Verdichtungsstoß Flächen-Geschwindigkeitsbeziehung: du u= − 1 1

Verdichtungsstoß
p0, T 0
Austritt ins
Freie
Kessel mit
Ruhezustand
engster Querschnitt
Flächen-Geschwindigkeitsbeziehung:
→
du
dA
1
= −
mit Ma = 1
2
u
1 − Ma A
⇒
dA = 0
Ma = 1 kann nur im engsten Querschnitt auftreten
1
Verdichtungsstoß
p/p 0
1
0.528
a
b
c
d
2
x
Ma
d
Überschall
1
Unterschall
c
b
a
x
Verdichtungsstoß
a) keine Überschallströmung
b) im engsten Querschnitt wird Schallgeschwindigkeit erreicht, danach wird wieder verzögert
c) es wird Überschallgeschwindigkeit erreicht, Die Information über
den Außendruck ist in der Düse unbekannt. Störungen gelangen
nicht stromauf
→ p wird abgesenkt und über den Stoß wieder erhöht
d) isentrope Überschallströmung
3
Verdichtungsstoß
Berechnung über den senkrechten Verdichtungsstoß
VS
1
2
Ma > 1
Ma < 1
Entropiezunahme: s2 > s1
→ Isentropenbeziehung ist nicht anwendbar,
Wichtig: h0,T0 und T ⋆ bleiben konstant, aber p01 6= p02 und s01 6= s02
→ Stoß ist isenthalp, nicht isentrop.
4
Verdichtungsstoß
Kontinuität, Impuls- und Energiegleichung
1
⋆
Ma1 =
Ma⋆2
p2
2γ 2
= 1+
Ma1 − 1
p1
γ+1
Das Druckverhältnis steigt mit der Machzahl.
5
19.6
Aus einem großen Behälter strömt Luft durch eine gut gerundete
Düse ins Freie. Im Endquerschnitt A1 steht ein senkrechter Verdichtungsstoß.
a) Bestimmen Sie den Massenstrom.
b) Skizzieren Sie den Verlauf des statischen Druckes in der Düse.
6
19.6
A1 = 0.018 m2
T0 = 287 K
A∗ = 0.01 m2
J
R = 287
kg K
p2
2γ
Hinweis:
=1+
(M12 − 1)
p1
γ+1
N
5
pa = 10
m2
3,0
A
A*
2,0
1,0
0
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
M
7
19.6
ρ1 p0
u1 p
√
γRT0
ṁ = ρ1u1A1 =
ρ0 RT0 γRT1
s
T1
A1
T0
M1 > 1, M2 < 1; p2 = pa
0 → 1 isentrope Strömung
1
A∗
=
A1 1.8
p1 =
(aus Diagramm)
p2
2γ
1+
(M12 − 1)
γ+1
T1 =
M1 = 2
= 2.22 · 104 N/m2
T0
2
M
1 + γ−1
2
1
8
→
19.6
T0
p0 = p1
T1

b)

ṁ = 
γ
γ−1
γ
γ − 1 2 γ−1
= p1 1 +
M1
= 1.74 · 105 N/m2
2

1

γ − 1 2
M1
1+
2
γ+1
2(γ−1)
p0 √
M1 √
γA1 = 4.43 kg/s
RT0
9
schräger Stoß
1
y
8
u
v
u
2
x
Bewegungsgleichungen: 2D, stationär, reibungsfrei:
Kontinuität, Impuls (tangential y), Impuls (normal x), Energie
10
schräger Stoss
a) Massenstrom senkrecht zum Stoß ist konstant
ρ1 u1 = ρ2 u2
b) Impulsstrom senkrecht zum Stoß ist konstant
ρ1 u21 + p1 = ρ2 u22 + p2
c) die Gesamtenthalpie bleibt konstant
h01 = h02
d) die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit ändert sich beim
Duchgang durch den Stoß nicht
v1 = v2 = v
11
schräger Stoss
=⇒ Wird eine konstante Geschwindigkeit v der Anströmung einem
senkrechten Stoß überlagert, ist es möglich die Sprungbedingungen des senkrechten Verdichtungsstoßes zu verwenden
p2 T1 ρ1
;
;
alsf (γ, M1, σ)(Stoßwinkel)
=⇒
p1 T2 ρ2
bzw.f (γ, Mn,1) ⇐ wie im senkrechten Stoß
σ
effektive Machzahl
Mn,1 = M1 sin (σ)
Stoßintensität
12
schräger Stoss
Beispiel
senkrechter Stoß
(γ + 1)M12
ρ2
=
ρ1
(γ − 1)M12 + 2
⇒ Diagramm
schräger Stoß
(γ + 1)M12 sin2 (σ)
ρ2
=
ρ1
(γ − 1)M12 sin2 (σ) + 2
2
γ−1 2
⋆
weitere Sprungbez.: u2 u1 = c −
v
γ+1
nur Sprung in der u-Komponente
→ M2 kann immer noch im Überschall liegen
→ Umlenkung der Stromlinie um den Winkel β
Zusammenhang zwischen β, σ und M1 ⇒ Diagramm
13
14
15
Aus der Entropiebedingung ∆s ≥ 0
1
arcsin
=
M1
M1 sin (σ) ≥ 1
π
α
≤ σ ≤
|{z}
2
|{z}
β=0: Machscher Winkel
β=0: senkrechter Stoß
für σ = α ⇒ Mn,1 = Mn,2 = 1
⇒ kein Stoß; die Normalgeschwindigkeit der Geschwindigkeit ist
gleich der Schallgeschwindigkeit
senkrechter Verdichtungsstoss
σ
Machlinie
α= arcsin(1/Ma)1
16
Keilströmung
M1=3
M1=3
β=10ο
β=10ο
σ=27.3ο
σ=86.5ο
schwacher Stoss
starker Stoss
p2
p2
1 <
<
p1 schwach
p1 stark
bis auf β ≈ βmax : schwach: Überschall → Überschall
stark: Überschall → Unterschall
17
Experimente zeigen, dass bei einem anliegenden schiefen Stoß nur
“schwache Lösungen” zu erwarten sind
abgelöste Stosswelle
β>β max
fast senkrechter Stoss
18
Stoß an stumpfen Körpern
Für starke Stöße gibt es keine analytischen geschlossenen Lösungen
M>1
M < 1‘
gekrümmter Frontstoss
19
reflektierter Stoß an einer Wand
β
σ23
Μ1
Μ3
Μ2
σ12
β
1.
2.
M1, β ⇒ σ1,2, M2 < M1
M2, β ⇒ σ2,3, M3 < M2
reguläre Reflektion
20
reflektierter Stoß an einer Wand
M4<1
Tripel−
punkt
M1>1
M3>1
M2>1
wenn M1 abnimmt (β > βmax für M2)
⇒ reflektierter Stoß an der Wand löst an der oberen Wand ab
⇒ Struktur mit 3 Stößen (Tripelpunkt)
21
19.10
In einer Überschallströmung mit M1 = 2.2 fällt ein schräger Verdichtungsstoß unter 40o auf eine ebene Wand. Im Auftreffpunkt ist die
Wand um 6o nach außen geknickt.
γ = 1.4
M1 = 2.2
R = 287 N m/(kgK)
Bestimmen Sie: M2,
M3 ,
p2
,
p1
p3
,
p2
22
T2
,
T1
T3
T1
19.10
σ = 40o M1 = 2.2
=⇒
Formel oder Diagramm β = f (M1, σ) :
M1 sin σ12 = 1.41
β12 = 14o
2 sin2 σ + 2
(γ
−
1)M
12
1
M22 sin2(σ12 − β12) =
=⇒ M2 = 1.65
2
2
2γM1 sin σ12 − (γ − 1)
p1
p2
Formel oder Diagramm
= f (M1, σ12) =⇒
= 2.17
p2
p1
T2
T2
= f (M1, σ12) =⇒
= 1.26
T1
T1
∆β = 14o − 6o = 8o = β23
M2 = 1.65
23
19.10
aus Diagramm σ = f (β23, M2), schwacher Stoß: σ23 = 46o
über Formel M3 = f (M2, σ23, β23) : M3 = 1.37
p3
p3
= f (M2, σ23) =⇒
= 1.53
aus Diagramm
p2
p2
T3
T3
= f (M2, σ23) =⇒
= 1.13
T2
T2
24