Musterlösung zur WGMS II, Blatt 5

Prof. Dr. A. Beutelspacher
17.05.2004
Björn Fay
Jörn Schweisgut
Musterlösung zur WGMS II, Blatt 5
Präsenzaufgaben
A
B
Durch welche Zier muss a in 9|3789262a93400187 ersetzt werden?
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Berechne die Quersumme: 3 + 7 + 8 + 9 + 2 + 6 + 2 + a + 9 + 3 + 4 + 0 + 0 + 1 + 8 + 7 = 69 + a.
Da 0 ≤ a ≤ 10 gelten muss, ist die Zahl ≥ 69 zu nden, die durch 9 teilbar ist.
Da 9|72 folgt a = 3.
Zeigen Sie, dass die Zahlen 1995 und 37 teilerfremd sind.
Bestimme ggT (1995, 37) mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus.
1995 = 53 · 37 + 34
37 = 1 · 34 + 3
34 = 11 · 3 + 1
3 = 3 · 1 + 0
Der letzte von 0 verschiedene Rest ist der ggT. Da also ggT (1995, 35) = 1 gilt, sind die
beiden Zahlen teilerfremd.
Hausaufgaben
1.
Welche Teilbarkeitsregeln kann man an der Endstelle einer im 12er System dargestellten
Zahl ablesen? Beweisen Sie diese Regeln!
Es sei k = an 12n +. . .+a2 122 +a1 121 +a0 120 eine Zahl und (an . . . a2 a1 a0 )12 ihre Darstellung
im 12er System. Dann ist a0 die Endstelle. Man kann k umformen, indem man 12 teilweise
ausklammert:
k = an 12n + . . . + a2 122 + a1 121 + a0 = 12 · (an 12n−1 + . . . + a2 121 + a1 ) + a0 .
Nun erkennt man, dass beim Teilen durch 12 der Rest a0 bleibt.
a0 kann die Werte 0, 1, ..., 9, A, B annehmen. Ist a0 durch 12 teilbar (gilt nur im Fall
a0 = 0), dann ist k durch 12 teilbar. Ist k durch 12 teilbar, dann muss auch a0 durch 12
teilbar sein, da sonst a0 als Rest bliebe.
• D.h. k ist durch 12 teilbar, wenn a0 durch 12 teilbar ist, also für a0 = 0.
• k ist genau dann durch 2 teilbar, wenn die Endstelle durch 2 teilbar ist,
a0 ∈ {0, 2, 4, 6, 8, A}.
• k ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Endstelle durch 3 teilbar ist,
a0 ∈ {0, 3, 6, 9}.
• k ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Endstelle durch 4 teilbar ist,
a0 ∈ {0, 4, 8}.
• k ist genau dann durch 6 teilbar, wenn die Endstelle durch 6 teilbar ist,
a0 ∈ {0, 6}.
also für
also für
also für
also für
Die Beweise für Teilbarkeit durch 2, 3, 4 und 6 funktionieren analog zum Beweis der Teilbarkeit durch 12.
2.
Geben Sie alle Möglichkeiten an, durch welche Ziern die Buchstaben a und b ersetzt
werden können, damit die Zahl 19a9b durch 36 teilbar ist (mit Begründung!).
Damit 36|19a9b gilt, muss die Zahl 19a9b durch 4 und durch 9 geteilt werden.
D.h. die Quersumme der Zahl muss durch 9 geteilt werden und die letzten beiden Ziern
müssen durch 4 teilbar sein.
9b ist für b = 2 oder b = 6 durch 4 teilbar.
• Fall b = 2. Dann muss gelten 9|21 + a. Somit folgt a = 6, denn 9|27.
• Fall b = 6. Dann muss gelten 9|25 + a. Somit folgt a = 2, denn 9|27.
Somit gilt entweder a = 2 und b = 6 oder umgekehrt.
3.
(a) Zeigen Sie: Je zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen sind teilerfremd.
Beweis:
Bestimme den ggT (n, n + 1) für n ∈ N mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus:
n+1 = 1 · n + 1
Der letzte von 0 verschiedene Rest ist der ggT. Da also
n = n · 1 + 0
ggT (n, n + 1) = 1 gilt, sind die beiden Zahlen teilerfremd.
(b) Zeigen Sie: Je zwei aufeinander folgende ungerade Zahlen sind teilerfremd.
Beweis:
Bestimme den ggT (2n + 1, 2n + 3) für n ∈ N mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus:
2n + 3 = 1 · 2n + 1 + 2
2n + 1 = n ·
2 + 1 Der letzte von 0 verschiedene Rest ist der ggT.
2 = 2 ·
1 + 0
Da also ggT (2n + 1, 2n + 3) = 1 gilt, sind die beiden Zahlen teilerfremd.
(c) Gilt auch: Je zwei aufeinander folgende gerade Zahlen sind teilerfremd? Begründen!
Dies gilt nicht, da gerade Zahlen immer durch 2 teilbar sind.
Sie haben also einen gemeinsamen Teiler gröÿer 1.
4.
Berechnen Sie ggT (123456789, 1098765432). Bestimme den ggT (123456789, 1098765432)
mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus:
1098765432 =
8 · 123456789 + 111111120
123456789 =
1 · 111111120 + 12345669
111111120 =
9 · 12345669 +
99
12345669 = 124703 ·
99 +
72
99 =
1 ·
72 +
27
72 =
2 ·
27 +
18
27 =
1 ·
18 +
9
18 =
2 ·
9 +
0
Der letzte von 0 verschiedene Rest ist der ggT. Also gilt ggT (123456789, 1098765432) = 9.