Lebensdauer angeregter Zustände und Halbleiterelemente

PeP
„Vom Kerzenlicht zum Laser“
Versuchsanleitung
Versuch 7:
Messung der Lebensdauer
angeregter Zustände
&
Halbleiterelemente
1) Messung der Lebensdauer angeregter Zustände
Theoretischer Hintergrund
Das Bohr’sche Atommodell
Nach Bohr kreisen die Elektronen ohne Energieverlust mit der speziellen Energie
Ei auf konzentrischen Bahnen um den Atomkern. Sie können sich hierbei jedoch
nicht auf jeder beliebigen Bahn bewegen, da der Umfang einer jeden Bahn ein
ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge eines Elektrons sein muss, damit das
Elektron sozusagen konstruktiv mit sich selbst interferiert (siehe Abb. 1).
Abb. 1: Das Elektron mit der de Broglie Wellenlänge λ kreist auf einer
Bahn mit dem Radius r, deren Umfang das Achtfache von λ beträgt. Dies
ist somit die achte mögliche Bahn vom Kern aus gesehen.
Es ergeben sich also ganz spezielle, man sagt auch diskrete, Bahnen, die ein Elektron beschreiben kann. Wird nun ein Atom angeregt (z.B. durch eine Gasentladung oder einen Lichtblitz), d.h. ein Elektron von einer niedrigeren Bahn mit
der Energie Ej auf eine höhere Bahn mit der Energie Ei gebracht, so fällt es kurze Zeit später wieder zurück und sendet dabei Licht (auch als Quant oder Photon bezeichnet) der Energie ∆E = Ei –Ej = hfij aus. Hierbei ist fij die Frequenz des
Photons und h das Planck’sche Wirkungsquantum. Da nur spezielle Bahnen erlaubt
sind, sind auch nur spezielle Übergangsenergien und somit auch Frequenzen möglich. Es entsteht also ein Linienspektrum des entsprechenden Elements.
Abb. 2: Einfallendes Photon (rot) wird absorbiert und hebt das Elektron
auf eine höhere Bahn. Kurze Zeit später fällt das Elektron wieder zurück
und emittiert dabei ein Photon (gelb) der Energie hf.
Lebensdauer angeregter Zustände
Mit einem Stroboskop, das intensive weiße Lichtpulse bei einer Wiederholrate
von ca. 10 Hz liefert, wird ein Rubinkristall belichtet und die von ihm emittierte
Lichtintensität mittels einer Photodiode auf einem Oszilloskop sichtbar gemacht.
Dieser Aufbau bietet somit die Möglichkeit zu untersuchen, ob die Atome des
Rubinkristalls oder eines anderen Materials das Licht absorbieren und somit in
einen angeregten Zustand übergehen können. Da insbesondere von Interesse ist,
wie lange die Atome nach dem Ende eines Lichtblitzes in diesen angeregten Zustand bleiben und welche mathematische Funktion das Abnehmen der Anzahl der
Atome in diesem Zustand (Besetzungszahl) beschreibt, ist eine genaue Untersuchung des Abklingvorganges unerlässlich. Zunächst soll der theoretische Hintergrund näher beleuchtet werden:
Bringt man ein Atom (z.B. durch Absorbtion eines Photons passender Energie hf)
in einen energetisch angeregten Zustand Ei, so geht es von selbst (spontan) mit
der Wahrscheinlichkeit Aij durch Emission eines Photons hfij in verschiedene tiefere Energiezustände Ej über (Fluoreszens) (siehe Abb. 3).
Abb. 3: spontane Fluoreszensübergänge vom angeregten Zustand Ei in
tiefere Zustände Ej
Wird mit Aij die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit bezeichnet, dass ein Atom
im Zustand Ei spontan unter Aussendung eines Photons der Energie hf in einen
tieferen Zustand Ej übergeht, so ist die Zahl der im Intervall dt in den Zustand
Ej übergehenden Atome:
dNi(t) = -AijNi(t)dt
Kann der Zustand Ei in mehrere tiefere Zustände Ej < Ei übergehen, so wird
dNi(t) = -AiNi(t)dt mit Ai = Σj Aij
Division durch dt ergibt:
dNi(t)/dt = Ni(t)’ = -AiNi(t)
Ni(t) ist also eine Funktion abhängig von t, deren Ableitung nach t wieder die
Funktion selbst mit dem Vorfaktor -Ai ergibt. Hier kommt nur eine Exponentialfunktion folgender Form in Frage:
Ni(t) = Ni(0) exp(-Ait)
Die Besetzung des angeregten Zustandes Ei sinkt also von einem Anfangswert
Ni(0) zur Zeit t = 0 exponentiell auf Null ab (siehe Abb. 4). Die Konstante τi =
1/Ai ist die mittlere Lebensdauer des Zustandes Ei und gibt den Zeitraum an, in
dem die Besetzungszahl auf den Bruchteil 1/e seine Anfangswertes N(0) abgefallen ist.
Abb.4: Abklingkurve der Besetzungszahl Ni(t)
Da jeder Wechsel in einen Zustand der Energie Ej die Emission eines Photons
bedeutet, kann die Lichtintensität als Maß für die Abnahme der Besetzungszahl,
also ihrer Änderung -dNi(t)/dt, genutzt werden:
I(t) ~ -dNi(t)/dt = (1/τi)Ni(0) exp(-t/τi) = (1/τi)Ni(t)
Die Intensität I(t) ist also proportional zu Ni(t), woraus folgt, dass beide Größen
zum selben Zeitpunkt auf den Bruchteil 1/e ihres jeweiligen Anfangswertes abgefallen sind. Für die Intensität lässt sich also auch schreiben:
I(t) = I(0) exp(-t/τi)
Die Spannung, die an der Photodiode abfällt, ist direkt proportional zur Intensität des einfallenden Licht, weshalb gilt:
U(t) = U(0) exp(-t/τi)
Wobei U(0) der Spannungswert bei Beginn des exponentiellen Abfalls (t = 0) ist.
Das Drei-Niveau-System
Möchte man die Vorgänge im Rubinkristall nach Einfallen des Lichtblitzes genauer verstehen, so muss man die wichtigen Energieniveaus und die entsprechenden
Übergänge betrachten, die ein sogenanntes Drei-Niveau-System (siehe Abb. 5)
bilden. Rubin ist eine Abart des Minerals Korund (Al2O3) und erhält seine rote
Farbe durch einen geringen Anteil (ca. 0,05 %) an Chromionen. Cr3+-Ionen absorbieren grünes und blaues Licht, das im weißen Licht des Stroboskops (Kontinuumsstrahler) auch enthalten ist. Nach dem Zünden der Blitzlampe gelangt ein
intensiver, einige Millisekunden dauernder Lichtpuls in den Rubinkristall, und ein
hoher Anteil der Chromionen wird in die Zustände mit hoher Energie angeregt,
die das erste Niveau mit der Energie E1 bilden. Die Elektronen verweilen auf diesem Energieniveau jedoch nur für sehr kurze Zeit (τ1 < 1 ns) bevor sie über
strahlungslose Übergänge (inelastische Stöße) auf das nächst tiefere Energieniveau E2 wechseln. Dort ist die Verweildauer (τ2 ~ 3 ms) wesentlich größer als im
ersten Niveau, weshalb sich eine sehr große Anzahl von Chromionen im angeregten Zustand dieser Energie E2 = 1,79 eV ansammelt. Beim Übergang von diesem
Niveau zurück in den Grundzustand emittieren die Ionen Licht der Wellenlänge
694,3 nm, das von der Photodiode detektiert wird. Betrachtet man also auf dem
Oszilloskop die Spannung an der Photodiode der obigen Versuchsanordnung, so
kann man hierüber die mittlere Lebensdauer τ2 genau dieses angeregten Zustandes der Energie E2 bestimmen.
E1
E2
Abb. 5: Drei-Niveau-System eines Rubinkristalls
- Versuche
Versuch 1: direkte Untersuchung des Stroboskopblitzes
Haltet das Stroboskop direkt vor die Photodiode und speichert das entsprechende Oszilloskopbild auf einer Diskette. Bestimmt aus dem Bild außerdem die
Frequenz sowie die Dauer der Lichtpulse des Stroboskops.
Versuch 2: Untersuchung des emittierten Lichts eines Glasstabes
Justiert nun den Glasstab in der Messanordnung und belichtet ihn mit dem Stroboskop. Speichert auch dieses Messergebnis wieder auf Diskette ab. Könnt Ihr
einen Unterschied zu dem Bild in Versuch 1 erkennen. Versucht Eure Beobachtungen zu erklären.
Versuch 3: Untersuchung des emittierten Lichts weiterer Stäbe
Untersucht auf gleiche Weise wie in Versuch 2 das emittierte Licht der anderen
Stäbe. Welchen Unterschied stellt Ihr nun fest? Stellt das Oszilloskop so ein,
dass der exponentielle Abfall komplett zu sehen ist und die Werte vor der Anstiegsflanke knapp über Null liegen, da sonst der Logarithmus nicht definiert ist.
Speichert die entsprechenden Ergebnisse auf der Diskette ab und importiert die
einzelnen Messwerte (auch die aus Versuch 1 und 2) in das Programm Origin.
Tragt hier zunächst die Spannung gegen die Zeit auf. Für die Messwerte aus
Versuch 3 solltet Ihr auch den ln[U(t)] gegen die Zeit auftragen und das Ergebnis diskutieren. Nach Logarithmieren und Umformen gilt:
ln[U(t)] = ln[U(0)] – (1/τ) t
Gehorcht der Zusammenhang zwischen Spannung und Zeit tatsächlich einer Exponentialfunktion, so solltet Ihr eine Gerade U(t) = b + mt mit der Steigung m = 1/τ und dem y-Achsenabschnitt b = ln [U(0)] erhalten. Bestimmt aus den Graphen
die Konstante τ und vergleicht sie mit dem Literaturwert.
2) Das Intensitäts-Abstands-Gesetz einer Lichtquelle
Die Beleuchtungsstärke oder auch Intensität des Lichts einer Punktquelle fällt
mit dem Quadrat des Abstandes, d.h. man kann die Intensität schreiben als:
I ( r ) = I ( 0) ⋅
1
r²
Dies kann damit begründet werden, dass die Kugelfläche A = 4πr² um die Lampe
mit r² wächst. Wieso ist dies eine Erklärung?
Eine Auftragung von I(r) gegen 1/r² sollte also eine Gerade mit der Steigung
I(0) ergeben. Der gleiche Zusammenhang gilt für die Spannung an einer Photodiode, die sich im Abstand r befindet, da die beiden Größen proportional zueinander sind. Diese Proportionalität soll erst im nächsten Experiment überprüft werden und dann in die Beurteilung der Ergebnisse dieses Experiments einfließen.
Es ist jedoch zu beachten, dass diese Theorie nur für punktförmige Lichtquellen gilt!!!!!
Versuch:
Um das Abstandsgesetz für eine punktförmige Lichtquelle zu überprüfen, solltet
Ihr für eine Halogenlampe den Spannungsverlauf für einen Abstand von 30 – 150
cm in 10 cm-Schritten aufnehmen. Da die Spannung an der Photodiode mit steigendem Abstand sinkt, könnt Ihr davon ausgehen, dass die Spannung proportional zu 1 r
n
ist, wobei n eine gerade positive Zahl ist. Um dieses n näher zu
n
bestimmen, könnt Ihr im Programm Origin die Spannung gegen 1 r mit n = 1 bis
n = 3 auftragen.
- Beschreibt die Funktionen und versucht, Euch auf ein n festzulegen.
- Wie müsste die Funktion bei dem richtigen n aussehen?
- In welchem Abstandsbereich entspricht die Funktion nicht ganz der
Theorie und warum?
3) Überprüfung der Linearität der Photodiode mit zwei
Polarisationsfiltern
Polarisationsfilter
Zur Herstellung eines Polarisationsfilters werden spezielle Plastikfolien sehr
stark in eine Richtung gedehnt. Dabei entstehen lange Molekülketten, deren Elektronen ausschließlich in dieser Ausdehnungsrichtung schwingen können. Nun
ist Licht aber nichts anderes als ein schwingendes elektrisches Feld und kann
den Filter nur über eine Schwingungsübertragung durch die Elektronen, also in
einer speziellen Richtung, passieren und wird somit linear polarisiert.
Da jedoch auch bei schräg gestelltem Polarisationsfilter Licht mit einem Bruchteil der Maximalintensität passieren kann, muss die Darstellung der Lichtwelle
durch einen E-Vektor noch eine Erweiterung erfahren. Dieser kann, wie auch der
Kraftvektor im Rahmen der Mechanik, in eine zur Gitterausrichtung parallele und
senkrechte Komponente aufgeteilt werden, wie in Abb. 1 dargestellt. Auch wenn
das Gitter im Winkel β zur Polarisationsrichtung des Lichts steht, kann die parallele Komponente des E-Feldes passieren und es gilt für die Amplitude Ep:
Ep = Eg cos(β)
Hierbei ist Eg die Gesamtamplitude des einfallenden Lichts.
Da die Intensität des Lichts proportional zum Quadrat der Amplitude ist, folgt
für diese:
Ip = Ig cos2(β)
Abbildung 1:Veranschaulichung der Funktionsweise eines Polarisationsfilters. Die parallele, dunkelrot gekennzeichnete Komponente des blauen Einfallsvektors kann den Filter passieren, während die orange gekennzeichnete blockiert wird.
Versuch:
Verwendet zwei Polarisationsfilter und einen Laser, um zu überprüfen, ob für die
Spannung derselbe Zusammenhang
U p = U g cos ²( β )
gilt und beide Größen somit proportional zueinander sind.
Tip: Fokussiert den Laserstrahl mit einer Linse, damit Ihr möglichst hohe
Spannungswerte erreicht. Dreht immer nur den Analysator, nie den Polarisator. Warum?
4) Bestimmung des Planck’schen Wirkungsquantums h mittels LED’s
Bringt man n- und p-dotierte Halbleiter in Kontakt miteinander, rekombinieren
über die Grenzschicht die freien Elektronen des n- Halbleiters mit den freien
Löchern des p- Halbleiters, weshalb die n-Schicht positiv und die p-Schicht negativ geladen werden. Es entsteht dort eine so genannte Entleerungszone (Raumladungszone), die nur noch wenige freie Ladungsträger enthält und gleichzeitig
baut sich durch das Wandern der freien Ladungsträger eine Potentialdifferenz,
die so genannte Diffusionsspannung Ud, auf.
Die Leuchtwirkung der LED wird durch die strahlende Rekombination weiterer
Elektronenlochpaare in der Grenzschicht erreicht und kann nur stattfinden,
wenn an die Diode eine Spannung U > Ud in Durchlassrichtung angelegt wird. Es
werden also in die n-Schicht Elektronen und in die p-Schicht Löcher mit der Energie E = eU injiziert, die diese Energie bei Rekombination in Form von elektromagnetischer Strahlung der Frequenz f = eU/h abgeben.
Versuch:
Der Versuch zur Lebensdauerbestimmung spricht den Zusammenhang zwischen
Energieniveaudifferenz ∆E eines Elektrons beim Wechsel von einer höheren auf
eine niedrigere Bahn und der dabei emittierten Frequenz f des Quants über das
Plancksche Wirkungsquantum h an, ohne dabei näher auf die experimentelle Bestimmung dieser Konstanten einzugehen. Eine elegante und recht einfache Methode hierzu stellt die Nutzung von LEDs dar. Bei gegebener Wellenlänge des
emittierten Lichts verschiedener LEDs kann über die jeweiligen Spannungen, bei
denen eine starke Stromzunahme (Schwellstrom) beobachtbar ist, eine Auswertung erfolgen. Trägt man nämlich diese Spannungen Ui gegen die entsprechenden
Frequenzen fi auf, so kann über Division der Steigung der Ausgleichsgeraden
durch die Elementarladung e das Wirkungsquantum ermittelt werden, weil gilt:
U ⋅e = h⋅ f ⇒U = h e⋅ f
Habt Ihr geklärt, wie Amperemeter und Voltmeter an das Steckbrett mit den
LEDs angeschlossen werden müssen, kann die Messwertaufnahme beginnen. Bei
jeder LED wird die angelegte Spannung langsam erhöht und eine StromSpannungs-Kennlinie aufgenommen, anhand derer der Schwellstrom und die entsprechende Schwellspannung bestimmt werden können. Diese Spannungen werden
gegen die jeweiligen Frequenzen der LEDs aufgetragen und mittels Origin wie
oben beschrieben ausgewertet.