Das Elektrische Feld

Das Elektrische Feld
Jeder Körper und jede Materie besteht aus Atomen. Das haben schon die Griechen vor etwa 2500
Jahren vermutet. Demokrit, etwa 460-371 v.Chr., ist derjenige, auf den die Idee vom atomaren
Aufbau der Materie zurückgeführt wird. Demokrit war aber nicht der erste "Atomist", seine
Vorstellungen gehen auf seinen Lehrer Leukipp zurück. Leukipp ging davon aus, dass die Stoffe aus
kleinsten Teilchen bestehen. Demokrit fügte dem noch hinzu, dass sich die Atome im leeren Raum
frei bewegen können, zusammenstoßen, sich vereinigen und wieder trennen. Nach Demokrit gibt
es nur die Atome und den leeren Raum. Der Arzt Galen aus dem zweiten vorchristlichen
Jahrhundert zitiert Demokrit so:
"Denn nur durch Konvention (oder Übereinkunft, Gewöhnung)
existiert Farbe; bitter und süß sind Konvention, doch die Realität
besteht nur aus Atomen und Leere"
Unser Modell von einem Atom sieht nach Niels Bohr so aus, dass es einen Atomkern aus Protonen
und ggf. Neutronen sowie eine Atomhülle aus Elektronen gibt. Die Elektronen gelten als die Träger
der negativen Ladungen, die Protonen gelten als die Träger der positiven Ladungen. Neutronen
sind, wie der Name vermuten lässt, neutral, also ungeladen.
Die positive Ladung eines Protons und die negative Ladung eines Elektrons sind dem Betrag nach
genau gleich. Sie beträgt:
e = 1,602176565 · 10-19 C
e bezeichnet die Elementarladung. Die Ladung eines jeden freien Teilchens setzt sich aus
ganzzahligen Vielfachen dieser Zahl zusammen. Die Ladung eines Elektrons ist demnach
qElektron = - e
Kommen gleich viel positive und negative Ladungen zusammen, neutralisieren sie sich. Nach außen
sind alle zusammen neutral, die einzelnen Teilchen bleiben allerdings geladen.
Daraus folgt, dass Ladungen nicht erzeugt oder verbraucht werden. Für die Ladungssumme gilt ein
Erhaltungssatz wie für die Masse, die Energie und den Impuls.
Elektrische Ladungen gelten als Fundament der Elektrizitätslehre:
•
Durch elektrisch geladene Körper oder Teilchen werden elektrische Felder erzeugt.
•
Gleichzeitig werden diese Körper von den Feldern beeinflusst.
•
Zwischen Ladungen wirken Kräfte; anziehende Kräfte zwischen ungleichnamigen Ladungen,
abstoßende Kräfte zwischen gleichnamigen Ladungen.
•
Will man Körper aufladen, muss Energie aufgewendet werden. Dabei werden sich
anziehende Ladungen getrennt. Zwischen den getrennten Ladungen entsteht ein
elektrisches Feld, in dem die aufgewendete Energie gespeichert ist.
•
Die elektrische Spannung gibt an, wie viel Energie nötig ist, einen geladenen Körper in
einem elektrischen Feld zu bewegen.
•
Wenn sich elektrische Ladungen bewegen, spricht man von elektrischem Strom.
Strom und Ladung
Strom ist fließende Ladung. Die Stromstärke wird dabei definiert als der Quotient der
Ladungsmenge, die in einem Zeitintervall durch den Leiterquerschnitt tritt. Das Formelzeichen für
die Stromstärke ist das I, abgeleitet von Intensität (des Stromflusses). Die elektrische Ladung wird
mit Q (oder q) bezeichnet, das von dem lateinischen quantum kommt. Die Einheit der Stromstärke
ist eine der Basiseinheiten des SI-Systems, das Ampere. Die Ladung wird durch die Einheit Coulomb
angegeben:
[I] = 1 A
[Q] = 1 C
Mit dem Zeitintervall ∆t, angegeben in s, folgt daraus:
I=
Q
Δt
Umgestellt nach der Ladung erhält man:
Q = I ⋅Δ t
Der Zusammenhang der Einheiten ist:
1 C = 1 As
Zur Abbildung: In dem Zylinder mit der Länge v·t befinden sich die
Elektronen, die in dem Intervall ∆t die dunkel markierte Fläche
durchfliegen werden.
Das elektrische Feld
Wie wir wissen, besteht jeder Körper aus Atomen und damit aus Ladungen. Wenn wir nun einen
Körper so verändern, dass er mehr Elektronen hat als Protonen, so ist er negativ geladen. Nehmen
wir einem anderen Körper Elektronen weg, so verbleiben mehr positive Ladungsträger und der
Körper ist positiv geladen. Wenn wir nun diese zwei Körper, beispielsweise zwei Kugeln, mit einem
bestimmten Abstand gegenüber stellen, dann entsteht zwischen den Elektronen des negativ
geladenen Körpers und den Fehlstellen des anderen Körpers, also den Stellen, wo dort die
Elektronen fehlen, ein elektrisches Feld. Die Vorstellungsweise ist so, dass zwischen den Ladungen
Feldlinien verlaufen. Dazu die folgende Skizze:
Die eingezeichneten Feldlinien weisen
von der positiven Ladung zu der
negativen Ladung. Desweiteren gilt, dass
die Feldlinien im Gleichgewicht stets
senkrecht auf den Oberflächen beginnen
und enden. Man nennt das Feld zwischen
Kugelladungen auch radiales Feld.
Werden nun Probeladungen in ein elektrisches Feld
gebracht, erfahren sie Kräfte, die tangential zu den
Feldlinien auf die Probeladung wirken.
In diesem Feld befinden sich drei Probeladungen. Sie
erfahren Kräfte, die jeweils tangential zu der Feldlinie am
Ort der Probeladung wirken.
Aufgrund der Richtung der wirkenden Kräfte lässt sich
angeben, dass es sich um positive Probeladungen
handeln muss.
Im folgenden beschäftigen wir uns mit zwei parallelen Metallplatten – den Kondensatorplatten.
Zwischen ihnen bildet sich bei unterschiedlicher Ladung ein elektrisches Feld, dass senkrecht zu
den Platten und zueinander parallel verläuft. Dieses Feld wird als homogenes Feld bezeichnet.
Streng genommen ist das Feld nur homogen,
wenn wir es ohne Randeffekte betrachten. In
der Skizze ist angedeutet, dass es bei realen
Ecken und Kanten zu Inhomogenitäten kommt
und dass das Feld im Randbereich eines
Plattenkondensators keinesfalls homogen ist.
Was passiert, wenn neutrale Körper in ein
elektrisches Feld gebracht werden?
Bei leitenden Körpern sind die Elektronen
beweglich, die (positiv geladenen) Atomrümpfe
sind ortsfest. Die Elektronen werden das elektrische Feld im Kondensator spüren und sich
entsprechend der Feldkräfte in Richtung der positiven Seite des Kondensators bewegen. Dort
sammeln sie sich und es entstehen sogenannte Influenzladungen an den Oberflächen. Weiterhin
verändert sich das elektrische Feld zwischen den Kondensatorplatten, denn die Feldlinien
verlaufen nun auch zwischen den Kondensatorplatten und den Influenzladungen des leitenden
Körpers. Durch elektrische Felder können in Leitern Ladungen getrennt werden.
Bei einem Ring aus leitendem Material bleibt das Innere feldfrei (der Faraday'sche Käfig basiert auf
diesem Prinzip). Die Influenzladungen bilden im Körper einen Stromkreis, die Ladungen werden,
wenn das Feld des Kondensators weggenommen wird, durch den Ring fließen und sich
neutralisieren. Das heißt, das elektrische Feld zwischen den Influenenzladungen existiert nur im
Leiterinneren, also ähnlich wie beim Stromkreis, wo der Plus- und der Minuspol durch einen Leiter
miteinander verbunden sind. Der Strom (= bewegte Ladungen) fließt durch den Leiter.
Elektrische Felder gibt es also in Luft und in Festkörpern.
Die elektrische Feldstärke im homogenen Feld
Die elektrische Feldstärke ist ein Maß dafür, welche Kraft auf eine Probeladung wirkt. Je kleiner die
Ladung, desto kleiner die Kraftwirkung auf sie. Der Quotient aus Kraft F und Ladung q bleibt dabei
konstant; wir nennen ihn die elektrische Feldstärke E.
⃗
N
Newton
F
⃗
[E ] = 1 = 1
E = = konstant
C
Coulomb
q
Man beachte, dass die elektrische Feldstärke, wie auch die Kraft, eine vektorielle Größe ist. Ihre
Richtung ist die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung.
Damit ist die Feldkraft F auf eine Probeladung q:
⃗
F = q⋅ ⃗
E
In einem homogenen Feld ist die Feldstärke überall gleich. In einem radialen Feld dagegen
verändert sich die Feldstärke von Punkt zu Punkt.
Spannung und Energie
Wenn Ladungen getrennt werden, denkt man sich zwischen ihnen die Feldlinien und damit das
elektrische Feld. Die Feldkräfte würden normalerweise dafür sorgen, dass sich die Ladungen
aufeinander zu bewegen und sich neutralisieren. Für das Trennen der Ladungen muss man also
Energie aufwenden. Wenn Ladungen neutralisiert werden, kann man Energie gewinnen.
Getrennte Ladungen bedeuten also, dass Energie zur Verfügung steht und bei Bedarf genutzt
werden kann. Die zur Verfügung stehende Energie nennt man auch Spannung. Dazu zwei
Merksätze:
„Spannung bedeutet, dass elektrische Energie auf Abruf bereit steht.“
„Spannung tritt auf, wenn man entgegengesetzte Ladungen unter
Energiezufuhr trennt.“
Welche Energie ist notwendig, um eine Ladung q von einer Kondensatorplatte zur anderen zu
bewegen?
In einem elektrischen Feld wirkt die Feldkraft ⃗
F = q⋅ ⃗
E auf die Ladung q. Der Abstand der beiden
⃗
Kondensatorplatten wird mit d bezeichnet. Und mit W = ⃗F ⋅ ⃗
d (Energie ist Kraft mal Weg) folgt:
W = q⋅ ⃗
E ⋅⃗
d
Das ist die Energie, die den Ladungsträgern zugeführt werden muss, bzw. die durch die Bewegung
der Ladungsträger gewonnen werden kann.
Wenn wir nun die Energie pro Ladungsträger berechnen, erhalten wir einen Ausdruck für die
Spannung:
W
U=
Spannung ist Energie pro Ladung.
q
Die Formel für die Energie eingesetzt:
J
[U ] = 1 = 1 V = 1 Volt
U = E ⋅d
C
Damit gibt es eine weitere Formel für die elektrische Feldstärke E:
U
⃗
E=
d
[E ] = 1
V
Volt
=1
m
Meter
Spannung und Potential
Die Spannung, die wir berechnen können, ist die Energie, die eine Ladung bei der Bewegung von
einem Punkt A zu einem anderen Punkt B benötigt. Wir bewegen uns also zwischen zwei Punkten.
Wenn wir nun den einen Punkt, z.B. B, als Bezugspunkt definieren, können wir sagen, dass die
Spannung zwischen den beiden Punkten das Potential des Punktes A gegen ein Nullpotential des
Bezugspunktes B ist.
Das Potential wird mit dem griechischen Buchstaben ϕ (phi) bezeichnet. Das Nullpotential vom
Bezugspunkt B ist dann ϕ B = 0 V. Das Potential des Punktes A ist die Spannung von A gegen B.
Die Spannung zwischen zwei Punkten A und B ist die Potentialdifferenz ϕ A − ϕ B
Die Probeladung ist positiv, also wirken die Feldkräfte in Richtung der negativen Platte. Wenn wir
die Ladung von A nach B verschieben wollen, benötigen wir die Energie W = E ∙ d, die wir der
Probeladung zuführen müssen.
„Die Energie eines Systems sinkt, wenn dessen Feldkräfte Ladungen
verschieben. Wenn von äußeren Kräften Ladungen gegen die Feldkräfte
verschoben werden, steigt die Energie.“
Das Coulomb-Feld
Wir definieren zunächst eine Flächenladungsdichte, die aussagt, wieviel Ladungen auf einer
bestimmten Fläche enthalten sind. Mit der Fläche A und der Ladung Q erhalten wir die
Flächenladungsdichte σ (sigma):
C
Q
[σ] = 1 2
σ=
A
m
Wenn wir nun davon ausgehen, dass zu jeder Ladung eine Feldlinie gehört und wir weiterhin
sagen, dass die Dichte der Feldlinien etwas über die Stärke des elektrischen Feldes aussagt, können
wir eine Beziehung zwischen Flächenladungsdichte σ und Feldstärke E herstellen. Diese beiden
Größen verhalten sich proportional zueinander und der Proportionalitätsfaktor wird mit ε0 (epsilon
Null) bezeichnet:
σ = ϵ0 ⋅ E
Der Faktor ε0 ist die elektrische Feldkonstante mit dem Wert ε0 = 8,85 ∙ 10-12 C / (Vm)
Strenggenommen gilt die Beziehung zwischen σ und E in dieser Form nur im Vakuum.
Welche Kräfte wirken auf Probeladungen, wenn sie sich nicht in einem homogenen Feld sondern in
einem radialen Feld befinden?
Dafür untersuchen wir das folgende Szenario:
Eine positive, felderzeugende Ladung Q ist ortsfest.
Im Abstand von r befindet sich eine negative
Probeladung q, auf die die Feldkraft von Q wirkt.
Natürlich wirkt auch die Feldkraft von q auf Q,
allerdings kann sich die Ladung Q nicht bewegen.
Der Abstand r bezieht sich jeweils auf die Kugelmittelpunkte.
Die Ladung Q befindet sich an der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R. Die Oberfläche hat die
Größe A = 4∙π∙R2. Die Flächenladungsdichte beträgt damit
σR =
Q
4⋅π⋅R2
Wenn wir uns jetzt die Flächenladungsdichte
am Ort der Probeladung ausrechnen, erhalten
wir
σr =
Q
4⋅π⋅r 2
Hier beträgt die Feldstärke E:
Q
E= σ =
ϵ 0 4⋅π⋅ϵ0⋅r2
Damit beträgt die Kraft F am Ort der Probeladung:
F = q⋅E =
Q⋅q
2
4⋅π⋅ϵ0⋅r
Das ist das Coulomb-Gesetz: Die Kraft zwischen zwei punkt- oder kugelförmigen Ladungen mit dem
Abstand der Kugelmittelpunkte r.
Kräfte können sich ungestört überlagern. Es kann immer aus mehreren Einzelkräften eine
resultierende Kraft ermittelt werden. So kann aus mehreren Coulomb-Kräften, die auf eine
Probeladung wirken, eine resultierende Kraft ermittelt werden. Damit ergibt sich auch eine
resultierende Feldstärke am Ort der Probeladung.
Beim Plattenkondensator ergibt sich die benötigte Energie zum Verschieben einer Probeladung
gegen das Feld aus dem Produkt aus Kraft und Weg ( W = F⋅ d ) . Beim radialen Coulomb-Feld geht
das aber nicht, da die Kraft mit steigendem Abstand der Probeladung geringer wird. Mit Hilfe der
Integralrechnung ergibt sich für die Energieübertragung im Coulomb-Feld:
W=
( )
Q⋅q
1 1
⋅ −
4⋅π⋅ϵ0 r 1 r 2
Die Radien r1 und r2 beziehen sich auf den Abstand der Probeladung q zu der Ladung Q an Punkt 1
bzw. Punkt 2.
Damit ist die Spannung zwischen zwei Punkten 1 und 2 im Coulomb-Feld:
U=
( )
W
Q
1 1
=
⋅ −
q
4⋅π⋅ϵ0 r 1 r2
Die Spannung ist also unabhängig von der Probeladung q. Sie bezieht sich auf Punkte im CoulombFeld, das von der Ladung Q ausgeht.
Spannung besteht immer zwischen zwei Punkten. Wenn wir die Potentialdifferenz zwischen den
beiden Punkten beschreiben, folgt dieses:
U = Δ φ = φ1 − φ2 =
( )
Q
1 1
⋅ −
4⋅π⋅ϵ0 r 1 r 2
Und damit:
φ1 =
Q
1
⋅
4⋅π⋅ϵ 0 r 1
;
φ2 =
Q
1
⋅
4⋅π⋅ϵ0 r 2
Den Punkt 2 setzen wir ins Unendliche, also wird der Ausdruck 1/r 2 = 0 und damit wird auch das
Potential ϕ2 = 0. Es folgt:
φ=
Q
1
⋅
4⋅π⋅ϵ 0 r
Dazu der Merksatz:
„Das Potential eines Punktes mit dem Abstand r vom Mittelpunkt einer
Kugel der Ladung Q ist seine Spannung gegen unendlich.“
Das Coulombfeld einer kugelförmigen Ladung Q:
Die Feldlinien würden bis unendlich verlaufen.
Durch die Abhängigkeit der Kraft F von 1/r2 ist
die Wirkung eines Coulomb-Feldes begrenzt,
prinzipiell aber wirkt das Feld unendlich weit...
Kapazität eines Plattenkondensators
Zwischen Ladungen entstehen elektrische Felder, in denen zwischen zwei Punkten eine Spannung
besteht. Es muss also einen Zusammenhang zwischen Ladung und Spannung geben.
Wir betrachten die Flächenladungsdichte σ = Q / A = ε0 ∙ E = ε0 ∙ U / d, aus der nach Q umgestellt
ϵ ⋅A
wird:
Q= 0
⋅U
d
Die Ladung Q ist also proportional zur Spannung U, der Proportionalitätsfaktor wird Kapazität C
Q ϵ ⋅A
genannt. Der Quotient C = = 0
ist von U unabhängig. Wir halten fest:
U
d
C=
Q ϵ0 ⋅A
=
U
d
[C ] = 1
C
= 1F = 1 Farad
V
Bisher haben wir den Plattenkondensator nur im Vakuum untersucht. Wird aber nun ein Medium,
z.B. Luft, Styropor oder Glas, zwischen die Kondensatorplatten gebracht, steigt die Kapazität des
Kondensators. Der Faktor, um den die Kapazität steigt, heißt Dielektrizitätszahl εr (M. Faraday hat
erkannt, dass auch Isolatoren, also sehr schlechte Leiter, elektrische Eigenschaften haben, und er
hat sie Dielektrika genannt). Im Vakuum ist εr = 1.
So wird die Kapazität in einem homogenen Feld zu:
C=
Wegen σ =
ϵ 0 ⋅ϵ r ⋅ A
d
ϵ ⋅ϵ ⋅ A
Q
U
und Q = C⋅U = 0 r
wird die Flächenladungsdichte zu:
⋅ U und mit E =
A
d
d
σ = ϵ 0 ⋅ϵ r ⋅ E
Kapazität einer Kugel
Q
für eine
4⋅π⋅ϵ 0 ⋅r
freistehende Kugel mit dem Radius r. Die Kapazität einer solchen Kugel ist:
Aus dem Coulomb-Gesetz folgt die Spannung gegen Unendlich U =
C=
Q
=
U
Q
= 4 π ϵ 0 ϵr r
Q
4 π ϵ0 ϵr r
C = 4 π ϵ0 ϵ r r