b und b

Elementare Zahlentheorie
Musterlösungen Zettel 1
Aufgabe 1.
Z
mit a|b und b|a. Dann gibt es nach Definition Zahlen
a) Seien a, b ∈
k, k′ ∈ mit b = k′ a und a = kb. Eingesetzt folgt a = kk′ a.
Z
Falls a = 0 folgt wegen b = k′ a auch b = 0 und damit a = b. Nimm
also a 6= 0 an. Dann folgt kk′ = 1. Wegen k, k′ ∈
gibt es nur zwei
Möglichkeiten:
Z
Fall 1: k = k′ = 1. Dann folgt a = b.
Fall 2: k = k′ = −1. Dann folgt a = −b.
Z und d := ggT (a, b). Definiere dann e := ggT (d, b). Zu
b) Seien a, b ∈
zeigen: d = e.
Zunächst gilt e|d nach Definition. Andererseits gilt offensichtlich d|d und
auch d|b und damit nach Definition des größten gemeinsamen Teilers auch
d|ggT (d, b), also d|e. Nach Teil a) folgt d = e, da d > 0 und e > 0.
Z
c) Sei a ∈ beliebig, dann gilt 0 = 0 · a. Also gilt nach Definition a|0. Also
sind alle ganzen Zahlen Teiler von 0.
Z
Z mit b = ka
Z
Z mit bc = kac.
d) Seien a, b, c ∈ mit a|b und b|c. Dann gibt es Zahlen k, k′ ∈
und c = k′ b. Eingesetzt ergibt sich c = (kk′ )a, also a|c.
e) Seien a, b, c ∈ mit ac|bc und c 6= 0. Dann gibt es ein k ∈
Wegen c 6= 0 folgt b = ka, also a|b.
Aufgabe 2.
a) Verwende den Euklidischen Algorithmus:
314 = 1 · 159 + 155
159 = 1 · 155 + 4
155 = 38 · 4 + 3
4 = 1·3+1
3 = 3·1+0
Daraus folgt ggT (314, 159) = 1.
Berechne analog:
7696 = 1 · 4144 + 3552
4144 = 1 · 3552 + 592
3552 = 6 · 592 + 0
Daraus folgt ggT (4144, 7696) = 592.
b) Nutze die obigen Gleichungen und setze rückwärts ein:
1 = 4 − 3 = (159 − 155) − (155 − 38 · 4)
= 159 − 2 · 155 + 38 · (159 − 155)
= 39 · 159 − 40 · (314 − 159)
= 79 · 159 − 40 · 314
c) Analog zu b) ergibt sich:
592 = 4144 − 3552 = 4144 − (7696 − 4144) = 2 · 4144 − 7696
Aufgabe 3.
Z mit c|ab und d := ggT (c, a). Zu zeigen: c|db.
Es gibt ein k ∈ Z mit ab = k · c und Zahlen x, y ∈ Z mit d = x · c + y · a.
a) Seien a, b, c ∈
Eingesetzt ergibt sich:
db = (cx + ay)b = cbx + aby = cbx + kcy = c · (bx + ky).
Es folgt c|db.
Z
b) Seien a, b, d ∈ mit d ungerade
und d|(a + b) und d|(a − b). Dann folgt
aber auch d| (a + b) + (a − b) , also d|2a.
Ebenso folgt d| (a + b) − (a − b) , also d|2b.
Nun gilt nach Voraussetzung ggT (d, 2) = 1, also folgt nach Teil a): d|(1·a)
und d|(1 · b). Damit teilt d also a und b und daher auch deren größten
gemeinsamen Teiler.
c) Sei n ∈
N. Dann gilt
n3 − n = n · (n2 − 1) = (n − 1) · n · (n + 1).
Mindestens eine dieser Zahlen ist durch 2 teilbar und ebenso ist mindestens eine dieser Zahlen durch 3 teilbar. Da 2 und 3 teilerfremd sind, ist
das Produkt also nach Korollar 1.11 durch 2 · 3 = 6 teilbar.
Aufgabe 4.
a) Sei zunächst n als Summe drei aufeinander folgender Zahlen darstellbar,
also zum Beispiel
n = (a + 1) + (a + 2) + (a + 3)
mit a ∈
Z
Dann folgt n = 3a + 6 = 3 · (a + 2). Also ist n durch 3 teilbar.
Z
Ist umgekehrt n durch 3 teilbar, also n = 3 · k für ein k ∈ , dann folgt:
n = 3 · k = (k − 1) + k + (k + 1).
b) Die Summe vier aufeinander folgender Zahlen hat zum Beispiel die Form
n = (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) + (a + 4) = 4a + 10.
Dies ist nie durch 4 teilbar, es lässt bei Divison durch 4 stets den Rest 2:
4a + 10 = 4a + 8 + 2 = 4 · (a + 2) + 2.
N
6 0) und sei n die Summe von k aufeinander folgenden
c) Sei k ∈ (mit k =
Zahlen. Dann ist n genau dann durch k teilbar, wenn k ungerade ist.
Beweis: Schreibe n folgendermaßen:
n = (a + 1) + (a + 2) + · · · + (a + k) = k · a +
k
X
i=k·a+
i=1
k · (k + 1)
.
2
Betrachte nun die beiden Fälle:
Fall 1: k ist ungerade. Dann ist (k + 1) gerade, also x :=
folgt:
n = k · a + k · x = k · (a + x) ⇒ k|n.
Fall 2: k ist gerade. Dann ist x :=
k|(n − k · a), also k|x · (k + 1).
k
2
∈
k+1
2
∈
Z. Es
Z. Falls k|n gilt, dann folgt auch
Allerdings gilt nach dem Euklidischen Algorithmus ggT (k, k +1) = 1, also
folgt nach Aufgabe 3a): k|x. Also gibt es ein y ∈ mit x = k · y. Es gilt
aber schon x = k2 , also folgt y = 21 , im Widerspruch zu y ∈ .
Z
Z