Pulsationsinstabilität

Pulsationsinstabilität
Stabiler Stern:
dP
Mr
= −G 2 ρ(r)
dr
r
(hydrostatisches Gleichgewicht, 1. Grundgleichung des inneren Aufbaus)
dMr
= 4πr2 ρ(r)
dr
mit
(Massenbilanz, 2. Grundgleichung)
Kombination ergibt Zusammenhang zwischen P(r) und ρ(r):
d  r2 dP 
d
= −G Mr = −4πGr2 ρ(r)
dr ρ dr
dr


(I)
Eine 2. Beziehung zwischen P(r) und ρ(r) erhält man im Fall von Konvektion
durch die Adiabatengleichung:
P = Cργ
wobei
Damit kann man
dP
dr
Polytropengleichung
(II)
1
γ = 1 + , n = Polytropenindex
n
durch ρ und
dρ
dr
ausdrücken und in (I) einsetzen
→ gewöhnliche DGL 2. Ordnung für ρ, die sich für bestimmte Werte von n
(n = 1.5 und 3 → γ = 5/3 bzw. 4/3) analytisch, für andere Werte numerisch
lösen lässt.
Aus ρ(r) folgt mit (II) P(r) und über die ideale Gasgleichung T(r):
polytrope Sternmodelle (ab ca. 1910 von Emden entwickelt), gültig für vorwiegend konvektiv aufgebaute späte Sterne.
Allgemein muss auch die Energieerzeugung im Kern durch Fusion und der
Energietransport durch Strahlung berücksichtigt werden (3. und 4. Grundgleichung, Schwarzschild und Eddington). Lösung des Integrodifferentialgleichungssystems der 4 Grundgleichungen und der 3 konstitutiven Gleichungen unter
Beachtung der Randbedingungen am Rand und im Zentrum durch numerische
Integration.
Adiabatische Pulsationen angeregt durch Störung des hydrostatischen
Gleichgewichts (isotrope Kompression)
→ ungedämpfte radiale Schwingungen, wenn kein Wärmeaustausch des ausgelenkten Volumenelements mit Umgebung.
Betrachte Volumenelement (1 cm3 ) stellarer Materie im Abstand r vom Zentrum. Bewegungsgleichung ergibt sich aus (I) durch Hinzufügen der Trägheitskraft
(wegen Beschleunigung des Volumenelements):
∂P
Mr
∂ 2r
= −G 2 ρ − ρ 2
(III)
∂r
r
∂t
(P – ρ – Zusammenhang aus Polytropengleichung bei vollkonvektiver Näherung)
Gleichgewicht bei r0 , P0 , ρ0 , T0 , Mr0 , betrachten momentane infinitesimale Störungen
(→ ∂r(t) = rξeiωt ):
r(t, r0 ) = r0 (1 + ξ)
ρ(t, r0 ) = ρ0 (r0 )(1 + η)
P (t, r0 ) = P0 (r0 )(1 + ϕ)
mit ξ, η, ϕ 1
Wegen Massenerhaltung gilt bei infinitesimaler Kompression:
Mr = Mr0 , also
dMr0 = 4πr0 2 ρ0 dr0 = 4πr2 ρdr = dMr →
r0 2 ρ 0
r0 2 ρ 0
1
1
∂r
= 2 = 2
=
≈
≈ 1−2ξ−η
∂r0
r ρ
r0 (1 + ξ)2 ρ0 (1 + η) (1 + 2ξ + ξ 2 )(1 + η) 1 + 2ξ + η
Man kann damit die Bewegungsgleichung (III) umformen:
∂P ∂r0
∂P0
∂ϕ
∂P
(a)
=
≈
(1 + ϕ) + P0
(1 + 2ξ + η)
∂r
∂r0 ∂r
∂r0
∂r0
!
Mr
ρ0 (1 + η)
Mr0
1
η
≈ −G 2 ρ0
+
(b) − G 2 ρ = −GMr0 2
≈
r
r0 (1 + ξ)2
r0
1 + 2ξ 1 + 2ξ
Mr
Mr
≈ −G 20 ρ0 (1 − 2ξ + η(1 − 2ξ)) ≈ −G 20 ρ0 (1 − 2ξ + η)
r0
r0
2
2
∂ r
∂
∂ 2ξ
(c) − ρ 2 = −ρ0 (1 + η) 2 (r0 (1 + ξ)) ≈ −ρ0 r0 2
∂t
∂t
∂t
M r0
dP0
(a), (b), (c) in (III), außerdem im Gleichgewicht dr0 = −G r0 2 ρ0 →
!
Mr0
∂ϕ
Mr0
∂ 2ξ
−G 2 ρ0 (1 + ϕ) + P0
(1 + 2ξ + η) + G 2 ρ0 (1 − 2ξ + η) + ρ0 r0 2 = 0
r0
∂r0
r0
∂t
!
Mr0
∂ϕ
1
∂ 2ξ
G 2 ρ0 [1−2ξ+η−(1+ϕ)(1+2ξ+η)] + P0
(1+2ξ+η) + ρ0 r0 2 = 0 | ·
r0
∂r0
∂t
P 0 r0
Mr0 ρ0
1 ∂ϕ
ρ0 ∂ 2 ξ
−
G
(4ξ
+
ϕ)
+
=0
P0 ∂t2
r0 3 P0
r0 ∂r0
Nahe Oberfläche (r0 → R) geht Pρ00 → ∞, da P0 → 0
→ Vernachlässigung des 3. Terms
∂ 2ξ
M
→ 2 − G 3 (4ξ + ϕ) = 0
∂t
R
ϕ eliminieren mit Hilfe der Adiabatengleichung (II):
P0 (1 + ϕ)
P
ρ
1+ϕ=
=
=
P0
P0
ρ0
→ ϕ = γη
!γ
γ

ρ0 (1 + η) 
=
≈ 1 + γη
ρ0
(ϕ durch η ersetzt)
Aus r = r0 (1 + ξ) folgt, dass
∂r
∂r0
∂ξ
= 1 + ξ + r0 ∂r
≈ 1 − 2ξ − η
0
(siehe oben)
Weiter Vernachlässigung der Änderung der Amplitude ξ für r → R
→ 3ξ + η = 0 → η = −3ξ (η durch ξ ersetzt)
M
∂ 2ξ
−
G
(4ξ − 3γξ) = 0
→
∂t2
R3
∂ 2ξ
M
→ 2 + G 3 (3γ − 4)ξ = 0
∂t
R
Dies beschreibt eine ungedämpfte harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω:
M
4π
(3γ
−
4)
=
G
ρ̂(3γ − 4) ,
R3
3
wobei ρ̂ die mittlere Dichte des Sterns ist.
ω2 = G
Die Periode der Grundschwingung beträgt:
2π
P =
=
ω
v
u
u
u
t
v
v
u
u
u π
u 3π u 1
4π 2
u
t
t
t
=
=
4π
3γ − 4 Gρ̂
G 3 ρ̂(3γ − 4)
γ−
v
4
3
v
u
u
t
1
Gρ̂
→ stabile Oszillationen des Sterns sind nur für γ > 34 möglich!
(γ = 43 ist der Adiabatenexponent in der Zustandgleichung eines relativistisch
entarteten
Gases).
r
1
Gρ̂ entspricht der sog. dynamischen Zeitskala τdyn für die Reaktion eines
Sterns auf die Störung seines mechanischen Gleichgewichts.
Für die Sonne mit ρ̂ = 1.4 g/cm3 → τ ≈ 1 Stunde.
Für δ Cephei: R = 2 · 107 km, M = 7.5 M , γ = 5/3 (einatomiges Gas)
→ Ptheor ≈ 6.5 Tage, tatsächlich beobachtet: P = 5.4 Tage.
Wegen der vollkonvektiven Näherung (Vernachlässigung des Strahlungstransports) und der vereinfachenden Annahme vollständig adiabatischer Pulsationen
ist keine bessere Übereinstimmung zu erwarten.