Klausur mit Lösung
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Statistik und Graphentheorie
Wintersemester 2012/13
18. März 2013
Teil Graphentheorie
Name:
Matrikelnummer:
1 (12) 2 (12) 3 (12) 4 (12) 5 (12)
P
(60)
Name:
Matrikel:
Aufgabe 1 (12 Punkte)
Gegeben sei das folgende Netzwerk:
(a) Berechnen Sie ein Minimalgerüst für diesen Graphen. Geben Sie an, welches Verfahren Sie zur Berechnung verwenden und geben Sie die Kanten des Minimalgerüstes
in der Reihenfolge ihrer Selektion an.
(b) Ist das von Ihnen bestimme Minimalgerüst eindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung:
(a) Für die Berechnung des Minimalgerüstes nutzen wir den Algorithmus von Kruskal.
Iter.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
ZHKs
{a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {f }, {g}, {h}, {i}
{a}, {b}, {c, g}, {d}, {e}, {f }, {h}, {i}
{a}, {b}, {c, g}, {d}, {e, f }, {h}, {i}
{a}, {b, c, g}, {d}, {e, f }, {h}, {i}
{a}, {b, c, e, f, g}, {d}, {h}, {i}
{a}, {b, c, e, f, g}, {d, h}, {i}
{a}, {b, c, e, f, g}, {d, h}, {i}
{a}, {b, c, d, e, f, g, h}, {i}
{a}, {b, c, d, e, f, g, h}, {i}
{a, b, c, d, e, f, g, h}, {i}
{a, b, c, d, e, f, g, h}, {i}
{a, b, c, d, e, f, g, h, i}
Kante Länge Sel.
{c, g}
1
ja
{e, f }
1
ja
{b, c}
2
ja
{f, g}
2
ja
{d, h}
2
ja
{b, f }
3
nein
{g, h}
3
ja
{c, d}
4
nein
{a, e}
5
ja
{a, b}
6
nein
{h, i}
6
ja
ST OP !
Name:
Matrikel:
Das berechnete Minimalgerüst:
(b) Ja, das Minimalgerüst ist eindeutig. Bei Kanten gleicher Länge spielt die Reihenfolge, in der die Kanten betrachtet werden, keine Rolle, die Selektionsentscheidung ist
stets eindeutig bestimmt.
Name:
Matrikel:
Aufgabe 2 (12 Punkte)
Gegeben sei die Zahlenfolge
2131322123
Aufeinanderfolgende Zahlen sollen nun so in Blöcke eingeteilt werden, dass
• die Summe der Zahlen in einem Block mindestens 1 und höchstens 4 beträgt und
• die Blockung möglichst geringe Gesamtkosten aufweist. Die Kosten für einen einzelnen Block ergeben sich durch die folgende Tabelle:
Summe der Zahlen in einem Block Kosten
1
9
2
4
3
1
4
0
Die Gesamtkosten einer Blockung ist die Summe der Kosten über alle Blöcke.
Beispiel: Die Blockung |2 1|3 1|3|2|2 1|2|3| hat die Kosten 1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 4 + 1 = 12.
(a) Überführen Sie dieses Problem in ein graphentheoretisches Problem, das äquivalent zum ursprünglichen Problem ist. Geben Sie den zugehörigen Graph und einen
Algorithmus an, mit dem das Problem gelöst werden kann.
(b) Berechnen Sie eine Lösung basierend auf dem Graph aus (a).
Lösung:
(a) Das Problem ist identisch zum Beispiel der optimalen Blocksatzbildung aus der
Vorlesung (Beispiel 4.9).
Es seien z1 , . . . , z10 die Zahlen der Zahlenfolge. Das Problem modellieren wir mit
Hilfe des gerichteten azyklischen Graphen G = (V, A) mit
V = {0, . . . , 10}
A = {(i, j) | i < j ∧ zi+1 + · · · + zj ≤ 4}
Die Kante (i, j) beschreibt dabei den Fall, dass genau die Zahlen zi+1 bis zj zusammen in einem Block platziert werden.
Die Kantengewichte c(i, j) werden definiert durch
c(i, j) = (4 − (zi+1 + · · · + zj ))2
Dies entspricht genau der angegebenen Tabelle für die Kosten.
Name:
Matrikel:
Ein kürzester Weg vom Knoten 0 zum Knoten 10 stellt dann eine Lösung des Problems dar. Solch ein kürzester Weg kann mit dem Algorithmus von Dijkstra oder
Satz 4.6 berechnet werden.
(b) Wir nutzen Satz 4.6. Die folgende Tabelle beschreibt die Berechnung.
Knoten j zj
1
2
2
1
3
3
4
1
3
5
6
2
7
2
8
1
9
2
10
3
Abstand von 0 zu j bester Vorgänger
4
0
min{4 + 9, 1} = 1
0
min{4 + 0, 1 + 1} = 2
2
min{2 + 9, 1 + 0} = 1
2
min{2 + 0, 1 + 1} = 2
3 oder 4
2+4 =6
5
min{6 + 4, 2 + 0} = 2
5
min{2 + 9, 6 + 1} = 7
6
min{7 + 4, 2 + 1} = 3
7
3+1 =4
9
Damit ist (0, 2, 4, 5, 7, 9, 10) ein möglicher kürzester Weg.
Weiterer kürzester Weg: (0, 2, 3, 5, 7, 9, 10).
Die optimalen Blockungen dieser Wege lauten:
21|31|3|22|12|3 bzw. 21|3|13|22|12|3
Name:
Matrikel:
Aufgabe 3 (12 Punkte)
(a) Es sei T ein Baum mit einer geraden Anzahl an Kanten.
Zeigen Sie: T hat mindestens einen Knoten mit geradem Grad.
(b) Ein 1-Baum ist ein zusammenhängender Graph, der genau einen Kreis hat.
Zeigen Sie: In einem 1-Baum ist die Anzahl der Knoten gleich der Anzahl der Kanten.
Lösungen:
(a) Es sei T = (V, E) ein Baum. In einem Baum gilt |E| = |V | − 1, siehe Satz 1.8.
Da |E| nach Voraussetzung gerade ist, muss damit die Anzahl der Knoten |V | ungerade sein.
Nach Korollar 1.2 hat aber jeder Graph eine gerade Anzahl an Knoten mit ungeradem Grad. Also können nicht alle Knoten einen ungeraden Grad haben. T hat also
einen Knoten mit geradem Grad.
(b) Es sei T = (V, E) ein 1-Baum, also ein zusammenhängender Graph, der genau einen
Kreis enthält.
Es sei e ∈ E eine Kante des Kreises in T und T ′ = (V, E \ {e}) sei der Graph, der
entsteht, wenn wir aus T die Kante e entfernen.
T ′ muss ein Baum sein, denn
– durch die Wegnahme von e haben wir den einzigen Kreis in T zerstört, T ′ ist
also kreisfrei und
– da e Teil eines Kreises war, ist T ′ immer noch zusammenhängend.
Da in Bäumen die Knotenanzahl um genau eins größer ist als die Kantenanzahl
(Satz 1.8) folgt
|E \ {e}| = |V | − 1
und daraus
|E| = |V |.
Name:
Matrikel:
Aufgabe 4 (12 Punkte)
(a) Ist der folgende Graph planar? Begründen Sie Ihre Antwort!
(b) Bestimmen Sie für den folgenden Graphen das chromatische Polynom.
(c) Ermitteln Sie für den Graphen aus (b) χ(G).
Lösung:
(a) Für den angegebenen Graphen G = (V, E) gilt |V | = 6 und |E| = 13. Wenn der
Graph G planar wäre, müsste
|E| ≤ 3 · |V | − 6
gelten. Eingesetzt ergibt sich 13 ≤ 3 · 6 − 6 = 12, was falsch ist. Also kann der Graph
nicht planar sein.
(b)
f(
, x) = (x − 1) · f (
, x)
Name:
Matrikel:
= (x − 1) · f (
, x) + f (
, x)
=
(x − 1) · f (
, x) + f (
, x) + f (
= (x − 1) · (f (K5 , x) + 2 · f (K4 , x) + f (K3 , x))
(c)
f(
, 2) = 1 · (0 + 2 · 0 + 0) = 0
f(
, 3) = 2 · (0 + 2 · 0 + 3 · 2 · 1) = 12 6= 0
Also gilt χ(G) = 3.
, x) + f (
, x)
Name:
Matrikel:
Aufgabe 5 (12 Punkte)
Berechnen Sie für das folgende Flussnetzwerk einen Maximalfluss f . Die angegebenen
Zahlen geben die Kapazität der jeweiligen Kante an.
Geben Sie für jeden Schritt einen zunehmenden Weg und den Flusswert Φ(f ) an. Begründen Sie den Maximalfluss.
Lösungen:
(s, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 10, also Φ(f ) = 10.
(s, d, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 3, also Φ(f ) = 13.
Der aktuelle Fluss lautet:
Name:
Matrikel:
(s, c, f, d, t) ist ein zunehmer Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 4, also Φ(f ) =
17.
(s, a, b, f, e, t) ist ein zunehmer Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 3, also Φ(f ) =
20.
Name:
Matrikel:
(s, a, c, f, d, t) ist ein zunehmer Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 1, also Φ(f ) =
21.
Dieser Fluss ist ein Maximalfluss. Das folgende Diagramm zeigt einen minimalen Schnitt
AS mit Kapazität c(AS ) = 21 = Φ(f ).
Name:
Matrikel:
Von s existiert zu den grünen Knoten ein zunehmender Weg, zu den gelben Knoten aber
nicht. Die Kanten von einem grünen zu einem gelben Knoten bilden den minimalen Schnitt
mit Kapazität 21.
