Zur Grundgleichung des elektrischen Feldes
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PH / Gl Zur Grundgleichung des elektrischen Feldes Wir wollen die Grundgleichung des elektrischen Feldes, σ = ε 0 E (im Vakuum bzw. annähernd auch in Luft), für das homogene Feld im Inneren eines Plattenkondensators plausibel machen1 . Vorausgesetzt wird nur die Gültigkeit des Coulomb-Gesetzes. 1. Das Feld einer Ladungsverteilung in großer Entfernung Als Vorbetrachtung begründen wir die allgemeine Tatsache, dass das Feld einer beliebigen Ladungsverteilung in großer Entfernung wie das radiale Feld einer Punktladung aussieht. Dazu denken wir uns einen Ladungsbatzen Q in seine Einzelladungen zerlegt; im Beispiel q1 , q2 und q3 . Um die Feldstärke in einem weit entfernten Punkt P zu bestimmen, überlagern wir nach dem Superpositionsprinzip die Einzelfelder der qi : − → − → − → − → E ges = E1 + E2 + E3 . Da die Feldstärkevektoren in P nahezu in dieselbe Richtung – radial vom Mittelpunkt der Ladungsverteilung weg – zeigen (siehe Bild), ist der Betrag von Eges in guter Näherung die Summe der Feldstärke-Beträge Ei . Somit gilt für die Gesamtfeldstärke q1 1 Q q2 q3 1 q1 + q2 + q3 1 = , Eges ≈ E1 + E2 + E3 = + 2+ 2 ≈ 2 2 4πε 0 r1 4πε 0 r 4πε 0 r2 r2 r3 wobei im vorletzten Schritt die Näherung ri ≈ r verwendet wurde. Diese ist gerechtfertigt, da sich aufgrund der großen Entfernung von P die Einzelabstände ri kaum vom Abstand r zwischen P und dem Mittelpunkt der Ladungsverteilung unterscheiden. In großer Entfernung ist damit das E-Feld der Ladungsverteilung nahezu identisch mit dem einer Punktladung der Größe Q = q1 + q2 + q3 , die im Mittelpunkt sitzt. 2. Das Feld einer geladenen Platte Zunächst soll eine Formel für die Feldstärke einer (gleichmäßig) geladenen Platte “hergeleitet” werden. Dazu betrachten wir eine Plattenseite aus geringer Entfernung: Das E-Feld muss aus Symmetriegründen in jedem Punkt – abgesehen von den Plattenrändern – den gleichen Betrag und die gleiche Richtung aufweisen. Denn es ist ja kein Punkt der Platte bevorzugt und die Ladungen sind gleichmäßig auf der Platte verteilt; wie gesagt sehen wir im Moment vom Plattenrand ab. In der Darstellung des E-Feldes durch Feldlinien ist die Feldliniendichte ρ ein Maß für die Feldstärke E. Es ist ρ = f E mit einem Proportionalitätsfaktor f , der festlegt, welcher Feldlinienanzahl pro cm2 eine Feldstärke von 1 N C entsprechen soll. Die Gesamtzahl N der Feldlinien, die von der Platte (ohne Rand) ausgehen, erhält man durch: Feldliniendichte mal doppelte Plattenfläche 2A, weil ja Feldlinien von beiden Plattenseiten ausgehen, d.h. N = ρ · 2A = f E · 2A . 1 Herleiten wäre zu hoch gegriffen, denn zu einer mathematisch strengen Herleitung bräuchten wir den Gaußschen Integralsatz, der leider weit über unserem Niveau liegt. Nun betrachten wir die Platte aus großer Ferne. Nach Punkt 1 wird ihr Feld dann nahezu wie das einer Punktladung Q ( = Gesamtladung der Platte) aussehen. Bei diesem Übergang sind die Randinhomogenitäten des Plattenfeldes entscheidend; ansonsten könnte man wohl kaum einsehen, wieso das nahezu homogene Feld in Plattennähe sich jetzt gleichmäßig in alle Raumrichtungen erstrecken sollte. Die Feldliniendichte entspricht nun näherungsweise der eines radialen Coulomb-Feldes: ρ0 = f E0 = f 1 Q 4πε 0 r2 Die Anzahl N 0 der Feldlinien, welche durch eine große einhüllende Kugel vom Radius r und der Oberfläche A0 = 4πr2 verlaufen, ist gegeben durch N 0 = ρ0 · A0 = f 1 Q Q · 4πr2 = f . 2 4πε 0 r ε0 Da dies natürlich dieselben Feldlinien sind, die ursprünglich von der Platte ausgingen, ergibt sich mit N = N 0 (eigentlich nur ≈, weil wir bei N die Randfeldlinien vernachlässigt haben): f E · 2A = f Q , ε0 also E= 1 Q . 2ε 0 A Messungen bestätigen, dass wir trotz aller Näherungen ein vernünftiges Resultat erhalten haben. Das Feld in der Nähe einer gleichmäßig geladenen Platte ist nahezu homogen (vom Randfeld abgesehen). Die Feldstärke beträgt 1 Q E= . 2ε 0 A 3. Das Feld eines Plattenkondensators Mit Hilfe des Superpositionsprinzips lässt sich nun leicht das Feld eines Plattenkondensators bestimmen, indem wir die Felder der positiven Platte (Ladung Q) und der negativen Platte (Ladung − Q) überla− → − → − → gern; E ges = E + + E − . Ist der Plattenabstand nicht zu groß, so ist die homogene Näherung zulässig, und “hinter” den Platten heben sich die beiden Felder gerade auf, da sie gleich stark aber entgegengesetzt gerichtet sind. Im Innenraum sind sie hingegen gleichgerichtet und die Feldstärken addieren sich daher Eges, innen = E+ + E− = 1 Q 1Q 1 1 Q + = = σ. 2ε 0 A 2ε 0 A ε0 A ε0 Für nicht zu großen Plattenabstand und etwas weg von den Plattenrändern gilt also: Das Feld im Inneren eines Plattenkondensators ist nahezu homogen und die Feldstärke erfüllt die Grundgleichung des elektrischen Feldes σ = ε0 E . In der Nähe der Plattenränder sind stets “Streufelder” vorhanden (oben gestrichelt angedeutet); ansonsten ist der Außenraum hinter den Platten so gut wie feldfrei. Insbesondere beginnen oder enden auf den Plattenrückseiten (fast) keine Feldlinien; dort können somit (fast) keine Ladungen sitzen. Im Gegensatz zur Einzelplatte sammeln sich die Ladungen beim Plattenkondensator also jeweils nur auf der der anderen Platte zugewandten Seite an.
