7 Quanteneigenschaften von Licht

7 Quanteneigenschaften von Licht
7.1 Schwarzkörperstrahlung
Ein schwarzer Körper ist ein ideales Material, das Strahlung bei allen Frequenzen ν vollständig absorbiert (Absorptionsgrad A(ν) = 1). Eine kleine Öffnung in einem Hohlraum
stellt eine gute Approximation eines schwarzen Körpers dar.
Abbildung 7.1: Hohlraumstrahler (Nachbau) bei der PTB.
Experiment: Hohlraumstrahler - Platinröhrchen.
7.1.1 Rayleigh-Jeans’sches Strahlungsgesetz
Im Folgenden wollen wir die von einem schwarzen Körper der Temperatur T emittierte
Strahlung untersuchen. Hierzu verwenden wir zunächst ein klassisches Modell. Wir werden
sehen, dass sich bei diesem Modell drastische Abweichungen von den experimentellen
Befunden ergeben.
7-1
7 Quanteneigenschaften von Licht
Wir gehen von einem kubischen Hohlraum mit Seitenlänge l in einem Metallblock aus.
Die elektromagnetischen Eigenschwingungen des Hohlraums (die sogenannten Moden)
sind stehende Wellen, die an den Wänden die folgenden Randbedingungen erfüllen:
en × E = 0,
en · B = 0.
(7.1.1)
(7.1.2)
Hierbei ist en ein Normalenvektor zu einer der Wände.
Wir wählen den folgenden Ansatz für das elektrische Feld einer Mode:
Eks (r, t) = [Ekx asx (k) êx + Eky asy (k) êy + Ekz asz (k) êz ] e−ıωt
(7.1.3)
Ekx = cos(kx x) sin(ky y) sin(kz z),
Eky = sin(kx x) cos(ky y) sin(kz z),
Ekz = sin(kx x) sin(ky y) cos(kz z).
(7.1.4)
(7.1.5)
(7.1.6)
mit
Die Randbedingungen lassen sich mit diesem Ansatz nur erfüllen, falls für den Wellenvektor gilt:
k = (kx , ky , kz ) =
πnx πny πnz
,
,
,
l
l
l
(7.1.7)
wobei nx , ny und nz positive ganze Zahlen sind. Die zugehörigen Frequenzen sind gegeben
durch:
c|k|
c
νk =
=
2π
2π
s
πnx
l
2
πny
+
l
2
πnz
+
l
2
.
(7.1.8)
Weiterhin steht der Polarisationseinheitsvektor âs senkrecht auf dem Wellenvektor k:
âs · k = 0.
(7.1.9)
Als nächstes wollen wir die Anzahl der Moden dN(ν) mit einer Frequenz im Intervall
[ν, ν +dν] bestimmen. Hierzu summieren wir zunächst über alle erlaubten Wellenvektoren,
deren Betrag im Intervall [2πν/c, 2π(ν + dν)/c] liegt:
dN(k) = 2
X
|k|∈[2πν/c,2π(ν+dν)/c]
7-2
.
(7.1.10)
7.1 Schwarzkörperstrahlung
Der Faktor 2 berücksichtigt die beiden zueinander orthogonalen Polarisationszustände pro
Wellenvektor.
Wir nehmen im Folgenden an, dass die Seitenlänge l wesentlich größer als die Wellenlänge
λ ist. In diesem Fall können wir die Summe durch ein Integral ersetzen:
X
dN(k) = 2
|k|∈[2πν/c,2π(ν+dν)/c]
=
2
(∆k)3
X
|k|∈[2πν/c,2π(ν+dν)/c]
(∆k)3 →
2
(∆k)3
Z
2π(ν+dν)/c
2πν/c
dk.
(7.1.11)
Aufgrund von Gleichung (7.1.7) gilt:
(∆k)3 =
3
π
l
(7.1.12)
.
Als nächstes führen wir die Integration in Kugelkoordinaten durch und erhalten
dN(k) = 2
l3 4πk 2 dk
.
π3
8
(7.1.13)
Hierbei berücksichtigt der Faktor 1/8, dass nur Wellenvektoren mit positiven nx , ny und
nz erlaubt sind. Mit ν = (c/2π)k erhalten wir schließlich die elektromagnetische Zustandsdichte eines großen Hohlraums:
Dγ (ν) =
1 dN
8πν 2
= 3 .
V dν
c
(7.1.14)
Im Rayleigh-Jeans’schen Modell werden die elektromagnetischen Eigenschwingungen des
Hohlraums wie klassische harmonische Oszillatoren behandelt, denen im thermischen
Gleichgewicht die mittlere Energie W (ν, T ) = kB T zugeordnet wird. Hierbei ist kB die
Boltzmann-Konstante. Die Energiedichte der Hohlraumstrahlung im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν ist damit:
u(ν, T )dν = Dγ (ν)W (ν, T )dν =
8πν 2
kB T dν.
c3
(7.1.15)
Nach diesem Rayleigh-Jeans’schen Strahlungsgesetz sollte die Energiedichte quadratisch
mit der Frequenz ν anwachsen, d.h.,die integrierte Energiedichte würde divergieren ⇒
Ultraviolett-Katastrophe!
7.1.2 Plancksches Strahlungsgesetz
Im Rahmen des Planckschen Modells der Schwarzkörperstrahlung wird angenommen, dass
die Energie einer Mode nur um vielfaches des Energiequantums hν ansteigen kann. Hierbei
ist ν die Frequenz der Mode und h = 6.6260693·10−34 Js das Planksche Wirkungsquantum.
7-3
7 Quanteneigenschaften von Licht
Die kleinstmöglichen Energiequanten hν der Moden des elektromagnetischen Feldes heißen
Photonen. Eine Mode der Frequenz ν mit n Photonen besitzt somit die Energie
Wν = nhν.
(7.1.16)
Im thermischen Gleichgewicht ist die Wahrscheinlichkeit p(W ) dass eine Mode mit n
Photonen besetzt ist gegeben durch
e−nhν/(kB T )
p(W ) = P
.
∞
e−nhν/(kB T )
(7.1.17)
n=0
Offensichtlich gilt
∞
X
p(nhν) = 1.
(7.1.18)
n=0
Die mittlere Energie pro Eigenschwingung folgt aus
W (ν, T ) =
=
∞
X
n=0
∞
P
p(nhν) n hν
n hν e−nhν/(kB T )
n=0
∞
P
n=0
(7.1.19)
.
e−n hν/(kB T )
Wir betrachten zunächst den Zähler von Gleichung (7.1.19). Mit der Abkürzung β =
1/(kB T ) finden wir
∞
X
−nhνβ
n hν e
n=0
∞
∂ X
= −
e−nhνβ
∂β n=0
∂
1
= −
∂β 1 − e−hνβ
hνe−hνβ
=
.
(1 − e−hνβ )2
!
(7.1.20)
Für den Nenner von Gleichung (7.1.19) gilt:
∞
X
n=0
7-4
e−nhνβ =
1
.
1 − e−hνβ
(7.1.21)
7.1 Schwarzkörperstrahlung
Einsetzen liefert die mittlere Energie pro Eigenschwingung
hν
W (ν, T ) =
ehν/(kB T ) − 1
(7.1.22)
.
Mit
u(ν, T )dν = Dγ (ν)W (ν, T )dν
(7.1.23)
erhalten wir das Plancksche Strahlungsgesetz:
u(ν, T ) =
8πh
ν3
hν
c3 e kB T − 1
(7.1.24)
-15
1.6
x 10
T=5800 K
T=3000 K
T=2700 K
Plancksche Energiedichte (J s m-3 )
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
-1
Frequenz (s )
10
12
14
x 10
Abbildung 7.2: Graphische Darstellung des Planckschen Strahlungsgesetzes für drei verschiedene
Schwarzkörpertemperaturen.
Die Photonenergie hνm der maximalen Energiedichte ist durch das Wiensche Verschiebungsgesetz gegeben:
hνm = 2.82kB T .
(7.1.25)
7-5
7 Quanteneigenschaften von Licht
7.1.3 Lambert-Strahler und Stefan-Boltzmann-Gesetz
Die Strahlung im Hohlraum ist isotrop ⇒ Energiestromdichte pro Raumwinkel dΩ und
Frequenzintervall dν:
c ek
u(ν, T )
4π
jdΩ (ν, T ) =
(7.1.26)
Leistung, die im Frequenzintervall [ν, ν + dν] durch ein Flächenelement dA = eA dA der
Öffnung in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt wird:
dPdΩ (ν, T ) = jdΩ (ν, T ) · eA dA dΩ dν = jdΩ (ν, T ) cos(θ) dA dΩ dν.
(7.1.27)
Hierbei ist θ der Winkel zwischen der Flächennormalen eA und der Ausbreitungsrichtung
der Strahlung ek .
Die Öffnung zeigt die Charakteristik eines Lambert-Strahlers:
θ=0
dPdΩ (ν, T ) = dPdΩ
(ν, T ) cos(θ).
(7.1.28)
θ=0
Hierbei ist dPdΩ
(ν, T ) die Leistung, die in Vorwärtsrichtung (θ = 0) emittiert wird.
Wir integrieren nun die Energiedichte der Hohlraumstrahlung über alle Frequenzen:
Z∞
U(T ) =
u(ν, T )dν
ν=0
8πh
=
c3
Z∞
ν=0
ν3
Mit der Substitution x =
kB T
h
!4 Z∞
0
hν
e kB T − 1
hν
kB T
x3
dx =
ex − 1
(7.1.29)
dν.
kann das Integral umgeformt werden:
kB T
h
!4
π4
.
15
(7.1.30)
Wir erhalten damit für die integrierte Energiedichte:
U(T ) = aT 4
(7.1.31)
4
8π 5 kB
a=
.
15h3 c3
(7.1.32)
mit
7-6
7.1 Schwarzkörperstrahlung
Somit wird die Gesamtleistung
dPdΩ (T ) =
c ek
c
U(T ) · eA dA dΩ =
cos(θ) aT 4 dAdΩ.
4π
4π
(7.1.33)
durch das Flächenelement dA der Öffnung in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt.
Wir integrieren nun noch über den Halbraum und die Öffnung (Gesamtfläche A):
P (T ) =
Z Z
c
cos(θ) aT 4 dAdΩ
4π
c
= A aT 4
4π
π/2 Z2π
Z
cos(θ) sin(θ)dθdϕ
θ=0 ϕ=0
c
= A aT 4 2π.
4π
(7.1.34)
Durch Zusammenfassen der Konstanten erhalten wir die Stefan-Boltzmann’sche Strahlungsformel:
P (T ) = AσT 4
(7.1.35)
mit der Stefan-Boltzmann-Konstante
σ=
4
2π 5 kB
= 5.67 · 10−8 W m−2 K−4 .
15c2 h3
(7.1.36)
Experiment: Hohlraumstrahler - Stefan-Boltzmann’sche Strahlungsformel.
7.1.4 Kirchhoffsches Strahlungsgesetz
Im Folgenden betrachten wir einen „grauen“ Strahler mit Reflexionsgrad rg (ν), Transmissionsgrad tg (ν) und Absorptionsgrad ag (ν):
rg (ν) + tg (ν) + ag (ν) = 1.
(7.1.37)
Wir untersuchen nun den Strahlungsaustausch zwischen dem „grauen“ Strahler (Temperatur Tg ) und einem schwarzen Strahler (Temperatur Ts ) in einem Hohlraum (Temperatur
Th ) im Frequenzintervall [ν, ν + dν].
Emittierte Energiestromdichte des schwarzen Strahlers: js,dΩ (ν, Ts ).
7-7
7 Quanteneigenschaften von Licht
Filter [n, n+Dn]
eg(n) js (n,Tg )
rg(n) js(n,Ts)
t g( n) j s( n,T s)
js(n,Ts)
js(n,Th)
tg(n) js(n,Th)
Th
Tg
Ts
Abbildung 7.3: Strahlungsaustausch zwischen einem „grauen“ Strahler (Temperatur Tg ) und
einem schwarzen Strahler (Temperatur Ts ) in einem Hohlraum (Temperatur Th )
im Frequenzintervall [ν, ν + dν]
Emittierte Energiestromdichte des „grauen“ Strahlers: jg,dΩ (ν, Tg ) = eg (ν)js,dΩ (ν, Tg ) mit
dem Emissionsgrad eg (ν).
Der schwarze Strahler empfängt aus der Richtung des „grauen“ Strahlers die Energiestromdichte:
rg (ν)js,dΩ (ν, Ts ) + eg (ν)js,dΩ (ν, Tg ) + tg (ν)js,dΩ (ν, Th ).
(7.1.38)
Im thermischen Gleichgewicht gilt: Tg = Ts = Th .
Der Strahlungsaustausch darf das Temperaturgleichgewicht nicht stören ⇒ Emittierte
Energiestromdichte = absorbierte Energiestromdichte.
Damit:
eg (ν) = 1 − rg (ν) − tg (ν) = ag (ν).
(7.1.39)
Für den „grauen“ Strahler erhalten wir somit das modifizierte Planksche Strahlungsgesetz:
ug (ν, T ) =
7-8
8π h ag (ν)
ν3
.
hν
c3
e kB T − 1
(7.1.40)
7.2 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung
7.2 Emission und Absorption elektromagnetischer
Strahlung
Spontane Emission
Induzierte Absorption
E2
hn = E2-E1
Stimulierte Emission
E2
hn = E2-E1
E1
E2
hn = E2-E1
E1
E1
Abbildung 7.4: Elementare Wechselwirkungsprozesse zwischen einem Zweiniveau-System und
einem Strahlungsfeld.
Wir untersuchen nun die elementaren Wechselwirkungsprozesse zwischen einem Ensemble
von Zweiniveau-Systemen und einem resonantem Strahlungsfeld.
• Zweiniveau-System:
– Energie-Niveaus E1 < E2
– Besetzungszahldichten N1 , N2
• Strahlungsfeld:
– Photonenergie hν = E2 − E1
– Energiedichte u(ν)
Zahl der Übergange 2 → 1 durch spontane Emission:
sp
dN21
= N2 A21 dt.
(7.2.1)
Zahl der Übergange 1 → 2 durch Absorption:
abs
dN12
= N1 u(ν)B12 dt.
(7.2.2)
Zahl der Übergange 2 → 1 durch stimulierte Emission:
stim
dN21
= N2 u(ν)B21 dt.
(7.2.3)
Einsteinkoeffizienten: A21 , B12 , B21 .
7-9
7 Quanteneigenschaften von Licht
Ratengleichungen für Besetzungszahldichten:
dN1
= −N1 u(ν)B12 + N2 u(ν)B21 + N2 A21 .
dt
dN1
dN2
=−
.
dt
dt
(7.2.4)
(7.2.5)
Physikalische Bedeutung: A21 = 1/τsp ist die reziproke Lebensdauer des angeregten Zustands ohne äußeres Feld (u(ν) = 0).
dN2
= −N2 A21 ⇒ N2 (t) = N2 (t = 0)e−A21 t = N2 (t = 0)e−t/τsp .
dt
Betrachte thermisches Gleichgewicht:
dN2
dN1
=−
= 0.
dt
dt
(7.2.6)
(7.2.7)
Die Besetzung der Energieniveaus ist durch die Boltzmann-Verteilung gegeben:
E −E
N2
− 2 1
= e kb T .
N1
(7.2.8)
Die spektrale Energiedichte folgt dem Planckschen Strahlungsgesetz.
Folgende Gleichung muss für alle Temperaturen erfüllt sein:
N2 A21
8πh
g1 hν
ν3
= N2 3
B12 e kb T − B21
hν
c e kB T − 1
g2
!
(7.2.9)
Damit:
B12 = B21
(7.2.10)
und
A21 =
8πhν 3
B21 .
c3
(7.2.11)
Diese Beziehungen gelten allgemein, nicht nur im thermodynamischen Gleichgewicht.
Umformung liefert:
A21
= B21 hν.
8πν 2 /c3
(7.2.12)
Diese Gleichung kann so interpretiert werden, dass die spontante Emissionswahrscheinlichkeit pro Mode gleich der induzierten Emissionswahrscheinlichkeit ist, wenn das Strahlungsfeld im Mittel ein Photon pro Mode enthält.
7-10
7.3 Laser
7.3 Laser
Laser= Light amplification by stimulated emission of radiation.
Der Laser feierte 2010 seinen 50. Geburtstag!
7.3.1 Kleinsignalverstärkung im Resonator
Wir betrachten wieder die Wechselwirkung zwischen einem Ensemble von ZweiniveauSystemen und einem resonantem Strahlungsfeld. Zusätzlich berücksichtigen wir jetzt die
endliche Linienbreite ∆ν der Spektrallinie über eine Linienformfunktion:
Z
0
∞
g(ν)dν = 1
(7.3.1)
mit
1
g(ν0 ) = gmax ; g(ν0 ± ∆ν/2) = gmax
2
(7.3.2)
ν = ν0
Linienformfunktion g(ν)
Resonator-Moden
Δν
Spektrallinie
νR
Frequenz (ν)
Abbildung 7.5: Schematische Darstellung der Linienformfunktion g(ν).
Damit gilt für die Absorption und die stimulierte Emission:
abs
dN12
= N1 u(ν) dν g(ν) B12 dt.
(7.3.3)
ind
dN21
= N2 u(ν) dν g(ν) B21 dt.
(7.3.4)
7-11
7 Quanteneigenschaften von Licht
Die zeitliche Änderung der Photonendichte nγ folgt aus
dnγ
= A21 N2 + u(ν) dν g(ν) B21 (N2 − N1 ) .
dt
Ziel für einen Laser: Zunahme der Photonendichte, also
(7.3.5)
dnγ
dt
> 0.
Wir definieren nun den Besetzungsunterschied:
σ = (N2 − N1 )
(7.3.6)
Die Zunahme der Photonendichte erfodert einen positiven Besetzungsunterschied σ >
0 ⇒ Besetzungsinversion! Dies erfordert eine starke Abweichung vom thermodynamischen
Gleichgewicht.
Weitere Forderung: Kohärente stimulierte Emission soll inkohärente spontante Emission
deutlich überwiegen ⇒ Rückkopplung über optischen Resonator.
Wir nehmen im Folgenden an, dass die Resonatormoden spektral viel schärfer als die
Spektrallinie sind (δνR ≪ ∆ν).
Für die Resonator-Mode mit Resonanzfrequenz νR gilt:
u(ν) dν = u(νR )δνR = hν nγ .
(7.3.7)
Die zeitliche Änderung der Photonendichte in der Resonator-Mode ist gegeben durch:
dnγ
= A21 N2 + (hν nγ ) g(νR ) B21 (N2 − N1 ) .
dt
(7.3.8)
Änderung der Intensität IνR (z) = c hνR nγ beim Durchlaufen des Lasermediums bei Vernachlässigung der spontanen Emission:
dIνR
hνR
= IνR (z)g(νR )
B21 (N2 − N1 ) .
dz
c
(7.3.9)
Mit den Beziehungen zwischen den Einstein-Koeffizienten folgt:
dIνR
= γ(νR )IνR (z)
dz
mit dem Verstärkungsfaktor
γ(νR ) = g(νR )
c2
(N2 − N1 ) .
8πνR2 τsp
γ(ν) wird auch Kleinsignalverstärkung genannt.
7-12
(7.3.10)
(7.3.11)
7.3 Laser
Beispiel: Abschätzung des Verstärkungsfaktors für das Maximum der Emissionslinie eines
Rubinlasers
Rubin (Al2 O3 , dotiert mit Cr3+ )
ν0 = 4.326 · 1014 Hz ⇒ λ = 694.3nm
τsp = 3ms
n=1.78
g(ν0 ) ≈ 1/∆ν = 5 · 10−12 s
(N2 − N1 ) = 5 · 1017 cm− 3 mit Blitzlampe als Pumpquelle.
Damit: γ(ν) = 0.05cm−1
7.3.2 Schwellenbedingung für Laseroszillation
Beschreibe Verluste (Streuung, Absorption, etc) im Lasermedium durch Verlustkonstante
α(ν)
Damit:
IνR (z) = IνR (0) exp [(γ(ν) − α(ν))z] .
(7.3.12)
Betrachte jetzt Lasermedium + Resonator:
• Länge des Laserkristalls: L.
• Reflexionsgrade der Spiegel. R1 und R2 .
L
Lasermedium
R1
R2
Abbildung 7.6: Lasermedium in Fabry-Perot-Resonator.
Nach einem kompletten Umlauf ist die Intensität gegeben durch:
IνR (2L) = IνR (0) exp((γ(ν) − α(ν))2L)R1 R2 .
(7.3.13)
7-13
7 Quanteneigenschaften von Licht
Schwellenbedingung für Lasertätigkeit:
IνR (2L) = Iν (0)
(7.3.14)
Zugehörige Schwellenverstärkung:
γthr (ν) = α(ν) −
1
ln(R1 R2 )
2L
(7.3.15)
Schwellenbedingung für Besetzungsinversion (Schawlow & Townes):
σthr
8πν 2 τsp
1
= 2
α(ν) −
ln(R1 R2 )
c g(ν)
2L
(7.3.16)
7.3.3 Erzeugung der Besetzungsinversion
Problem: Besetzungsinversion für Laserbetrieb nur schwer für 2-Niveau-System erreichbar.
Lösung: 3-Niveau-Laser und 4-Niveau-Laser.
Ziel: Besetzungsinversion zwischen oberen Laser-Niveau |2> und unterem Laser-Niveau
|1>
• Durch Energiezufuhr wird ein Teil der Atome aus dem Grundzustand |0> bzw. |1>
in das Pump-Niveau |3> angeregt.
• Schneller Übergang in das langlebige obere Laserniveau |2>.
• Laserübergang zwischen dem oberen Laser-Niveau |2> und dem unteren LaserNiveau |1>.
• 4-Niveau Laser: schneller Übergang aus dem unteren Laserniveau |1> in den Grundzustand |0>.
Vorteil 4-Niveau Laser: Besetzungsinversion zwischen Laser-Niveaus selbst für fast vollständige Besetzung des Grundzustands möglich ⇒ geringe Pumpleistung nötig.
Beispiele:
• 3-Niveau-Laser: Rubin-Laser, erste Demonstration eines Lasers, T. H. Maiman, Nature 187 493 (1960).
• 4-Niveau-Laser: Nd:YAG-Laser, Emissionswellenlänge λ = 1064 nm.
7-14
7.3 Laser
(a)
(b)
3-Niveau-Laser
4-Niveau-Laser
|3>
τ32
Pumpen
Pumpen
|3>
τ32
|2>
Laser
|2>
Laser
τ21
τ20
τ21
|1>
τ10
|1>
|0>
Abbildung 7.7: Energieniveaus und Raten für (a) idealen 3-Niveau-Laser und (b) idealen 4Niveau-Laser.
7.3.4 Beispiel: Helium-Neon-Laser
Helium
(a)
Neon
21S0
3
Energie
2 S1
2p55s
Stöße
3.39 µm 5
2p 4p
5
2p 4s
0.63µm
5
2p 3p
1.15 µm
2p53s
Elektron-Atom
Anregung
Rekombination
durch Stöße
Grundzustand
(b)
R=100%
R<100%
: Helium
: Neon
Brewster-Fenster
Spannungsquelle
Abbildung 7.8: (a) Schematische Darstellung der Anregungs- und Rekombinationsprozesse beim
HeNe-Laser (b) Schematische Darstellung eines HeNe-Lasers.
• Erste Publikation: A. Javan et al., Phys. Rev. Lett. 6, 106 (1961)
• Gaslaser mit Helium als Pumpgas und Neon als Lasergas.
• Druck in Laserröhre: 100 Pa; Partialdruck Helium/Neon: 10/1.
• Zündspannung: 10-15 kV; Entladungsspannung nach Zündung: 1-2 kV mit 1-30 mA
Strom.
7-15
7 Quanteneigenschaften von Licht
• Pumpmechanismus: Metastabile He-Zustände werden durch Elektronenstöße angeregt; Energieübertrag auf angeregte Neon-Zustände durch Stöße 2. Art.
• Technisch ist vor allem die Laserlinie bei λ = 632.8 nm von Bedeutung: Interferometer, Justage-Laser.
7.4 Äußerer Photoeffekt
Durch Bestrahlung mit kurzwelligem Licht können Elektronen aus einem Halbleiter
oder einem Metall herausgelöst werden. Dieses Phänomen wird äußerer Photoeffekt oder
Hallwachs-Effekt genannt.
Experiment: Äußerer Photoeffekt.
hn
-e U0
Kathode Anode
Wa
- +
U>0
hng
hn
I
Abbildung 7.9: Experiment zum Nachweis des äußeren Photoeffekts.
Der in Abbildung 7.9 schematisch dargestellte experimentelle Aufbau eignet sich für eine
quantitative Untersuchung des Effekts. Die beleuchtete Kathode befindet sich zusammen
mit der unbeleuchteten Anode in einem evakuierten Glasgefäß. Zwischen den Elektroden wird eine Spannung U angelegt und der Strom I als Funktion der Frequenz ν und
der Leistung P des eingestrahlten Lichts gemessen. Die maximale kinetische Energie der
max
Elektronen Ekin
wird durch das Anlegen einer Gegenspannung U0 bestimmt. Folgende
Resultate können beobachtet werden:
• Um Elektronen aus der Kathode herauszulösen muss das eingestrahlte Licht eine
Frequenz besitzen, die größer als eine materialspezifische Grenzfrequenz νg ist.
max
• Die maximale kinetische Energie der Photoelektronen Ekin
hängt nur von der
Lichtfrequenz ν ab, nicht aber von der Lichtleistung P . Experimentell findet man:
max
Ekin
∝ ν.
• Zwischen Lichteinfall und Elektronenemission gibt es keine messbare zeitliche Verzögerung.
7-16
7.4 Äußerer Photoeffekt
• Die Zahl der Photoelektronen ist proportional zur Lichtleistung.
Mit Ausnahme der letzten Beobachtung sind die Befunde im Widerspruch zur klassischen
Elektrodynamik. Albert Einstein lieferte 1905 eine Erklärung auf der Basis der Lichtquanten. Hiernach gibt ein absorbiertes Photon seine gesamte Energie hν an ein Elektron ab.
Die maximale kinetische Energie des freigesetzten Elektrons folgt dann aus:
max
Ekin
= hν − Wa .
(7.4.1)
Wa ist die sogenannte Austrittsarbeit, die die Bindung des Elektrons im Kathodenmaterial
charakterisiert.
Mit1
max
Ekin
= −eU0
(7.4.2)
−eU0 = hν − Wa .
(7.4.3)
folgt:
Der äußere Photoeffekt ermöglicht also eine experimentelle Bestimmung des Planckschen
Wirkungsquantum, in dem wir die Steigung der Gerade U0 (ν) bestimmen. Aus dem Achsenabschnitt folgt die Austrittsarbeit Wa .
Anwendung: Der Photoelektronenvervielfacher (engl. Photomultiplier Tube, PMT) besteht aus einer Photokathode mit nachgeschaltetem Sekundärelektronenvervielfacher.
Abbildung 7.10: Schematischer Aufbau eines Photomultipliers (Quelle: Wikipedia).
Experiment: PMT.
1
Beachte: U0 < 0!
7-17
7 Quanteneigenschaften von Licht
7.5 Compton-Effekt
Arthur Holly Compton entdeckte 1922 bei Streuexperimenten von Röntgenstrahlung an
Graphit, dass die Wellenlänge der gestreuten Strahlung größer als die der einfallenden
Strahlung ist. Zudem beobachtete er eine starke Abhängigkeit der Wellenlänge der gestreuten Strahlung vom Streuwinkel ϕ. Im Photonenmodell können diese Beobachtungen
als direkter elastischer Stoß zwischen einem Photon mit der Energie E = hν und dem
Impuls p = ~k = ek hν/c an einem schwach gebundenen Elektron verstanden werden.
Experiment: Compton-Effekt.
ħko
ħki
φ
e
po
Abbildung 7.11: Compton-Streuung eines Photons an einem Elektron.
Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass sich das Elektron vor dem Stoß in Ruhe befindet.
Vor dem Stoß:
• Photon: Energie: Eiγ = hνi , Impuls: pγi = ~ki
• Elektron: Energie: Eie = m0 c2 , Impuls: pei = 0
Nach dem Stoß:
• Photon: Energie: Eoγ = hνo , Impuls: pγo = ~ko
• Elektron: Energie: Eoe , Impuls pe0
Aus dem Energieerhaltungssatz folgt:
hνi + m0 c2 = hνo + Eoe .
7-18
(7.5.1)
7.5 Compton-Effekt
Die Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitätstheorie liefert für das Elektron
nach dem Stoß:
m0 c2
Eoe = q
.
1 − (v/c)2
(7.5.2)
Durch Einsetzen in Gleichung (7.5.1) und Quadrieren erhalten wir
hνi − hνo + m0 c2
2
=
m20 c4
.
1 − (v/c)2
(7.5.3)
Eine kurze Rechnung liefert schließlich:
h2
m20 v 2
=
(νi − νo )2 + 2h (νi − νo ) m0 .
1 − (v/c)2
c2
(7.5.4)
Anwenden des Impulserhaltungssatzes ergibt:
~ki = ~ko + peo
(7.5.5)
mit
mo v
peo = q
.
1 − (v/c)2
(7.5.6)
Umformen nach peo und Quadrieren liefert
m20 v 2
h2 2
2
=
ν
+
ν
−
2ν
ν
cos(ϕ)
.
i
0
i
o
1 − (v/c)2
c2
(7.5.7)
Hier ist ϕ der Winkel zwischen Einfallsrichtung und Streurichtung des Photons.
Durch den Vergleich von Gleichung (7.5.4) und (7.5.7) finden wir:
(νi − νo ) =
h
νi νo [1 − cos(ϕ)] .
m0 c2
(7.5.8)
Durch Umrechnung in Wellenlängen und mit (1 − cos(ϕ)) = 2 sin2 (ϕ/2) erhalten wir
schließlich die Compton-Streuformel:
λo − λi = 2λc sin2 (ϕ/2)
(7.5.9)
mit der Compton-Wellenlänge
λc =
h
= 2.4262 × 10−12 m.
mo c
(7.5.10)
7-19
7 Quanteneigenschaften von Licht
7.6 Eigenschaften des Photons - Zusammenfassung
Anhand der in diesem Kapitel vorgestellten Phänomene können wir schließen, dass Licht
Teilcheneigenschaften besitzt. Monochromatisches Licht der Frequenz ν setzt sich demnach im Teilchen-Bild aus einem Strom von Lichtquanten (Photonen) mit der Energie
hν zusammen. Experimentell können die folgenden Eigenschaften des Photons ermittelt
werden:
• Energie eines Photons:
E = hν = ~ω.
(7.6.1)
• Impuls eines Photons:
p = ~k.
(7.6.2)
• Drehimpuls des Photons (Photonen-Spin):
s = ±~
k
.
|k|
(7.6.3)
k
Linkszirkular polarisiertes Licht (σ + -Polarisation): s = ~ |k|
.
k
−
Rechtszirkular polarisiertes Licht (σ -Polarisation): s = −~ |k|
.
Steht das Photonen-Bild im Widerspruch zum Wellencharkter des Lichts?
Experiment: Beugung an einem Spalt mit einzelnen Photonen.
Licht besitzt sowohl Teilchen als auch Wellencharakter!
Eine konsistente Beschreibung aller Lichteigenschaften ist im Rahmen der QuantenElektro-Dynamik (QED) möglich.
7-20