Leseprobe - STARK Verlag

2 r Felder
1
Der Begriff „Feld“
1.1 Historisches
Abb. 1 a: Michael Faraday
führte als Erster Feldlinien
ein, um elektrische und
magnetische Phänomene
zu beschreiben.
Abb. 1 b: James Clerk
Maxwell war fasziniert von
Faradays gründlichen Beobachtungen und entwickelte eine dazu passende
mathematische Beschreibung.
Eine grundlegend neue Idee zur Beschreibung physikalischer Phänomene war das Konzept des Feldes. Begründet wurde der Feldbegriff von
Michael Faraday (1791 –1867, Abb. 1 a), der ihn benutzte, um die Ergebnisse seiner Experimente zur Elektrizität und zum Magnetismus zu
beschreiben. Faraday, der von Humphry Davy (1778 –1829) als Chemiker ausgebildet wurde, besaß nur wenige mathematische Kenntnisse
und suchte daher nach einer anschaulichen, nicht-mathematischen Beschreibung seiner Versuchsergebnisse. Dazu führte er die heute häufig
verwendeten Feldlinien ein.
Der Schotte James Clerk Maxwell (1831–1879, Abb. 1 b) war eine große mathematische Begabung und interessierte sich sehr für Faradays
Untersuchungen zur Elektrizität, die dieser in einer Reihe von Artikeln
unter dem Titel „Experimental Researches in Electricity“ veröffentlicht
hatte. Es gelang ihm, nicht nur Faradays Feldlinien, sondern auch dessen experimentelle Ergebnisse mathematisch abstrakt zu beschreiben,
wobei er sich stark von Analogien zwischen den Feldlinien und Strömungen von Flüssigkeiten leiten ließ. Wir kennen diese Beschreibung
heute als die vier Maxwell’schen Gleichungen, die in der klassischen
Physik immer noch die Grundlage für die Beschreibung elektromagnetischer Felder darstellen. Es dauerte allerdings noch einige Zeit, bis
der Feldbegriff als adäquate Beschreibung für elektromagnetische
Phänomene bei den Physikern akzeptiert wurde. Dabei konnte Maxwell
seine Überlegungen damals schon so weit ausbauen, dass sie ihn zur
Vermutung führten, dass Licht als elektromagnetische Welle zu beschreiben sei.
Der Feldbegriff wurde später auch auf die Beschreibung der Gravitation übertragen und in zunehmendem Maße verallgemeinert. Heute
sieht man Felder als eigenständige physikalische Objekte an, die durch
entsprechende Eigenschaften (physikalische Größen) charakterisiert
werden. So ordnet man Feldern heute u. a. Energie und Impuls zu.
1.2 Grundlagen
Im mathematischen Sinne bezeichnet man als Feld eine Funktion, die
jedem Punkt des dreidimensionalen (oder bei Bedarf auch nur zweidimensionalen) Raumes eine Größe zuordnet. Im einfachsten Fall wird
jedem Raumpunkt ein Zahlenwert zugeordnet; ein Beispiel dafür sind
Felder r 3
z. B. die Angaben für Luftdruck und Lufttemperatur auf einer Wetterkarte (Abb. 2). Man spricht in diesem Fall von einem Skalarfeld. Häufig werden in Skalarfeldern Punkte mit gleichen Zahlenwerten durch
Linien verbunden (Isolinien von griech. `ίσος: gleich).
Abb. 2: Die Angaben von
Lufttemperatur und Luftdruck auf einer Wetterkarte
stellen mathematisch gesehen ein Skalarfeld dar.
Jedem Punkt auf der Karte
wird ein entsprechender
Zahlenwert (Skalar) zugeordnet. Punkte mit gleichen
Werten werden häufig
durch Linien verbunden,
hier z. B. durch Linien gleichen Luftdrucks, die Isobaren.
Abb. 2
Abb. 3
Etwas aufwendiger ist die Beschreibung bei Vektorfeldern. Hier wird
jedem Punkt eine gerichtete Größe, ein (Feld-)Vektor zugeordnet.
Dieser wird durch seine Richtung und seinen Betrag charakterisiert.
Auch hier kann die Wetterkarte als Beispiel dienen, wenn man jedem
Punkt der Erdoberfläche die momentane Windgeschwindigkeit mit
Betrag und Richtung zuordnet (Abb. 3). Häufig verwendet man bei
Vektorfeldern Feldlinien zur Beschreibung. Feldlinien werden so angelegt, dass an jedem Punkt des Feldes der entsprechende Vektor tangential zur Feldlinie verläuft.
Hier in der Wetterkarte wurde der Betrag des Vektors über die Anzahl
der Federn an dem Windpfeil dargestellt, damit die Darstellung trotz
vieler eingetragener Werte übersichtlich bleibt. Häufiger verwendet
man in der Physik (wie auch in der Mathematik) zur Darstellung von
Vektoren Pfeile, deren Länge ein Maß für den Betrag des Vektors ist.
Das wohl bekannteste Beispiel hierfür dürften die Kraftpfeile sein,
deren Länge den Betrag der Kraft darstellt und deren Richtung mit der
Richtung der Kraft übereinstimmt. Zahlentechnisch stellt man Vektoren
durch Zahlentupel dar, z. B. im dreidimensionalen Fall durch ein Zah
lentripel wie etwa x = (3 − 2 4), für die man entsprechende Rechenregeln aufstellt.
Die Überlagerung von Skalarfeldern lässt sich auf einfache Weise
durchführen: Man muss nur die entsprechenden Zahlenwerte für jeden
Ortspunkt addieren. Ordnet man z. B. jedem Punkt der Erdoberfläche
die in einem Monat gefallene Regenmenge in mm Wasserhöhe zu, so
Abb. 3: Die kurzen Linien
mit den „Fähnchen“ (Windpfeile) geben die Windrichtung und die Windstärke
an. Sie stellen ein Beispiel
eines Vektorfeldes dar.
Zieht man eine Linie so,
dass die Windpfeile stets
tangential zu ihr verlaufen,
erhält man eine Feldlinie
(hier farbig gezeichnet).