M9 Geometrielehrgang Inhalt

M9 Geometrielehrgang
Inhalt:
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1.1
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14.8
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15.1
15.2
15.3
15.4
16
16.1
Geometrische Grundbegriffe
Punkte
Linien und deren Lagebeziehungen:
Flächen und Körper. Ordne die Begriffe durch nummerieren zu!
Dreiecke
Dreieckfläche
Vierecke
Fläche Parallelogramm
Übersicht Vierecke
Winkelsätze
Konstruktion wichtiger Ortslinien und Punkte
Ortslinien und geometrische Orte
Übungen zu Ortslinien und geometrische Orte
Mittelsenkrechten Umkreis, k (M, r)
Winkelhalbierende und Inkreis, k (O,)
Mittelparallelen und Seitenhalbierenden/Schwerelinien, Schwerpunkt S
Linien im Dreieck
Grundaufgaben Senkrechten und Parallelen
Parallelogramme und Rhomben konstruieren
Kreisbegriffe
Winkel am Kreis
Theorie und Beweis Ortsbogen
Ortsbogenkonstruktion (Fasskreis)
Die Sprache in der Geometrie
Aufgaben aus dem alten Mathebuch
Aufgaben Dreiecke mit Höhen
Lösungen Dreiecke mit Höhen, Kontrollgrössen
Konstruktionen Dreiecke, Umkreis und Inkreis
Lösungen Dreiecke, Umkreis und Inkreis
Konstruktionen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien
Lösungen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien
Konstruktionen Ortsbogen
Lösungen Ortsbogen
Ergänzung zu 4. Bez mathbu.ch 9+
Aufgaben zu Geometrischen Örtern
Aufgaben zu Dreiecken
Aufgaben zu Trapezen
Aufgaben zu Rhomben und Drachen
Arbeitsblätter
Lösungen Arbeitsblätter
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1 Geometrische Grundbegriffe
Das Wort „Geometrie“ ist altgriechischen Ursprungs und setzt sich aus den Wörtern „geo“ =
Erde und „metron“ = messen zusammen. Die Geometrie war die Wissenschaft, die sich mit
dem Vermessen der Erde beschäftigte. Die heutige Geometrie bildet die Grundlage für viele
praktische Anwendungen und Wissensgebiete:
Landvermessung, Architektur, Maschinenbau, Astronomie …
Die Geometrie hat die Aufgabe, geometrische Gebilde (Körper, Flächen, Linien und Punkte)
zu zeichnen, zu beschreiben, zu berechnen und ihre Gesetzmässigkeiten zu untersuchen.
Die Geometrie gliedert sich in
 die Lehre von den ebenen Figuren (Planimetrie)
 die Lehre von den Körpern (Stereometrie)
 die Lehre von den Dreiecken (Trigonometrie)
1.1 Punkte
Punkte entstehen durch den Schnitt zweier Linien.
Punkte werden mit Grossbuchstaben bezeichnet und
haben eigentlich keine Ausdehnung.
1.2 Linien und deren Lagebeziehungen:
Linien werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Die Lage einer geraden Linie ist durch
zwei Punkte genau festgelegt.
g
A
a
B
P
h
g
p
q
k1
P
k2
Q
Notiere die Begriffe und Beschreibungen in die zutreffenden Kästchen.
Gerade g = AB,
g∩h→P , gh
Strecke a = AB ,
beidseitig begrenzt,
p ∩ q → { } , p || q
g geschnitten mit h gibt den Schnittpunkt P,
p geschnitten mit q gibt keinen Schnittpunkt,
unendlich lang.
k1 ∩ k2 → P, Q
g ist senkrecht* zu h,
p ist parallel zu q,
Kreis 1 geschnitten mit Kreis 2 gibt die Schnittpunkte P und Q.
*Beachte: die drei Bezeichnungen senkrecht zu, orthogonal oder senkrecht zu
haben alle dieselbe Bedeutung!
M9 Geometrielehrgang 2
1.3
Flächen und Körper. Ordne die Begriffe durch nummerieren zu!
M9 Geometrielehrgang 3
2 Dreiecke
Beschrifte die Ecken des Dreiecks von unten links im Gegenuhrzeigersinn
mit A, B, C. Beschrifte die Winkel mit . Beschrifte die Seiten mit a, b, c.
Beachte: Die Seite a ist gegenüber der Ecke A etc.!
hc
hb
a
b

A
Miss die Winkel und die Seitenlängen!
 = ______  = ______  = ______
Summe der Winkel _________
a = ______ b = ______ c = ______
Umfang __________________ 
2.1 Dreieckfläche
Die Fläche eines Dreiecks lässt sich mit einer Seite und der zugehörigen Höhe berechnen.
Die Formel zur Berechnung erhält man, in dem man das Dreieck verdoppelt und in ein
Rechteck umwandelt.
Die Formel lautet:
Die folgenden Dreiecke haben spezielle Eigenschaften:
C
A
B
E
D
A = ____________________________
B = ____________________________
Eigernschaften:
Seiten ___________________________
_______________________________
Winkel ___________________________
________________________________
C = ____________________
D = _________________
E = ____________________
Seiten ___________________
___________________
________________________
Winkel ___________________
___________________
________________________
Eigernschaften:
M9 Geometrielehrgang 4
3 Vierecke
Beschrifte die Ecken des Parallelogramms von unten links im Gegenuhrzeigersinn
mit A, B, C, D. Zeichne die Diagonalen e = AC und f = BD ein!
Beschrifte die Winkel mit . Beschrifte die Seiten mit a, b, c, d.
hb
ha
b

A
a
Miss die Winkel und die Seitenlängen!
 = ______  = ______  = ______
 = ______ Summe der Winkel _________
a = ______ b = ______ c = ______ d = ______ Umfang __________________ 
Notiere die allgemeinen Eigenschaften des Parallelogramms:
Seiten _____________________________________________________________
Winkel _____________________________________________________________
Diagonalen e, f _______________________________________________________
3.1 Fläche Parallelogramm
Die Fläche eines Parallelogramms lässt sich mit einer Seite und der zugehörigen Höhe
berechnen. Die Formel zur Berechnung erhält man, in dem man das Parallelogramm zerlegt
und in ein Rechteck umwandelt.
Die Formel lautet:
Die folgenden Vierecke sind spezielle Parallelogramme:
A
A = _______________
B
B = _______________
C
C = ______________________
Zusätzliche spezielle Eigenschaften:
Seiten ___________________
___________________
________________________
Winkel ___________________
___________________
________________________
Diagonalen e, f _______________
___________________
________________________
Winkel ef ___________________
___________________
________________________
M9 Geometrielehrgang 5
4 Übersicht Vierecke
M9 Geometrielehrgang 6
5 Winkelsätze
1. Nebenwinkel ergänzen
sich zu 180°.
2. Scheitelwinkel sind
gleich gross.
3. Stufenwinkel sind
gleich gross
4. Wechselwinkel sind
gleich gross
5. Innenwinkelsumme in
einem Dreieck beträgt
180°.
Der Aussenwinkel eines
Dreieckwinkels ist gleich
der Summe der beiden
anderen Dreieckwinkel.
6 Konstruktion wichtiger Ortslinien und Punkte
Winkelhalbierende
Mittelsenktrechte
A
B
Mittelparallele
S
Thaleskreis
a
b
A
M9 Geometrielehrgang 7
B
7 Ortslinien und geometrische Orte
Definition:
Unter Ortslinien und geometrischen Orten verstehen wir Mengen
von Punkten, die eine bestimmte Lagebedingung erfüllen
Kreis mit Radius r
Die Menge aller
Punkte, die von
einem
gegebenen
Punkt (M) genau
den gleichen
Abstand (r)
haben
Die Menge aller
Punkte, die von
zwei gegebenen
Punkten (A und
B) genau den
gleichen Abstand
haben
Mittelsenkrechte zu AB
Mittelsenkrechte
Die Menge aller
Punkte, die
näher bei B
liegen als bei A.
Oder:
Die Menge aller
Punkte, die
weiter von A
entfernt sind als
von B.
Der Umkreismittelpunkt M ist
der Punkt, der
von drei
gegebenen
Punkten (A, B,
C) den gleichen
Abstand hat.
Mittelsenkrechte/Umkreis
Kreis mit Radius r
Die Winkelhalbierenden g, h
Winkelhalbierende
Winkelhalbierende/Inkreis
Die Menge aller
Punkte, die von
zwei gegebenen
Parallelen (p1,
p2) genau den
gleichen Abstand
haben
Mittelparallele m
Die Menge aller
Punkte, die von
einem
gegebenen Punkt
(M) höchstens
den Abstand (r)
haben.
Markierung inkl.
Kreislinie.
Die Menge aller
Punkte, die von
zwei gegebenen
Geraden, die
sich schneiden
(A und B) den
gleichen Abstand
haben
Die Menge aller
Punkte, die näher
bei g liegen als
bei h.
Oder:
Die Menge aller
Punkte, die
weiter von h
entfernt sind als
von g.
Der Inkreismittelpunkt O ist
der Punkt, der
von drei
gegebenen
Geraden (a, b, c)
den gleichen
Abstand hat.
Die Menge aller
Punkte, die von
einer gegebenen
Geraden (g)
mindestens den
Abstand a haben
Parallelenpaar
M9 Geometrielehrgang 8
7.1
Übungen zu Ortslinien und geometrische Orte
Formuliere die passenden Bedingungen!
M9 Geometrielehrgang 9
7.2
Mittelsenkrechten Umkreis, k (M, r)
7.3
Winkelhalbierende und Inkreis, k (O, )
7.4
Mittelparallelen und Seitenhalbierenden/Schwerelinien, Schwerpunkt S
M9 Geometrielehrgang 10
8 Linien im Dreieck
___________________
Die Mittellinien
oder Mittelparallelen
___________________________
oder Schwerelinien
M9 Geometrielehrgang 11
9 Grundaufgaben Senkrechten und Parallelen
So zeichnet man senkrechte Geraden (i  h):
So zeichnet man parallele Geraden (h || g):
h
P
g
i
h
B
1) Zeichne eine Gerade g und einen Punkt A auf g. Zeichne durch A eine Gerade h, die
senkrecht zu g ist. Kurz: A  g, h  g und h ∩ g → A
2) Zeichne eine Gerade h und einen Punkt B der nicht auf h liegt. Zeichne durch B eine
Gerade i, die senkrecht zu h ist.
3) Zeichne eine Gerade g und einen Punkt P der nicht auf g liegt. Zeichne durch P eine
Gerade h, die parallel zu g ist.
M9 Geometrielehrgang 12
10 Parallelogramme und Rhomben konstruieren
4) Ergänze die Figur zu einem Parallelogramm
C
A
Lösungsbericht:
Kreis um A mit Radius BC
Kreis um C mit Radius AB
ergibt die Ecke D)
B
5) Gegeben ist die Diagonale AC. Konstruiere einen Rhombus ABCD mit Seitenlänge
4 cm!
C
Lösungsbericht:
Kreis (A, r = 4 cm)
Kreis (C, r = 4 cm)
ergibt die Ecken B und D
A
6) Gegeben ist die Höhe ha = 3 cm eines Parallelogramms und die Seitenlänge a = 3,5 cm
und die Seitenlänge b = 4 cm. Zeichne das Parallelogramm!
Skizze:
Konstruktion
Lösungsbericht:
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
Lösungsschritte:
Kreis um A mit Radius 4 cm [kurz: k(A, r=4cm)]
Parallele zu a mit Abstand 3 cm
Seite a = AB zeichnen
Kreis um B mit Radius 4 cm [kurz: k(B, r=4cm)]
M9 Geometrielehrgang 13
11 Kreisbegriffe
Tangentenkonstruktion
T2
M
P
T1
Konstruiere vom Punkt aus die Tangenten an den Kreis!
Markiere die Tangentenabschnitte → PT1 = PT2 mit Farbe und beschrifte die
Tangentenberührpunkte mit T1 und T2 !
M9 Geometrielehrgang 14
12 Winkel am Kreis
Miss verschiedene Winkel. Male gleich grosse Winkelfelder mit derselben Farbe an! Male
auch alle rechtwinkligen Felder mit einer Farbe an (wie Beispiel)!
A
B
Wähle Punkte Cx auf der Kreislinie und zeichne weitere Verbindungen zu den beiden
Punkten A und B. Miss die Winkel, die bei den Punkten Cx entstehen.
C1
M55
A
B
M9 Geometrielehrgang 15
12.1 Theorie und Beweis Ortsbogen
M9 Geometrielehrgang 16
12.2 Ortsbogenkonstruktion (Fasskreis)
A
B
Soll der gesuchte Winkel oberhalb der Strecke
AB entstehen, so muss der Winkel zuerst auf
die andere Seite abgetragen werden.
Bild 1
A
B
Dann wird vom entstandenen Schenkel ein 90°
Winkel in die entgegengesetzte Richtung
abgetragen.
Bild 2
Durch die Konstruktion der Mittelsenkrechten
zur Strecke AB entsteht der Mittelpunkt M des
Ortsbogens.
M
A
B
Bild 3
Nun kann der Ortsbogen konstruiert werden.
M
A
B
Bild 4
Aufgabe 1: Die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden g. Konstruiere einen Punkt
P, so dass die Strecke AB = 5 cm unter einem Winkel von 60°, die Strecke AC = 9 cm unter
einem Winkel von 110° erscheint.
Aufgabe 2: Von einem Trapez ABCD mit AC = 6 cm ist bekannt, dass der Schnittpunkt der
Diagonalen 2 cm von C entfernt ist. Ausserdem sind die Winkel ADS = 70° und SDC = 30°
bekannt. Konstruiere das Trapez!
Aufgabe 3: Konstruiere ein Dreieck aus Umkreisradius r = 3 cm,  = 60°,  = 45°!
M9 Geometrielehrgang 17
13 Die Sprache in der Geometrie
Kurztext
Erläuterung
a = AB
Ag
k1 (A, r)
 zu a durch P
 zu a
|| zu b durch B
 an g abtr.
Winkel BAC
MS zu AB
w
sa
Streifen hc
g ∩ k1 (A, r) → A
Diagonale AC
Strecke a durch die Punkte A und B zeichnen
Punkt A auf der Geraden g wählen
Kreis (oder Bogen) um A mit Radius r zeichnen
Eine Senkrechte zur Geraden a durch den Punkt P errichten
Lot zur Geraden A fällen
Eine Parallele zur Geraden b durch den Punkt B zeichnen
Winkel  an der Geraden g abtragen.
Winkel BAC abtragen.
Die Mittelsenkrechte der Seite AB konstruieren
Winkelhalbierende von  konstruieren
Seitenhalbierende von a konstruieren
Höhenstreifen hc Konstruieren
Die Gerade g mit dem Kreis k1 geschnitten ergibt den Punkt A
Diagonale AC zeichnen
Führe folgende Anweisungen aus:
1. Strecke AB = 5 cm, A, B  g
2.  zu AB durch A und B
3. k1 (A, 5 cm) ∩ k2 (B, 5 cm) → M
4. k3 (M, 5 cm)
5. Gerade AM ∩ k3 → D
6. Gerade BM ∩ k3 → E
7. || zu AB durch M ∩ k3 → C, F
Welche Anweisung(en) ist,
(sind) überflüssig?
g
M9 Geometrielehrgang 18
14 Aufgaben aus dem alten Mathebuch
14.1 Aufgaben Dreiecke mit Höhen
14.2 Lösungen Dreiecke mit Höhen, Kontrollgrössen
M9 Geometrielehrgang 19
14.3 Konstruktionen Dreiecke, Umkreis und Inkreis
M9 Geometrielehrgang 20
14.4 Lösungen Dreiecke, Umkreis und Inkreis
M9 Geometrielehrgang 21
14.5 Konstruktionen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien
14.6 Lösungen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien
M9 Geometrielehrgang 22
14.7 Konstruktionen Ortsbogen
M9 Geometrielehrgang 23
14.8 Lösungen Ortsbogen
M9 Geometrielehrgang 24
15 Ergänzung zu 4. Bez mathbu.ch 9+
Zusätzliches Aufgabenangebot zum Thema „Konstruktive Geometrie“
Im Folgenden wird eine Auswahl von Aufgaben vorgestellt, die repräsentativ das Anspruchsniveau
darstellen sollen, das auf dem Gebiet der konstruktiven Geometrie für eine 4. Klasse der Bezirksschule als
angemessen betrachtet wird.
15.1 Aufgaben zu Geometrischen Örtern
1)
g = PQ, P(–3.5/–1), Q(1.5/1.5)
Gib die Menge aller Punkte R an, welche von der Geraden g einen Abstand von
mindestens 1.2 cm, aber höchstens 2.8 cm haben.
2)
Konstruiere die Menge aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben, aber
auch von C gleich weit entfernt sind wie von D.
A(0/3.5); B(4.5/0); C(5.5/2); D(6.5/7)
3)
Zeichne einen spitzen Winkel mit den Schenkeln s1 und s2. Konstruiere dann den Punkt P auf der
Winkelhalbierenden, der von den Schenkeln den Abstand 1.8 cm hat.
4)
Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen |AB| = 8.5 cm und |BC| = 5.0 cm. Markiere
dann die Menge aller Punkte P, welche folgende 4 Bedingungen zugleich erfüllen:
i)
ii)
iii)
iv)
P liegt im Rechteck ABCD
|AP| > |BP|
P liegt näher bei CD als bei CB
|PC| ≤ |BC|
15.2 Aufgaben zu Dreiecken
5)
Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = |AB| = 7.5 cm, der Höhe hc = 5.1 cm und dem
Winkel CAB = α = 56°.
6)
Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = |AB| = 8.1 cm, der Höhe hc = 4.9 cm und dem
Winkel BCA = γ = 64°. (Ortsbogen!)
7)
Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = |AB| = 7.9 cm, der Höhe hc = 4.7 cm und der
Seitenhalbierenden sa = 4.5 cm. (Mittelparallele!)
8)
Konstruiere ein Dreieck aus der Höhe hc = 5.5 cm, dem Winkel CAB = α = 54° und der
Seitenhalbierenden sb = 4.9 cm.
M9 Geometrielehrgang 25
9)
Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck (|AC| = |BC|) aus der Höhe hc = 5.8 cm und
dem Winkel BCA = γ = 62°.
10)
Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = |AB| = 7.3 cm, dem Radius des Umkreises
r = 4.2 cm und der Höhe hc = 4.6 cm.
11)
Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = |AB| = 6.9 cm, dem Radius des Umkreises
r = 4.1 cm und der Höhe ha = 4.0 cm.
12)
Konstruiere ein Dreieck aus der Höhe hc = 4.4 cm, dem Winkel CAB = α = 63° und dem
Radius des Umkreises r = 4.1 cm.
13)
Konstruiere ein Dreieck aus der Höhe hc = 5.6 cm, dem Winkel CAB = α = 53° und dem
Radius des Inkreises ρ = 2.0 cm.
14)
Konstruiere ein Dreieck aus dem Winkel CAB = α = 51°, dem Winkel ABC = β = 58°
und dem Radius des Inkreises ρ = 2.2 cm.
15)
Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = |AB| = 9.2 cm, dem Winkel CAB = α = 62°
und dem Radius des Inkreises ρ = 2.3 cm.
16)
Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = |AB| = 7.5 cm, der Höhe ha = 5.0 cm und der
Höhe hc = 4.1 cm.
15.3 Aufgaben zu Trapezen
17)
Konstruiere ein Trapez aus den parallelen Seiten a = |AB| = 9.0 cm und c = |CD| = 6.2 cm,
dem Winkel DAB = α = 61° und dem Winkel ABC = β = 85°.
18)
Konstruiere aus der Seite a = |AB| = 10.5 cm, der Höhe h = 3.9 cm und der Diagonalen
|AC| = e = 7.8 cm ein Trapez ABCD, dessen Eckpunkt D von A gleich weit entfernt ist wie
von C.
19)
Konstruiere aus der Mittellinie m = (a+c) / 2 = 8.0 cm, der Diagonalen |BD| = f = 7.8 cm
und der Höhe h = 5.1 cm ein Trapez ABCD, in dem der Winkel ABD gleich gross ist wie der
Winkel DBC.
20)
Konstruiere ein Trapez aus der Seite a = |AB| = 10.3 cm, der Höhe h = 4.1 cm, dem
Winkel BDA = 90° und der Mittellinie m = 8.5 cm.
21)
Konstruiere ein Trapez aus der Seite a = |AB| = 9.0 cm, der Diagonalen |AC| = e = 9.9 cm,
dem Winkel ABC = β = 84° und dem Winkel CDA = δ = 122°.
15.4 Aufgaben zu Rhomben und Drachen
22)
Konstruiere einen Rhombus aus der Diagonalen |AC| = e = 7.9 cm und dem
Winkel ABC = β = 102°.
23)
Konstruiere ein Drachenviereck ABCD aus der Diagonalen |AC| = e = 10.0 cm
(Symmetrieachse!), der Diagonalen |BD| = f = 5.4 cm und dem Winkel DAB = α = 98°.
24)
Konstruiere ein Drachenviereck ABCD aus der Seite a = |AB| = 4.1 cm, der Diagonalen
|BD| = f = 6.4 cm und dem Winkel BCD = γ = 48°. (AC ist Symmetrieachse)
25)
Konstruiere ein Drachenviereck ABCD , das folgende Eigenschaften hat:
i) die Diagonale BD teilt die Diagonale AC im Verhältnis 1 : 2
ii) die Diagonale BD ist 6.4 cm lang
iii) der Winkel DAB = α ist ein rechter Winkel
iv) AC ist Symmetrieachse
26)
Konstruiere das Drachenviereck ABCD, für das gilt:
i) AC ist Symmetrieachse
ii) A (–3/–3)
iii) P (3/0) liegt auf AC
iv) Winkel DAB = α = 50°
v) |AB| = a = 7 cm
vi) Inkreisradius ρ = 2.5 cm
M9 Geometrielehrgang 26
16 Arbeitsblätter
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M9 Geometrielehrgang 28
M9 Geometrielehrgang 29
M9 Geometrielehrgang 30
16.1 Lösungen Arbeitsblätter
M9 Geometrielehrgang 31
M9 Geometrielehrgang 32