6.Übung () - Universität zu Köln

Universität zu Köln
Institut für Theoretische Physik
Michael Lässig
Johannes Berg
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
6. Übung – Dienstag, 23. November 2004, Abgabe Montag 22. November
1200 Uhr
Literaturarbeit
Zur Vorbereitung auf die nächste Vorlesung lesen Sie bitte Cohen-Tannoudji,Diu,Laloë
Quantenmechanik, Kapitel 2.7-2.10.
1. Tunneln durch eine Potentialbarriere
Wir betrachten eine Potentialbarriere mit Höhe V0 und Breite 2a. Für x <
−(L + a) ist das Potential unendlich, zu positiven x hin ist das System offen.
Ein Teilchen befindet sich zum Zeitpunt t = 0 mit hoher Wahrscheinlichkeit bei
−(L + a) < x < −a, siehe Skizze der Wellenfunktion. Um zu x > a zu gelangen
muss es durch die Potentialbarriere tunneln.
V0
-(L+a)
-a 0
a
x
a) Skizzieren Sie die Wellenfunktion Ψ zu späteren Zeiten. Was ergibt sich
aus dem exponentiellen Zerfall von Ψ mit der Zeit für den Energieeigenwert der
zeitunabhängigen Schrödingergleichung? (10 Punkte)
b) Für die beschriebene Potentialbarriere (ohne Wand bei x = −(L + a)) gilt für
den Ansatz

 Aeikx + Be−ikx x < −a
ψ(x) =
Ce−κx + Deκx −a < x < a

F eikx
x>a
i
A = F cosh(2κa) + sinh(2κa) e2ika
2
iη
B = −F sinh(2κa)
2
1
(1)
mit E = ~2 k 2 /(2m) = −~2 κ2 /(2m) + V0 und η = κ/k + k/κ und = κ/k − k/κ
(siehe Vorlesung oder Schwabl 3.3). Nutzen Sie die zusätzliche Randbedingung
bei x = −(a + L) um daraus die Gleichung für k
1+
iη
i
tanh(2κa) = e2ikL tanh(2κa)
2
2
(2)
herzuleiten. Kann man für diese Gleichung für allgemeine Parameter V0 , a, L
Lösungen mit k, κ ∈ R erwarten ? Wenn nein, was bedeutet dies für den Energieeigenwert E? (20 Punkte)
c) Wir betrachten nun (2) im Grenzfall κa 1 . Für diesen Falle erwarten wir
k, κ ∈ R. (Warum ?) Zeigen Sie, daß
cotan(κL) = −κ/k
(3)
und interpretieren Sie das Ergebnis. (20 Punkte)
Hinweis: In dieser Aufgabe haben wir gesehen, wie komplexe Energieeigenwerte mit
der exponentiellen Zerfall eines Zustandes zusammenhängen. Eine weitere Konsequenz
sind Resonanzen bei Streuzuständen, siehe Schwabl 3.7.1.
2. Hermitesche Adjunktion
a) Für den Zustand |ai, eine Zahl λ, und einen linearen Operator A gilt (|ai)† =
ha|, (λ|ai)† = ha|λ∗ , ha|bi = hb|ai∗ , (A|ai)† = ha|A† . Zeigen Sie, daß
1. (A + B)† = A† + B †
2. (λA)† = λ∗ A†
3. (AB)† = B † A†
4. (A† )† = A
5. ha|A† |bi = hb|A|ai∗
(30 Punkte)
b) Zeigen Sie, daß der Operator A = −i∂x im Hilbertraum der auf dem Interval
[−∞, ∞] quadratintegrablen
Funktionen hermitesch (A = A† ) ist.
R
Tip: hφ|ψi ≡
sind nützlich.
∞
∗
−∞ dxφ (x)ψ(x),
zwei der obigen Resultate, sowie partielle Integration
Ist A auch im Raum der auf einem gegeben Interval [a, b] quadratintegrablen
Funktionen hermitesch? (20 Punkte)
2