B - Uni Mainz

Methoden der
Psychologie
Prof. Dr. G. Meinhardt
2. Stock, Nordflügel
R. 02-429 (Persike)
R. 02-431 (Meinhardt)
Forschungsstatistik I
Sprechstunde jederzeit
nach Vereinbarung
Dr. Malte Persike
} [email protected]
WS 2008/2009
Fachbereich Sozialwissenschaften
Psychologisches Institut
Johannes Gutenberg Universität Mainz
Methoden der
Psychologie
Probleme der
Laplace-Wk
Wk Definition
Kolmogoroff
Kolmogoroff-Wk
Bedingte Wk
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P( A ∩ B)
P ( B | A) =
P ( A)
Ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, gegeben dass
das Ereignis A bereits eingetreten ist (lies: „B gegeben A“).
Bedingte Wk
Satz von
Bayes
Die Wahrscheinlichkeit P(A) wird
als Grundwahrscheinlichkeit
bezeichnet.
P(B | A) wird bedingte
Wahrscheinlichkeit genannt.
A A∩B B
Im Venn Diagramm kann P(B | A) als Anteil der Fläche
A ∩ B nicht mehr am gesamten Stichprobenraum S,
sondern nur noch an der Fläche A interpretiert werden.
S
Methoden der
Psychologie
Probleme der
Laplace-Wk
Kolmogoroff-Wk
Bedingte Wk
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Im Laplace Ansatz
Es seien
Wk Definition
Kolmogoroff
– a die für das Ereignis A günstigen Elementarereignisse
– b die für das Ereignis B günstigen Elementarereignisse
– c die für das Ereignis AB (bzw. A ∩ B) günstigen El.e.
Bedingte Wk
– n die Menge aller Elementarereignisse.
Dann ist zunächst
Satz von
Bayes
P(A) = a / n
P(B) = b / n
P(AB) = c / n
Aus dem Venn Diagramm sieht man auch:
P(B | A) = c / a
Durch n/n teilen ergibt
c
P( A ∩ B)
n
P ( B | A) =
=
a
P ( A)
n
Methoden der
Psychologie
Probleme der
Laplace-Wk
Kolmogoroff-Wk
Bedingte Wk
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Im Kolmogoroff Ansatz
Wk Definition
Kolmogoroff
In der axiomatischen Definition der Wahrscheinlichkeit kann
die Berechnungsvorschrift für bedingte Wahrscheinlichkeiten
nicht bewiesen werden.
Bedingte Wk
Deshalb muss die bedingte Wahrscheinlichkeit hier definiert
werden:
Satz von
Bayes
! P( A ∩ B)
P ( B | A) =
P ( A)
Methoden der
Psychologie
Probleme der
Laplace-Wk
Kolmogoroff-Wk
Bedingte Wk
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Das Multiplikationstheorem
Man sieht sofort dass gilt:
Wk Definition
Kolmogoroff
Bedingte Wk
P(A ∩ B) = P(B ∩ A)
Damit erhalten wir durch Umformen
P ( B | A) =
Satz von
Bayes
P( A ∩ B)
P ( A)
⇔ P ( A ∩ B ) = P( B | A) ⋅ P( A)
P( A | B) =
P( A ∩ B)
P( B)
⇔ P( A ∩ B) = P( A | B) ⋅ P( B)
Multiplikationstheorem
Methoden der
Psychologie
Kolmogoroff-Wk
Wahrscheinlichkeitsbäume
Probleme der
Laplace-Wk
Additions- und Multiplikationstheorem für bedingte
Wahrscheinlichkeiten lassen sich gut an einem
Wahrscheinlichkeitsbaum veranschaulichen.
Wk Definition
Kolmogoroff
Ereignis B,
gegeben A
Ereignis A
P(B1|A1)
Bedingte Wk
A1
P(B2|A1)
P(A1)
Satz von
Bayes
Bedingte Wk
P(B1|A2)
S
P(A1)
A2
B1
B2
B1
P(B1|A1)P(A1)
P(B2|A1)P(A1)
P(B1|A2)P(A2)
B2 P(B |A )P(A )
2 2
2
P(A1)
A3
Man sieht
auch:
P(A1B1∪A2B1 ∪A3B1)=
P(B2|A2)
P(B1|A3)
Multiplikationstheorem für Wk‘ten
B1
P(B1|A3)P(A3)
P(B2|A3)
B2
P(B2|A3)P(A3)
P(B1|A1)P(A1)+
P(B1|A2)P(A2)+
P(B1|A3)P(A3)
Methoden der
Psychologie
Probleme der
Laplace-Wk
Wk Definition
Kolmogoroff
Bedingte Wk
Kolmogoroff-Wk
Bedingte Wk
Satz der totalen
Wahrscheinlichkeit
Wenn die Ereignisse B1, B2, … Bk paarweise disjunkt sind und
das Ereignis A immer mit einem der Bi auftritt, gilt
A = AB1 ∪ AB2 ∪ … ∪ ABk
Mit dem Additionsthorem erhalten wir
k
Satz von
Bayes
P ( A) = ∑ P( ABi )
i =1
Bk
…
S
B1 B2
… …
…
…
A
Und mit dem Multiplikationssatz wird daraus
k
P ( A) = ∑ P( Bi ) P( A | Bi )
i =1
Satz der totalen
Wahrscheinlichkeit
Methoden der
Psychologie
Probleme der
Laplace-Wk
Kolmogoroff-Wk
Bedingte Wk
Satz von Bayes
Wir sehen anhand des Multiplikationstheorems, dass
P(B | A) P(A) = P(A | B) P(B)
Wk Definition
Kolmogoroff
Damit gilt
Bedingte Wk
Satz von
Bayes
P( B | A) =
P( A | B) P( B)
P ( A)
bzw.
P( A | B) =
P( B | A) P( A)
P( B)
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
gegeben B ist zu berechnen aus der Wahrscheinlichkeit
für B gegeben A und den Grundwahrscheinlichkeiten von
A und B.
Diese Beziehung ist der Satz von Bayes.
Methoden der
Psychologie
Probleme der
Laplace-Wk
Wk Definition
Kolmogoroff
Kolmogoroff-Wk
Bedingte Wk
Satz von Bayes
Verallgemeinerung
Hat man mehrere Ereignisse B1, B2, …, Bk wird beim Satz
von Bayes
P( A | Bi ) P( Bi )
P ( Bi | A) =
P ( A)
Bedingte Wk
vorausgesetzt, dass die Grundwahrscheinlichkeit für A
bekannt ist. Häufig kennt man aber nur die P(A|Bi).
Satz von
Bayes
Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man
aus dem Satz von Bayes diese allgemeine Bayes-Formel:
P( A | Bi ) P( Bi )
P ( Bi | A) =
∑ P( A | Bi ) P( Bi )
i