL = BF e = µ0 · µr · HF e
⇒
35, 8 kA
HL
m
=
= 485
A
HF e
73, 8 m
V –Φ–Kennlinie des Zweipols AB
Φ6
VF e
VL Vq
Die lineare Kennlinie von RmL dominiert
- im Messbereich, die Kennlinie von RF e ist
V
im Messbereich ebenfalls annähernd linear.
c) Widerstand und Leistungsverbrauch einer Erregerspule
ccccccc
ccccccc
Aw
ccccccc
ccccccc
ccccccc
-
Aw
lm
lm
ccccccc
ccccccc
ccccccc
ccccccc
ccccccc
Wicklungquerschnitt
mittlere Wicklungslänge
el. Widerstand: R = % ·
l
A
Drahtlänge: l = w · lm
Drahtquerschnitt: w · A = k · Aw ,
A=k·
k: Füllfaktor, praktisch k = 0,5
Aw
w
R = % · w2 ·
lm
k · Aw
Der el. Widerstand ist bei konstanten
Spulenabmessungen ∼ w2
64
P = I 2 · R = (I · w)2 · % ·
Erregerleistung:
lm
∼ (I · w)2
k · Aw
Die Erregerleistung ist proportional dem Quadrat der Durchflutung.
4.6
Induktionsgesetz
4.6.1
Ruheinduktion
a) Grundgesetz
Ein zeitlich veränderlicher Magnetfluß ist von einem elektrischen Feld umwirbelt:
Φ̇(t)
z }| {
~˙
~ = −B
rot E
6666
:
~
E
H
~ · d~r = −
E
(c)
s ˙
~ · dA
~ = −Φ̇
B
2
2. Maxwellsches Gesetz
(A)
Φ̇
Φ̇
⇑
Φ̇
⇑
Oi
Induktionsgesetz
1O
1
i
i
⇓
Φ nimmt zeitlich ab
Φ nimmt zeitlich zu
1. Richtung des E–Feldes nach der Rechte–Hand–Regel
2. Tatsächliche Richtung des induzierten Feldes
Φ̇
⇑
~
H
?
Wird der sich ändernde Fluß durch eine Leiterschleife
umschlossen, so entsteht ein Induktionsstrom I. Dieser
wirkt der Flußänderung entgegen (Lenzsche Regel).
~
H
?
I
b) Induzierte Spannung in einer Leiterschleife
6 6 6Φ̇
I
Aa
c2 6
a
B
s
c1
~ r=
Ed~
ZB
~ r+
Ed~
(c)
A
(c1 )
0
UAB =
~ r
Ed~
⇒
UAB =
dQ
dt
A
(c2 )
65
~ r = − dΦ
Ed~
dt
B
(c2 )
| {z }
ZB
ZA
| {z }
−UAB
induzierte Quellenspannung
c) induzierte Spannung bei mehrfachem Umlauf
Φ̇
a 6666
UAB =
X dΦν
ν
UAB
P
a?
dt
=
dΨ
dt
Φν = Ψ : Induktionsfluß
ν
Φν : von der ν–ten Windung umfasster Fluß
Wird von allen w Windungen der gleiche Fluß umfasst, so gelten
Ψ = w · Φ,
UAB =
dΨ
dΦ
=w·
dt
dt
d) Wirkungsschema bei Ruheinduktion
Kriterium: Leiter, in dem Spannung induziert wird, umfasst einen zeitlich
sich ändernden Fluß.
I(t) −→ H(t) −→ B(t) −→ Φ(t) −→ Ψ(t) −→ U (t)
~ erzeugt, bewegt sich −→ Φ(t) −→ Ψ(t) −→ U (t)
Magnet, der H
e) Beispiele und Anwendungen
1. Gerader Draht und Leiterschleife
I(t) 6
h
gesucht: UAB = −
−A
a
a
*Φ
+
B
ri
-
6
?
Φ(t) =
ra
M=
µ0 · h
ra
· ln
2π
ri
⇒
dΦ
dt
µ0 · I(t) · h
ra
· ln
= M · I(t)
2π
ri
UAB = −M ·
dI
dt
Gegeben sei folgender Stromverlauf:
I(t) 6
I0
I(t) =
T
2T
-
t
66


I0 ·



t 2
T
I0 · 2 −



 0
0≤t<T
t
T
T ≤ t < 2T
sonst
Dann ergeben sich folgende Induktionsspannungen:
UAB 6
M I0
T
T
U (t) =
-
t
2T

−2M · I ·



t·



t
T2
M I0
T
0≤t<T
T ≤ t < 2T
0
sonst
−2M I0
T
2. Flußmessung bei Wechselstrom
Φ̇
K
UAB = w ·
6 a
UAB
a
w
dΦ
dΨ
=
dt
dt
Φ(t) = Φ̂ · sin ωt
Ψ=w·Φ
ω = 2πf
UAB = w · ω · Φ̂ · cos ωt
w · ω · Φ̂ = Û
⇒
Φ̂ =
Û
w·ω
Bei konstanter Frequenz: direkter Zusammenhang zwischen Û und Φ̂
bzw. U und Φ (Effektivwerte).
3. Spannungsmessung bei zeitveränderlichem Magnetfeld
I(t) 6q
Die Messchleife umfasst einen zeitveränderlichen
Magnetfluß.
UAB
R
Φ(t) = M · I(t)
V
Φ(t)
:
q
Um = UAB +
dΦ
dI
=I ·R+M ·
dt
dt
Bei einem Einschaltvorgang trete folgender Stromverlauf auf:
I(t) 6
Φ(t)
I0
I(t)
I0 ·M
Φ(t)
T
Φ(t) =

0



I0 ·M
T



-
t
67
t<0
·t 0≤t<T
I0 · M
T ≤t
Es ergibt sich folgender Spannungsverlauf am Messgerät (UM ):
UM =

0



R · I0 ·



UM 6
t<0
t
T
R·I0
0≤t<T
R · I0
I0 M
T
T ≤t
-
t
T
Abhilfe: Minimieren der durchflossenen Fläche, z.B. durch verdrillte
Messleitungen.
4. Strommessung mit Rogowski–Spule
I
6
ii
iiii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Φ i
i
i
i
i
i
i
i
i
iiii
i
ii
A
a
U
-
rm
⇒U =
UΦ
?
w dI
· ,
Rm dt
C·
U=
?
Φ=
dΨ
dΦ
=w·
dt
dt
I
,
Rm
Rm ≈
2π · rm
µ0 · A
dUΦ
U
dI
w
≈
=
⇒ UΦ =
·I
dt
R
dt
R · C · Rm
5. Skineffekt
I(t) 6 6 6
~
B(t)
Ŝ
6
f2 < f1
f1 < 0
~
E(t)
f =0
? 6
-
-
r
~ ↑↓ I, am Rand: E
~ ↑↑ I ⇒ ungleichmäßige StromdichteIm Innern: E
verteilung
Eindringmaß: δ = √
1
,
πf µκ
Eindringtiefe: 4 . . . 8 δ Beispiel:
S
(a) Erde, f = 50 Hz, κ = 10−2 m
, δ = 930 m
S
(b) Aluminium–Draht, κ = 36 · 106 m
68
f /Hz
δ/mm
50
12
1k
2,8
100 k
0,3
4.6.2
Bewegungsinduktion
Merkmal: Leiter bewegt sich im Magnetfeld
a) Kraft auf eine im Magnetfeld befindliche Ladung
F~ 6
Q
~ bewegende
Auf eine sich mit ~v im Magnetfeld B
Ladung wird eine Kraft
~
B
~
F~ = Q · (~v × B)
*
s -
Lorentzkraft
~v
ausgeübt (Naturgesetz).
Rechte–Hand–Regel: Daumen in Bewegungsrichtung (~v ), Zeigefinger in Ri~ dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der
chung des Magnetfeldes (B),
~
Lorentzkraft (F )
b) Bewegter Leiter im Magnetfeld
Auf einem Leiterstück d~r:
F~ 6
β
dU
dU
~
B
+P
*
+P
+ α
d~
r ~v
−
P
−−
P
~ · d~r
dW
F~ · d~r
Q · (~v × B)
=−
=−
Q
Q
Q
~ · d~r
= −(~v × B)
(Spatprodukt)
=
= −v · B · sin α · d~r · cos β
~ β = ](~v × B,
~ d~r)
(α = ](~v , B),
Die Induktionsspannung bei Bewegungsinduktion an einem Leiter (A − B)
ergibt sich durch Integration über den Weg (c):
ZB
UAB = −
~ · d~r
(~v × B)
A
(c)
c) Beispiele
1. Geradlinig bewegte Leiterschleife
Die Leiterschleife bewegt sich mit ~v durch
z 6
I
~v das von I erzeugte Magnetfeld. Dabei entEr
rD
steht eine Induktionsspannung:
6
h
ra
ZB
rA
r -
y
* r
?
F ri
b
UAB = −
-B x
-
A
(c)
69
~ · d~r
(~v × B)
Aufteilen des Integrationsweges c in geradlinige Teilintegrale:
UAB
ZD
ZE
ZF
ZB
~ · d~r − (~v × B)
~ · d~r − (~v × B)
~ · d~r − (~v × B)
~ · d~r
= − (~v × B)
A
D
~ = B · ~ey ,
B
~v = v · ex ,
E
B=
F
I
2πx µ0
~ex ~ey ~ez ~ = v 0 0 = v · B · ~ez = µ0 · I · v · ~ez
~v × B
2πx
0 B 0 Teilweg
A→D
D→E
E→F
F →B
~r(λ)
ra · ~ex +λ · ~ez
λ · ~ex +h · ~ez
~ri · ~ex +λ · ~ez
λ · ~ex
λ1 . . . λ 2
0...h
ra . . . r i
h...0
ri . . . r a
dλ~ez
dλ~ex
dλ~ez
dλ~ex
µ0 ·I·v
2πx dλ
0
µ0 ·I·v
2πx dλ
0
d~r =
∂~
r
∂λ dλ
~ r
(~v × B)d~
Zh
UAB = −
µ0 · I · v
dλ −
2π · ra
0
Z0
µ0 · I · v
dλ
2π · ri
h
µ0 · I · v · h µ0 · I · v · h
µ0 · I · v · h
= −
·
+
=
2πra
2πri
2π
1
1
−
ri ra
Die Bewegung mit ~v ergibt: ri = v · t, ra = ri + b = v · t + b
1
1
µ0 · I · b · h
1
µ0 Ivh
UAB =
·
−
=
·
2π
v·t b+v·t
2π
v · t2 + b · v · t
2. Spezialfälle
~ homogen, ~v konstant
B
~
B
6 6 6B−
~ (~v ×B)
~v
+
+
A
~ ~v
B
6
A
666B
~ ~v
B
A
666B
3
v~
~
(~
v ×B)
~ d~r
~v ⊥ B,
~ ⇒ ~v × B
~ =0
~v k B
~v k d~r
⇒ UAB = v · B · l
⇒ UAB = 0
⇒ UAB = 0
70
3. Rotierende Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
~
B
-
y
6
~c = ω
~ × s,
~v
R
1BM
) Bd
BB
d q
x
d z
q
-ω
ω
~ = ω · ~ez
s(t) = R · cos ωt~ex + R · sin ωt~ey
~v =
d~s
= −ωR · sin ωt~ex + ωR · cos ωt~ey
d~t
~ = B · ~ex ,
B
d~r = −dr · ~ez
−ωR sin ωt ωR cos ωt
0 ~ · d~r = B
0
0 = ω · BR · cos ωt d~r
(~v × B)
0
0
−dr Spannung im rechten Leiter:
Rl
U1 = ω · B · R · cos ωt · d~r = ω · B · R · l · cos ωt
0
Gesamtspannung:
U = 2 · U1 = ω · 2R
| {z· }l ·B · cos ωt
| A{z }
Φ
4. Unipolarmaschine
y
~
6
B
q
d
Aq
ZB
d~r
~v 6
q
d
UAB = −
-
A
R x
B z
~ · d~r
(~v × B)
~v = −v·~ex = −r·ω·~ex ;
v = r·ω,
ω = 2πn
-ω
~ = B · ~ez ;
B
d~r = dλ · ~ey
−v 0 0 ~ · d~r = 0
0 B = v · B · dλ = ω · λ · dλ
(~v × B)
0 dλ 0 ~r(λ) = λ · ~ey ,
d~r = dλ · ~ey ,
Z0
UAB = −
λ = R . . . 0,
ZR
ωλB · dλ = ωB
R
v(λ) = ω · λ
λ · dλ = λ · B ·
R2
= π · n · B · R2
2
0
Beispiel: R = 10 cm, B = 10 mT, n ≈ 240 min−1 ⇒ 1 mV
technisch realisierbar: R = 1 m, B = 1 T, n = 3000 min−1 ⇒ 157 V
71
4.7
Selbst– und Gegeninduktion
a
a U2
M2 6 1. Strom I1 in Leiterschleife 1 erzeugt Magnetfeld
I1
a
a U1
1
I(t) −→ B(t) −→ I˙ −→ Ḃ
2. In der gleichen Leiterschleife 1 wird eine Spannung U1 induziert −→ Selbstinduktion
3. In weiteren Leiterschleifen (2) im Magnetfeld werden Spannungen induziert −→ Gegeninduktion
4.7.1
Selbstinduktion
I
a- O
s
a) Hµ0
~
I PPPP / H b) B(H) / B
PPP
PPP
PPP
PP(
U
a?
~ A
~
Bd
(A)
P
/Φ
a) Ψ = LI
Φk
d
/ Ψ dt / U
mm
Φ·w
mmm
m
m
mm
mmm
vmmm
k
b) Ψ = Ψ(I)
a) Linearer Ψ–I–Zusammenhang
Ψ6
L=
Ψ
I
[Ψ]
[I]
=
α
[L] =
-
I
Definition Induktivität
[Φ]
[I]
=
W
A
=
Vs
A
= 1H
(Henry)
praktische Größenordnungen für Induktivitäten:
Luftspulen
Spulen mit Fe–Kern
Funktechnik
nH . . . H
mH . . . 100 H
µH . . . mH
b) Nichtlinearer Ψ–I–Zusammenhang
Ψ = Ψ(I)
Ψ6
q α
Ld =
-
I
dΨ
dI
∼ tan α
Ld : differentielle, dynamische Induktivität
72
4.7.2
Berechnung der Induktivität
a) Dimensionsgleichung
L=
Φ
Ψ
,
I
Ψ = w · Φ,
Φ=
Iw
= I · w · Gm
Rm
I a
-
w
a
L=
w2
Rm
= w 2 · G m = w 2 · AL
AL –Wert: Induktivitätsfaktor.
Beispiel:
benötigt: L = 20 µH, gegeben: Kern mit AL = 40 nH
r
r
L
20 · 10−6 H
2
L = w · AL ⇒ w =
=
≈ 22, 4
AL
40 · 10−9 H
Beispiele
1. Lange Zylinderspule
l
cccccccccccccccccc
6
d
B
?cccccccccccccccccc
a
H=
L=
B = µ0 · H =
a
⇒L=
I ·w
,
l
Φ=B·A=
Ψ
w·Φ
=
I
I
µ0 · I · w
l
µ0 · I · w · A
,
l
A=π·
d2
4
w2 · µ0 · A
µ0 · π · d2
w·Φ
=
= w2 ·
I
l
4·l
Zugeschnittene Größengleichung:
L/nH = 10 · w2 ·
(d/cm)2
1
·
l/cm
1 + 0,45 d
| {z l}
Korrekturfaktor
2. Eisendrossel mit Luftspalt (Aufgabe 3.88)
µr
A
lF e
I a
a
w
?
l
?
6
6
L=
Rm
w2
,
Rm
Rm = RmF e + RmL
lF e
l
1
=
+
=
·
µ0 · µr · A µ0 · A
µ0 · A
73
lF e
+l
µr
L=
L6
w2 · µ0 · A
lF e
µr
+l
w2 · µ0 · µr · A
lF e
L0 =
lF e
= lF∗ e : reduzierte Eisenlänge
µr
L0
−lF e
µr
4.7.3
l
Strom–Spannungsbeziehung an der Induktivität

I(t)y a
/
6 Ψ(t)
/ Φ(t)
I(t)
U (t)
/ U (t)
L
a a) Lineare Φ–I–Beziehung
U=
dΨ
d(L · I)
dI
=
=L·
dt
dt
dt
Umkehrbeziehung
1
I(t) = I(0) +
L
Zt
U (t0 ) dt0
0
b) nichtlineare Φ–I–Beziehung
Ψ = Ψ(I)
⇒
U=
dΨ
d(Ψ(I))
dΨ dI
dI
=
=
·
= Ld (I(t)) ·
dt
dt
dI
dt
dt
|{z}
dL
c) Stetigkeit des Stromes
U (t) ∼
dI
.
dt
Stromsprung:
dI
→ ∞ −→ U → ∞
dt
Für einen Stromsprung würde eine unendlich hohe Spannung benötigt; physikalisch und technisch nicht möglich. Daher ist an einer Induktivität der
Strom–Zeit–Verlauf stetig.
74
d) Beispiele
1. Anschalten einer Gleichspannung an einer Spule
gesucht: I(t)
q q

yI(t)

U0 y
x
I0
L
L·
dI
= U0
dt
I = I0
1
I(t) = I(0) +
L
Zt
1
U (t ) dt = I0 +
L
0
0
0
Zt
t>0
t<0
U0 dt0 = I0 +
U0
·t
L
0
2. R–L–Kreis
UR (t)
R j
UR + UL − U0 = 0

U0 (t)y
I(t)
⇒ I ·R+L·
L UL (t)
dI
= U0 (t)
dt
DGL für I(t), I(0) = I0
Spezialfall: U0 (t) = U0 = Konstant
dI
+ I · R = U0
dt
L dI
U0
dI
U0
· +I =
−→ τ ·
+I =
R dt
R
dt
R
|{z}
L·
(τ = L/R, Zeitkonstante)
τ
t
I(t) = I(0) · e− τ +
t
U0 · 1 − e− τ
R
Einschaltvorgang
I(0) = 0
Ausschaltvorgang
I(0) = I0 , U0 = 0
U0 − τt
I(t) =
1−e
R
− τt
UR (t) = R · I(t) = U0 1 − e
I(t) = I0 · e− τ
UL (t) = L
dI
U0 L − t 1
=
e τ ·
dt
R
τ
t
t
UR (t) = I0 · R · e− τ
t
UL (t) = −I0 L · e− τ ·
1
τ
t
UL (t) = −I0 · R · e− τ
t
UL (t) = U0 · e− τ
75
Einschaltvorgang
I(t) 6
I(t), UR
U0
R
Ausschaltvorgang
I(t) 6
UL 6
UR
I0
U0
J
J
J
I(t), UR
J
J
J
-
τ
UL 6
UR
I0 ·R
-
τ
UL
UL
−I0 ·R
3. Reihen– und Parallelschaltung nichtgekoppelter Spulen
I1 L1
L1
I- a
L2
>
Ln
>
U1
I I2 L2
a - q -
a
>
U2
q
a
In Ln
Un
:
U
U=
n
X
Ui ,
Ui = Li ·
i=1
U=
n
X
i=1
Li ·
n
X
dI
=
dt
n
X
·
Li
{z
L
I=
n
X
i=1
n
Ii ,
X dI
dI
=
dt
dt
|{z}
|{z}
i=1
U
L
!
i=1
|
L=
dI
dt
dI
dt
}
U
Li
n
XU
U
=
L
Li
i=1
n
X 1
1
=
L
Li
Li
i=1
i=1
Unverkoppelte Spulen verhalten sich bei Zusammenschaltungen wie
Widerstände.
76
4.7.4
Gegeninduktivität
a) Definition
⇑ Φ21 = k · Φ11
w2
ΦS1
⇑ Φ22
a
a
w2
a
a
ΦS2
w1
⇑
⇑
I1
w1
⇑
I2
a
a
a
a
⇑
Φ11
Φ12 = k12 · Φ22
Φ21 = k21 · Φ11
Φ12 = k12 · Φ22
Ψ21 = w2 · Φ21 = w2 · k21 · Φ11
Ψ12 = w1 · Φ12 = w1 · k12 · Φ22
M21 =
Ψ21
I1
M12 =
Gegeninduktivität M =
Induktionsfluß durch Induktionsspule
Strom durch Erregerspule
[Ψ]
[I]
Maßeinheit: [M12 ] = [M21 ] =
Ψ12
I2
=
Vs
A
= 1H
b) Bemessungsgleichungen
Ψ21 = w2 k21 Φ11 = k21
w2
Ψ11 : I1
w1
Ψ12 = w1 k12 Φ22 = k12
w1
Ψ22 : I2
w2
Zusammenhang mit L1 und L1
M21 = k21 ·
w2
· L1
w1
M12 = k12 ·
w1
w2
Bemessungsgleichungen:
M21 = k21 ·
w1 · w2
Rm1
M12 = k12 ·
c) Reziprozitätssatz
Bei linearer Abhängigkeit I −→ Ψ gilt:
M12 = M21 = M
77
w2 · w1
Rm2
Damit folgt aus (4.7.4b): M 2 = M21 · M12 = k12 · k21 · L1 · L2
M =k·
√
L1 · L2
k=
√
k12 · k21
k : Koppelfaktor
d) Streufaktor
ΦS1Z
ΦD 21
σ21 = 1 − k21 ,
σ21
1−k21
k=
Φ22
p
analog
σ12 = 1 − k12
k21
k12 · k21 =
p
(1 − σ12 ) · (1 − σ21 ) =
p
1 − (σ12 + σ21 ) + σ12 · σ21
σ = (σ12 + σ21 ) + σ12 · σ21 ≈ σ12 + σ21
k=
√
für σ12 , σ21 1
σ = 1 − k2
1−σ
e) Kenngrößen zweier gekoppelter Spulen (Zweitor)
M
a
L1
a
a
j
Das Zweitor läßt sich durch drei Kenngrößen charakterisieren:
L2
L1 , L2 , M
a
L1 , M, k
L1 , M, σ
L1 , L2 , k
L1 , L2 , σ
f ) Beispiel (Aufgabe 3.58)
A, µr
w1
w2
I1 - a
U1 ?
a
a I2
U2
?
a
6
a
?
a
-
a
-
1. Erregung durch I1 , I2 = 0
q
x

3Rm Φ11
 Rm

I1 ·w1 y
Magnetischer Widerstand Rm :


yΦ21
3Rm
q
78
Rm =
a
µr · A
Φ11 =
I1 · w1
4 · I1 · w1
I1 · w1
=
=
Rm1
3Rm + 3Rm k Rm
15 · Rm
4 w1 2
· I1
·
15 Rm
Ψ11 = w1 · Φ11 =
Φ21 =
3Rm
· Φ11
4Rm
Ψ21 = w2 ·Φ21 =
−→
−→
k21 =
L1 =
Ψ11
4 w1 2
=
·
I1
15 Rm
Φ21
3
=
Φ11
4
3
w1 · w2
·I
·w2 ·Φ11 =
4
5 · Rm
⇒
M21 =
Ψ21
w1 · w2
=
I1
5 · Rm
2. Erregung durch I2 , I1 = 0
q
x

Φ12 


Rm yΦ22
 
I2 ·w2 y
3Rm
3Rm
q
Φ22 =
I2 · w2
2 · I2 · w2
I2 · w2
=
=
Rm2
Rm + 3Rm k 3Rm
5 · Rm
2 I2 · w2 2
·
5
Rm
Ψ22 = w2 · Φ22 =
Φ12 =
1
· Φ22
2
−→
3. Kenngrößen
4 w1 2
·
,
L1 =
15 Rm
k12 =
L2 =
L2 =
1
2
σ = 1 − k2 = 1 −
2 w2 2
·
,
5 Rm
−→
3
8
2 w2 2
·
5 Rm
k12 = 0,5
w1 · w2
w1
· Φ22 =
· I2
2
5 · Rm
Ψ12 = w1 · Φ21 =
k21 = 34 ,
−→
=
5
8
k=
⇒
M12 =
M = M12 = M21 =
√
k12 · k21 =
q
3
8
4. Gesamtfluß, I1 6= 0, I2 6= 0
Spule 2: Φ2 = Φ21 + Φ22
Ψ1 = L1 · I1 + M · I2 ,
L1 =
Ψ11
I1 ,
L2 =
Ψ22
I2 ,
·w
1
−→
Ψ1 = Ψ11 + Ψ12
·w2
−→
Ψ2 = Ψ21 + Ψ22
Ψ2 = M · I1 + L2 · I2
M12 =
Ψ12
I2 ,
79
M21 =
Ψ21
I1
w1 · w2
5 · Rm
≈ 0,63
= 0,625
Spule 1: Φ1 = Φ11 + Φ12
Ψ12
w1 · w2
=
I2
5 · Rm
4.7.5
Strom-Spannungsbeziehungen an Gegeninduktivitäten
a) Grundbeziehungen
M
I1- a
r
j
U1 L1
r
a I2
Punkt gibt Windungsanfang an. Ströme, die am
Punkt in die Spule hineinfließen, erzeugen Flüsse,
die sich addieren.
L2 U2
?
a
a?
d
Ψ1 = L1 · I1 + M12 · I2
dt
−→
Ψ2 = M21 · I1 + L2 · I2
dt
−→
U1 =
dΨ1
dI1
dI2
= L1 ·
+ M12 ·
dt
dt
dt
U2 =
dΨ2
dI1
dI2
= M21 ·
+ L2 ·
dt
dt
dt
d
U1 = L1 ·
dI1
dI2
+ M12 ·
dt
dt
U2 = M21 ·
Trafogleichungen
(verlustfreier Transformator)
dI1
dI2
+ L2 ·
dt
dt
b) Beispiele und Anwendungen
1. Messung der Gegeninduktivität
I1 = 0,
V
U1 = M12 ·
dI2
dt ,
I2 = Iˆ2 sin ωt
x

I2 (t)
Û1 = ω·M12 ·Iˆ2 (Spitzenwerte)
⇒ M12 =
U1 = M12 · ω · Iˆ2 · cos ωt = Û1 · cos ωt
| {z }
Û1
√
· 2
−→
U1 = ω·M12 ·I2 (Effektivwerte)
U1
U1
=
ω · I2
2π · f · I2
Für I2 = 0, I1 = Iˆ1 · sin ωt ergibt sich analog:
U2
U2
M21 =
=
ω · I1
2π · f · I1
Zahlenbeispiel: I1 = 0,1 mA, f = 1 kHz, U2 = 2,55 V
2,55 Vs
M=
= 4,15 H
2π · 103 · 10−4 A
2. Spannungsübersetzung bei Leerlauf (I2 = 0)

r
1 
U1 = L1 · dI
U1
L1
L1
1 L1
ü
dt
√
=
=
=
=
1  U2
M
k L2
k
k · L1 · L2
U2 = M · dI
| {z }
dt
ü
80
ü : Übersetzungsverhältnis
Spezialfall: Rm1 = Rm2 , L1 =
w1 2
Rm ,
L2 =
w2 2
Rm
r
⇒ ü =
w1
L1
=
L2
w2
3. Stromübersetzung bei Kurzschluss (U2 = 0)
dI1
dI2
dI1
L2 dI2
U2 = M ·
+ L2 ·
=0⇒
=−
·
dt
dt
dt
M dt
L2
Integration: I1 (t) = −
· I2 (t) + I10
(I10 = 0)
M
r
L2
1
1
L2
L2
I1
=−
= ·
=−
=− √
⇒
I2
M
k
L1
kü
k · L1 · L2
4. Reihenschaltung verkoppelter Spulen
I- a
r
I = I1 + I2
U1
U M
N
?
a
r(a) r(b) U2
U = U1 + U2
dI
dI
dI
dI
+M ·
+M ·
+ L2 ·
U = L1 ·
dt
dt
dt
dt}
|
{z
} |
{z
U1
U2
U = (L1 + L2 + 2M ) ·
dI
dt
gleichsinnige Kopplung (a): La = L1 + L2 + 2M
gegensinnige Kopplung (b): La = L1 + L2 − 2M
Zahlenbeispiel: La = 22,2 H, Lb = 5,7 H ⇒ M =
4.8
La −Lb
4
= 4,125 H
dΨ
dt
Energie im Magnetfeld
4.8.1
Allgemeine Energiebeziehung
I a
-
P =U ·I =
Ψ
P⇒ U
a?
dW = U · I · dt = I · U
dt
|{z}
dΨ
dW = I · dΨ
ZΨ2
W (Ψ) = W (Ψ1 ) + I dΨ0
dW
dt
U=
R
allgemeine Energiebeziehung
Ψ1
81
Ψ6
W
Ψ2
Die Energie geht aus dem Stromkreis in das magnetische Feld und wird dort gespeichert (magnetische
Feldenergie)
dW
Ψ1
-
I
I(Ψ1 ) I(Ψ2 )
4.8.2
Ψ6
Ψ2
Linearer Φ–I–Zusammenhang
W
Ψ=L·I
dΨ = L · dI
Strom: I1 −→ I2
Ψ1
Induktionsfluß: Ψ1 −→ Ψ2
I(Ψ1 )
I
I(Ψ2 )
ZI2
I · L · dI = W (Ψ1 ) +
W (Ψ2 ) = W (Ψ1 ) +
L
I2 2 − I1 2
2
I1
Spezialfall
0 . . . I, W (0) = 0
W =
L 2
·I
2
analog: W =
C
· U2
2
In einer Induktivität mit Strom I gespeicherte Energie.
Beispiel:
DC–DC–Wandler
q
6
I
 
I0 y
L C
q
U
Auf welche Spannung lädt sich C auf, wenn
I0 auf Null springt?
I 6
L
C
· I0 2 =
· Umax 2
2
2
r
L
⇒ Umax =
· I0
C
I0
Umax
-
t
82
4.8.3
Energiedichte
~ H
~
B
I
a- O
dW = I · dΨ = I|{z}
· w ·dΦ = H · l · dΦ
V
6
l
w
a
dΦ = A · dB
dW = H · dB · |{z}
A·l
?
V
(NB: V : magnetische Spannung, V : Volumen)
ZB2
dW
dw =
= H · dB
V
⇒
H · dB
W =
B1
B6
W
B2
W : Energiezuwachs pro Volumeneinheit des
Magnetfeldes bei Erhöhung der Flußdichte von
B1 auf B2 .
B1
H1
-
H2
H
Linearer Zusammenhang:
B = µ · H, dB = µ0 · dH
ZH2
µ0
W = µ0 H · dH =
· (H2 2 − H1 2 )
2
H1
Spezialfall:
H1 = 0, H2 = H
w = µ0 ·
(vgl. w =
DE
2
H2
B·H
B2
=
=
2
2
2µ0
Energiedichte im Magnetfeld
im elektrischen Feld)
Maßeinheiten:
[w] =
[W ]
[V ]
=
Ws
m3
=
Nm
m3
=
N
m2
Erreichbare Energiedichte in Luft:
w=
B·H
2
=
B2
2µ
für µ = µ0 und B = 1,5 T → w = 106
Zum Vergleich: E–Feld: w = 40 Ws
(siehe 3.12.2)
m3
83
Ws
m3
4.8.4
Energiedichte und Hysteresekurve
B
6
H
B
6
Bm
Die Ummagnetisierungsenergiedichte entspricht
der Fläche der Hysteresekurve.
praktische Größenordnung: (Dynamoblech)
Hc
H
A
Hc = 60 m
, Bm = 1 T
wum = 2Hc · 2Bm = 240 Ws
m3
(Trapezfläche)
Verlustleistung bei f = 50 Hz:
kW
PV
Ws
pV =
= Wum · f = 240 3 · 50 Hz = 12 3
V
m
m
g
Verlustleistung pro Masseneinheit: (%Eisen = 7,8 cm
3)
Pv
V
pV
W
Pv
= 1,5
=
=
·
pV m =
M
V
M
%
kg
|{z} |{z}
pV
4.9
4.9.1
%−1
Kraftwirkungen im Magnetfeld
Globale Kraftgleichung
Prinzip der virtuellen Verschiebung
x 
I
U dWel
?
d
d
d
d
d
d
⇒ dd
d
d
d
d
d
F =
U=
d
?dx dd
d
dd
6
F ?
d
dd
d
dd
d
I 2 dL
·
2 dx
analog:
dWel = dW + dWm
LI 2
I dL = d
+ F dx
2
I 2 dL
=
+ F dx
2
2
F =
I 2 dC
·
2 dx
dΨ
d(L · I)
dL
=
=I·
⇒ dWel = U · I · dt = I 2 · dL
dt
dt
dt
Die Kraft wirkt in Richtung einer Induktivitätsvergrößerung.
84
Beispiel:
Elektromagnet
a
I?
a
w
?
?
6
6 ?
x
?
F
L(x) =
w2
w2 · µ0 · A
= l
Fe
Rm
µr + 2 · x
F =
Bei Drehbewegungen:
w2
Rm
dL
w2 · µ0 · A
= −
2 · 2
dx
lF e
+
2
·
x
µr
I 2 dL
(I · w)2 · µ0 · A
·
=−
2
2 dx
lF e
+
2
·
x
µr
M=
I 2 dL
·
2 dα
Kraft auf Grenzflächen
dV
Annahme: Φ konstant (adiabatischer Vorgang)
~
-B
-
(
Φ
L=
lF e
2·x
Rm = RmF e + RmL =
+
µ0 µr · A µ0 · A
1
lF e
+2·x
=
·
µ0 · A
µr
lF e
4.9.2
I 2 dL
·
2 dx
F =
F
dW + dWm = 0
B·H
· dV − F · dx = 0
2
A dx
B·H
· A · dx = F · dx
2
p=
p=
B·H
·A
2
F
B·H
µ0 · H 2
B2
=
=
=
A
2
2
2 · µ0
Zugeschnittene Größengleichung:
Zahlenwerte:
⇒
F
= 40 ·
N
⇔
B
T
2
B = 1 T, A = 1 cm2 ⇒ F = 40 N
p=
40 N
N
= 40 · −4 2 = 400 kPa
cm2
10 m
85
p=
·
A
cm2
D·E
2
4.9.3
Kraft auf bewegte Ladungen
F~
~
B
×
× 6
×
Q s
-~
v
×
×
Beispiel:
~
F~ = Q · (~v × B)
Lorentzkraft
F~ ⊥ ~v ⇒ Ladung erfährt keine Energieänderung
×
Elektronen im homogenen Magnetfeld
~
m · ~¨r = F~ = e · (~v × B)
~ ×
B
×
er -
~Lr- F
~Z
F
Lösung:
?
~v
×
4.9.4
m · v2
= e·v·B
r
Zentripetalkraft = Lorentzkraft
×
Bahnradius:
r=
Kreisbahn
m · v2
e·v·B
−→ Umlaufdauer:
τ=
2π · r
m
= 2π ·
v
e·B
Kraft auf Leiter im Magnetfeld
- ~
B
d~
r*
dQ
?
*
I
dF~
dF~
~ = dQ ·
= dQ · (~v × B)
dF~
=
d~r
~
×B
d~t
dQ
~ = I · (d~r × B)
~
·(d~r × B)
dt
|{z}
I
Gesamtkraft:
RB
~
F~ = I · (d~r × B)
A
Spezialfall:
Beispiel:
~ B
~ homogen: F = I · B · l
Leiter gerade, d~r ⊥ B,
Parallele Leiter
~
B
6
F~ ~
I1 6 I2 6 B
~
F
l
?
0
r1
-
r
H1
H1
⇒ B1 = µ0
2πr1
2πr1
I1 · I2
F = I2 · B1 · l = µ0
·l
2πr1
I − 1 −→ H1 =
Gleichgerichtete Ströme ziehen einander an, entgegengerichtete Ströme stoßen einander ab.
86
Definition:
Stromstärkeeinheit 1 A
I1 = I2 = 1 A,
r = 1 m,
l = 1 m,
Daraus folgt für µ0 : 2 · 10−7 N = µ0 ·
⇒ µ0 = 4π · 10−7
F = 2 · 10−7 N
(1 A)2
2π
Nm
4π
Vs
4π µH
=
· 10−6
=
A2 m
10
Am
10 m
87