Kapitel Die Bewertung von Anleihen und Aktien Kapitelübersicht

5-0
5-1
Kapitelübersicht
Kapitel
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
Die Bewertung von
Anleihen und Aktien
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5-2
Definition und Beispiel einer Anleihe (“Bond”)
Bewertung von Anleihen
Anleihenspezifika
Der Barwert einer Aktie
Parameterschätzungen im Dividendendiskontierungsmodel
Wachstumsgelegenheiten
Das Dividendenwachstumsmodell und das NPVGO Modell
Kurs-Gewinn-Verhältnis
Aktienkurse in der Tageszeitung
Zusammenfassung und Schlussfolgerungen
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5-3
5.1 Definition und Beispiel
einer Anleihe
Bewertung von Anleihen und Aktien
Grundsätzliches:
Eine Anleihe ist eine verbriefte Vereinbarung zwischen
Schuldner und Gläubiger:
Sie spezifiziert die Hauptschuld des Darlehens.
Sie spezifiziert Höhe und Zeitpunkte der Cashflows:
Wert von Finanztiteln = PV der erwarteten zukünftigen
Zahlungen (Cashflows)
Um Anleihen und Aktien bewerten zu können:
schätzen wir die zukünftigen Cashflows:
In Geldeinheiten (Festzinsvereinbarung)
Als Formel (variable Zinsvereinbarung)
der Höhe und
der Zeitpunkte nach.
diskontieren wir die zukünftigen Cashflows mit einem
geeigneten Zinssatz:
Der Zinssatz soll zum Risiko passen, dem der Titel ausgesetzt ist.
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5.1 Definition und Beispiel
einer Anleihe
Man betrachte eine U.S. Staatsanleihe, gelistet als 6 3/8 vom
Dezember 2009.
Der Pari Wert der Anleihe ist $1,000.
Coupon-Zahlungen erfolgen halbjährlich (30. Juni und 31. Dezember bei
speziell dieser Anleihe).
Bei dem Nominalzins (coupon rate) von 6 3/8 beträgt die Zahlung $31.875.
Aus Sicht des 1. Januar 2005 haben wir folgende Zahlungen zu erwarten:
$31,875
$31,875
$31,875
$1031,875
30.6.09
31.12.09
!
1.1.05
30.6.05
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31.12.05
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5-5
5.2 Bewertung von Anleihen
Man identifiziere Höhe und Zeitbezug der
Cashflows.
Man diskontiere mit dem richtigen Diskontierungssatz.
Wenn man Preis sowie Höhe und Zeitbezug der
Cashflows kennt, ist die Rendite der Diskontierungssatz.
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1
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5-7
Reine Diskont-Anleihen
Reine Diskont-Anleihe: Beispiel
Informationen zur Bewertung reiner Diskont-Anleihen:
Restlaufzeit (T) = Fälligkeitszeitpunkt – heutiger Zeitpunkt
Rückzahlungsbetrag (F)
Diskontierungssatz (r)
0€
0€
0€
Finden Sie den Wert einer 30-jährigen NullkouponAnleihe mit einem Nominalwert von 1000€ und einer
Rendite von 6%.
0€
0€
F€
!
0
T −1
2
1
0
T
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F
PV =
T
(1 + r )
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2
1
Barwert einer reinen Diskont-Anleihe im Zeitpunkt 0:
PV =
0€
1000€
29
30
!
F
T
(1 + r )
=
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1000€
= 174,11€
1, 0630
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5-9
Couponanleihe
Couponanleihe : Besipiel
Informationen zur Bewertung von Couponanleihen:
Coupon-Zahlungstermine und Restlaufzeit (T)
Couponhöhe (C) pro Periode und Nominalwert (F)
Diskontierungssatz (r)
C€
C€
C€
Finden Sie den Barwert (aus Sicht vom 1. Januar 2004) einer 6-3/8
Coupon-Staatsanleihe mit halbjährlichen Zahlungen und einer
Fälligkeit im Dezember 2009, wenn die Rendite 5% ist.
Am 1. Januar 2004 stellen sich die Cashflows wie folgt dar:
C€+ F€
$31,875
!
0
2
1
T −1
T
1.1.04
C 
1 
F
−
+
1
T 

r  (1 + r )  (1 + r )T


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$31,875
$1031,875
30.6.09
31.12.09
!
Wert einer Couponanleihe
= PV der Couponzahlungs-Annuität + PV des Nominalwertes
PV =
$31,875
PV =
30.6.04
31.12.04
$31,875 
1  $1000
1−
+
= $1070,52
0, 05 2  1, 02512  1, 02512
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5-11
5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
1.
Anleihenpreise und Marktzinssätze bewegen sich in
entgegen gesetzte Richtungen (analytische Technik).
T
PV = ∑
t =1
T
Ct
t
(1 + r )
=∑
t =1
Ct T
= ∑ Ct ⋅ p−t mit p = 1 + r
p t t =1
T
C
dPV
= − p−1 ⋅ ∑ t ⋅ tt < 0 wenn Ct > 0 ∀t = 1, …, T
dp
p
t =1
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5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
1.
Anleihenpreise und Marktzinssätze bewegen sich in
entgegen gesetzte Richtungen (analytische Technik).
T
C
dPV
= − p−1 ⋅ ∑ t ⋅ tt < 0 wenn Ct > 0 ∀t = 1,…, T
dp
p
t =1
T
C
dPV
dPV
p−1 ⋅ ∑ t ⋅ tt
−t
T
C ⋅ (1 + r )
dp
p
PV
t =1
=
=−
= −∑ t ⋅ T t
T
PV
dp
C
−τ
t =1
p−1 ⋅ ∑ tt
Cτ ⋅ (1 + r )
∑
p
p
p
t =1
τ =1
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2
5-12
5-13
5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
Anleihenpreise und Marktzinssätze bewegen sich in
entgegen gesetzte Richtungen (analytische Technik).
1.
5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
Anleihenpreise und Marktzinssätze bewegen sich in
entgegen gesetzte Richtungen (analytische Technik).
1.
dPV
dp
PV
p
T
C
dPV
dPV
p−1 ⋅ ∑ t ⋅ tt
−t
T
C ⋅ (1 + r )
dp
p
PV
t =1
=
=−
= −∑ t ⋅ T t
T
PV
dp
C
−τ
t =1
p−1 ⋅ ∑ tt
Cτ ⋅ (1 + r )
∑
p
p
p
t =1
τ =1
−t
Ct ⋅ (1 + r )
T
dPV
dp
PV
p
∑t⋅
Ist die Elastizität des Barwertes in Bezug
auf Änderungen des Zinsfaktors p
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5-14
Ist die Elastizität des Barwertes in Bezug
auf Änderungen des Zinsfaktors p
t =1
T
∑C
τ
−τ
Nennt man die „Duration“ der
Anleihe, sie ist eine gewichtete
Summe der Zahlungszeitpunkte.
=D
⋅ (1 + r )
τ =1
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5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
1.
5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
Anleihenpreise und Marktzinssätze bewegen sich in
entgegen gesetzte Richtungen (graphische Technik).
t =1
Barwert einer Couponanleihe
150
T
∑C
τ
−τ
=D
⋅ (1 + r )
τ =1
rC
−T
Barwert
PV = F ⋅ (1 + r )
100
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
für die reine Diskontanleihe
−T
F
D=
50
Nennt man die „Duration“ der
Anleihe, sie ist eine gewichtete
Summe der Zahlungszeitpunkte.
−t
Ct ⋅ (1 + r )
T
∑t⋅
0.16
T ⋅ F ⋅ (1 + r )
−T
F ⋅ (1 + r )
⇒ D =T
für eine reine Diskontanleihe
Rendite
Barwert vs. Rendite
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5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
−t
Ct ⋅ (1 + r )
∑t⋅
t =1
T
∑C
τ
−τ
=D
⋅ (1 + r )
τ =1
Nennt man die „Duration“ der
Anleihe, sie ist eine gewichtete
Summe der Zahlungszeitpunkte.
T
T + rC ⋅ ∑ t ⋅(1 + r )
2.
Wenn rC = r gilt, notiert die Anleihe zu pari.
Wenn rC > r gilt, notiert die Anleihe unter pari.
Wenn rC < r gilt, notiert die Anleihe über pari.
3.
Die Anleihe mit der längeren Restlaufzeit unterliegt einer c.p.
prozentual höheren Preisänderung, wenn die Rendite sich
F
100
ändert.
4.
Die Anleihe mit dem
höheren Coupon unterliegt einer c.p.
50
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
prozentual niedrigeren Preisänderung, wenn die Rendite sich
Rendite
ändert.
r
T
1 + C ⋅ (1 + r ) −1
r
(
Barwert einer Couponanleihe
150
rC
T −t
t =1
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Anleihenpreise und Marktzinssätze bewegen sich in entgegen
gesetzte Richtungen.
−T
1− (1 + r )
−T
+ F ⋅ (1 + r ) Kouponanleihe mit Koupon C
PV = C ⋅
r
r  r 
C
−T 
⇒ PV = F ⋅  C + 1− C ⋅ (1 + r )  mit rC =
 r 

r
F
D=
1.
Barwert
T
5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
)
Barwert vs. Rendite
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3
5-18
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5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
Duration
einer Couponanleihe
Anleihenpreise und
Marktzinssätze
bewegen sich in entgegen
9
gesetzte Richtungen.rC
2.
Wenn rC = r gilt, notiert die Anleihe zu pari.
Wenn rC > r gilt,
notiert die Anleihe unter pari.
7
Wenn rC < r gilt, notiert die Anleihe über pari.
3.
Die Anleihe mit der längeren Restlaufzeit unterliegt einer c.p.
prozentual höheren Preisänderung,
wenn die Rendite sich
Rendite
Duration mit kürzerer Laufzeit
ändert.
Wert der Anleihe
1.
Laufzeit und Zinsempfindlichkeit
Duration
8
6
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Man betrachte zwei ansonsten
identische Anleihen.
Die länger laufende Anleihe ist
deutlich zinsempfindlicher als die
kürzer laufende.
0.16
Pari
Duration mit längerer Laufzeit
4.
Die Anleihe mit dem höheren Coupon unterliegt einer c.p.
prozentual niedrigeren Preisänderung, wenn die Rendite sich
ändert.
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rC
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Kürzer laufende
Anleihe
Rendite
Länger laufende
Anleihe
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5.3 Anleihenbewertung: Etwas Theorie
Anleihenpreise undDuration
Marktzinssätze
einer Couponanleihe bewegen sich in entgegen
8
rC
gesetzte Richtungen.
2.
Wenn rC = r gilt,7 notiert die Anleihe zu pari.
Wenn rC > r gilt, notiert die Anleihe unter pari.
6.5 notiert die Anleihe über pari.
Wenn rC < r gilt,
Coupon und Zinsempfindlichkeit
Wert der Anleihe
1.
Duration
7.5
6
3.
Die Anleihe mit der längeren Restlaufzeit unterliegt einer c.p.
prozentual höheren Preisänderung,
wenn die Rendite sich
Rendite
ändert.
Duration mit niedrigerem Coupon
4.
Die Anleihe mit dem höheren Coupon unterliegt einer c.p.
prozentual niedrigeren Preisänderung, wenn die Rendite sich
ändert.
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Man betrachte zwei ansonsten identische
Anleihen.
Die Anleihe mit dem niedrigeren Coupon ist
deutlich zinsempfindlicher als die mit dem
höheren.
Duration mit höherem Coupon
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Höherer Coupon
Rendite
Niedrigerer Coupon
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5-23
Wert der Anleihe
Rendite und Anleihenwert
5.4 Der Barwert bei Aktien
Solange r < rC gilt, notiert die Anleihe
über pari.
1400€
1300
1200
Wenn the r < rC gilt, notiert die
Anleihe zu pari.
1100
1000
Dividenden versus Kursgewinne
Bewertung von unterschiedlichen Typen von
Aktien
Nullwachstum
Konstantes Wachstum
Differenziertes Wachstum
800
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06 0.07
6 3/8
0.08
0.09
0.1
Rendite
Solange r > rC gilt, notiert die Anleihe unter pari..
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4
5-24
5-25
Fall 2: Konstantes Wachstum
Fall 1: Nullwachstum
Angenommen, die Dividenden wüchsen stets
mit einer konstanten Rate g, d.h.
Angenommen, die Dividenden blieben für immer auf
demselben Niveau
DIVt +1 = DIVt ⋅ (1 + g ) ∀t = 1, 2,…
Div1 = Div2 = Div3 = !
P0 =
DIV3
DIV1
DIV2
+
+
+"
1 + r (1 + r )2 (1 + r )3
P0 =
DIV
r
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t −1
t
⇒ DIVt = DIV0 ⋅ (1 + g ) = DIV1 ⋅ (1 + g )
Da die zukünftigen Cashflows konstant sind, ist der
Wert einer Nullwachstumsaktie gleich dem
Barwert einer ewigen Rente:
Da die zukünftigen Cashflows stets mit einer
konstanten Rate g wachsen, entspricht der
Wert einer Aktie mit konstantem Dividendenwachstum dem Barwert einer wachsenden ewigen Rente:
P0 =
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5-26
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DIV1
r−g
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5-27
Fall 3: Differenziertes Wachstum
Fall 3: Differenziertes Wachstum
Angenommen, die Dividenden wüchsen mit
der Rate g1 für N Jahre und mit der Rate g2
danach
Angenommen, die Dividenden wüchsen mit
unterschiedlichen Raten in der absehbaren Zukunft und
anschließend mit einer konstanten Rate.
Um eine solche Aktie zu bewerten, benötigen wir:
t
DIVt = DIV0 ⋅ (1 + g1 ) ∀t = 0,1, …, N
τ
DIVN +τ = DIVN ⋅ (1 + g 2 )
Schätzungen der Dividenden in der absehbaren Zukunft.
Eine Schätzung des Aktienkurses in dem Zeitpunkt, ab dem die
Aktie eine mit konstantem Wachstum wird (Fall 2).
Die Berechnung des Barwertes der geschätzen zukünftigen
Dividenden und des zukünftigen Aktienkurses auf der
Grundlage eines geeigneten Diskontierungssatzes.
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5-28
∀τ = 0,1, …
bzw.
N
τ
DIVN +τ = DIV0 ⋅ (1 + g1 ) ⋅ (1 + g 2 )
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∀τ = 0,1, …
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5-29
Fall 3: Differenziertes Wachstum
Fall 3: Differenziertes Wachstum
Wir können das als die Summe einer Njährigen mit der Rate g1 wachsenden
Annuität bewerten
N
DIV1  (1 + g1 ) 
PA =
⋅ 1−
N 
r − g1 
(1 + r ) 

Dividenden wachsen mit der Rate g1 für N
Jahre und mit der Rate g2 thereafter
Div0 (1 + g1 ) Div0 (1 + g1 )2
…
0
1
2
Div0 (1 + g1 )N
= Div0 (1 + g1 )N (1 + g2 )
…
…
N
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- plus dem abgezinsten Wert einer ewig mit der
Rate g2 wachsenden Rente, die im Jahr N+1
beginnt.
 DIVN +1 


 r − g 2 
PB =
N
(1 + r )
DivN (1 + g2 )
N+1
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5
5-30
5-31
Fall 3: Differenziertes Wachstum
Zusammengefasst finden wir:
 DIVN +1 


 r − g 
N
DIV1  (1 + g1 ) 
2
⋅ 1−
+
N 
N
r − g1 
r
r
+
+
1
1
(
)
(
)




1 + g  (1 + g )N  1 + g (1 + g )N 
1
1
+

1 
2
= DIV0 ⋅ 
⋅ 1−
⋅
N 
N 
(1 + r )  r − g 2 (1 + r ) 
 r − g1 
P=
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5-32
Differenziertes Wachstum: Beispiel
Eine Aktie hat gerade eine Dividende in Höhe von 2€ ausgeschüttet. Es wird erwartet, dass die Dividende mit
einer Rate von 8% für 3 Jahre wächst, danach wird sich
das Wachstum abschwächen, aber dauerhaft 4%
betragen.
Wieviel ist die Aktie wert? Die Diskontierungsrate beträgt
12%.
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5-33
Mit der Formel
1 + g  (1 + g )
1
1 
⋅ 1−
P = DIV0 ⋅ 
N
 r − g1 
1
r
+
(
)


N
 1 + g (1 + g )
1
+
2
N
 r−g ⋅
1
r
+
(
)
2

N
5.5 Schätzung der Parameter im
Dividendendiskontierungs-Model




Der Unternehmenswert hängt von der Wachstumsrate g und der Diskontierungsrate r ab.
3
 1 + 0, 08  (1 + 0, 08)3 

 + 1 + 0, 04 ⋅ (1 + 0, 08) 
P = 2€ ⋅ 
⋅ 1−
3
3

0,12
0,
08
0,12
0,
04
−
−
(1 + 0,12) 

 (1 + 0,12) 
Wert
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Woher kommt g?
Woher kommt r?
28,89 €
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5-35
Woher kommt g?
g = Thesaurierungsquote (τ) × Verzinsung (r) der
einbehaltenen Gewinne
τ = (EPS – DIV)/EPS = 1 – DIV/EPS
Gewinnwachstum: [EPS + r × (EPS – DIV)]/EPS
= 1+r ×τ
Dividendenwachstum = DIV1/DIV0 ={ [EPS0 + r × (EPS0
– DIV0)] × (1 – τ)} / DIV0
= [EPS0 / DIV0 + r × (EPS0 / DIV0 – 1)] × (1 – τ)
= [1/(1 – τ) + r × (1/(1 – τ) – 1)] × (1 – τ) = 1+r ×τ
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Woher kommt r?
Die Diskontierungsrate kann in zwei Teile zerlegt
werden.
Dividendenrendite und Dividendenwachstumsrate
V0 =
D1 + V1
1+ r
⇒ r=
D1
V
0
#
+
Dividendenrendite
V1 −V0
V0 '
$%%&%%
Wachstumsrate
D ⋅(1 + g )
D
V0 = 1 ; V1 = 1
r−g
r−g
V1 −V0 D1 ⋅ (1 + g ) − D1 r − g
=
⋅
=g
V0
r−g
D1
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6
5-36
5-37
Woher kommt r?
5.6 Wachstumsgelegenheiten
! Praktisch gesehen ist die Schätzung von r mit
Wachstumsgelegenheiten sind Möglichkeiten, in
Projekte mit positivem Kapitalwert zu
investieren.
beträchtlichen Schätzfehlern behaftet.
Der Unternehmenswert kann als der Wert eines
Unternehmens (“Cash-Kuh”) aufgefasst werden, das die
gesamten Gewinne als Dividenden ausschüttet,
zuzüglich dem Barwert aller Wachstumsgele-genheiten.
P=
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EPS
+ NPVGO
r
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5-39
5.7 Das Dividenden-WachstumsModell und die NPVGO Methode
Das Dividenden-Wachstums-Modell
und die NPVGO Methode
Damit liegen zwei Vorstellungen vor, wie man
eine Aktie bewerten kann:
Wir betrachten ein Unternehmen mit EPS von 5€ am
Ende des ersten Jahres, mit einer Thesaurierunsgquote
von 70%, einer Diskontierunsgrate von 16% und einer
Rendite von 20% auf einbehaltene Gewinne.
Das Dividenden-Diskontierungsmodell.
Das Modell, nach dem man den Aktienwert aus dem
Wert des Unternehmens als Cash-Kuh plus dem Wert
der Wachstumsgelegenheiten des Unternehmens
bestimmt.
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Die Dividende für das erste Jahr: 5€ × 0.3 = 1,50€ pro Aktie.
Die Wachstumsrate: 0,20 × 0,70 = 0,14 entspricht 14%
Der Aktienkurs nach dem Dividenden-Diskontierungsmodell ist:
DIV1
1,50€
1,5
=
=
€ = 75€
r − g 0,16 − 0,14 0, 02
P0 =
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5-40
5.8 Kurs-Gewinn-Verhältnis
Die NPVGO-Methode
Erstens: Cash-Kuh-Bewertung.
PCK ,0 =
DIVCK ,1
r
=
5€
= 31, 25€
0,16
Zweitens: Bewertung der Wachstumsgelegenheiten.
PWG ,0 =

3,5€ ⋅ 0, 2 
−3,5€ +


0,16 
r−g
Berechnet als heutiger Kurs, dividiert durch EPS (Gewinn
p.A.)
KGV =
=
[−3,5€ + 4,375€ ]
0, 02
= 43, 75€
Abschließend: P0 = PCK ,0 + PWG ,0 = 31, 25€ + 43, 75€ = 75€
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Es ist an den Aktienmärkten gängig Praxis, das
sogenannte Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV) als
relevante Größe anzusehen.
KGV auch bekannt als multiple
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Kurs der Aktie
Gewinn pro Aktie
Firms whose shares are “in fashion” sell at high multiples. Growth
stocks for example.
Firms whose shares are out of favor sell at low multiples. Value
stocks for example.
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5-42
5.9 Aktienkurse in der Tagespresse
5-43
5.10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen
In diesem Kapitel haben wir die Formeln für den
Barwert aus früheren Kapiteln auf die Bewertung von Anleihen und Aktien angewandt.
1. Der Wert einer Null-Koupon-Anleihe ist
PV =
F
T
(1 + r )
2. Der Wert einer ewigen Rente ist
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PV =
C
r
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5.10
Zusammenfassung und Schlussfolgerungen
3. Der Wert einer Coupon-Anleihe besteht aus
dem Wert einer Annuität und dem Barwert der
Rückzahlung bei Fälligkeit.
C 
1 
F
P0 = ⋅ 1−
+
T 
r  (1 + r )  (1 + r )T


Der Effektivzins (die Rendite) einer Anleihe ist der Zinssatz, bei
dem die oben stehende Formel richtig wird, wenn P0 der
Marktpreis der Anleihe ist.
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5.10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen
5.
Eine Aktie kann durch Diskontieren der Dividenden
bewertet werden. Drei Fälle können unterschiden
werden:
Kein Dividendenwachstum
Konstantes Dividendenwachstum
P0 =
P0 =
DIV1
r
DIV1
r−g
 DIVN +1 


N
DIV1  (1 + g1 )   r − g 2 
P=
⋅ 1−
+
N 
N
r − g1 
(1 + r )  (1 + r )

Differenziertes Dividendenwachstum:
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5.10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen
6. Die Schätzung der Wachstumsrate:
g = Thesaurierungsquote × Rendite auf einbehaltene Gewinne
7. Wir haben eine alternative Bewertungsmethode
kennen gelernt: Die NPVGO bewertet eine
Aktie als Summe ihres Cash-Kuh-Wertes plus
den Barwert ihrer Wachstumsgelegenheiten.
P0 =
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EPS
+ NPVGO
r
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