Der Satz des Pythagoras (Einführung)
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Karolinen Gymnasium Daniela Reinecke 9A eigenverantwortlich P4 4. Std. (10.40 Uhr), 12.01.11 Thema: Der Satz des Pythagoras (Einführung) Lernziele Groblernziel Die Schülerinnen und Schüler entdecken anhand eines „Pythagoras-Puzzles“ den Satz des Pythagoras und beweisen diesen rechnerisch anhand einer geometrischen Figur. Teillernziele Die Schülerinnen und Schüler… o lösen ein geometrisches Puzzle zum Satz des Pythagoras, o begründen über ein Puzzle, dass der Flächeninhalt des großen Quadrates gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden kleinen Quadrate ist. o stellen fest, dass die Formel a² + b² = c² nur gilt, wenn ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt. o (beweisen den Satz von Pythagoras anhand einer geometrischen Figur rechnerisch und leiten damit die Formel a² + b² = c² her.) Verlaufsplan Unterrichtsschritt Einstieg Unterrichtsinhalte / Begriffe Unterrichtsmittel Unterrichtsform Hausaufgabe: Puzzle – Papa-Schlumpf hat streit mit seinen Schlümpfen. Puzzel Folien I SV / UG Nehme alle Dreiecke weg. Ist nun das übrig gebliebene Papa-Schlumpf-Quadrat der Fläche nach größer, kleiner oder gleich den beiden Schlumpf-Quadraten? Begründe deine Antwort! Folien I LV Folien I UG / LG Folie II LV / LG Tafel UG AB I PA Folie III LG Folie III LV AB II PA Problematisierung Der Flächeninhalt des großen Quadrates ist gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden kleinen Quadrate. Benennung der Dreieckseiten mit a, b und c a² + b² = c² Erarbeitung Teil I Weitere Dreiecke (Bugs Bunny, Garfield, Problematisierung Snoopy) werden gezeigt. Was muss gegeben sein, damit die Aussage a² + b² = c² zutrifft? Es darf kein gleichseitiges Dreieck vorliegen. Vermutungen (Damit wäre nur Garfield falsch). Es muss ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen. (Damit wären Garfield und Snoopy falsch). Seitenlängen der Dreiecke werden Erarbeitung Ergebnissicherung abgemessen und die gefundenen Vermutungen durch Nachrechnen überprüft. Die Beispiele legen nahe, dass ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen muss. Einführung der Begriffe Kathete und Hypotenuse. Satz des Pythagoras --- mögliches Stundenende --Problematisierung Erarbeitung Nun müssen wir noch zeigen, dass der Satz für beliebige rechtwinklige Dreiecke gilt. Beweis des Satzes des Pythagoras anhand einer Beweisfigur rechnerisch Ergebnissicherung Vorstellung und Vergleich der Ergebnisse Folie SV Hausaufgabe Beweis (wenn noch nicht gemacht) S. 153 Nr. 4 AB Buch EA Hausaufgabe: Papa-Schlumpf hat Streit mit seinen Schlümpfen. Die Schlümpfe behaupten, ihre grünen Puzzle-Teile seien zusammengenommen viel größer als die roten von Papa-Schlumpf. Papa-Schlumpf hält dagegen, dass er mit seinen roten Puzzle-Teilen eine geometrische Figur legen könne, die genauso aussieht und genauso groß ist wie eine, die die Schlümpfe mit ihren grünen Teilen legen können. Wer hat recht? Dazu erhält jeder Schüler: ein ausgeschnittenes rotes Quadrat (Papa-Schlumpf) und vier ausgeschnittene rote Dreiecke [Figur wurde auf roten Karton gedruckt] zwei verschieden große ausgeschnittene grüne Quadrate (Schlümpfe) und vier ausgeschnittene blaue Dreiecke. [Figur wurde auf grünen Karton gedruckt] Folie I: (Puzzleteile aus HA) Folie II Arbeitsblatt Miss die Länge der Seiten a, b, c des jeweiligen Dreiecks und überprüfe für welches Dreieck die Formel a² + b² = c² gilt. Zusatz: Zeichne ein beliebiges Dreieck (rechtwinklig oder nicht rechtwinklig) und überprüfe analog zu der obigen Aufgabe, ob die Formel a² + b² = c² gilt. Folie III Die am rechten Winkel anliegenden Seiten a und b heißen: ________________________________ Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite c heißt: ________________________________ Der Satz des Pythagoras Im ____________________ Dreieck gilt: ________________________________________ ________________________________________ _______________________________________. Formel: ___________________ Beweis: Satzes des Pythagoras Ziel des Beweises ist es, zu zeigen, dass der Satz des Pythagoras für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt. Das unten abgebildete Dreieck (Abb. 1) könnte jedes beliebige rechtwinklige Dreieck sein, da die Seitenlängen als Variablen nicht bestimmt sind. Abb. 1 Abb. 2 Die Fläche des großen zusammengesetzten Quadrates (Abb. 2) kann man auf zwei verschiedene Weisen berechnen. Stelle nun zwei Terme zur Berechnung des Flächeninhalts des Quadrats auf! A□1 = ___________________________________________________________ A□2 = ___________________________________________________________ Da es sich um ein und dieselbe Fläche handelt, darfst du die Gleichungen gleichsetzen. Vereinfache so weit wie möglich! A□1 = A□2 _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ergebnis: Du hast damit eine Gleichung gefunden, die für jedes rechtwinklige Dreieck gilt und damit den Satz des Pythagoras bewiesen!
