Richtig oder falsch? Gegeben sei ein Netzwerk N = (V, A, c, s, t) wie

Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Gegeben sei ein Netzwerk N = (V, A, c, s, t) wie
in der Vorlesung. Ein maximaler s-t-Fluss kann
immer mit Hilfe einer Folge von höchstens |A|
Augmentationsschritten gefunden werden.
Wendet man den Dijkstra-Algorithmus auf einen
zusammenhängenden Graphen an, so liefert er für
jede Wahl des Startknotens einen Spannbaum.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph
mit Kantengewichtung l : E → R≥0. Dann gibt
es mindestens ein s ∈ V , sodass der DijkstraAlgorithmus mit Startknoten s einen MST ausgibt.
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph,
s ∈ V und l : E → R≥0 eine Kantengewichtung. Ist E 0 ⊂ E die Menge der Kanten, die auf
einem vom Dijkstra-Algorithmus mit Startknoten
s berechneten Weg liegen, so gilt: Die bezüglich l
längste Kante in E ist nie in E 0 enthalten.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph
mit Kantengewichtsfunktion l und U ⊂ V . Jeder
l-minimale Baum, der U aufspannt, ist auch Teil
eines MSTs von ganz V .
Mit dynamischer Programmierung ist das KnapsackProblem in Polynomialzeit lösbar.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Sei G = (V, E) ein Graph. Dann kann man dist(u, v)
für u, v ∈ V unter Verwendung von BFS in O (|V | + |E|)
bestimmen.
Sei G = (V, E) ein Graph. Dann kann man dist(u, v)
für u, v ∈ V unter Verwendung von DFS in O (|V | + |E|)
bestimmen.
Richtig oder falsch?
n! = O 2n log n .
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Sei G = (V, E) ein Graph. Dann kann die Liste der Abstände zwischen allen Knotenpaaren unter Verwendung von BFS in O (|V ||E|) bestimmen.
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph,
s ∈ V und l : E → R≥0 eine Kantengewichtung. Sei weiter v1, v2, . . . , vn eine Besuchsreihenfolge für Dijkstra mit Startknoten v1. Dann gilt
am Ende des Algorithmus dist(v1) ≤ dist(v2) ≤
. . . ≤ dist(vn).
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Nehmen wir an, in G existiert genau eine Kante k mit negativem Gewicht, alle anderen Kanten
haben positives Gewicht. Dann kann ein kürzester
s, t-Weg durch zweimaliges Aufrufen des DijkstraAlgorithmus auf einem Subgraphen von G gefunden werden.
Sei G = (V, E) ein beliebiger Graph, T und T 0
zwei minimal spannende Bäume von G, sowie e1 ≤
. . . ≤ en−1 bzw. e01 ≤ . . . ≤ e0n−1 die Gewichte der
Kanten von T bzw. T 0. Dann gilt für alle i stets
ei = e0i.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Es existiert ein Graph G mit einem minimal spannenden Baum T , sodass der Kruskal-Algorithmus
diesen spannenden Baum nie findet.
Sei G ein gewichteter Graph mit injektiver Gewichtsfunktion l : V → R. Dann gibt es genau
einen minimal spannenden Baum.
Sei G = (V, E) ein Graph. Dann kann die Liste der Abstände zwischen allen Knotenpaaren unter Verwendung von BFS in O (|V | + |E|) bestimmen.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Wenn G = (V, E)
nicht zusammenhängend ist, so
hat G = (V, V2 \E) Durchmesser ≤ 2.
Betrachte einen Graphen G = (V, E) und eine
Kantengewichtung l : E → R≥0. Es sei T ein
MST bezüglich l in G, und C sei ein HamiltonKreis in G. Dann gilt: Jede von T überdeckte Kante in C ist höchstens so schwer wie jede nicht von
T überdeckte Kante in C.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
∗
Sei G = (V, E) ein Graph und M ein größtes
Matching in G. Sei weiterhin MG ein GreedyMatching. Dann gilt 2|MG| ≥ |M ∗|.
Ein Baum hat immer Maximalgrad ∆ ≤ 3.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Sei T ein Baum auf n Knoten. Dann addieren sich
Maximalgrad und Durchmesser zu mindestens n
auf.
Hat G = (V, E) Maximalgrad ∆ ≤ 2, so hat jeder
Baum T ⊂ E Maximalgrad ∆T = 2.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Sei G = (V, E, l) ein gewichteter Graph. Treffen sich zwei kantendisjunkte kürzeste s, t-Wege
in v ∈ V \{s, t}, dann können die jeweiligen s, vbzw. v, t-Teilwege zu zwei weiteren kürzesten s, tWegen kombiniert werden.
Sei G = (V, E, l) ein gewichteter Graph mit l :
E → R injektiv. Dann kann es keine zwei kantendisjunkte kürzeste s, t-Wege geben, die sich in
einem v ∈ V \{s, t} treffen.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Sei G = (V, E) ein gewichteter und zusammenhängender
Graph. Ist e eine Kante minimalen Gewichts, dann
existiert ein MST von G, der e enthält.
Sei G = (V, E) ein gewichteter und zusammenhängender
Graph. Ist e eine Kante, die in keinem Kreis in G
enthalten ist, dann ist e Teil jedes MSTs von G.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Es existiert ein Graph auf 102 Knoten, sodass genau 49 Knoten Grad 5 und die verbleibenden 53
Knoten Grad 6 haben.
Sei G = (V, E) ein gewichteter und zusammenhängender
Graph. Ist T der eindeutige MST von G, so haben
die |V | − 1 Kanten in T verschiedene Gewichte.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Sei G = (V, E) ein gewichteter und zusammenhängender
Graph mit Kantengewichtsfunktion l. Ist f : R →
R monoton wachsend, dann ist ein l-minimaler
Spannbaum auch bezüglich f ◦ l minimal.
Sei N = (s, t, V, E, β) ein Netzwerk und C =
(Vs, Vt) ein s-t-Schnitt. Das Entfernen jedes Knotens v aus Vs\{s} aus Vs lasse die Kapazität des
Schnitts größer werden. Des Weiteren vergrößere
auch das Hinzufügen jedes Knoten v aus Vt\{t}
zu Vs die Kapazität des Schnitts. Dann ist C ein
MinCut.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
k
ε
∀ε ∈ R>0, ∀k ∈ N : (log n) = o(n ).
Löscht man in einem Netzwerk mit maximalem
Fluss alle saturierten Kanten, so ist der Graph
nicht mehr stark zusammenhängend.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
n
2
Sei G = (V, E) ein Graph mit deg(v) ≥ für alle
v ∈ V . Dann besitzt G einen Hamilton-Kreis.
Seien U1 = (E1, I1) und U2 = (E2, I2) zwei Matroide. Dann ist (E1 ∪E2, I1 ∪I2) im Allgemeinen
kein Matroid.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Seien U1 = (E1, I1) und U2 = (E2, I2) zwei Matroide. Dann ist (E1 ∩ E2, I1 ∩ I2) ein Matroid.
Ein bipartiter Graph auf n Knoten hat höchstens
n2/4 Kanten.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Graphen auf n Knoten mit m Kanten kann man
in O (n + m) Zeit auf Bipartitheit testen
Sei G = (V, E) ein Graph. Dann lässt sich G
mittels Tiefensuche auf Bipartitheit testen.
Richtig oder falsch?
Richtig oder falsch?
Sei G = (V, E) ein Graph und w ∈ V . Dann
lassen sich mittels Tiefensuche alle Entferungen
dist(v, w) für alle v ∈ V bestimmen.
Mit dem Bellman-Ford-Algorithmus
lässt sich ein
Graph in O n2 Zeit auf negative Kreise überprüfen.