Hausarbeit 2:

+DXVDUEHLW
$XIJDEH
Gegeben ist eine sinusförmige Wechselspannungsquelle mit û = 5V und einer Frequenz von
500 Hz. Zeichnen Sie ein Spannung/Zeit Diagramm über eine Periode. Berechnen Sie dazu
die Spannungswerte für mindestens 9 Stützpunkte.
/|VXQJ
Mit Hilfe der Formel u(t) = û VLQ WZHUGHQGLH6Wützpunkte berechnet. Die Frequenzangabe
wird nicht benötigt.
W
7
7
7
VLQ W
u(t) [V]
0
0
0,707
3,54
1
5
0.707
3,54
7
7
7
7
7
0
0
-0.707
-3,54
-1
-5
-0,707
-3,54
0
0
$XIJDEH
Addieren Sie zu der Wechselspannung aus Aufg. 1 eine Wechselspannung mit derselben
Spitzenspannung und derselben Frequenz, die allerdings ein Phasenverschiebung von
a.
b.
= 1800 und
= 900 aufweist.
Addieren Sie die Spannungen graphisch. Berechnen Sie für b Stützpunkte im Abstand von
7
.
8
/|VXQJ
6FKULWW
Die Phasenverschiebung wird ins Bogenmaß umgerechnet:
b =π
Φ
180 0
b1 = π
180 0
180 0
b2 = π
90 0
ò
180 0
6FKULWW
Über die Formel u(t) = û VLQ W ZHUGHQGLH6Wützpunkte berechnet.
W
7
7
VLQ W
u(t) [V]
0
0
0,707
3,54
1)
0
0
2)
VLQ W
u1(t)
VLQ W
u2(t)
u(t) + u1(t)
u(t) + u2(t)
7
7
7
7
7
1
5
7
0,707
3,54
0
0
-0,707
-3,54
-1
-5
-0,707
-3,54
0
0
-0,707
-3,54
-1
-5
-0,707
-3,54
0
0
0,707
3,54
1
5
0,707
3,54
0
0
1
5
0,707
3,54
0
0
-0,707
-3,54
-1
-5
0,707
-3,54
1
0
0,707
3,54
0
5
0
5
0
7,08
0
5
0
0
0
-5
0
-7,080
0
-5
0
0
0
5
6FKULWW
Bei 1800 Phasenverschiebung heben sich die Spannungen gegenseitig auf. Die
Summenspannung ist immer 0V.
6FKULWW
Bei 900 Phasenverschiebung ergibt sich die folgende Summenspannung. Die errechneten
Stützpunkte sind als senkrechte Linien eingezeichnet.
$XIJDEH
Erläutern Sie, warum man den Effektivwert benötigt und wie man ihn für eine sinusförmige
Wechselgröße aus dem Spitzenwert errechnet. Warum ist der arithmetische Mittelwert für
Sinusgrößen meist nur von geringer Aussagekraft und wann hat dieser seine Bedeutung.
/|VXQJ
1.
Man benötigt den Effektivwert, damit man für den ständigen Spannungswechsel
einer Wechselspannung eine aussagekräftige Größe besitzt, mit der man sie
bezeichnen kann. Sinnvollerweise wurde diejenige Spannung gewählt, die an
einem ohmschen Verbraucher dieselbe Leistung umsetzt wie eine Gleichspannung
mit dem gleicher Wert.
2.
Der arithmetische Mittelwert ist für die Beschreibung von reiner Wechselspannung
von geringem Nutzen, weil sich die positive und die negative Halbwelle
gegenseitig aufheben und deshalb der Wert des arithmetischen Mittels immer 0 ist.
Allerdings ändert sich das, wenn eine Schwingung nicht symmetrisch zur x-Achse
(also zum O-Volt Bezugspotential) verläuft. Solche Abweichungen können durch
eine überlagerte Gleichspannung oder durch unsymmetrische Wellenformen
hervorgerufen werden und werden Gleichanteil genannt.
$XIJDEH
Berechnen Sie für den nebenstehenden
i
Stromverlauf den Effektivwert und den
î = 4A
arithmetischen Mittelwert.
1/2T
3/4T
1/4T
î = 4A
T
t
Berechnen Sie die Effektivwert für die
Spannung, wenn der Strom durch einen
Widerstand von R = 10 R fließt.
/|VXQJ
Die Frage nach dem Effektivwert bezieht sich auf den Flächeninhalt der Kurve. Die Kurve
sollte so segmentiert werden, daß man die Rechnung einfach durchführen kann.
0|JOLFKNHLW Berechnung über die Leistung.
6FKULWW
Bei konstanter Spannung über die Zeit errechnet sich die Leistung aus P =
, 2 ⋅ 5 ⋅W
= , 5
7
Die Kurve des vorgegebenen Stromverlauf gleichmäßig in T/4 unterteilt. In diesen Segmenten
ist der Strom konstant. Deshalb gilt:
P=
L 12 ⋅ 5 ⋅
7 2
7
7
7
+ L2 ⋅ 5 ⋅ + L32 ⋅ 5 ⋅ + L42 ⋅ 5 ⋅
4
4
4
4
7
6FKULWW
Für das erste Segment ist i1 = î, für das zweite i2 = 0, für das dritte i3 = -î und für das vierte i4
= 0. Deshalb gilt:
P =
=
=
v2 ⋅5⋅
7
7
+ 0 + (−v ) 2 ⋅ 5 ⋅ + 0
4
4
7
2⋅v 2 ⋅ 5 ⋅
7
1
v 5
2
6FKULWW
7
4
=
1
2
16A 10R = 80 W
|(-î)2 = î2
Berechnung des Effektivspannung:
3 8 5
8 3 ⋅ 5 80: ⋅10 5 = 28,3V
bzw.
Berechnung des Effektivstroms:
P = Ueff Ieff
bzw.
3
8
Ieff =
80:
28,39
2,8A
0|JOLFKNHLWBerechnung über das Integral für den Effektivstrom
6FKULWW
Das Integral für de Effektivstrom lautet:
Ieff =
1 2
v GW
7 ∫0
Wiederum wird die vorgegebene Kurve in 4 Teile segmentiert. Es gilt:
Ieff =
4
2
3
4
4
2
1 2
L1 GW + ∫ L22 GW + ∫ L32 GW + ∫ L42 GW
7 ∫0
3
4
6FKULWW
Für das erste Segment ist i1 = î, für das zweite i2 = 0, für das dritte i3 = -î und für das vierte i4
= 0. Deshalb gilt:
Ieff =
4
3
4
1 2
L1 GW + 0 + ∫ L32 GW + 0
7 ∫0
2
6FKULWW
Integrale werden berechnet:
Ieff =
=
1 2 7
7
(v ⋅ + (−v ) 2 ⋅ ) =
7
4
4
1 2
⋅v =
2
1
⋅16 $ = 2.83A
2
6FKULWW
P = Ueff Ieff
1 2 7
7
(v ⋅ + (−v ) 2 ⋅
7
4
4
bzw.
Ueff =
3
,
80:
28,3V
2,83 $
|(-î)2 = î2
$XIJDEH
Gegeben sind die komplexen Zahlen Z1 = -3 + 4j und Z2 = 4 · H
⋅ 74 0
.
a. Berechnen Sie die Summe und die Differenz der beiden Zahlen.
=
b. Berechnen Sie das Produkt und den Quotienten ( 1 ) beider Zahlen.
=2
Wählen Sie für Aufgabe 3a und b den jeweils günstigsten Lösungsweg.
=3
) der beiden komplexen Zahlen
=4
Z3 = 7 - 6j und Z4 = 2 + 4j, ohne daß sich Rundungsfehler einschleichen.
c. Bestimmen sie das Produkt und den Quotienten (
/|VXQJ
6FKULWW Die Zahlen müssen entweder einheitlich im Komponentenform oder in polarer
Darstellung vorliegen.
a.
Z1 in die polare Darstellung umwandeln.
Z1 =
52 + ; 2 =
− 32 + 4 2 =
25 = 5
Der Betrag Z1 wird errechnet.
Der Richtungswinkel ϕ wird berechnet.
;
+K
5
δ = arc tan
wobei K = 0
für R > 0 und
K = 180o
für K < 0
K = 180o ist notwendig, weil die komplexe Zahl einen negativen Realteil besitzt und
daher im 2. Quadranten angesiedelt ist. Die trigonometrischen Funktionen zur
Bestimmung von δ beziehen sich auf den negativen Teil der x – Achse, der
Richtungswinkel jedoch auf den positiven Teil.
δ = arc tan
Z1 = 5 * H
b.
4
+ 180o = -53.13o + 180o = 126.87o
−3
(126.870 )
Z2 in Komponentendarstellung umwandeln.
Imaginärteil:
X = Z * sin(δ) = 4 * sin(74o) = 4 * 0.96 = 3,84
Realteil:
R = Z * cos(δ) = 4 * cos(74o) = 4 * 0.28 = 1,12
Z2 = 1,12 + 3,84 j
6FKULWW Addition und Subtraktion werden in Komponentenform durchgeführt.
Za = Z1 + Z2 = -3 + 4j + 1,12 + 3,84 j = -1,88 + 7,84 j
Zb = Z1 - Z2 = -3 + 4j – (1,12 + 3,84 j) = -4,12 + 0,16 j
6FKULWW Multiplikation und Division werden in polarer Darstellung durchgeführt.
Zc = Z1 * Z2 = (5 * H
(126.87 )
) * (4 * H
74
=5*4* H
)
= 20 * H
⋅126,870 5 * e j⋅126,87
5
=
Zd = 1 =
=
*
H
- H
0
=2
4
4 * e j⋅74
0
⋅74
= 20 * H
(126.87+ 74 )
( 200.87 )
( −20.87 )
= 1,25 * H
= 1,25 * H
⋅126.87− ⋅74
⋅52,87
6FKULWW Damit keine Rundungsfehler auftreten, muß die Multiplikation bzw. Division in
Komponentenform durchgeführt werden.
Ze = Z3 * Z4 = (7 - 6j) * ( 2 + 4j) = 14 – 12j + 28j – 24j2
= 14 + 16j + 24
Multiplikation
(da j2 = -1)
= 38 + 16j
Zf =
=3
(7 - 6j)
=
=4
(2 + 4j)
=
(7 - 6j) (2 - 4j)
*
(2 + 4j) (2 − 4j)
Quotient aus den beiden Zahlen
Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl zu
dem Nenner (Z4* = 2 – 4j)
=
14 − 12 M − 28 M + 24 M 2
4 + 8 M − 8 M − 16 M 2
Ausmultiplizieren der Brüche ( j2 = -1)
=
− 10 − 40 M
= –0.5 – 2j
4 + 16
Kürzungen und Ergebnis
= ±±M
$XIJDEH
Gegeben ist eine Gleichspannungsquelle mit U = 12 V in unbelastetem Zustand. Wird die
Spannungsquelle mit einem Widerstand von 100 R belastet, sinkt die Spannung auf 8 V. Wie
groß ist der Innenwiderstand der Spannungsquelle?
/|VXQJ
Im belasteten Zustand ergibt sich folgender Schaltplan:
Ri
U0
Ri und RB ergeben einen Spannungsteiler, für den gilt:
8!
5
=
5
8! (1)
Gleichzeitig gilt (Kirchhoff 2):
URi + URB = U0 bzw. URi = U0 - URB
Wird (2) in (1) eingesetzt ergibt sich:
80 −8#
5
=
5
8# "
"
bzw.
Ri = RB
(2)
80 −8#
Werden die Werte eingesetzt, erhält man
Ri = 100R
12 − 89
= 5
89
8#
"
"
RB