Die Unschärferelation der Quantenmechanik

Unschärferelation in der QM
Die Unschärferelation gilt als ein zentrales Merkmal
der QM. Die Ehre, den ersten Platz einzunehmen, hat
sie aber an die Verschränkung verloren.
Wir werden sehen, dass die Beweise der Unschärferelation rein mathematische Beweise sind.
Friedhelm Kuypers
Daher hat die Unschärferelation Nichts mit dem Messprozess, Impulsübertragungen oder dergleichen zu tun.
tun
15.03.2016
Lehrerfortbildung
Somit sollte es nicht verwundern, dass bereits die
Oberviechtach
klassischen Wellen eine Unschärferelation haben, die
für die Praxis von großer Bedeutung ist.
1
Übersicht
1. Unschärfe am Spalt (qualitativ)
Seite 3
2. Orts-Impuls-Unschärfe (exakt)
Seite 5
3. Orts- und Impulsmessungen
Unschärfen und Vertauschung der Reihenfolge
4. Allgemeine Unschärferelation
Seite 10
Seite 14
2
1. Unschärfe am Spalt (qualitativ)
Wir nennen
Δ x die „Ortsunschärfe“ hinter dem Spalt.
Durch die Beugung erhalten die Elektronen eine vertikale Impulsunschärfe,
die sich mit der Breite des nullten Beugungsmaximums abschätzen lässt.
Für das erste Beugungsminimum gilt laut klassischer Wellentheorie:
⎧⎪ h = Planck. Wirkungsquantum ≈ 1,05 ⋅ 10
h
λ
min
mit ⎨
sin α1 =
=
↑
Δ x de Broglie Δ x p
⎪⎩ p = horizontaler Elektronenimpuls
− 34
Js
3
min
sin α1
=
λ
h
=
Δx Δx p
mit p = horizont. Elektronenimpuls
Wir benötigen noch eine geometrische Beziehung:
min
sin α1
≈
↑
min
α 1 << 1
min
tan α1
≈
Δ px
p
Danach ist die „Unschärfe“ Δ p x der vertikale Impuls, mit dem die
Teilchen das erste Beugungsminimum erreichen.
⇒
min
Δ p x ≈ p sin α1
=
h
Δx
⇒
Δ x Δ px ≈ h
Die bekannte Orts-Impuls-Unschärferelation hat die untere Grenze:
Grenze
Δx Δ p x ≥
h
h
=
2
4π
Also: Herleitung grob. Dafür aber physikalisch anschaulich. Welleneffekt.
Welleneffekt
4
2. Orts-Impuls-Unschärfe (exakt)
Nun stellen sich drei Fragen:
1) Wie wird die Orts-Impuls-Unschärferelation exakt abgeleitet?
2) Gilt diese Unschärferelation nur für den Spalt oder auch für andere
Systeme? Und gibt es in der klassischen Physik womöglich Vergleichbares?
3) Gibt es in der QM auch für andere Paare von Observablen vergleichbare,
nach unten begrenzte Unschärfeprodukte?
Mit anderen Worten: Lassen sich auch andere Observablen-Paare in der QM
nicht gleichzeitig scharf messen?
In diesem zweiten Abschnitt wollen wir die erste und zweite Frage beantworten.
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Zuerst die Frage: Wie ist denn eine Unschärfe genau definiert?
Zur Einführung betrachten wir N klassische Messungen im Labor.
Wie erhalten wir mit N zufällig (statistisch)
statistisch verteilten Messwerten x1 , x 2 , .... x N
das beste Ergebnis?
Mittelwert
1
x :=
N
Standardabweichung Δ x : =
N
∑ xi
i =1
1
N −1
N
∑ ( xi − x )
2
i =1
Die Standardabweichung (in der QM Unschärfe)
rfe ist die Wurzel aus der
mittleren quadratischen Abweichung. Später analoge Definition in der QM.
Nur bei normalverteilten Messwerte liegen 68,3% der Messwerte im Intervall
x ± Δ x und der wahre, unbekannte Wert liegt mit 68,3 Wahrscheinkt. im Intervall
x ± Δx / N
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Nun zur QM : Die komplexe Lösung der Schrödinger-Gl.
Gl sei absolut integrierbar:
integrierbar
∞
∫− ∞ | ψ( x, t ) | d x < ∞
Dann lässt sich die Wellenfunktion als kontinuierliche Überlagerung darstellen:
1
2πh
ψ ( x, t ) =
∞
∫− ∞
~ ( p, t ) e i p x / h d p
ψ
mit
p 2π
=
=: k
λ
h
~ ( p, t ) heißt Impulswellenfunktion.
Die Fouriertransformierte ψ
Impulswellenfunktion Inverse Fouriertrf.:
~ ( p, t ) =
ψ
1
2πh
∞
∫− ∞
ψ ( x, t ) e
−i p x/ h
dx
Die Bedeutung der Orts- und Impulswellenfkt. wird durch 2 Postulate festgelegt:
2
| ψ ( x, t ) | d x = Wkt., das Teilchen in [ x , x + d x ] zu finden.
2
~ ( p, t ) | d p = Wkt., den Impuls in [ p , p + d p ] zu finden.
|ψ
7
x =
∞
∫− ∞
2
x | ψ ( x, t ) | d x
2
(Δ x) =
∞
∫− ∞
(x −
x
) 2 | ψ( x, t ) | 2 dx
Die quadrierte Standardabweichung des Ortes ist die mittlere quadratische
Abweichung vom Erwartungswert des Ortes.
p =
∞
∫− ∞
~ ( p, t ) | 2 d p
p|ψ
2
(Δ p) =
∞
∫− ∞
(p−
p
) 2 | ψ~ ( p, t ) | 2 dp
Das zweite Integral ist die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert.
Mit der Theorie der Fouriertransformationen lässt sich rein mathematisch beweisen, dass das Unschärfeprodukt von Ort und Impuls eine untere Grenze hat:
hat
Δx Δ p ≥
h
2
Die untere Grenze hat Nichts mit der Physik, Nichts mit Messprozessen, Impulsüberträgen, …. zu tun. Sie ist eine innere
mathemat. Eigenschaft der Funktionen.
Bei Gaußverteilg. z.B. ist Δ x der Abstand ⟨ x ⟩ ↔ Wendepunkt.
Die Physik kommt nur erst durch die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktionen ins Spiel.
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Der rein mathematischen Beweis legt die Vermutung nahe, dass es auch bei
klassischen Wellen,
Wellen also in der Nachrichtentechnik, Optik, Akustik … eine
Unschärferelation gibt.
In der Tat : Das Zeit-Bandbreite-Produkt hat eine untere Grenze.
Die Zeitdauer und die Bandbreite eines Signals können nicht gleichzeitig beliebig
klein sein.
Für das Zeit-Bandbreite-Produkt gilt:
Δt Δω ≈ 1
Eine genaue untere Grenze wird nicht genannt, weil die Zeitdauer und die Bandbreite in der Signalverarbeitung je nach Anwendung verschieden definiert werden.
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3. Orts- und Impulsmessungen
Wir wollen das Unschärfeprodukt näher beleuchten. Dazu betrachten wir 10^4
identisch präparierte Teilchen,
Teilchen also Teilchen mit derselben Wellenfunktion.
Wir messen an den ersten 5000 Teilchen den Ort und finden eine mehr oder
weniger weite Verbreitung der Fundorte. Die Ausdehnung der Verteilung wird
durch die Ortsunschärfe Δx charakterisiert.
Bei einer normalverteilten Aufenthaltsdichte
Intervall x ± Δ x
| ψ ( x, t ) |
2
liegen 68,3% der Fundorte im
Danach messen wir an den letzten 5000 Teilchen den Impuls und finden eine mehr
oder weniger weite Verbreitung der gemessenen Impulswerte. Die Ausdehnung
der Impulsverteilung wird durch die Impulsunschärfe Δp charakterisiert.
h
Δx Δ p ≥
2
Fazit: Je stärker die gemessenen 5000 Fundorte
streuen, umso dichter liegen die gemessenen
Impulse zusammen und umgekehrt.
Man sagt: Orte und Impulse lassen sich nicht gleichzeitig scharf messen.
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Alternative Betrachtung für ein einzelnes Teilchen:
Teilchen Je kleiner das Ortsintervall ist, in
dem man das Teilchen bei einer Ortsmessung erwartet, desto größer ist das
Impulsintervall, in dem der Teilchenimpuls wahrscheinlich bei einer Impulsmessung
gefunden wird.
Beachte: Die Ortsunschärfe ist nicht die Ungenauigkeit des Messgerätes, sondern
gibt das Intervall an, in dem das Teilchen wahrscheinlich gefunden wird. Die
Unschärfe geht auf die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion zurück.
ck
Beispiel: Unschärfeprodukt Gaußscher Wellenpakete mit
⎛ x2 ⎞
1
⎟
exp⎜ −
2
⎜ 2a ⎟
2π a
⎠
⎝
2
ψ ( x , 0) =
2
⇒ (Δ x) =
2
( Δk ) =
⇒
∞
∫− ∞ x
2
2
ψ ( x, 0) d x =
∞
∫− ∞ ( k − k 0 )
1
Δ x Δk =
2
⇔
2
1
2π a
~ 2 (k ) d k =
ψ
h
Δx Δ p =
2
~ 2 (k ) =
ψ
⇔
∞
∫− ∞
p → k := p / h
[
2
2
2
a exp − 2 a ( k − k 0 )
π
]
⎛ x2 ⎞
2
x exp⎜ − 2 ⎟ d x = a
↑
⎜ 2a ⎟
⎝
⎠
FS
2
1
4a2
Das minimale Unschärfeprodukt von Ort und
Impuls wird nur bei Normalverteilungen
angenommen.
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2
ψ ( x, 0) =
~ 2 (k ) =
⇔ ψ
⎛ x2 ⎞
1
⎟
exp⎜ −
2
⎜
⎟
2π a
⎝ 2a ⎠
[
2
2
2
a exp − 2 a ( k − k 0 )
π
]
mit
k=
p
h
a = 1 .5
a =
___ | ψ ( x, t ) | 2
_ _ _ |ψ
~ ( p, t ) | 2
1
5
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Reihenfolge von Orts- und Impulsmessung nicht vertauschbar.
| ψ ( x, t ) |
2
~ ( p, t ) |
|ψ
2
Gaußsches Wellenpaket.
Am roten Ort wird das
Teilchen gefunden.
Die rote Ortsmessung lässt die
Wellenfkt. in die Umgebung
des Fundortes kollabieren.
Die Impulsmessung lässt die
Impulswellenfunktion kollabieren.
Ein weitere Ortsmessung würde evtl. einen ganz anderen Fundort liefern.
Fazit: Wegen der Impulsmessung ist das Ergebnis der anfänglichen
Ortsmessung bedeutungslos geworden.
Eine scharfe Impulsmessung zerstört das Ergebnis einer Ortsmessung.
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4. Allgemeine Unschärferelation
Wir erinnern uns: In der QM werden die klassischen Messgrößen (Observablen) r, p, L, E, … durch hermitesche Operatoren ersetzt.
ersetzt Beispielsweise:
ˆ =r
r → R
h
ˆ
p → P= ∇
i
2
2
p
h
→ −
Δ
2m
2m
Wir suchen das Unschärfeprodukt für ein beliebiges Paar von Observablen.
Die Definition der Unschärfe übernehmen wir unverändert von oben.
Reelle symmetrische Matrizen sind hermitesch. (Trägheitstensor der klass. Mechanik)
Komplexe Matrizen sind hermitesch, wenn sie mit ihrer komplex-konjugierten und
transponierten Matrix übereinstimmen.
Operatoren sind genau dann vertauschbar, wenn ihr Kommutator verschwindet:
[ Aˆ , Bˆ ] : = Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ
Wichtig: Zwei Operatoren vertauschen genau dann, wenn sie alle Eigenvektoren gemeinsam haben.
[ Aˆ , Bˆ ] = 0
⇔
Aˆ , Bˆ haben alle Eigenvektoren gemeinsam.
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Die allgemeine Unschärferelation für alle hermiteschen Operatoren lässt
sich abgeleiten mit der Schwarzschen Ungleichung und mit den mathematischen Eigenschaften hermitescher Operatoren.
Operatoren
Die Unschärferelation lautet für ein Teilchen im Zustand ψ
Δ Aψ ⋅ Δ Bψ ≥
1
2
:
ψ [ Aˆ , Bˆ ] ψ
Der mathematische Herleitung zeigt, dass die Unschärferelation Nichts mit dem
Messprozess, Impulsübertragungen und dergleichen zu tun hat.
hat Die Unschärfe
ist eine innere Eigenschaft der Wellenfunktionen.
Beispiel:
⎡h ∂
⎤
⎤ h
h ⎡
h
′
′
x
x
x
x
x
p
,
(
)
=
ψ
⇒
Δ
Δ
≥
ψ
=
ψ
+
ψ
−
ψ
ψ
ψ
⎢ i ∂x ⎥
⎥
⎢
i
i
2
⎦
⎣
⎣
⎦
Der Erwartungswert eines Kommutators ist immer imaginär.
Wenn der Zustand ψ
eine Eigenfunktion von A ist, gilt die Gl.: 0 ⋅ Δ Bψ ≥ 0
Bei Messungen an einem Teilchen darf die Reihenfolge der Messungen nicht
kommutierender Operatoren nicht vertauscht werden – wie bei Ort-Impuls.
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