¨Ubungen zur Einf¨uhrung in die Astronomie und Astrophysik II

Übungen zur Einführung in die Astronomie und Astrophysik II
Aufgabenblatt 4, 22. Nov. 2007
Aufgabe 7
Der Supernova-Überrest des Crab Nebula besitzt
heute eine Ausdehnung von 4 × 2 Bogenminuten (nebenstehende Abbildung). Seine Entfernung beträgt ungefähr 2 kpc. Die heutige maximale Expansionsgeschwindigkeit ist ungefähr 1200
km/s.
(a) Wie groß sind die linearen Abmessungen?
[1 Punkt]
Durchmesser des Crab-Nebels
Der Durchmesser wird direkt aus dem Winkeldurchmesser bestimmt, so daß a = α d, wobei α = 2 (4) arcmin der Winkeldurchmesser und d = 2 kpc die Entfernung ist. Damit ergeben sich die linearen Durchmesser
zu 1.16 × 2.32 pc.
(b) Wann fand die SN-Explosion statt, wenn die heutige Expansion immer unbeschleunigt war?
[1 Punkt]
Zeitpunkt der Explosion
Setzt man die maximale Geschwindigkeit v in Richtung der größeren Ausdehnung an, so gilt für
die unbeschleunigte Expansion 2∆t = a/v. Als Ergebnis erhält man die Zeit seit der Explosion
∆t = 947.9 Jahre, der Ausbruch geschah danach also um 1059. Das stimmt recht gut mit der
tatsächlichen Ausbruchszeit (1054) überein.
(c) Berechnen Sie die maximale scheinbare Helligkeit beim SN-Ausbruch des Crab unter der Voraussetzung, daß die Leuchtkraft der Supernova für Typ II Supernovae charakteristisch war. Vergleichen Sie diesen Wert mit der maximalen Helligkeit des Planeten Venus. [1 Punkt]
Ausbruchs-Helligkeit der Crab-Supernova
Die typische absolute Helligkeit einer Typ II Supernova ist Mbol −18. Bei der Entfernung
von d = 2000 pc entspricht das einer scheinbaren Helligkeit (ohne bolometrische Korrektur) von
m = −18 + 5 log(d/10), also m = −6.49 mag. Die Supernova war damit ungefähr 10mal heller
(–2.5 mag) als der Planet Venus (m ≥ −4) und damit sogar bei Tage sichtbar.
Aufgabe 8
56
Beim Zerfall von 56
27 Co zu 26 Fe werden 3.72 MeV frei. Nehmen Sie an, daß in der SN 1987A
∼ 0.075M Kobalt produziert wurden.
(a) Wie groß war die pro Sekunde abgegebene Energie der Supernova direkt nach der Explosion
bzw. nach einem Jahr bei einer Halbwertszeit von τ1/2 = 77.7 Tagen? Vergleichen Sie Ihre Werte
mit der Abb. 271 im Vorlesungsmanuskript.
[2 Punkte]
Strahlungsleistung (Leuchtkraft) der Supernova SN 1987A
Die insgesamt als 56
27 Co abgegebene Masse beträgt MCo = 0.075M . Mit einer Teilchenmasse
vom µCo = 56 a.m.u. = 9.299 10−23 g entspricht dies einer gesamten Zahl von 56
27 Co-Kernen von
NCo = MCo /µCo . Jeder Kern gibt beim Zerfall eγ = 3.72 MeV ab, so daß insgesamt eine Energie
von Eγ = NCo eγ MeV freigesetzt wird, wobei 1 MeV = 1.602 10−6 erg ist.
Die pro Zeiteinheit abgegebene Energie ergibt sich durch Differentiation der Zerfallsgleichung,
dN
= −NCo λ exp(−λt) ,
dt
wobei τ = 77.7 Tage die Halbwertszeit und λ = ln 2/τ die Zerfallskonstante ist.
Damit ist die pro Sekunde abgegebene Energie gegeben durch
dN eγ = −NCo λeγ exp(−λt) dt
.
Umwandlung aller Größen ins cgs-System ergibt dEγ /dt = 9.871 1041 erg/s direkt beim Ausbruch
und dEγ /dt = 3.796 1040 erg/s nach einem Jahr.
Der zweite Wert stimmt sehr gut mit den Beobachtungen überein. Der Wert unmittelbar nach dem
Ausbruch ist insofern nicht signifikant, als zu diesem Zeitpunkt noch kaum Co-Kerne existierten.
(b) Die SN 1987A explodierte in der Großen Magellanschen Wolke (Entfernung 51.4 kpc) und
emittierte zusätzlich einen Neutrinofluß von 1.3 1010 cm−2 (gemessen auf der Erde) mit einer mittleren Energie von 4.2 MeV. Welche Energie wurde insgesamt durch Neutrinos freigesetzt? Vergleichen Sie den Wert mit der kinetischen Energie (∼ 15M mit ∼ 2000 km/s) und mit der gesamten
Strahlungsenergie. [3 Punkte]
Verteilung der SN-Energien
Bei dem angegebenen Neutrinofluß und einer Entfernung von d1987A = 51.4 kpc = 1.586 1023
cm rechnet man die Gesamtzahl der Neutrinos hoch auf Nν = 1.3 1010 4πd21987A = 4.108 1057
Neutrinos. Jedes Neutrino trägt die mittlere Energie eν = 4.2 MeV = 6.728 10−6 erg, die insgesamt
durch die Neutrinos transportierte Energie ist damit
Eν = Nν eν = 2.764 1052 erg
.
Zum Vergleich: die kinetische Energie beträgt
1
Ekin = M v 2 = 5.967 1050 erg
2
und die Strahlungsenergie
Eγ = NCo eγ = 9.560 1048 erg
,
.
Damit ist die durch Neutrinos abtransportierte Energie absolut dominant, während der Strahlungsausbruch trotz aller spektakulären Umstände nur nebensächlich ist.
(c) Für wie viele Sonnen würde das so produzierte Eisen ausreichen, wenn man die Eisenhäufigkeit der Sonne mit log εFe = 7.5 (Wasserstoff = 12.0, Helium = 11.0) ansetzt und alle weiteren
Elemente vernachlässigt? (Achtung: Teilchenzahl-Häufigkeiten!) [2 Punkte]
Anreicherung des interstellaren Mediums mit Eisen
Zunächst gilt es, die solaren Elementhäufigkeiten für H, He und Fe in entsprechende Massenbruchteile zu transformieren. Das geschieht, indem man die Teilchenzahlen mit den jeweiligen Kernmassen multipliziert und anschließend durch die Gesamtsumme der Massenbruchteile dividiert. So
erhält man den Massenbruchteil für Wasserstoff, X = 0.713383, für Helium, Y = 0.285353 und
schließlich für Eisen, Z = 0.001263. In dieser Näherung1 bedeutet es, daß mFe = 0.001263M
der Sonne in Form von Eisen (Metallen) vorliegen.
Die Anzahl der damit anzureichernden Sterne wird sofort durch N = MCo /mFe = 59 berechnet.
1
Eigentlich müßte man natürlich die Häufigkeiten aller Elemente berücksichtigen. Damit würde der Massenbruchteil des Eisens noch weiter verringert.