Lösungen zum Aufgabenblatt 4: ] ] [9

Lösungen zum Aufgabenblatt 4:
$XIJDEH
Berechnen Sie die Kapazität eines Plattenkondensators mit der Fläche A = 100cm2, einem
Abstand zwischen den Platten von d = 5mm und einem Isoliermaterial mit der
Dielektrizitätszahl ετ = 3. Geben Sie den Wert in einer gängigen Form an.
Lösung:
6FKULWW Aus der Angabe der Dielektrizitätszahl ετ und der Dielektrizitätskonstante des
Vakuums (ε0 = 0.885 * 10 –13
$V
) muß die Dielektrizitätskonstante des
9FP
Materials bestimmt werden.
ε = ε0 *ετ = 0.885 * 10 –13 * 3 = 2.655 * 10 –13
$V
[ 9FP ]
6FKULWW Die Kapazität eines Kondensators hängt von der Dielektrizitätskonstante des
Materials, seiner Fläche und dem Abstand der Platten ab.
Es gilt:
C =ε*
$
G
= 2.655 * 10 –13 *
= 5.31 * 10-11
C = 53.1 pF
100
0.5
[
FP 2 ⋅ $V
FP ⋅ 9FP
$V
]
[ 9 ] = [F]
$XIJDEH
Ein Kondensators mit der Kapazität C = 100µF wird über einen Widerstand von R = 2.2kΩ
entladen. Der Kondensator wurde mit einer Spannung von 10V aufgeladen. Wie groß ist die
Spannung nach 100ms. Wie lange dauert es, bis die Spannung auf die Hälfte der
Ausgangsspannung gesunken ist?
6FKULWW Die Werte sind:
uc(t0) = U0 = 10V.
t1 = 100ms
R = 2.2kΩ
C = 100 * 10-6 F
6FKULWW Zeitkonstante berechnen
τ = R * C = 2200 * 100 * 10-6 = 0.22
[Ω * F] = [
6FKULWW Formel für den Entladevorgang
uc(t1) = U0 * H
=U * H
−
τ
0
−
⋅
[V* e-s/s] = [V]
−0.1
= 10 * H 0.22 = 6.4
[V]
6FKULWW Formel für den Entladevorgang nach t umformen.
uc(t) = U0 * H
−
X (W )
= Hτ
80
ln
( X8 (W ) )=
0
t = - ln
−
τ
−W
τ
( X8 (W ) )* τ * t = ln ( X8 (W ) )* R *
0
0
6FKULWW Werte einsetzen und Ergebnis berechnen.
t ln
( 105 )* 0.22 = 0.15 s
C
9 $V
*
] = [s]
$ 9
Dasselbe mit 100mH
6FKULWW Die Werte sind:
uc(t0) = U0 = 10V.
t1 = 100ms
R = 2.2kΩ
C = 100 * 10-3 F
6FKULWW Zeitkonstante berechnen
τ = R * C = 2200 * 100 * 10-3 = 220
[Ω * F] = [
6FKULWW Formel für den Entladevorgang
uc(t1) = U0 * H
=U * H
−
τ
0
−
⋅
[V* e-s/s] = [V]
−0.1
= 10 * H 220 = 10 * 0.99955 = 9.9955
[V]
6FKULWW Formel für den Entladevorgang nach t umformen.
uc(t) = U0 * H
−
X (W )
= Hτ
80
ln
( X8 (W ) )=
0
t = - ln
−
τ
−W
τ
( X8 (W ) )* τ * t = ln ( X8 (W ) )* R *
0
0
6FKULWW Werte einsetzen und Ergebnis berechnen.
t ln
( 105 )* 220 = 152.5 s
C
9 $V
*
] = [s]
$ 9
$XIJDEH
Gegeben ist ein Kondensator mit der Kapazität von C = 47 nF. Dieser wird über einen
Widerstand von R = 270kR von einer Spannungsquelle mit U = 60V aufgeladen. Der
Ladevorgang wird nach 55ms abgebrochen. Daraufhin wird ein Entladevorgang eingeleitet,
bei dem der Kondensator über einen Widerstand von 82kR entladen wird. Berechnen Sie den
Entladestrom nach 4ms.
Lösung:
6FKULWW Zeitkonstante τ für den Ladevorgang berechnen.
τ = R * C = 47*10-9 * 270k = 0.0127
[Ω * F = V/A * As/V = s]
6FKULWW Spannung nach 55ms berechnen.
uc(25ms) = Uo * (1-
−
τ
H ) = 60 * (1- H
−0.055
0.0127
) = 60 * 0.987 = 59.21
[V]
6FKULWW Zeitkonstante τ für den Entladevorgang berechnen.
τ = R * C = 47*10-9 * 82k = 0.00385
[s]
6FKULWW Anfangsstromstärke berechnen.
Da der Kondensator nicht komplett geladen wurde, gilt für den Entladevorgang
Uo = 59.34V.
Io =
8 0 59.34
=
= 0.72
5
82N
[mA]
6FKULWW Strom nach 4 ms berechnen.
ic(4ms) = -Io * H
−
τ
= - 0.72 *
H
−4
3.85
= - 0.72 * 0.35 = - 0.252
[mA]
$XIJDEH
Gegeben sind die komplexen Zahlen Z1 = -3 + 4j und Z2 = 2 * H
.
23.65
a.
Berechnen Sie die Summe und die Differenz der beiden Zahlen.
b.
Berechnen Sie das Produkt und den Quotienten (
=1
) beider Zahlen.
=2
Wählen Sie für Aufgabe 3a und b den jeweils günstigsten Lösungsweg.
c.
Bestimmen sie das Produkt und den Quotienten (
=3
) der beiden komplexen Zahlen
=4
Z3 = 7 - 6j und Z4 = 2 + 4j, ohne daß sich Rundungsfehler einschleichen.
Lösung:
6FKULWW Die Zahlen müssen entweder einheitlich im Komponentenform oder in polarer
Darstellung vorliegen.
a.
Z1 in die polare Darstellung umwandeln.
Z1 =
52 + ; 2 =
− 32 + 4 2 =
25 = 5
Der Betrag Z1 wird errechnet.
Der Richtungswinkel ϕ wird berechnet.
;
+K
5
δ = arc tan
wobei K = 0
K = 180o
für R > 0 und
für K < 0
K = 180o ist notwendig, weil die komplexe Zahl einen negativen Realteil besitzt und
daher im 2. Quadranten angesiedelt ist. Die trigonometrischen Funktionen zur
Bestimmung von δ beziehen sich auf den negativen Teil der x – Achse, der
Richtungswinkel jedoch auf den positiven Teil.
δ = arc tan
Z1 = 5 * H
b.
4
+ 180o = -53.13o + 180o = 126.87o
−3
(126.87 )
Z2 in Komponentendarstellung umwandeln.
Imaginärteil:
X = Z * sin(δ) = 2 * sin(23.65o) = 2 * 0.4 = 0.8
Realteil:
R = Z * cos(δ) = 2 * cos(23.65o) = 2 * 0.916 = 1.83
Z2 = 1.83 + 0.8 j
6FKULWW Addition und Subtraktion werden in Komponentenform durchgeführt.
Za = Z1 + Z2 = -3 + 4j + 1.83 + 0.8 j = -1.17 + 4.8 j
Zb = Z1 - Z2 = -3 + 4j – (1.83 + 0.8 j) = -4.83 + 3.2 j
6FKULWW Multiplikation und Division werden in polarer Darstellung durchgeführt.
Zc = Z1 * Z2 = (5 * H
) = 5 * 2 * H = 10 * H
- H = 2.5 * H 5
= * H
2
= 2.5 * H
(126.87 )
) * (2 * H
(126.87 ) + 23.65
23.65
(150.52 )
5 * e j⋅126,87
=
Zd = 1 =
0
=2
2 * e j⋅23.65
0
⋅126,870
23.65
(126.87 − 23.65 )
(103.22 )
6FKULWW Damit keine Rundungsfehler auftreten, muß die Multiplikation bzw. Division in
Komponentenform durchgeführt werden.
Ze = Z3 * Z4 = (7 - 6j) * ( 2 + 4j) = 14 – 12j + 28j – 24j2
= 14 + 16j + 24
Multiplikation
(da j2 = -1)
= 38 + 16j
Zf =
=3
(7 - 6j)
=
=4
(2 + 4j)
=
(7 - 6j) (2 - 4j)
*
(2 + 4j) (2 − 4j)
Quotient aus den beiden Zahlen
Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl zu
dem Nenner (Z4* = 2 – 4j)
=
14 − 12 M − 28 M + 24 M 2
4 + 8 M − 8 M − 16 M 2
Ausmultiplizieren der Brüche ( j2 = -1)
=
− 10 − 40 M
= –0.5 – 2j
4 + 16
Kürzungen und Ergebnis
= ±±M
$XIJDEH
Erläutern Sie, warum man den Effektivwert benötigt und wie man ihn für eine sinusförmige
Wechselgröße aus dem Spitzenwert errechnet. Warum ist der arithmetische Mittelwert für
Sinusgrößen nur von geringer Aussagekraft und wann hat dieser seine Bedeutung.
1. Man benötigt den Effektivwert, damit man für den ständigen Spannungswechsel einer
Wechselspannung eine aussagekräftige Größe besitzt, mit der man sie bezeichnen kann.
Sinnvollerweise würde diejenige Spannung gewählt, die an einem ohmschen Verbraucher
dieselbe Leistung umsetzt wie eine Gleichspannung gleicher Größe.
2. Der arithmetische Mittelwert ist für die Beschreibung von Wechselspannung von
geringem Nutzen, weil sich die positive und die negative Halbwelle gegenseitig aufheben
und deshalb der Wert des arithmetischen Mittels immer 0 ist. Allerdings ändert sich das,
wenn eine Schwingung nicht achsensymmetrisch zur x-Achse (also zum O-Volt
Bezugspotential) verläuft. Dann erhält man über den arithmetischen Mittelwert eine
Größe, die die Abweichung von der Achsensymmetrie wiedergibt. Solche Abweichungen
von der Achsensymmetrie zur x-Achse können durch eine überlagerte Gleichspannung
oder durch unsymmetrische Wellenformen hervorgerufen werden und werden
Gleichanteil genannt.