Tutorial 9 - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen

Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 9) 13.07.2011
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DFS-Bäume in ungerichteten Graphen
Sei ein ungerichteter, zusammenhängender Graph G = (V, E) gegeben. Sei ferner ein
Startknoten s ∈ V ausgewählt. Startet man bei s eine Tiefensuche (DFS), so besucht
diese DFS alle Knoten von G. Jede Kante e ∈ E spielt bei der DFS eine von zwei
möglichen Rollen:
1. Über die Kante e wird von einem Knoten v aus ein unbesuchter Nachbar w entdeckt; in diesem Fall nennen wir e eine Baumkante, die als abwärts gerichtet von
v nach w aufgefasst wird.
2. Wenn die DFS die Kante e betrachtet, ist der Knoten am anderen Ende bereits
besucht worden; in diesem Fall nennen wir e eine Rückwärtskante.
Ein Beispiel soll das verdeutlichen:
s
s
s
c
b
b
c
b
e
e
d
e
d
f
f
f
(a)
(b)
c
d
(c)
Das Bild zeigt (a) einen ungerichteten Graphen, (b) die Einteilung der Kanten in Baumkanten (durchgezogen) und Rückwärtskanten (gestrichelt) durch eine DFS mit Startknoten s, und (c) eine gewurzelte Darstellung des sich daraus ergebenden DFS-Baumes.
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Zweifachzusammenhangskomponenten
Im folgenden sei G = (V, E) ein ungerichteter, zusammenhängender Graph.
Definition 1 (Zusammenhang). Der (Knoten-)Zusammenhang von G ist die minimale
Anzahl von Knoten, nach deren Entfernung G unzusammenhängend ist.
Im Falle einer Clique der Größe n ist der Knotenzusammenhang definiert als n − 1.
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Ein Graph mit Zusammenhang mindestens 2 heißt auch zweifachzusammenhängend.
Definition 2 (Artikulationsknoten). Ein Knoten a von G heißt Artikulationsknoten,
wenn sich die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von G durch das Entfernen von
a erhöht.
Offensichtlich ist G genau dann zweifachzusammenhängend, wenn G mindestens drei
Knoten besitzt, zusammenhängend ist und keinen Artikulationsknoten enthält.
Definition 3. Die Zweifachzusammenhangskomponenten eines Graphen sind die maximalen Teilgraphen, die zweifachzusammenhängend sind.
Ein Block ist ein maximaler zusammenhängender
Teilgraph, der keinen Artikulationsknoten enthält.
D.h. die Menge aller Blöcke besteht aus allen Zweifachzusammenhangskomponenten, allen Brücken
und allen isolierten Knoten.
Der nebenstehende Graph besteht aus drei
Blöcken, die durch durchgezogene, gestrichelte und
gepunktete Kanten gekennzeichnet sind. Die Artikulationsknoten sind schattiert gezeichnet.
Es gilt übrigens: Im Schnitt zweier Blöcke liegt höchstens ein einziger Knoten. Blöcke
können also keine Kante gemeinsam haben. Die Knoten, die im Schnitt von Blöcken
liegen, sind genau die Artikulationsknoten. Die Blöcke bilden eine Baumstruktur, d.h.
die Struktur, die entsteht, wenn man Blöcke mit nicht-leerem Schnitt als benachbart
betrachtet, enthält keine Kreise.
Der Zusammenhang von Graphen und die Berechnung der Blöcke ist zum Beispiel
beim Aufbau ausfallsicherer Kommunikationsnetzwerke interessant. Ein zweifachzusammenhängendes Teilnetzwerk bleibt auch dann zusammenhängend, wenn ein beliebiger
Knoten ausfällt.
2.1
Erweiterter DFS-Algorithmus
Der in diesem Abschnitt vorgestellte Algorithmus ist in der Lage, in einem zusammenhängenden Graphen G alle Blöcke zu ermitteln. Wenn man nur an den Zweifachzusammenhangskomponenten interessiert ist, muss man die Brücken herausfiltern. Falls
der Graph nicht zusammenhängend ist, führt man den Algorithmus für jede Zusammenhangskomponente einmal aus.
Mittels einer nur geringfügig modifizierten Tiefensuche in G können für jeden Knoten v
die folgenden Werte ermittelt werden:
• pre[v] = Präordernummer (DFS-Nummer) von v, d.h. Nummer, die angibt, als
wie vielter Knoten der Knoten v von der DFS besucht wurde (pre[s] = 0).
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• low [v] = minimale Präordernummer pre[w] eines Knotens w, der von v aus über
≥ 0 Baumkanten abwärts, evtl. gefolgt von einer einzigen Rückwärtskante, erreicht
werden kann.
Die Berechnung der low-Werte geschieht einfach durch Ausnutzung der folgenden Tatsache:
low [v] = min
{pre[v]} ∪
{low [w] | w ist Kind von v im DFS-Baum } ∪
{pre[w] | {v, w} ist Rückwärtskante }
Genauer wird am Anfang der rekursiven DFS-Funktion für einen Knoten v der Wert
pre[v] bestimmt und low [v] mit pre[v] initialisiert; dann werden alle Nachbarkanten
von v betrachtet: bei einer abwärtsgerichteten Baumkante zu einem Kind w erfolgt ein
rekursiver Aufruf und anschließend wird low [v] = min{low [v], low [w]} gesetzt; bei einer
Rückwärtskante zu einem Knoten w setzen wir dagegen low [v] = min{low [v], pre[w]}.
Nun können wir folgendes Lemma verwenden.
Lemma 4. Sei G = (V, E) ein ungerichteter, zusammenhängender Graph und T ein
DFS-Baum in G. Ein Knoten a ∈ V ist Artikulationsknoten genau dann, wenn entweder
(a) a die Wurzel von T ist und ≥ 2 Kinder hat, oder
(b) a nicht die Wurzel von T ist und es ein Kind b von a mit low [b] ≥ pre[a] gibt.
Somit lassen sich die Artikulationsknoten in G mittels leicht modifizierter DFS effizient
in Zeit O(|V | + |E|) ermitteln. Um die Blöcke selbst mit demselben Zeitaufwand zu
bestimmen, kann man so vorgehen: Es wird ein Stack S von Kanten verwaltet, der
anfangs leer ist. Wenn eine Baumkante abwärts gefunden wird, so wird sie vor dem
rekursiven Aufruf auf S abgelegt; wenn eine Rückwärtskante gefunden wird (von dem
unteren Endknoten aus), so wird sie sofort auf dem Stack abgelegt. Immer, wenn ein
rekursiver Aufruf für Knoten w zu Knoten v zurückkehrt und low [w] ≥ pre[v] gilt, bilden
die Kanten oben auf dem Stack bis einschließlich der Kante {v, w} genau die Kanten
des nächsten Blockes.
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DFS-Wälder in gerichteten Graphen
Sei ein gerichteter Graph G = (V, E) gegeben. Wenn man bei einem Knoten in G
eine Tiefensuche startet, so werden nicht unbedingt alle Knoten des Graphen erreicht,
und es muss eine weitere Tiefensuche bei einem unbesuchten Knoten gestartet werden.
Deshalb ergibt eine DFS in einem gerichteten Graphen nicht einen einzigen DFS-Baum,
sondern i.a. einen DFS-Wald, der aus mehreren Bäumen besteht. Jede gerichtete Kante
e = (v, w) ∈ E wird untersucht, wenn ihr Startknoten v bearbeitet wird, und spielt bei
der DFS genau eine von vier möglichen Rollen:
1. Über die Kante e wird ein unbesuchter Nachbar w entdeckt; in diesem Fall nennen
wir e eine Baumkante, die als abwärts gerichtet von v nach w aufgefasst wird.
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2. Der Knoten w ist bereits besucht worden und hat eine DFS-Nummer, die größer
ist als die DFS-Nummer von v; in diesem Fall nennen wir e eine Vorwärtskante.
3. Der Knoten w ist bereits besucht worden und ist ein Vorfahre (Vater, Großvater,
usw.) von v im selben DFS-Baum; in diesem Fall nennen wir e eine Rückwärtskante.
4. Der Knoten w ist bereits besucht worden und ist kein Vorfahre (Vater, Großvater,
usw.) und auch kein Nachfahre (Kind, Enkel, usw.) von v im selben DFS-Baum;
in diesem Fall kann w im selben DFS-Baum oder in einem bereits früher erzeugten
DFS-Baum enthalten sein, und wir nennen e eine Querkante.
Ein Beispiel soll das verdeutlichen:
0
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2
5
3
6
7
9
8
10
Das Bild zeigt einen möglichen DFS-Wald, der sich bei der Tiefensuche in einem gerichteten Graphen ergeben kann. Baumkanten sind durchgezogen gezeichnet, Querkanten
gestrichelt, Vorwärts- und Rückwärtskanten gepunktet. In den Knoten sind die DFSNummern (Präordernummern) angegeben.
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Starke Zusammenhangskomponenten
Sei ein gerichteter Graph G = (V, E) gegeben. Zwei Knoten x und y von G liegen in
derselben starken Zusammenhangskomponente, falls es in G einen gerichteten Pfad von x
nach y und von y nach x gibt. Dadurch lässt sich die Knotenmenge von G vollständig in
starke Zusammenhangskomponenten einteilen (partitionieren). Der obige Beispielgraph
besteht zum Beispiel aus den fünf starken Zusammenhangskomponenten {0, 1, 2, 3, 4},
{6, 7, 8}, {10}, {9} und {5}. Wir wollen für einen gegebenen Graphen G = (V, E) in
Zeit O(|V |+|E|) die starken Zusammenhangskomponenten berechnen. Dies kann wieder
mittels modifizierter Tiefensuche erfolgen.
Wir betrachten den DFS-Wald und die Präordernummern, die sich durch Tiefensuche in
G ergeben. Für jede starke Zusammenhangskomponente Z ⊆ V nennen wir denjenigen
Knoten in Z mit der kleinsten Präordernummer die Wurzel der starken Zusammenhangskomponente. Es lässt sich zeigen, dass ein Knoten r genau dann die Wurzel einer
starken Zusammenhangskomponente ist, wenn es:
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1. keine Rückwärtskante von einem Nachfahren (dem Knoten selbst oder einem Kind,
Enkel, . . . ) von r im DFS-Wald zu einem echten Vorfahren (Vater, Großvater, . . . )
gibt
2. keine Querkante von r oder einem Nachfahren von r zu einem Knoten w gibt, so
dass die Wurzel der starken Zusammenhangskomponente von w ein echter Vorfahre
von r ist
(der Knoten 4 in obigem Beispiel hat so eine Querkante und ist daher keine Wurzel einer
starken Zusammenhangskomponente). Die starken Zusammenhangskomponenten lassen
sich dann aus dem DFS-Wald “abpflücken”, indem man einfach bottom-up vorgeht
und an allen Wurzeln den noch daranhängenden Teilbaum aus dem Wald entfernt (im
Beispiel also nacheinander die Teilbäume, die an den Knoten 0, 6, 10, 9 und 5 hängen).
Dies lässt sich alles im Rahmen einer einzigen Tiefensuche erledigen.
Wir definieren zusätzlich zur üblichen Präordernummer pre[v] eines Knotens v noch
einen Wert lowlink [v] wie folgt:
• lowlink [v] = minimale Präordernummer pre[w] eines Knotens w, der über ≥ 0
Baumkanten abwärts, evtl. gefolgt von einer einzigen Rückwärtskante erreicht
werden kann, oder der über ≥ 0 Baumkanten abwärts gefolgt von einer einzigen
Querkante zu einem Knoten in einer Zusammenhangskomponente, deren Wurzel
echter Vorfahre von v ist, erreicht werden kann.
Die lowlink-Werte können während einer geringfügig modifizierten DFS unter Ausnutzung folgender Gleichung berechnet werden:
lowlink [v] = min
{ pre[v] } ∪ { lowlink [w] | w ist Kind von v im DFS-Wald }
∪ { pre[w] | (v, w) ist Rückwärtskante }
∪ { pre[w] | (v, w) ist Querkante und die Wurzel der starken
Zusammenhangskomponente von w ist Vorfahre von v }
Genauer wird am Anfang der rekursiven DFS-Funktion für einen Knoten v der Wert
pre[v] bestimmt und lowlink [v] mit pre[v] initialisiert; dann werden alle Nachbarkanten von v betrachtet: bei einer abwärtsgerichteten Baumkante zu einem Kind w erfolgt
ein rekursiver Aufruf und anschließend wird lowlink [v] = min{lowlink [v], lowlink [w]}
gesetzt. Bei einer Rückwärtskante wird dagegen lowlink [v] = min{lowlink [v], pre[w]}
gesetzt. Bei einer Querkante zu einem Knoten w muss entschieden werden, ob die Wurzel der starken Zusammenhangskomponente von w ein Vorfahre von v ist oder nicht;
das ist genau dann der Fall, wenn w vom Algorithmus noch nicht einer starken Zusammenhangskomponente zugeordnet (“abgepflückt”) wurde, und in diesem Fall setzen wir
wieder lowlink [v] = min{lowlink [v], pre[w]} (ansonsten wird die Querkante ignoriert).
Wir verwenden die Tatsache, dass ein Knoten r genau dann Wurzel einer starken Zusammenhangskomponente ist, wenn nach Ausführung der DFS-Funktion für r die Bedingung lowlink [r] = pre[r] gilt. Somit ist es für den Algorithmus leicht, die Wurzeln
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der starken Zusammenhangskomponenten zu erkennen. Die starken Zusammenhangskomponenten selbst können nebenbei während der Tiefensuche bestimmt werden, wenn
man folgendermaßen vorgeht. Es wird ein Stack S von Knoten verwaltet, der anfangs
leer ist. Wenn die rekursive DFS-Funktion für einen Knoten v aufgerufen wird, so wird
am Anfang der Ausführung der Funktion der Knoten v auf den Stack S gelegt. Wenn
am Ende der Ausführung der Funktion für Knoten v die Bedingung lowlink [v] = pre[v]
gilt, dann bilden alle Knoten oben auf dem Stack bis einschließlich v die nächste starke Zusammenhangskomponente Z. Alle Knoten in Z müssen als “bereits einer starken
Zusammenhangskomponente zugeordnet” markiert werden, damit Querkanten zu diesen
Knoten, die später gefunden werden, bei der Berechnung von lowlink -Werten nicht mehr
berücksichtigt werden.
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Bemerkung: Man sollte sich bewusst machen, dass es gelungen ist, die Berechnung
von Zweifachzusammenhangskomponenten in ungerichteten Graphen und von starken
Zusammenhangskomponenten in gerichteten Graphen durch eine nur geringfügig modifizierte Tiefensuche in linearer Zeit O(|V | + |E|) zu erledigen. Auf den ersten Blick hätte
man vielleicht vermutet, dass dazu Algorithmen mit erheblich größerem Laufzeitbedarf
nötig sind!