Einführung in die theoretische Astrophysik

Einführung in die theoretische Astrophysik - Hausaufgaben
Prof. Dr. Julia Tjus
Übungen: Björn Eichmann, Tim Höhne (NB 7/167)
Übungsblatt VI
WS 16/17
Abgabe: 02.02.2017
Aufgabe 1: Neutrinos von SN 1987A [20 Punkte]
Bei der Supernova Explosion vom Typ II im Jahr 1987, die als SN 1987A bezeichnet wird, sind das erste
- und bislang auch einzige - Mal Neutrinos von einer Supernova gemessen worden. In diesen Explosionen
werden Neutrinos durch sogenannte Deleptonisierung erzeugt:
p e − → n νe .
Supernova vom Typ II laufen wie folgt ab: Der Kollaps des Sterns - im Fall von SN 1987A handelt es sich um
einen blauen Überriesen mit der Masse M = 20 M - ist gravitativ bedingt. Währenddessen läuft im Kern des
Objekts die im oberen Prozess beschriebene Deleptonisierung ab. Ab einem bestimmten Zeitpunkt ist der
Kern so dicht, dass auch Neutrinos nicht mehr ungehindert entkommen können. Es stellt sich ein thermisches
Gleichgewicht zwischen den im Kern vorhandenen Neutronen, Elektronen, Protonen und Neutrinos ein
und der Kollaps läuft nun adiabatisch ab. Sobald die kritische Dichte erreicht ist, bei welcher die Materie
(aufgrund des Pauli-Prinzips für Neutronen) nicht weiter komprimiert werden kann, schwingt das Material
zurück. Dabei kommt es zur Ausbildung einer Schockfront zwischen ein- und ausfließendem Material. Diese
dringt durch die äußere Hülle des Sterns und die eigentliche Explosion wird beobachtet. Im Kern bleibt ein
Neutronenstern mit einer Masse Mn∗ und einem Radius Rn∗ .
(a) Berechnen Sie die in der Supernova insgesamt freigesetzte Energie Eges für den Fall, dass Mn∗ =
1, 4 M und Rn∗ = 30 km. (Hinweis: Nehmen Sie dabei an, dass der Radius des Vorgängersystems viel
größer als der des Neutronensterns ist.)
(b) Schätzen Sie für eine mittlere Neutrinoenergie von hEi = 10 MeV die zu erwartende Anzahl an Neutrinos bei vollständiger Deleptonisierung ab.
Die Neutrinos von SN 1987A wurden von den Experimenten KamLAND und Kamiokande beobachtet. Dabei wurden die Neutrino allerdings nicht direkt, sondern über das Cherenkovlicht eines neutrinoinduzierten
Teilchens (z.B. Elektron) in Wasser mit Hilfe von Photomultipliern gemessen. Wie aus der Vorlesung bekannt, entsteht Cherenkovlicht, wenn sich ein geladenes Teilchen mit der Geschwindigkeit β = v/c > 1/n
fortbewegt. Hier ist n der Brechungsindex des Mediums. Es bildet sich ein sogenannter Cherenkovkegel aus
Licht hinter dem Teilchen aus. Die Anzahl N der erzeugten Photonen pro Strecke x und Wellenlänge λ ist
dabei gegeben durch
d2 N
1
2π Z 2 α
1− 2 2 .
(1)
=
dx dλ
λ2
β n
Hier bezeichnet Z die Ladung des Teilchens und α ist die Feinstrukturkonstante. Im Folgenden betrachten
wir den Wellenlängenbereich 300 nm < λ < 700 nm, in dem Photomultiplier typischerweise sensitiv sind. In
diesem Bereich kann der Brechungsindex als konstant angenommen werden, so dass n = 1, 33 für Wasser.
(c) Bestimmen Sie den Öffnungswinkel des Cherenkovkegels in Abhängigkeit der Geschwindigkeit des
Teilchens.
(d) Berechnen Sie die Gesamtzahl dN/dx der detektierbaren Photonen pro Wegelement für ein relativistisches Teilchen der Ladung Z = 1. Schätzen Sie damit die abgestrahlte, mittlere Energie pro Wegstreckenelement ab.
(e) SN 1987A befindet sich in einem Abstand von 51 kpc zur Erde. Bestimmen Sie, wie viele Neutrinoereignisse von Kamiokande theoretisch beobachtbar waren, wenn Sie eine effektive Detektorfläche von
500 m2 und eine konstante Nachweiswahrcheinlichkeit von 10−16 annehmen. Benutzen Sie hierfür
die Ergebnisse aus Aufgabenteil (b) und vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der tatsächlich beobachteten Anzahl von 11 Ereignissen.
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Einführung in die theoretische Astrophysik - Hausaufgaben
Prof. Dr. Julia Tjus
Übungen: Björn Eichmann, Tim Höhne (NB 7/167)
Übungsblatt VI
WS 16/17
Abgabe: 02.02.2017
Aufgabe 2: Das Eddington-Limit [10 Punkte]
Die maximale Leuchtkraft, welche von einem stabilen, astrophysikalischen Objekt (z.B. ein AGN) durch
die Akkretion von Materie abgestrahlt werden kann, bezeichnet man als Eddington-Leuchtkraft Ledd . Sie
ist gegeben wenn die komplette auf ein Proton ausgeübte Gravitationskraft in akkretionsinduzierte Strahlungsleistung umgewandelt wird. Die von der Strahlung ausgehende Kraft ist gegeben durch Fs = ρe σT ,
wobei die Energiedichte ρe = φe /c durch den Teilchenfluss φ bestimmt wird und der Wirkungsquerschnitt
bei einem ionisierten neutralen Gas durch den Thomsonwirkungsquerschnitt σT dominiert wird.
(a) Bestimmen Sie die Eddington-Leuchtkraft in Abhängigkeit der Masse M des akkretierenden Objekts.
(b) Geben Sie anschließend die Eddington Leuchtkraft eines AGN der Masse 109 M an.
(c) Berechnen Sie die maximale Akkretionsrate Ṁ für den Fall, dass Ruhemasse mit einer Effizienz von
10% in Strahlung umgewandelt wird. Über welchen Zeitraum wurde das supermassive Schwarze Loch
eines AGN von 109 M ’gefüttert’, wenn das Objekt in der gesamten Zeit die Eddington-Leuchtkraft
besaß? Vergleichen Sie mit dem Alter der Muttergalaxie!
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