6 Quanteneigenschaften von Licht

6 Quanteneigenschaften von Licht
6.1 Schwarzkörperstrahlung
Ein schwarzer Körper ist ein ideales Material, das Strahlung bei allen Frequenzen ν vollständig absorbiert ⇒ Absorptionsgrad A(ν) = 1.
Eine kleine Öffnung in einem Hohlraum mit absorbierenden Wänden stellt eine gute Approximation eines schwarzen Körpers dar.
Experiment: Hohlraumstrahler - Platinröhrchen.
6.1.1 Rayleigh-Jeans’sches Strahlungsgesetz
Im Folgenden wollen wir die von einem schwarzen Körper der Temperatur T emittierte
Strahlung untersuchen. Hierzu verwenden wir zunächst ein klassisches Modell. Wir werden
sehen, dass sich bei diesem Modell drastische Abweichungen von den experimentellen
Befunden ergeben.
Wir gehen von einem kubischen Hohlraum aus. Die elektromagnetischen Eigenschwingungen des Hohlraums (die sogenannten Moden)sind stehende Wellen, die an den Wänden
Knoten des elektrischen Feldes aufweisen. Die elektromagnetische Zustandsdichte eines
großen Hohlraums beträgt (Beweis: Übung):
8πν 2
Dγ (ν) = 3 .
c
(6.1.1)
Im Rayleigh-Jeans’schen Modell werden die elektromagnetischen Eigenschwingungen des
Hohlraums wie klassische harmonische Oszillatoren behandelt, denen im thermischen
Gleichgewicht die mittlere Energie W (ν, T ) = kB T zugeordnet wird. Hierbei ist kB die
Boltzmann-Konstante.
6-1
6 Quanteneigenschaften von Licht
Die Energiedichte der Hohlraumstrahlung im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν ist
damit:
u(ν, T )dν = Dγ (ν)W (ν, T )dν =
8πν 2
kB T dν.
c3
(6.1.2)
Nach diesem Rayleigh-Jeans’schen Strahlungsgesetz sollte die Energiedichte quadratisch
mit der Frequenz ν anwachsen ⇒ Ultraviolett-Katastrophe, d.h.,die integrierte Energiedichte würde divergieren!
6.1.2 Plancksches Strahlungsgesetz
Im Rahmen des Planckschen Modells der Schwarzkörperstrahlung wird angenommen, dass
die Energie einer Mode nur um vielfaches des Energiequantums hν ansteigen kann. Hierbei
ist ν die Frequenz der Mode und h = 6.6260693·10−34 Js das Planksche Wirkungsquantum.
Die kleinstmöglichen Energiequanten hν der Moden des elektromagnetischen Feldes heißen
Photonen.
Eine Mode der Frequenz ν mit n Photonen besitzt somit die Energie
Wν = nhν.
(6.1.3)
Im thermischen Gleichgewicht ist die Wahrscheinlichkeit p(W ) dass eine Mode mit n
Photonen besetzt ist gegeben durch
e−nhν/(kB T )
.
p(W ) = P
∞
e−nhν/(kB T )
(6.1.4)
n=0
Offensichtlich gilt
∞
X
p(nhν) = 1.
(6.1.5)
n=0
Die mittlere Energie pro Eigenschwingung folgt aus
W (ν, T ) =
=
∞
X
n=0
∞
P
p(nhν)nhν
nhνe−nhν/(kB T )
n=0
∞
P
n=0
6-2
.
e−nhν/(kB T )
(6.1.6)
6.1 Schwarzkörperstrahlung
Wir betrachten zunächst den Zähler von Gleichung (6.1.6). Mit der Abkürzung β =
1/(kB T ) finden wir
∞
X
−nhνβ
nhνe
n=0
∞
∂ X
= −
e−nhνβ
∂β n=0
∂
1
= −
∂β 1 − e−hνβ
hνe−hνβ
.
=
(1 − e−hνβ )2
!
(6.1.7)
Für den Nenner von Gleichung (6.1.6) gilt:
∞
X
e−nhνβ =
n=0
1
.
1 − e−hνβ
(6.1.8)
Einsetzen liefert die mittlere Energie pro Eigenschwingung
hν
W (ν, T ) =
ehν/(kB T )
−1
.
(6.1.9)
Mit
u(ν, T )dν = Dγ (ν)W (ν, T )dν
(6.1.10)
erhalten wir das Plancksche Strahlungsgesetz:
u(ν, T ) =
8πh
ν3
hν
c3 e kB T − 1
(6.1.11)
Die Photonenergie hνm der maximalen Energiedichte ist durch das Wiensche Verschiebungsgesetz gegeben:
hνm = 2.82kB T .
(6.1.12)
6.1.3 Lambert-Strahler und Stefan-Boltzmann-Gesetz
Die Strahlung im Hohlraum ist isotrop ⇒ Energiestromdichte pro Raumwinkel dΩ und
Frequenzintervall dν:
jdΩ (ν, T ) =
c ek
u(ν, T )
4π
(6.1.13)
6-3
6 Quanteneigenschaften von Licht
-15
1.6
x 10
T=5800 K
T=3000 K
T=2700 K
Plancksche Energiedichte (J s m-3 )
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
-1
Frequenz (s )
12
14
x 10
Abbildung 6.1: Graphische Darstellung des Planckschen Strahlungsgesetzes für drei verschiedene
Schwarzkörpertemperaturen.
Leistung, die im Frequenzintervall [ν, ν + dν] durch ein Flächenelement dA = eA dA der
Öffnung in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt wird:
dPdΩ (ν, T ) = jdΩ (ν, T ) · eA dA dΩ dν = jdΩ (ν, T ) cos(θ) dA dΩ dν.
(6.1.14)
Hierbei ist θ der Winkel zwischen der Flächennormalen eA und der Ausbreitungsrichtung
der Strahlung ek .
Die Öffnung zeigt die Charakteristik eines Lambert-Strahlers:
θ=0
dPdΩ (ν, T ) = dPdΩ
(ν, T ) cos(θ).
(6.1.15)
θ=0
Hierbei ist dPdΩ
(ν, T ) die Leistung, die in Vorwärtsrichtung (θ = 0) emittiert wird.
Wir integrieren nun die Energiedichte der Hohlraumstrahlung über alle Frequenzen:
U(T ) =
Z∞
u(ν, T )dν
ν=0
∞
8πh Z
ν3
=
dν.
hν
c3
k T
ν=0 e B − 1
6-4
(6.1.16)
6.1 Schwarzkörperstrahlung
Mit der Substitution x =
kB T
h
!4 Z∞
0
hν
kB T
kann das Integral umgeformt werden:
x3
dx =
ex − 1
kB T
h
!4
π4
.
15
(6.1.17)
Wir erhalten damit für die integrierte Energiedichte:
U(T ) = aT 4
(6.1.18)
4
8π 4 kB
.
15h3 c3
(6.1.19)
mit
a=
Somit wird die Gesamtleistung
dPdΩ (T ) =
c
c ek
U(T ) · eA dA dΩ =
cos(θ) aT 4 dAdΩ.
4π
4π
(6.1.20)
durch das Flächenelement dA der Öffnung in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt.
Wir integrieren nun noch über den Halbraum und die Öffnung (Gesamtfläche A):
P (T ) =
Z Z
c
cos(θ) aT 4 dAdΩ
4π
c
= A aT 4
4π
π/2 Z2π
Z
cos(θ) sin(θ)dθdϕ
θ=0 ϕ=0
c
= A aT 4 2π.
4π
(6.1.21)
Wir fassen noch die Konstanten zusammen und erhalten die Stefan-Boltzmann’sche Strahlungsformel:
P (T ) = AσT 4
(6.1.22)
mit der Stefan-Boltzmann-Konstante
4
c
2π 5 kB
σ= a=
= 5.67 · 10−8 Wm−2 K−4 .
2
3
4
15c h
(6.1.23)
Experiment: Hohlraumstrahler - Stefan-Boltzmann’sche Strahlungsformel.
6-5
6 Quanteneigenschaften von Licht
6.1.4 Kirchhoffsches Strahlungsgesetz
Im Folgenden betrachten wir einen „grauen“ Strahler mit Reflexionsgrad rg (ν), Transmissionsgrad tg (ν) und Absorptionsgrad ag (ν):
rg (ν) + tg (ν) + ag (ν) = 1.
(6.1.24)
Wir untersuchen nun den Strahlungsaustausch zwischen dem „grauen“ Strahler (Temperatur Tg ) und einem schwarzen Strahler (Temperatur Ts ) in einem Hohlraum (Temperatur
Th ) im Frequenzintervall [ν, ν + dν].
Filter [n, n+Dn]
eg(n) jg(n,Tg)
rg(n) js(n,Ts)
rg(n) js(n,Ts)
js(n,Ts)
js(n,Th)
tg(n) js(n,Th)
Th
Tg
Ts
Abbildung 6.2: Strahlungsaustausch zwischen einem „grauen“ Strahler (Temperatur Tg ) und
einem schwarzen Strahler (Temperatur Ts ) in einem Hohlraum (Temperatur Th )
im Frequenzintervall [ν, ν + dν]
Emittierte Energiestromdichte des schwarzen Strahlers: js,dΩ (ν, Ts ).
Emittierte Energiestromdichte des „grauen“ Strahlers: jg,dΩ (ν, Tg ) = eg (ν)js,dΩ (ν, Tg ) mit
dem Emissionsgrad eg (ν).
Der schwarze Strahler empfängt aus der Richtung des „grauen“ Strahlers die Energiestromdichte:
rg (ν)js,dΩ (ν, Ts ) + eg (ν)js,dΩ (ν, Tg ) + tg (ν)js,dΩ (ν, Th ).
(6.1.25)
Im thermischen Gleichgewicht gilt: Tg = Ts = Th .
Der Strahlungsaustausch darf das Temperaturgleichgewicht nicht stören ⇒ Emittierte
Energiestromdichte = absorbierte Energiestromdichte.
6-6
6.2 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung
Damit:
eg (ν) = 1 − rg (ν) − tg (ν) = ag (ν).
(6.1.26)
Für den „grauen“ Strahler erhalten wir somit das modifizierte Planksche Strahlungsgesetz:
8π h ag (ν)
ν3
ug (ν, T ) =
.
hν
c3
e kB T − 1
(6.1.27)
6.2 Emission und Absorption elektromagnetischer
Strahlung
Spontane Emission
Induzierte Absorption
E2
hn = E2-E1
Stimulierte Emission
E2
hn = E2-E1
E1
E2
hn = E2-E1
E1
E1
Abbildung 6.3: Elementare Wechselwirkungsprozesse zwischen einem Zweiniveau-System und
einem Strahlungsfeld.
Wir untersuchen nun die elementaren Wechselwirkungsprozesse zwischen einem Ensemble
von Zweiniveau-Systemen und einem resonantem Strahlungsfeld.
• Zweiniveau-System:
– Energie-Niveaus E1 < E2
– Besetzungszahldichten N1 , N2
– Entartungsgrade g1 ,g2
• Strahlungsfeld:
– Photonenergie hν = E2 − E1
– Energiedichte u(ν)
Zahl der Übergange 2 → 1 durch spontane Emission:
sp
dN21
= N2 A21 dt.
(6.2.1)
6-7
6 Quanteneigenschaften von Licht
Zahl der Übergange 1 → 2 durch induzierte Absorption:
ind
dN12
= N1 u(ν)B12 dt.
(6.2.2)
Zahl der Übergange 2 → 1 durch stimmulierte Emission:
ind
dN21
= N2 u(ν)B21 dt.
(6.2.3)
Einsteinkoeffizienten: A21 , B12 , B21 .
Ratengleichungen für Besetzungszahldichten:
dN1
= −N1 u(ν)B12 + N2 u(ν)B21 + N2 A21 .
dt
(6.2.4)
dN1
dN2
=−
.
dt
dt
(6.2.5)
Physikalische Bedeutung: A21 = 1/τsp ist die reziproke Lebensdauer des angeregten Zustands ohne äußeres Feld (u(ν) = 0).
dN2
= −N2 A21 ⇒ N2 (t) = N2 (t = 0)e−A21 t = N2 (t = 0)e−t/τsp .
dt
(6.2.6)
Betrachte thermisches Gleichgewicht:
dN2
dN1
=−
= 0.
dt
dt
(6.2.7)
Besetzung der Energieniveaus ist durch Boltzmann-Verteilung gegeben:
N2
g2 − E2 −E1
= e kb T .
N1
g1
(6.2.8)
Die spektrale Energiedichte folgt dem Planckschen Strahlungsgesetz.
Folgende Gleichung muss für alle Temperaturen erfüllt sein:
N2 A21
8πh
ν3
g1 hν
= N2 3
B12 e kb T − B21
hν
c e kB T − 1
g2
!
(6.2.9)
Damit:
g1 B12 = g2 B21
6-8
(6.2.10)
6.3 Laser
und
A21 =
8πhν 3
B21 .
c3
(6.2.11)
Diese Beziehungen gelten allgemein, nicht nur im thermodynamischen Gleichgewicht.
Umformung liefert:
A21
= B21 hν.
8πν 2 /c3
(6.2.12)
Diese Gleichung kann so interpretiert werden, dass die spontante Emissionswahrscheinlichkeit pro Mode gleich der induzierten Emissionswahrscheinlichkeit ist, wenn das Strahlungsfeld im Mittel ein Photon pro Mode enthält.
6.3 Laser
Laser= Light amplification by stimulated emission of radiation.
Der Laser feierte 2010 seinen 50. Geburtstag!
6.3.1 Kleinsignalverstärkung im Resonator
Wir betrachten wieder die Wechselwirkung zwischen einem Ensemble von ZweiniveauSystemen und einem resonantem Strahlungsfeld. Zusätzlich berücksichtigen wir jetzt die
endliche Linienbreite ∆ν der Spektrallinie über eine Linienformfunktion:
Z
0
∞
g(ν)dν = 1
(6.3.1)
mit
1
g(ν0 ) = gmax ; g(ν0 ± ∆ν/2) = gmax
2
(6.3.2)
Damit gilt für die stimulierte Absorption und Emission:
ind
dN12
= N1 u(ν) dν g(ν) B12 dt.
(6.3.3)
ind
dN21
= N2 u(ν) dν g(ν) B21 dt.
(6.3.4)
6-9
6 Quanteneigenschaften von Licht
ν = ν0
Linienformfunktion g(ν)
Resonator-Moden
Δν
Spektrallinie
νR
Frequenz (ν)
Abbildung 6.4: Schematische Darstellung der Linienformfunktion g(ν).
Die zeitliche Änderung der Photonendichte nγ folgt aus
!
g2
dnγ
= A21 N2 + u(ν) dν g(ν) B21 N2 − N1 .
dt
g1
Ziel für einen Laser: Zunahme der Photonendichte, also
(6.3.5)
dnγ
dt
> 0.
Wir definieren nun den Besetzungsunterschied:
σ = (N2 −
g2
N1 )
g1
(6.3.6)
Die Zunahme der Photonendichte erfodert einen positiven Besetzungsunterschied σ >
0 ⇒ Besetzungsinversion! Dies erfordert eine starke Abweichung vom thermodynamischen
Gleichgewicht.
Weitere Forderung: Kohärente stimulierte Emission soll inkohärente spontante Emission
deutlich überwiegen ⇒ Rückkopplung über optischen Resonator.
Wir nehmen im Folgenden an, dass die Resonatormoden spektral viel schärfer als die
Spektrallinie sind (δνR ≪ ∆ν).
Für die Energiedichte der Resonatormode mit Resonanzfrequenz νR = ν gilt:
uν = u(νR )δνR = hνnγ .
6-10
(6.3.7)
6.3 Laser
Die zeitliche Änderung der Photonendichte in der Resonator-Mode ist gegeben durch:
!
dnγ
g2
= A21 N2 + (hνnγ ) g(ν) B21 N2 − N1 .
dt
g1
(6.3.8)
Änderung von uν beim Durchlaufen des Lasermediums bei Vernachlässigung der spontanen Emission:
!
hν
g2
duν
= uν (z)g(ν)B21
N2 − N1 .
dz
c
g1
(6.3.9)
Mit den Beziehungen zwischen den Einstein-Koeffizienten folgt:
duν
= γ(ν)uν (z)
dz
(6.3.10)
mit dem Verstärkungsfaktor
c2
g2
γ(ν) = g(ν)
N2 − N1 .
2
8πν τsp
g1
!
(6.3.11)
γ(ν) wird auch Kleinsignalverstärkung genannt.
Beispiel: Abschätzung des Verstärkungsfaktors für das Maximum der Emissionslinie eines
Rubinlasers
Rubin (Al2 O3 , dotiert mit Cr3+ )
ν0 = 4.326 · 1014 Hz ⇒ λ = 694.3nm
τsp = 3ms
n=1.78
−12
g(ν
s
0 ) ≈ 1/∆ν
= 5 · 10
g2
17
N2 − g1 N1 = 5 · 10 cm3 mit Blitzlampe als Pumpquelle.
Damit: γ(ν) = 0.05cm−1
6.3.2 Schwellenbedingung für Laseroszillation
Betrachte jetzt Intensität:
Iν (z) = cuν (z).
(6.3.12)
6-11
6 Quanteneigenschaften von Licht
Beschreibe Verluste (Streuung, Absorption, etc) im Lasermedium durch Verlustkonstante
α(ν)
Damit:
Iν (z) = Iν (0) exp((γ(ν) − α(ν))z).
(6.3.13)
Betrachte jetzt Lasermedium + Resonator:
• Länge des Laserkristalls: L.
• Reflexionsgrade der Spiegel. R1 und R2 .
L
Lasermedium
R1
R2
Abbildung 6.5: Lasermedium in Fabry-Perot-Resonator.
Ein kompletter Umlauf:
Iν (2L) = Iν (0) exp((γ(ν) − α(ν))2L)R1 R2 .
(6.3.14)
Schwellenbedingung für Lasertätigkeit:
Iν (2L) = Iν (0)
(6.3.15)
Zugehörige Schwellenverstärkung:
γthr (ν) = α(ν) −
1
ln(R1 R2 )
2L
(6.3.16)
Schwellenbedingung für Besetzungsinversion (Schawlow & Townes):
σthr =
6-12
8πν 2 τsp
1
α(ν) −
ln(R1 R2 )
2
c g(ν)
2L
(6.3.17)
6.3 Laser
6.3.3 Erzeugung der Besetzungsinversion
Problem: Besetzungsinversion für Laserbetrieb nur schwer für 2-Niveau-System erreichbar.
Lösung: 3-Niveau-Laser und 4-Niveau-Laser.
Ziel: Besetzungsinversion zwischen oberen Laser-Niveau |2> und unterem Laser-Niveau
|1>
• Durch Energiezufuhr wird ein Teil der Atome aus dem Grundzustand |0> bzw. |1>
in das Pump-Niveau |3> angeregt.
• Schneller Übergang in das langlebige obere Laserniveau |2>.
• Laserübergang zwischen dem oberen Laser-Niveau |2> und dem unteren LaserNiveau |1>.
• 4-Niveau Laser: schneller Übergang aus dem unteren Laserniveau |1> in den Grundzustand |0>.
Vorteil 4-Niveau Laser: Besetzungsinversion zwischen Laser-Niveaus selbst für fast vollständige Besetzung des Grundzustands möglich ⇒ geringe Pumpleistung nötig.
(a)
(b)
3-Niveau-Laser
4-Niveau-Laser
|3>
Pumpen
|3>
τ32
|2>
Laser
Pumpen
τ32
|2>
Laser
τ21
τ20
τ21
|1>
τ10
|1>
|0>
Abbildung 6.6: Energieniveaus und Raten für (a) idealen 3-Niveau-Laser und (b) idealen 4Niveau-Laser.
Beispiele:
• 3-Niveau-Laser: Rubin-Laser, erste Demonstration eines Lasers, T. H. Maiman, Nature 187 493 (1960).
• 4-Niveau-Laser: Nd:YAG-Laser, Emissionswellenlänge λ = 1064 nm.
6-13
6 Quanteneigenschaften von Licht
N2-N1, Pe
Ps
sthr
R thr
2 R thr
Pumprate R
Abbildung 6.7: Differenz der Besetzungsdichten der Laserniveaus (blau) und die durch stimulierte Emission emittierte Leistung (rot) als Funktion der Pumprate.
6.3.4 Einige Laser-Typen
Helium-Neon-Laser
Erste Publikation: A. Javan et al., Phys. Rev. Lett. 6, 106 (1961)
Gaslaser mit Helium als Pumpgas und Neon als Lasergas.
Druck in Laserröhre: 100 Pa; Partialdruck Helium/Neon: 10/1.
Zündspannung: 10-15 kV; Entladungsspannung nach Zündung: 1-2 kV mit 1-30 mA Strom.
Pumpmechanismus: Metastabile He-Zustände werden durch Elektronenstöße angeregt;
Energieübertrag auf angeregte Neon-Zustände durch Stöße 2. Art.
Technisch ist vor allem die Laserlinie bei λ = 632.8 nm von Bedeutung: Interferometer,
Justage-Laser.
Titan-Saphir-Laser
Erste Publikation: P. F. Moulton, J. Opt. Soc. Am. B 3, 125 (1986).
Festkörperlaser: Ti3+ -Ionen in AL2 O3 -Wirtskristall
6-14
6.3 Laser
Helium
(a)
Neon
1
2 S0
2p55s
3
Stöße
Energie
2 S1
3.39 µm 5
2p 4p
5
2p 4s
0.63µm
5
2p 3p
1.15 µm
5
2p 3s
Elektron-Atom
Anregung
Rekombination
durch Stöße
Grundzustand
(b)
R=100%
R<100%
: Helium
: Neon
Brewster-Fenster
Spannungsquelle
Abbildung 6.8: (a) Schematische Darstellung der Anregungs- und Rekombinationsprozesse beim
HeNe-Laser (b) Schematische Darstellung eines HeNe-Lasers.
Kristallfeld-Effekte und Ankopplung an Phononen verbreitern Energie-Niveaus des Ti3+ Ionen.
Optisches Pumpen, Absorptionsbereich: 370 nm - 670 nm.
Spektral breiter Verstärkungsbereich: 670 nm - 1100 nm; Maximum bei 800 nm.
Wichtige Anwendung: Erzeugung von fs-Impulsen mittels Modenkopplung.
Halbleiter Dioden-Laser
Erste Publikation: R. N. Hall et al., Phys. Rev. Lett. 9, 366 (1962).
Prinzip: Hochdotierter p-n-Übergang; Betrieb in Durchlassrichtung; Elektrische Bandlücke bestimmt Emissionswellenlänge.
Vorteil: Elektrisches Pumpen möglich!
6-15
6 Quanteneigenschaften von Licht
Pump Laser
HR
P2
Ti:Sa
OC
P1
Abbildung 6.9: Schematischer Aufbau eines fs-Ti:Sa-Lasers. HR: High Reflector (R ≈ 100%),
OC: Output Coupler (R ≈ 98%). Die Prismen P1 und P2 dienen zur Dispersionskontrolle.
Absorptionskoeffizient:
α(~ω) =
|M|2
Dkomb (~ω) [fv (E1 ) − fc (E2 )]
c
(6.3.18)
Verstärkung für α < 0 ⇒ Ef,c − Ef,v > ~ω ≥ Eg (p- und n-Gebiet sind entartet)!
(a)
(b)
p
GaAs
n
GaAs
R≈0.3
EFC
EC
EC
EG
eU
EV
EFV
p
+U
-
n
EV
laktiv
Abbildung 6.10: (a) Bandstruktur eines Homojunction-Laser. Die Dicke der aktiven Schicht wird
durch die Diffussionslängen der Minoritätsladungträger bestimmt. (b) Kantenstrahler: Die Resonatorspiegel werden durch die Endfacetten des Hl-Kristalls
definiert (senkrecht zur Stromrichtung) .
Problem beim Homojunction-Laser: Großes Volumen der aktiven Zone. Daher: Hohe
Stromdichten, nur gepulster Betrieb möglich, Kühlung erforderlich!
Lösung: Kleineres aktives Volumen.
Double-Heterojunction Laser: Ladungsträger werden durch elektrische Bandstruktur besser in der aktiven Zone gehalten; zusätzlich: optischer Wellenleitereffekt durch Brechzahlprofil ⇒ niedrige Stromdichten, CW-Betrieb.
Resonatortypen:
6-16
6.4 Äußerer Photoeffekt
p
AlxGa1-xAs
i
n
AlxGa1-xAs
GaAs
EC
EFC
EC
EV
EFV
EV
laktiv
Abbildung 6.11: (a) Bandstruktur eines Double-Heterojunction-Laser. Die Dicke der aktiven
Schicht wird durch die Dicke der mittleren HL-Schicht bestimmt.
• Kantenemitter: Fabry-Perot Resonator, Bruchflächen dienen als Spiegel.
• Distributed feedback laser: Rückkopplung über periodische Struktur.
• Vertical cavity surface emitting laser (VCSEL): Dielektrische Spiegel (1D photonischer Kristall), Lichtemission senkrecht zu Grenzflächen.
Zahlreiche Anwendungen: Telekommunikation, Pumplaser, DVDs, ...
6.4 Äußerer Photoeffekt
Durch Bestrahlung mit kurzwelligem Licht können Elektronen aus einem Halbleiters
oder einem Metall herausgelöst werden. Dieses Phänomen wird äußerer Photoeffekt oder
Hallwachs-Effekt genannt.
Experiment: Äußerer Photoeffekt.
Der in Abbildung 6.13 schematisch dargestellte experimentelle Aufbau eignet sich für eine
quantitative Untersuchung des Effekts. Die beleuchtete Kathode befindet sich zusammen
mit der unbeleuchteten Anode in einem evakuierten Glasgefäß. Zwischen den Elektroden wird eine Spannung U angelegt und der Strom I als Funktion der Frequenz ν und
der Leistung P des eingestrahlten Lichts gemessen. Die maximale kinetische Energie der
max
Elektronen Ekin
wird durch das Anlegen einer Gegenspannung U0 bestimmt. Folgende
Resultate können beobachtet werden:
6-17
6 Quanteneigenschaften von Licht
I
hn=const
hn
U0
U
-e U0
Kathode Anode
- +
U>0
0
I
Wa
hng
hn
Abbildung 6.12: Links: Experiment zum Nachweis des äußeren Photoeffekts. Rechts: Schematische Darstellung der experimentellen Ergebnisse.
• Um Elektronen aus der Kathode herauszulösen muss das eingestrahlte Licht eine
Frequenz besitzen, die größer als eine materialspezifische Grenzfrequenz νg ist.
max
• Die maximale kinetische Energie der Photoelektronen Ekin
hängt nur von der
Lichtfrequenz ν ab, nicht aber von der Lichtleistung P . Experimentell findet man:
max
Ekin
∝ ν.
• Zwischen Lichteinfall und Elektronenemission gibt es keine messbare zeitliche Verzögerung.
• Die Zahl der Photoelektronen ist proportional zur Lichtleistung.
Mit Ausnahme der letzten Beobachtung sind die Befunde im Widerspruch zur klassischen
Elektrodynamik. Albert Einstein lieferte 1905 eine Erklärung auf der Basis der Lichtquanten. Hiernach gibt ein absorbiertes Photon seine gesamte Energie hν an ein Elektron ab.
Die maximale kinetische Energie des freigesetzten Elektrons folgt dann aus:
max
Ekin
= hν − Wa .
(6.4.1)
Wa ist die sogenannte Austrittsarbeit, die die Bindung des Elektrons im Kathodenmaterial
charakterisiert.
6-18
6.4 Äußerer Photoeffekt
Mit
max
Ekin
= −eU0 (U0 < 0!)
(6.4.2)
−eU0 = hν − Wa .
(6.4.3)
folgt:
Der äußere Photoeffekt ermöglicht also eine experimentelle Bestimmung des Planckschen
Wirkungsquantum, in dem wir die Steigung der Gerade U0 (ν) bestimmen. Aus dem Achsenabschnitt folgt die Austrittsarbeit Wa .
Abbildung 6.13: Sonderbriefmarke „Lichtelektrischer Effekt“ in Einsteins 100. Geburtsjahr.
Quelle: Wikipedia.
Anwendung: Der Photoelektronenvervielfacher (engl. Photomultiplier Tube, PMT) besteht aus einer Photokathode mit nachgeschaltetem Sekundärelektronenvervielfacher.
Abbildung 6.14: Schematischer Aufbau eines Photomultipliers (Quelle: Wikipedia).
Experiment: PMT.
• Wellenlängenbereich wird durch Kathodenmaterial (und Fenster) bestimmt. Typische Kathodenmaterialien:
6-19
6 Quanteneigenschaften von Licht
– Solar blind Kathoden (nur UV): Cs-Te, Cs-I
– UV-Vis: Cs-Sb
– Vis-NIR: Ag-O-Cs, GaAs (Cs)
• Typische Quanteneffizienzen1 : η = 0.01 · · · 0.3 (abhängig von Material und Wellenlänge).
• Interner Verstärkungsfaktor G zwischen Kathodenstrom Ik und Anodenstrom Ia :
Ia = GIk
(6.4.4)
Für N Dynoden und einem Verstärkungsfaktor δ pro Dynode gilt:
G = δN .
(6.4.5)
Typische Werte: δ = 5 und N = 9 ⇒ G ≈ 2 × 106 .
• Empfindlichkeit2 :
R=
ηGe
~ω
(6.4.6)
Typische Werte: R = 1 × ×105 A/W
• Haupt-Rauschquelle: Thermionische Emission von Elektronen aus der Photokathode
oder den Dynoden.
• Betriebsmodi:
– Geringe Lichtintensität: Zählmodus (Geiger-Modus)
Sehr große Verstärkung G und kleiner Lastwiderstand RL
⇒ Einzelne Spannungsimpulse von einigen ns Länge die mit Zählelektronik
verarbeitet werden können.
⇒ Nachweis einzelner Photonen!
– Größere Lichtintensitäten: Strommodus
Geringere Verstärkung G, Lastwiderstand ist an erforderliche Bandbreite
angepasst
1
2
Die Quanteneffizienz gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Photon ein Elektron freisetzt.
Die Empfindlichkeit ist das Verhältnis von gemessenem Strom und eingestrahlter Lichtleistung.
6-20
6.5 Compton-Effekt
6.5 Compton-Effekt
Arthur Holly Compton entdeckte 1922 bei Streuexperimenten von Röntgenstrahlung an
Graphit, dass die Wellenlänge der gestreuten Strahlung größer als die der einfallenden
Strahlung ist. Zudem beobachtete er eine starke Abhängigkeit der Wellenlänge der gestreuten Strahlung vom Streuwinkel ϕ. Im Photonenmodell können diese Beobachtungen
als direkter elastischer Stoß zwischen einem Photon mit der Energie E = hν und dem
Impuls p = ~k = ek hν/c an einem schwach gebundenen Elektron verstanden werden.
Experiment: Compton-Effekt.
ħko
ħki
φ
e
po
Abbildung 6.15: Compton-Streuung eines Photons an einem Elektron.
Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass sich das Elektron vor dem Stoß in Ruhe befindet.
Vor dem Stoß:
• Photon: Energie: Eip = hνi , Impuls: ppi = ~ki
• Elektron: Energie: Eie = m0 c2 , Impuls: pei = 0
Nach dem Stoß:
• Photon: Energie: Eop = hνo , Impuls: ppo = ~ko
• Elektron: Energie: Eoe , Impuls pe0
Aus dem Energieerhaltungssatz folgt:
hνi + m0 c2 = hνo + Eoe .
(6.5.1)
6-21
6 Quanteneigenschaften von Licht
Die Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitätstheorie liefert für das Elektron
nach dem Stoß:
m0 c2
Eoe = q
.
1 − (v/c)2
(6.5.2)
Durch Einsetzen in Gleichung (6.5.1) und Quadrieren erhalten wir
hνi − hνo + m0 c2
2
=
m20 c4
.
1 − (v/c)2
(6.5.3)
Eine kurze Rechnung liefert schließlich:
h2
m20 v 2
=
(νi − νo )2 + 2h (νi − νo ) m0 .
1 − (v/c)2
c2
(6.5.4)
Anwenden des Impulserhaltungssatzes ergibt:
~ki = ~ko + peo
(6.5.5)
mit
mo v
peo = q
.
1 − (v/c)2
(6.5.6)
Umformen nach peo und Quadrieren liefert
m20 v 2
h2 2
2
=
ν
+
ν
−
2ν
ν
cos(ϕ)
.
i
0
i
o
1 − (v/c)2
c2
(6.5.7)
Hier ist ϕ der Winkel zwischen Einfallsrichtung und Streurichtung des Photons.
Durch den Vergleich von Gleichung (6.5.4) und (6.5.7) finden wir:
(νi − νo ) =
h
νi νo (1 − cos(ϕ)) .
m0 c2
(6.5.8)
Durch Umrechnung in Wellenlängen erhalten und mit (1 − cos(ϕ)) = 2 sin2 (ϕ/2) erhalten
wir schließlich die Compton-Streuformel:
λo − λi = 2λc sin2 (ϕ/2)
(6.5.9)
mit der Compton-Wellenlänge
λc =
6-22
h
= 2.4262 × 10−12 m.
mo c
(6.5.10)
6.6 Eigenschaften des Photons - Zusammenfassung
6.6 Eigenschaften des Photons - Zusammenfassung
Anhand der in diesem Kapitel vorgestellten Phänomene können wir schließen, dass Licht
Teilcheneigenschaften besitzt. Monochromatisches Licht der Frequenz ν setzt sich demnach im Teilchen-Bild aus einem Strom von Lichtquanten (Photonen) mit der Energie
hν zusammen. Experimentell können die folgenden Eigenschaften des Photons ermittelt
werden:
• Energie eines Photons:
E = hν = ~ω.
(6.6.1)
• Impuls eines Photons:
p = ~k.
(6.6.2)
• Drehimpuls des Photons (Photonen-Spin):
s = ±~
k
.
|k|
(6.6.3)
k
Linkszirkular polarisiertes Licht (σ + -Polarisation): s = ~ |k|
.
k
−
Rechtszirkular polarisiertes Licht (σ -Polarisation): s = −~ |k|
.
Steht das Photonen-Bild im Widerspruch zum Wellencharkter des Lichts?
Experiment: Beugung an einem Spalt mit einzelnen Photonen.
Licht besitzt sowohl Teilchen als auch Wellencharakter!
Eine konsistente Beschreibung aller Lichteigenschaften ist im Rahmen der QuantenElektro-Dynamik (QED) möglich.
6-23